Binary System Questions in Hindi

(B) दशमलव संख्या को बाइनरी में बदलने के लिए,हम संख्या को बार-बार $2$ से विभाजित करते हैं और शेषफल को नोट करते हैं।
$\begin{array}{l|ll} 2 & 117 & \text{शेषफल} \\ \hline 2 & 58 & 1 \\ \hline 2 & 29 & 0 \\ \hline 2 & 14 & 1 \\ \hline 2 & 7 & 0 \\ \hline 2 & 3 & 1 \\ \hline 2 & 1 & 1 \\ \hline & 0 & 1 \end{array}$
नीचे से ऊपर की ओर शेषफल को पढ़ने पर,हमें $1110101$ प्राप्त होता है।
$\therefore$ दशमलव $117$ का बाइनरी समतुल्य $1110101$ है।

(A) दशमलव संख्या को बाइनरी में बदलने के लिए,हम संख्या को बार-बार $2$ से विभाजित करते हैं और शेषफल को नोट करते हैं।
$\begin{array}{l|cc} 2 & 52 & \text{शेषफल} \\ \hline 2 & 26 & 0 \\ \hline 2 & 13 & 0 \\ \hline 2 & 6 & 1 \\ \hline 2 & 3 & 0 \\ \hline 2 & 1 & 1 \\ \hline & 0 & 1 \end{array}$
नीचे से ऊपर की ओर शेषफल को पढ़ने पर,हमें $110100$ प्राप्त होता है।
$\therefore$ दशमलव $52$ का बाइनरी समतुल्य $110100$ है।

(C) बाइनरी संख्या को उसके दशमलव समतुल्य में बदलने के लिए,हम प्रत्येक बिट को उसके स्थान के आधार पर $2$ की संबंधित घात से गुणा करते हैं (दाहिनी ओर से $0$ से शुरू करते हुए)।
बाइनरी संख्या $1110101_2$ है।
गणना:
$(1 \times 2^6) + (1 \times 2^5) + (1 \times 2^4) + (0 \times 2^3) + (1 \times 2^2) + (0 \times 2^1) + (1 \times 2^0)$
$= 64 + 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1$
$= 117_{10}$
अतः,दशमलव समतुल्य $117_{10}$ है।

(C) दशमलव संख्या को बाइनरी में बदलने के लिए,हम संख्या को बार-बार $2$ से विभाजित करते हैं और शेषफल को नोट करते हैं।
$235 \div 2 = 117$,शेषफल $1$
$117 \div 2 = 58$,शेषफल $1$
$58 \div 2 = 29$,शेषफल $0$
$29 \div 2 = 14$,शेषफल $1$
$14 \div 2 = 7$,शेषफल $0$
$7 \div 2 = 3$,शेषफल $1$
$3 \div 2 = 1$,शेषफल $1$
$1 \div 2 = 0$,शेषफल $1$
नीचे से ऊपर की ओर शेषफल को पढ़ने पर,हमें $11101011_{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$235_{10} = 11101011_{2}$.

(A) दशमलव संख्या को बाइनरी में बदलने के लिए,हम संख्या को बार-बार $2$ से विभाजित करते हैं और शेषफल को नोट करते हैं।
$\begin{array}{l|cc} 2 & 701 & \text{शेषफल} \\ \hline 2 & 350 & 1 \\ \hline 2 & 175 & 0 \\ \hline 2 & 87 & 1 \\ \hline 2 & 43 & 1 \\ \hline 2 & 21 & 1 \\ \hline 2 & 10 & 1 \\ \hline 2 & 5 & 0 \\ \hline 2 & 2 & 1 \\ \hline 2 & 1 & 0 \\ \hline 2 & 0 & 1 \end{array}$
नीचे से ऊपर की ओर शेषफल को पढ़ने पर,हमें $(701)_{10} = 1010111101_{2}$ प्राप्त होता है।

