Simplification Questions in Hindi

(C) अनुमानित मान ज्ञात करने के लिए,हम दी गई संख्याओं को निकटतम पूर्णांकों में परिवर्तित करते हैं:
$25.05 \approx 25$
$123.95 \approx 124$
$388.999 \approx 389$
$15.001 \approx 15$
अब,इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$25 \times 124 + 389 \times 15$
$= 3100 + 5835$
$= 8935$
अतः,प्रश्नवाचक चिह्न के स्थान पर $8935$ आएगा।

(A) $561 \div 35.05 \times 19.99$ व्यंजक को हल करने के लिए,हम सन्निकटन (approximation) का उपयोग करेंगे।
$1$. $35.05$ को लगभग $35$ मानिए।
$2$. $19.99$ को लगभग $20$ मानिए।
$3$. व्यंजक इस प्रकार होगा: $561 \div 35 \times 20$।
$4$. भाग की गणना करें: $561 \div 35 \approx 16.028$।
$5$. $20$ से गुणा करें: $16.028 \times 20 = 320.56$।
$6$. निकटतम पूर्णांक में बदलने पर,हमें $320$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया समीकरण: $(21)^{2} - 3717 \div 59 = ? \times 8$
सबसे पहले,$21$ का वर्ग ज्ञात करें: $(21)^{2} = 441$.
इसके बाद,भाग करें: $3717 \div 59 = 63$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $441 - 63 = ? \times 8$.
घटाने पर: $378 = ? \times 8$.
$?$ का मान ज्ञात करने पर: $? = \frac{378}{8} = 47.25$.

(D) $?$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करते हैं:
$? = 2 \frac{1}{8} - 1 \frac{1}{16} - 1 \frac{1}{32} + 1 \frac{9}{64}$
पूर्णांक संख्याओं और भिन्नों को अलग करें:
$? = (2 - 1 - 1 + 1) + (\frac{1}{8} - \frac{1}{16} - \frac{1}{32} + \frac{9}{64})$
पूर्णांक भाग की गणना करें:
$2 - 1 - 1 + 1 = 1$
भिन्न भाग की गणना करने के लिए सामान्य हर $64$ लें:
$\frac{1}{8} - \frac{1}{16} - \frac{1}{32} + \frac{9}{64} = \frac{8}{64} - \frac{4}{64} - \frac{2}{64} + \frac{9}{64}$
$= \frac{8 - 4 - 2 + 9}{64} = \frac{11}{64}$
दोनों भागों को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$? = 1 + \frac{11}{64} = 1 \frac{11}{64}$

(C) दिया गया समीकरण: $(0.64)^{4} \div (0.512)^{3} \times (0.8)^{4} = (0.8)^{?+3}$
सभी पदों को आधार $0.8$ में व्यक्त करने पर:
$0.64 = (0.8)^{2}$
$0.512 = (0.8)^{3}$
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$[(0.8)^{2}]^{4} \div [(0.8)^{3}]^{3} \times (0.8)^{4} = (0.8)^{?+3}$
घातांक नियम $(a^{m})^{n} = a^{m \times n}$ का उपयोग करने पर:
$(0.8)^{8} \div (0.8)^{9} \times (0.8)^{4} = (0.8)^{?+3}$
घातांक नियमों $a^{m} \div a^{n} = a^{m-n}$ और $a^{m} \times a^{n} = a^{m+n}$ का उपयोग करने पर:
$(0.8)^{8-9+4} = (0.8)^{?+3}$
$(0.8)^{3} = (0.8)^{?+3}$
घातांकों की तुलना करने पर:
$3 = ? + 3$
$? = 3 - 3 = 0$

(D) व्यंजक $\sqrt{15^{2} \times 12 \div 9 - 125 + 21}$ को हल करने के लिए,संक्रियाओं के क्रम $(BODMAS)$ का पालन करें:
$1$. वर्ग की गणना करें: $15^{2} = 225$.
$2$. भाग करें: $12 \div 9 = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$.
$3$. गुणा करें: $225 \times \frac{4}{3} = 75 \times 4 = 300$.
$4$. जोड़ और घटाव करें: $300 - 125 + 21 = 175 + 21 = 196$.
$5$. वर्गमूल निकालें: $\sqrt{196} = 14$.
अतः,सही उत्तर $14$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $7441 \div 34 \times 12 = ? \times 9 + 110$
चरण $1$: भाग और गुणा का अनुमानित मान निकालें।
$7441 \div 34 \approx 218.85$
$218.85 \times 12 \approx 2626.2$
चरण $2$: समीकरण में मान रखें।
$2626.2 = ? \times 9 + 110$
चरण $3$: दोनों पक्षों से $110$ घटाएं।
$2626.2 - 110 = ? \times 9$
$2516.2 = ? \times 9$
चरण $4$: $?$ का मान ज्ञात करने के लिए $9$ से भाग दें।
$? = 2516.2 / 9 \approx 279.57$
निकटतम पूर्णांक में बदलने पर,हमें $? \approx 280$ प्राप्त होता है।

(C) लगभग मान ज्ञात करने के लिए,हम व्यंजक को सरल करते हैं:
$? = \frac{989}{34} \times \frac{869}{65} \times \frac{515}{207}$
मानों का सन्निकटन (approximation) करने पर:
$\frac{989}{34} \approx 29.08$
$\frac{869}{65} \approx 13.37$
$\frac{515}{207} \approx 2.48$
गुणा करने पर: $29.08 \times 13.37 \times 2.48 \approx 964.3$
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $970$ है।

(D) लगभग मान ज्ञात करने के लिए,हम संख्याओं को निकटतम पूर्णांक में बदलते हैं:
$(32.13) \approx 32$
$(23.96) \approx 24$
$(17.11) \approx 17$
अब,इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करें:
$? = (32)^{2} + (24)^{2} - (17)^{2}$
वर्गों की गणना करें:
$? = 1024 + 576 - 289$
योग और घटाव करें:
$? = 1600 - 289$
$? = 1311$
दिए गए विकल्पों में से सबसे निकटतम मान $1310$ है।

(D) $4-\frac{5}{1+\frac{1}{3+\frac{1}{2+\frac{1}{4}}}}$ व्यंजक को हल करने के लिए,हम नीचे से ऊपर की ओर सरलीकरण करेंगे।
सबसे पहले,सबसे निचले भिन्न को सरल करने पर: $2+\frac{1}{4} = \frac{8+1}{4} = \frac{9}{4}$.
इसके बाद,इस मान को वापस रखने पर: $3+\frac{1}{9/4} = 3+\frac{4}{9} = \frac{27+4}{9} = \frac{31}{9}$.
फिर,इस मान को वापस रखने पर: $1+\frac{1}{31/9} = 1+\frac{9}{31} = \frac{31+9}{31} = \frac{40}{31}$.
अंत में,इस मान को मुख्य व्यंजक में रखने पर: $4-\frac{5}{40/31} = 4-\frac{5 \times 31}{40} = 4-\frac{155}{40} = 4-\frac{31}{8}$.
अंतिम मान की गणना करने पर: $\frac{32-31}{8} = \frac{1}{8}$.

(C) माना कि $x = 1 . \overline{27} = 1.272727...$ (समीकरण $1$)
चूंकि दो अंक दोहराए जा रहे हैं,इसलिए दोनों पक्षों को $100$ से गुणा करने पर:
$100x = 127.272727...$ (समीकरण $2$)
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ को घटाने पर:
$100x - x = 127.272727... - 1.272727...$
$99x = 126$
$x = \frac{126}{99}$
अंश और हर को $9$ से विभाजित करने पर:
$x = \frac{14}{11}$