(B) बाइनरी संख्या को उसके दशमलव समतुल्य में बदलने के लिए,हम प्रत्येक अंक को उसके स्थान के घात ($2$ की घात) से गुणा करते हैं (दाहिनी ओर से $0$ से शुरू करते हुए)।
बाइनरी संख्या $101001_2$ के लिए:
स्थान $5$: $1 \times 2^5 = 32$
स्थान $4$: $0 \times 2^4 = 0$
स्थान $3$: $1 \times 2^3 = 8$
स्थान $2$: $0 \times 2^2 = 0$
स्थान $1$: $0 \times 2^1 = 0$
स्थान $0$: $1 \times 2^0 = 1$
इन मानों का योग करने पर: $32 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1 = 41$ प्राप्त होता है।
अतः,दशमलव समतुल्य $41$ है।

(A) बाइनरी संख्या को उसके दशमलव समतुल्य में बदलने के लिए,हम प्रत्येक बिट को उसके स्थान की घात ($2$ की घात) से गुणा करते हैं (दाहिनी ओर से $0$ से शुरू करते हुए)।
बाइनरी संख्या $10000010011_2$ है।
स्थान मान:
$1 \times 2^{10} + 0 \times 2^9 + 0 \times 2^8 + 0 \times 2^7 + 0 \times 2^6 + 0 \times 2^5 + 1 \times 2^4 + 0 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 1 \times 2^0$
$2$ की घातों की गणना:
$2^{10} = 1024$
$2^4 = 16$
$2^1 = 2$
$2^0 = 1$
इन मानों का योग:
$1024 + 16 + 2 + 1 = 1043$
अतः,दशमलव समतुल्य $1043$ है।

(C) बाइनरी संख्या को उसके दशमलव समतुल्य में बदलने के लिए,हम प्रत्येक अंक को उसके स्थान की घात (दाहिनी ओर से $0$ से शुरू करके) के साथ $2$ से गुणा करते हैं।
बाइनरी संख्या $111011_2$ के लिए:
$1 \times 2^5 + 1 \times 2^4 + 1 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 1 \times 2^0$
$= 32 + 16 + 8 + 0 + 2 + 1$
$= 59$
अतः,दशमलव समतुल्य $59$ है।

(B) बाइनरी संख्याओं $1001$ और $0101$ को जोड़ने के लिए, हम दाईं से बाईं ओर कॉलम के अनुसार जोड़ करते हैं:
$\begin{array}{r} 0101 \\ +1001 \\ \hline 1110 \end{array}$
चरण-दर-चरण गणना:
$1 + 1 = 10$ ($0$ लिखें, $1$ हासिल)
$0 + 0 + 1 (\text{हासिल}) = 1$
$1 + 0 = 1$
$0 + 1 = 1$
अतः, योग $1110$ है।

(A) बाइनरी संख्याओं $11100$ और $11010$ को जोड़ने के लिए,हम दाईं ओर से बाईं ओर कॉलम के अनुसार जोड़ते हैं:
$0 + 0 = 0$
$0 + 1 = 1$
$1 + 0 = 1$
$1 + 1 = 10$ ($0$ लिखें,$1$ हासिल लें)
$1 + 1 + 1$ (हासिल) $= 11$
इन सबको मिलाने पर,हमें $110110$ प्राप्त होता है।
$\begin{array}{r} 11100 \\ +11010 \\ \hline 110110 \end{array}$

(C) बाइनरी संख्याओं को जोड़ने के लिए,हम स्तंभ-वार योग करते हैं:
$11111_{2} = 31_{10}$
$10001_{2} = 17_{10}$
$1011_{2} = 11_{10}$
दशमलव पद्धति में योग: $31 + 17 + 11 = 59_{10}$
अब,$59_{10}$ को बाइनरी में परिवर्तित करें:
$59 \div 2 = 29$ शेष $1$
$29 \div 2 = 14$ शेष $1$
$14 \div 2 = 7$ शेष $0$
$7 \div 2 = 3$ शेष $1$
$3 \div 2 = 1$ शेष $1$
$1 \div 2 = 0$ शेष $1$
नीचे से ऊपर की ओर शेषफल को पढ़ने पर,हमें $111011_{2}$ प्राप्त होता है।