(B) दिया गया समीकरण: $2p + \frac{1}{p} = 4$.
पूरे समीकरण को $2$ से विभाजित करने पर:
$p + \frac{1}{2p} = 2$.
अब,समीकरण के दोनों पक्षों का घन (cube) करने पर:
$\left(p + \frac{1}{2p}\right)^{3} = 2^{3}$.
सर्वसमिका $(a + b)^{3} = a^{3} + b^{3} + 3ab(a + b)$ का उपयोग करने पर:
$p^{3} + \left(\frac{1}{2p}\right)^{3} + 3(p)\left(\frac{1}{2p}\right)\left(p + \frac{1}{2p}\right) = 8$.
$p^{3} + \frac{1}{8p^{3}} + \frac{3}{2}\left(p + \frac{1}{2p}\right) = 8$.
समीकरण में $p + \frac{1}{2p} = 2$ का मान रखने पर:
$p^{3} + \frac{1}{8p^{3}} + \frac{3}{2}(2) = 8$.
$p^{3} + \frac{1}{8p^{3}} + 3 = 8$.
$p^{3} + \frac{1}{8p^{3}} = 8 - 3 = 5$.

(D) व्यंजक $(0.1 \times 0.01 \times 0.001 \times 10^{7})$ को हल करने के लिए,हम पहले दशमलव संख्याओं को $10$ की घातों के रूप में बदलते हैं।
$0.1 = 10^{-1}$
$0.01 = 10^{-2}$
$0.001 = 10^{-3}$
अब,इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करें:
$10^{-1} \times 10^{-2} \times 10^{-3} \times 10^{7}$
घातांक के नियम $a^{m} \times a^{n} = a^{m+n}$ का उपयोग करते हुए,हम घातों को जोड़ते हैं:
$10^{(-1 + -2 + -3 + 7)} = 10^{(-6 + 7)} = 10^{1} = 10$.

(C) दी गई व्यंजक: $\left[\left(\sqrt[5]{x^{-3 / 5}}\right)^{-5 / 3}\right]^{5}$
घातांक के नियम $\sqrt[n]{a} = a^{1/n}$ का उपयोग करते हुए,$\sqrt[5]{x^{-3/5}} = (x^{-3/5})^{1/5} = x^{-3/25}$ लिखा जा सकता है।
अब,घात के घात के नियम $(a^m)^n = a^{m \times n}$ को बार-बार लागू करने पर:
$= \left( (x^{-3/5})^{1/5} \right)^{-5/3 \times 5}$
$= (x^{-3/5})^{1/5 \times -5/3 \times 5}$
$= (x^{-3/5})^{-25/15}$
$= (x^{-3/5})^{-5/3}$
$= x^{(-3/5) \times (-5/3)}$
$= x^{1} = x$.

(A) दी गई व्यंजक $\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1-\frac{1}{4}\right)\left(1-\frac{1}{5}\right) \ldots \left(1-\frac{1}{25}\right)$ है।
प्रत्येक पद को सरल करने पर:
$= \left(\frac{3-1}{3}\right) \times \left(\frac{4-1}{4}\right) \times \left(\frac{5-1}{5}\right) \times \ldots \times \left(\frac{25-1}{25}\right)$
$= \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \frac{4}{5} \times \ldots \times \frac{23}{24} \times \frac{24}{25}$
इस पैटर्न को देखने पर,प्रत्येक भिन्न का अंश उसके अगले भिन्न के हर से कट जाता है।
$= \frac{2}{{3}} \times \frac{{3}}{{4}} \times \frac{{4}}{{5}} \times \ldots \times \frac{{24}}{25}$
$= \frac{2}{25}$