(A) बाइनरी संख्याओं $11001_{2}$, $11011_{2}$ और $11111_{2}$ को जोड़ने के लिए, हम दाईं ओर से बाईं ओर कॉलम के अनुसार जोड़ते हैं:
$11001_{2}$
$11011_{2}$
$11111_{2}$
----------
$1$. पहला कॉलम (सबसे दाईं ओर): $1 + 1 + 1 = 3_{10}$. बाइनरी में, $3_{10} = 11_{2}$. $1$ लिखें, $1$ हासिल (carry) लें।
$2$. दूसरा कॉलम: $0 + 1 + 1 + 1 (\text{हासिल}) = 3_{10} = 11_{2}$. $1$ लिखें, $1$ हासिल लें।
$3$. तीसरा कॉलम: $0 + 0 + 1 + 1 (\text{हासिल}) = 2_{10} = 10_{2}$. $0$ लिखें, $1$ हासिल लें।
$4$. चौथा कॉलम: $1 + 1 + 1 + 1 (\text{हासिल}) = 4_{10} = 100_{2}$. $0$ लिखें, $10_{2}$ हासिल लें।
$5$. पांचवां कॉलम: $1 + 1 + 1 + 2 (\text{हासिल}) = 5_{10} = 101_{2}$.
इस प्रकार, परिणाम $1010011_{2}$ प्राप्त होता है।

(B) बाइनरी संख्याओं के योग के लिए,हम बाइनरी अंकगणित के नियमों $(0+0=0, 0+1=1, 1+1=10_{2})$ का पालन करते हुए कॉलम-वार जोड़ करते हैं:
$11_{2} = 3_{10}$
$111_{2} = 7_{10}$
$1111_{2} = 15_{10}$
$11111_{2} = 31_{10}$
दशमलव पद्धति में योग: $3 + 7 + 15 + 31 = 56_{10}$.
अब,$56_{10}$ को बाइनरी में परिवर्तित करें:
$56 \div 2 = 28$ शेष $0$
$28 \div 2 = 14$ शेष $0$
$14 \div 2 = 7$ शेष $0$
$7 \div 2 = 3$ शेष $1$
$3 \div 2 = 1$ शेष $1$
$1 \div 2 = 0$ शेष $1$
नीचे से ऊपर शेषफल को पढ़ने पर,हमें $111000_{2}$ प्राप्त होता है।
वैकल्पिक रूप से,कॉलम जोड़ का उपयोग करके:
$\begin{array}{r} 11 \\ 111 \\ 1111 \\ + 11111 \\ \hline 111000 \\ \hline \end{array}$

(C) बाइनरी संख्याओं $111_{2}$ और $101_{2}$ को जोड़ने के लिए,हम दाएं से बाएं प्रत्येक स्तंभ का योग करते हैं:
$1$. $1 + 1 = 10_{2}$ ($0$ लिखें,$1$ हासिल लें)
$2$. $1 + 0 + 1$ (हासिल) $= 10_{2}$ ($0$ लिखें,$1$ हासिल लें)
$3$. $1 + 1 + 1$ (हासिल) $= 11_{2}$ ($11$ लिखें)
अतः,$111_{2} + 101_{2} = 1100_{2}$ होता है।

(A) बाइनरी संख्याओं $1000_{2}$, $1101_{2}$, और $1111_{2}$ को जोड़ने के लिए, हम दाएं से बाएं कॉलम के अनुसार योग करते हैं:
$1$. सबसे दायां कॉलम: $0 + 1 + 1 = 2_{10} = 10_{2}$. $0$ लिखें, $1$ हासिल (carry) लें।
$2$. दूसरा कॉलम: $0 + 0 + 1 + 1 (\text{हासिल}) = 2_{10} = 10_{2}$. $0$ लिखें, $1$ हासिल लें।
$3$. तीसरा कॉलम: $0 + 1 + 1 + 1 (\text{हासिल}) = 3_{10} = 11_{2}$. $1$ लिखें, $1$ हासिल लें।
$4$. चौथा कॉलम: $1 + 1 + 1 + 1 (\text{हासिल}) = 4_{10} = 100_{2}$. $100$ लिखें।
इस प्रकार, परिणाम $100100_{2}$ प्राप्त होता है।