(B) दिया गया समीकरण: $\frac{\sqrt{3+x}+\sqrt{3-x}}{\sqrt{3+x}-\sqrt{3-x}}=2$
हर का परिमेयकरण करने पर:
$\frac{(\sqrt{3+x}+\sqrt{3-x})^2}{(\sqrt{3+x}-\sqrt{3-x})(\sqrt{3+x}+\sqrt{3-x})} = 2$
$\frac{(3+x) + (3-x) + 2\sqrt{(3+x)(3-x)}}{(3+x) - (3-x)} = 2$
$\frac{6 + 2\sqrt{9-x^2}}{2x} = 2$
$\frac{2(3 + \sqrt{9-x^2})}{2x} = 2$
$3 + \sqrt{9-x^2} = 2x$
$\sqrt{9-x^2} = 2x - 3$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$9 - x^2 = (2x - 3)^2$
$9 - x^2 = 4x^2 - 12x + 9$
$5x^2 - 12x = 0$
$x(5x - 12) = 0$
अतः,$x = \frac{12}{5}$ (क्योंकि $x=0$ मूल समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है)।

(C) माना $x = 0.121212 \ldots$ (समीकरण $1$)
चूंकि यहाँ दो अंकों की पुनरावृत्ति हो रही है,इसलिए दोनों पक्षों को $100$ से गुणा करने पर:
$100x = 12.121212 \ldots$ (समीकरण $2$)
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ को घटाने पर:
$100x - x = 12.121212 \ldots - 0.121212 \ldots$
$99x = 12$
$x = \frac{12}{99}$
अंश और हर को उनके महत्तम समापवर्तक $3$ से विभाजित करने पर:
$x = \frac{12 \div 3}{99 \div 3} = \frac{4}{33}$

(B) सबसे पहले,मिश्र भिन्नों को विषम भिन्नों में बदलें:
$3 \frac{3}{4} = \frac{15}{4}$,$4 \frac{2}{5} = \frac{22}{5}$,और $3 \frac{1}{8} = \frac{25}{8}$.
अब,व्यंजक इस प्रकार होगा: $\frac{15}{4} + \frac{22}{5} - \frac{25}{8}$.
हर $4, 5, \text{ और } 8$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $40$ है।
प्रत्येक भिन्न को इस प्रकार बदलें कि हर $40$ हो जाए:
$\frac{15 \times 10}{4 \times 10} = \frac{150}{40}$,$\frac{22 \times 8}{5 \times 8} = \frac{176}{40}$,और $\frac{25 \times 5}{8 \times 5} = \frac{125}{40}$.
अब,जोड़ और घटाव करें:
$\frac{150 + 176 - 125}{40} = \frac{326 - 125}{40} = \frac{201}{40}$.
अंत में,$\frac{201}{40}$ को वापस मिश्र भिन्न में बदलें:
$201 \div 40 = 5$ और शेषफल $1$ बचता है,इसलिए $\frac{201}{40} = 5 \frac{1}{40}$.

(D) दिया गया समीकरण: $\sqrt{5^{2} \times 14 - 6 \times 7 + (4)^{?}} = 18$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$5^{2} \times 14 - 6 \times 7 + (4)^{?} = (18)^{2}$
मानों की गणना करने पर:
$25 \times 14 - 42 + (4)^{?} = 324$
$350 - 42 + (4)^{?} = 324$
$308 + (4)^{?} = 324$
अज्ञात पद को अलग करने पर:
$(4)^{?} = 324 - 308$
$(4)^{?} = 16$
$16$ को $4$ की घात के रूप में लिखने पर:
$(4)^{?} = 4^{2}$
अतः,$? = 2$. चूंकि $2$ विकल्पों $A, B, C$ में नहीं है,इसलिए सही उत्तर $D$ है।

(A) दिया गया है: $x^{1/3} + y^{1/3} = z^{1/3}$ ......$(1)$
समीकरण के दोनों पक्षों का घन करने पर:
$(x^{1/3} + y^{1/3})^3 = (z^{1/3})^3$
सर्वसमिका $(a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b)$ का उपयोग करने पर:
$x + y + 3x^{1/3}y^{1/3}(x^{1/3} + y^{1/3}) = z$
समीकरण $(1)$ से $x^{1/3} + y^{1/3} = z^{1/3}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$x + y + 3x^{1/3}y^{1/3}z^{1/3} = z$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$x + y - z = -3x^{1/3}y^{1/3}z^{1/3}$
पुनः दोनों पक्षों का घन करने पर:
$(x + y - z)^3 = (-3x^{1/3}y^{1/3}z^{1/3})^3$
$(x + y - z)^3 = -27xyz$
अतः:
$(x + y - z)^3 + 27xyz = 0$

(C) माना कि $x = \sqrt{7 \sqrt{7 \sqrt{7 \cdots}}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$x^2 = 7 \sqrt{7 \sqrt{7 \cdots}} = 7x$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x \neq 0$,इसलिए $x = 7$ होगा।
दिया गया समीकरण $(343)^{y-1} = 7$ है।
हम जानते हैं कि $343 = 7^3$,इसलिए $(7^3)^{y-1} = 7^1$ होगा।
यह $7^{3(y-1)} = 7^1$ के रूप में सरल हो जाता है।
घातांकों की तुलना करने पर,$3(y-1) = 1$ प्राप्त होता है।
$3y - 3 = 1 \Rightarrow 3y = 4$।
अतः,$y = \frac{4}{3}$।

(C) दिए गए समीकरण $a+b+c=1$ और $ab+bc+ca=\frac{1}{3}$ हैं।
हम सर्वसमिका $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$ जानते हैं।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $(1)^2 = a^2+b^2+c^2+2(\frac{1}{3})$.
$1 = a^2+b^2+c^2+\frac{2}{3} \Rightarrow a^2+b^2+c^2 = 1-\frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
अब,व्यंजक $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 = 2(a^2+b^2+c^2) - 2(ab+bc+ca)$ पर विचार करें।
मान रखने पर: $2(\frac{1}{3}) - 2(\frac{1}{3}) = 0$.
चूंकि वर्गों का योग शून्य है,इसलिए प्रत्येक पद शून्य होना चाहिए: $a-b=0, b-c=0, c-a=0$.
अतः,$a=b=c$.
चूंकि $a+b+c=1$,हमारे पास $3a=1$ है,इसलिए $a=b=c=\frac{1}{3}$.
अतः,अनुपात $a:b:c = \frac{1}{3}:\frac{1}{3}:\frac{1}{3} = 1:1:1$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $a^{2}+b^{2}+\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}=4$
हम पदों को इस प्रकार पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं:
$(a^{2}-2+\frac{1}{a^{2}})+(b^{2}-2+\frac{1}{b^{2}})=0$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$(a-\frac{1}{a})^{2}+(b-\frac{1}{b})^{2}=0$
चूंकि वास्तविक संख्याओं के वर्गों का योग शून्य तभी होता है जब प्रत्येक पद शून्य हो:
$(a-\frac{1}{a})=0 \Rightarrow a^{2}=1$
$(b-\frac{1}{b})=0 \Rightarrow b^{2}=1$
अतः,$a^{2}+b^{2}$ का मान $1+1 = 2$ होगा।

(D) दिया गया है कि $(x + \frac{1}{x})^2 = 3$ है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $(x + \frac{1}{x}) = \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि बीजीय सर्वसमिका $(a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b)$ होती है।
$a = x$ और $b = \frac{1}{x}$ रखने पर:
$(x + \frac{1}{x})^3 = x^3 + \frac{1}{x^3} + 3(x)(\frac{1}{x})(x + \frac{1}{x})$ प्राप्त होता है।
$(x + \frac{1}{x}) = \sqrt{3}$ का मान रखने पर:
$(\sqrt{3})^3 = x^3 + \frac{1}{x^3} + 3(1)(\sqrt{3})$
$3\sqrt{3} = x^3 + \frac{1}{x^3} + 3\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों से $3\sqrt{3}$ घटाने पर:
$x^3 + \frac{1}{x^3} = 3\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = 0$।