(B) बाइनरी संख्याओं $111_{2}$, $101_{2}$, और $011_{2}$ को जोड़ने के लिए, हम दाईं ओर से बाईं ओर कॉलम-वार जोड़ करते हैं:
$1$. सबसे दाईं ओर का कॉलम: $1 + 1 + 1 = 3_{10}$। बाइनरी में, $3_{10} = 11_{2}$ होता है। $1$ लिखें और $1$ हासिल (carry) लें।
$2$. बीच का कॉलम: $1 + 0 + 1 + (\text{हासिल } 1) = 3_{10} = 11_{2}$। $1$ लिखें और $1$ हासिल लें।
$3$. सबसे बाईं ओर का कॉलम: $1 + 1 + 0 + (\text{हासिल } 1) = 3_{10} = 11_{2}$।
अतः, योग $1111_{2}$ है।

(A) बाइनरी संख्याओं को घटाने के लिए,हम उन्हें दशमलव (decimal) पद्धति में बदल सकते हैं,घटा सकते हैं और फिर से बाइनरी में बदल सकते हैं।
$111000_{2} = (1 \times 2^5) + (1 \times 2^4) + (1 \times 2^3) + (0 \times 2^2) + (0 \times 2^1) + (0 \times 2^0) = 32 + 16 + 8 = 56_{10}$.
$11001_{2} = (1 \times 2^4) + (1 \times 2^3) + (0 \times 2^2) + (0 \times 2^1) + (1 \times 2^0) = 16 + 8 + 1 = 25_{10}$.
दशमलव मानों को घटाने पर: $56 - 25 = 31_{10}$.
अब,$31_{10}$ को वापस बाइनरी में बदलने पर:
$31 \div 2 = 15$ शेष $1$
$15 \div 2 = 7$ शेष $1$
$7 \div 2 = 3$ शेष $1$
$3 \div 2 = 1$ शेष $1$
$1 \div 2 = 0$ शेष $1$
नीचे से ऊपर की ओर शेषफल पढ़ने पर,हमें $11111_{2}$ प्राप्त होता है।

(C) $10001_{2}$ में से $1111_{2}$ घटाने के लिए,हम सीधे बाइनरी घटाव कर सकते हैं:
$10001_{2} - 1111_{2}$
चरण-दर-चरण घटाव:
$1 - 1 = 0$
$0 - 1$ (उधार लेने पर) $\rightarrow 10 - 1 = 1$
$0 - 1$ (उधार लेने के बाद) $\rightarrow 10 - 1 = 1$
$0 - 1$ (उधार लेने के बाद) $\rightarrow 10 - 1 = 1$
$1 - 1$ (उधार लेने के बाद) $\rightarrow 0$
परिणाम: $00010_{2} = 10_{2}$।
वैकल्पिक रूप से,दशमलव पद्धति में बदलने पर:
$10001_{2} = 2^{4} + 2^{0} = 16 + 1 = 17_{10}$
$1111_{2} = 2^{3} + 2^{2} + 2^{1} + 2^{0} = 8 + 4 + 2 + 1 = 15_{10}$
$17 - 15 = 2_{10}$
$2_{10}$ को बाइनरी में $10_{2}$ लिखा जाता है।

(B) $111101_{2}$ में से $10111_{2}$ घटाने के लिए,हम $2$'s कॉम्प्लीमेंट विधि का उपयोग कर सकते हैं।
चरण $1$: घटाए जाने वाली संख्या $10111_{2}$ का $2$'s कॉम्प्लीमेंट ज्ञात करें।
सबसे पहले,$010111_{2}$ का $1$'s कॉम्प्लीमेंट ज्ञात करें ($6$ बिट की लंबाई के लिए आगे शून्य जोड़कर),जो $101000_{2}$ है।
फिर,$1$'s कॉम्प्लीमेंट में $1$ जोड़ें: $101000_{2} + 1_{2} = 101001_{2}$।
चरण $2$: मुख्य संख्या में $2$'s कॉम्प्लीमेंट जोड़ें:
$\begin{array}{r} 111101_{2} \\ + 101001_{2} \\ \hline 1100110_{2} \end{array}$
चरण $3$: अंतिम परिणाम प्राप्त करने के लिए कैरी बिट (सबसे बाईं ओर का $1$) हटा दें:
$100110_{2}$।
वैकल्पिक रूप से,सीधी बाइनरी घटाव करने पर:
$\begin{array}{r} 111101_{2} \\ - 010111_{2} \\ \hline 100110_{2} \end{array}$
अतः,$111101_{2} - 10111_{2} = 100110_{2}$।