(A) माना कि $x = 0.1$ और $y = 0.02$ है।
दी गई अभिव्यक्ति $\frac{x^3 + y^3}{(2x)^3 + (2y)^3}$ है।
हम जानते हैं कि $(2x)^3 = 8x^3$ और $(2y)^3 = 8y^3$ होता है।
इन मानों को अभिव्यक्ति में रखने पर,हमें $\frac{x^3 + y^3}{8x^3 + 8y^3}$ प्राप्त होता है।
हर (denominator) से $8$ कॉमन लेने पर,हमें $\frac{x^3 + y^3}{8(x^3 + y^3)}$ प्राप्त होता है।
समान पद $(x^3 + y^3)$ को काटने पर,हमारे पास $\frac{1}{8}$ बचता है।
दशमलव मान की गणना करने पर,$\frac{1}{8} = 0.125$ होता है।

(A) दिया गया समीकरण $x+\frac{1}{x}=2$ है।
दोनों पक्षों को $x$ से गुणा करने पर,हमें $x^2+1=2x$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $x^2-2x+1=0$ मिलता है।
यह एक पूर्ण वर्ग है: $(x-1)^2=0$,जिसका अर्थ है कि $x=1$ है।
अब,$x=1$ को व्यंजक $x^{100}+\frac{1}{x^{100}}$ में रखने पर:
$1^{100}+\frac{1}{1^{100}} = 1+1 = 2$.
अतः,इसका मान $2$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $x^{3}+3x^{2}+3x=7$
$x$ का मान ज्ञात करने के लिए,समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें ताकि घन पूर्ण हो सके:
$x^{3}+3x^{2}+3x+1 = 7+1$
बीजगणितीय सर्वसमिका $(a+b)^{3} = a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$ का उपयोग करते हुए,हम बाएँ पक्ष को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$(x+1)^{3} = 8$
चूँकि $8 = 2^{3}$,इसलिए:
$(x+1)^{3} = 2^{3}$
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर:
$x+1 = 2$
अतः:
$x = 2-1 = 1$

(B) दिया गया है कि $2x + \frac{2}{x} = 1$ है।
पूरे समीकरण को $2$ से विभाजित करने पर,हमें $x + \frac{1}{x} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि बीजीय सर्वसमिका $(a + b)^{3} = a^{3} + b^{3} + 3ab(a + b)$ होती है।
$x + \frac{1}{x}$ के लिए इस सर्वसमिका का उपयोग करने पर,$(x + \frac{1}{x})^{3} = x^{3} + \frac{1}{x^{3}} + 3(x)(\frac{1}{x})(x + \frac{1}{x})$ प्राप्त होता है।
$x + \frac{1}{x} = \frac{1}{2}$ का मान रखने पर:
$(\frac{1}{2})^{3} = x^{3} + \frac{1}{x^{3}} + 3(1)(\frac{1}{2})$.
$\frac{1}{8} = x^{3} + \frac{1}{x^{3}} + \frac{3}{2}$.
$x^{3} + \frac{1}{x^{3}} = \frac{1}{8} - \frac{3}{2}$.
$x^{3} + \frac{1}{x^{3}} = \frac{1 - 12}{8} = -\frac{11}{8}$.

(A) सबसे पहले,हर (denominator) में दिए गए वर्गमूल के पदों का सरलीकरण करें।
$\sqrt{16+6 \sqrt{7}} = \sqrt{9+7+2 \times 3 \times \sqrt{7}} = \sqrt{3^2 + (\sqrt{7})^2 + 2 \times 3 \times \sqrt{7}} = \sqrt{(3+\sqrt{7})^2} = 3+\sqrt{7}$.
इसी प्रकार,$\sqrt{16-6 \sqrt{7}} = \sqrt{9+7-2 \times 3 \times \sqrt{7}} = \sqrt{(3-\sqrt{7})^2} = 3-\sqrt{7}$.
अब,इन मानों को हर में प्रतिस्थापित करें:
$\sqrt{16+6 \sqrt{7}} - \sqrt{16-6 \sqrt{7}} = (3+\sqrt{7}) - (3-\sqrt{7}) = 3 + \sqrt{7} - 3 + \sqrt{7} = 2\sqrt{7}$.
अंत में,इस मान को मूल व्यंजक में रखने पर:
$\frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{7}} = \frac{1}{2}$.

(C) दिया गया समीकरण: $2x + \frac{1}{3x} = 6$
$3x + \frac{1}{2x}$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम दिए गए समीकरण को $\frac{3}{2}$ से गुणा करेंगे:
$\frac{3}{2} \times (2x + \frac{1}{3x}) = \frac{3}{2} \times 6$
बाईं ओर $\frac{3}{2}$ का वितरण करने पर:
$(\frac{3}{2} \times 2x) + (\frac{3}{2} \times \frac{1}{3x}) = 9$
$3x + \frac{1}{2x} = 9$
अतः,इसका मान $9$ है।

(A) दिया गया है कि $x=(\sqrt{2}-1)^{-1/2}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है $x^2 = ((\sqrt{2}-1)^{-1/2})^2 = (\sqrt{2}-1)^{-1} = \frac{1}{\sqrt{2}-1}$।
$x^2$ के लिए हर का परिमेयकरण करने पर: $x^2 = \frac{1}{\sqrt{2}-1} \times \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1} = \frac{\sqrt{2}+1}{2-1} = \sqrt{2}+1$।
अब,$\frac{1}{x^2}$ का मान ज्ञात करें: $\frac{1}{x^2} = \frac{1}{\sqrt{2}+1} = \frac{1}{\sqrt{2}+1} \times \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1} = \frac{\sqrt{2}-1}{2-1} = \sqrt{2}-1$।
अंत में,$x^2 - \frac{1}{x^2} = (\sqrt{2}+1) - (\sqrt{2}-1) = \sqrt{2} + 1 - \sqrt{2} + 1 = 2$।

(B) दी गई व्यंजक $\frac{3}{4} \times (1+\frac{1}{3}) \times (1+\frac{2}{3}) \times (1-\frac{2}{5}) \times (1+\frac{6}{7}) \times (1-\frac{12}{13})$ है।
सबसे पहले,कोष्ठक के भीतर प्रत्येक पद को सरल करें:
$(1+\frac{1}{3}) = \frac{4}{3}$
$(1+\frac{2}{3}) = \frac{5}{3}$
$(1-\frac{2}{5}) = \frac{3}{5}$
$(1+\frac{6}{7}) = \frac{13}{7}$
$(1-\frac{12}{13}) = \frac{1}{13}$
अब,इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करें:
$= \frac{3}{4} \times \frac{4}{3} \times \frac{5}{3} \times \frac{3}{5} \times \frac{13}{7} \times \frac{1}{13}$
अंश और हर में समान पदों को काटने पर:
$= (\frac{3}{4} \times \frac{4}{3}) \times (\frac{5}{3} \times \frac{3}{5}) \times (\frac{13}{7} \times \frac{1}{13})$
$= 1 \times 1 \times \frac{1}{7} = \frac{1}{7}$.

(C) माना $a = 0.87$ और $b = 0.13$ है।
दिया गया व्यंजक $\frac{a^{3} + b^{3}}{a^{2} + b^{2} - ab}$ के रूप में है।
बीजगणितीय सर्वसमिका $a^{3} + b^{3} = (a + b)(a^{2} + b^{2} - ab)$ का उपयोग करते हुए,हम व्यंजक को सरल कर सकते हैं:
$\frac{(a + b)(a^{2} + b^{2} - ab)}{a^{2} + b^{2} - ab} = a + b$.
अब $a$ और $b$ के मानों को वापस रखने पर:
$0.87 + 0.13 = 1$.
अतः,व्यंजक का मान $1$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $x^{2}+y^{2}-2x+6y+10=0$
पूर्ण वर्ग बनाने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$(x^{2}-2x+1) + (y^{2}+6y+9) = 0$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$(x-1)^{2} + (y+3)^{2} = 0$
चूंकि किसी भी वास्तविक संख्या का वर्ग हमेशा गैर-ऋणात्मक (non-negative) होता है,इसलिए दो गैर-ऋणात्मक संख्याओं का योग शून्य तभी हो सकता है जब प्रत्येक पद शून्य हो।
अतः:
$(x-1)^{2} = 0 \implies x = 1$
$(y+3)^{2} = 0 \implies y = -3$
अब,$(x^{2}+y^{2})$ का मान ज्ञात करते हैं:
$x^{2}+y^{2} = (1)^{2} + (-3)^{2}$
$x^{2}+y^{2} = 1 + 9 = 10$