(C) $11111_{2}$ में से $10001_{2}$ को घटाने के लिए,हम बाइनरी घटाव करते हैं:
$11111_{2} = 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 31_{10}$
$10001_{2} = 16 + 0 + 0 + 0 + 1 = 17_{10}$
दशमलव मानों को घटाने पर:
$31 - 17 = 14_{10}$
अब,$14_{10}$ को वापस बाइनरी में परिवर्तित करते हैं:
$14 \div 2 = 7$ शेष $0$
$7 \div 2 = 3$ शेष $1$
$3 \div 2 = 1$ शेष $1$
$1 \div 2 = 0$ शेष $1$
नीचे से ऊपर की ओर शेषफल को पढ़ने पर,हमें $1110_{2}$ प्राप्त होता है।
वैकल्पिक रूप से,सीधे बाइनरी घटाव का उपयोग करते हुए:
$\begin{array}{r} 11111 \\ -10001 \\ \hline 01110 \end{array}$
अतः,$11111_{2} - 10001_{2} = 1110_{2}$।

(A) $100001_{2}$ में से $11110_{2}$ घटाने के लिए,हम सीधे बाइनरी घटाव कर सकते हैं:
$100001_{2} - 11110_{2} = ?$
चरण-दर-चरण घटाव:
$1 - 0 = 1$
$0 - 1$ (उधार लेने पर): $10 - 1 = 1$
$0 - 1$ (उधार लेने के बाद): $1 - 1 = 0$
$0 - 1$ (उधार लेने के बाद): $1 - 1 = 0$
$0 - 1$ (उधार लेने के बाद): $1 - 1 = 0$
परिणाम: $000011_{2} = 11_{2}$.

(B) बाइनरी सिस्टम में $1111_2$ को $11_2$ से गुणा करने के लिए,हम निम्नलिखित तरीके से गुणा करते हैं:
$\begin{array}{r@{\quad}l} & 1111_2 \\ \times & 0011_2 \\ \hline & 1111_2 \\ 11110_2 & \\ \hline 101101_2 \end{array}$
चरण $1$: $1111_2$ को $11_2$ के इकाई अंक $1$ से गुणा करें,जो $1111_2$ देता है।
चरण $2$: $1111_2$ को दूसरे अंक $1$ (जो $2^1$ या $10_2$ का प्रतिनिधित्व करता है) से गुणा करें,जो $11110_2$ देता है।
चरण $3$: दोनों परिणामों को जोड़ें: $1111_2 + 11110_2 = 101101_2$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) बाइनरी सिस्टम में $101_2$ को $11_2$ से गुणा करने के लिए,हम निम्नलिखित तरीके से गुणा करते हैं:
$\begin{array}{r@{\quad}l} & 101_2 \\ \times & 11_2 \\ \hline & 101_2 \\ 1010_2 & \\ \hline 1111_2 \end{array}$
चरण $1$: $101_2$ को $11_2$ के इकाई अंक $1$ से गुणा करने पर $101_2$ प्राप्त होता है।
चरण $2$: $101_2$ को $11_2$ के दूसरे अंक $1$ से गुणा करने पर (एक स्थान बाईं ओर खिसकाकर) $1010_2$ प्राप्त होता है।
चरण $3$: परिणामों को जोड़ने पर: $101_2 + 1010_2 = 1111_2$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) $101101_2$ को $1101_2$ से गुणा करने के लिए:
$101101 \times 1 = 101101$
$101101 \times 00 = 0000000$
$101101 \times 100 = 10110100$
$101101 \times 1000 = 101101000$
इन परिणामों को जोड़ने पर:
$101101 + 0000000 + 10110100 + 101101000 = 1001001001_2$

(A) बाइनरी में $11001$ को $101$ से गुणा करने के लिए,हम इस प्रकार गुणा करते हैं:
$11001 \times 1 = 11001$
$11001 \times 0 = 00000$
$11001 \times 1 = 11001$
आंशिक गुणनफलों को व्यवस्थित करने पर:
$11001$
$000000$
$1100100$
----------
$1111101$
अतः,$11001_2 \times 101_2 = 1111101_2$ होता है।