(C) दिया गया समीकरण: $23 \times 15 - 60 + \frac{?}{31} = 292$
चरण $1$: गुणनफल $23 \times 15 = 345$ की गणना करें।
चरण $2$: इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करें: $345 - 60 + \frac{?}{31} = 292$।
चरण $3$: व्यंजक को सरल करें: $285 + \frac{?}{31} = 292$।
चरण $4$: प्रश्न चिह्न वाले पद को अलग करें: $\frac{?}{31} = 292 - 285$।
चरण $5$: अंतर की गणना करें: $\frac{?}{31} = 7$।
चरण $6$: $?$ के लिए हल करें: $? = 7 \times 31 = 217$।

(B) $3 \frac{3}{4} + 4 \frac{2}{5} - 3 \frac{1}{8}$ व्यंजक को हल करने के लिए,हम पूर्णांकों और भिन्नों को अलग करते हैं:
$? = (3 + 4 - 3) + \left( \frac{3}{4} + \frac{2}{5} - \frac{1}{8} \right)$
सबसे पहले,पूर्णांकों को हल करें: $(3 + 4 - 3) = 4$.
इसके बाद,हर $4, 5,$ और $8$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ ज्ञात करें,जो $40$ है।
भिन्नों को परिवर्तित करें:
$\frac{3}{4} = \frac{30}{40}$
$\frac{2}{5} = \frac{16}{40}$
$\frac{1}{8} = \frac{5}{40}$
अब,भिन्नों को संयोजित करें:
$\frac{30 + 16 - 5}{40} = \frac{41}{40} = 1 \frac{1}{40}$
अंत में,पूर्णांक भाग और भिन्न भाग को जोड़ें:
$4 + 1 \frac{1}{40} = 5 \frac{1}{40}$.

(A) व्यंजक $\frac{343 \times 49}{216 \times 16 \times 81}$ को हल करने के लिए,प्रत्येक संख्या को उसके अभाज्य गुणनखंडों की घात के रूप में व्यक्त करें:
$343 = 7^{3}$
$49 = 7^{2}$
$216 = 6^{3}$
$16 = 2^{4}$
$81 = 3^{4}$
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{7^{3} \times 7^{2}}{6^{3} \times 2^{4} \times 3^{4}}$
चूंकि $2^{4} \times 3^{4} = (2 \times 3)^{4} = 6^{4}$,इसलिए व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:
$\frac{7^{3+2}}{6^{3} \times 6^{4}} = \frac{7^{5}}{6^{3+4}} = \frac{7^{5}}{6^{7}}$

(C) माना कि लुप्त संख्या $x$ है।
दिया गया समीकरण: $6 \frac{1}{7} + 15 \frac{2}{3} + 11 \frac{1}{6} = 33 \frac{1}{21} - x$.
मिश्रित भिन्नों को विषम भिन्नों में बदलने पर:
$6 \frac{1}{7} = \frac{43}{7}$,$15 \frac{2}{3} = \frac{47}{3}$,$11 \frac{1}{6} = \frac{67}{6}$,$33 \frac{1}{21} = \frac{694}{21}$.
बाएँ पक्ष का योग: $\frac{43}{7} + \frac{47}{3} + \frac{67}{6}$.
$7, 3, 6$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $42$ है।
$= \frac{43 \times 6 + 47 \times 14 + 67 \times 7}{42} = \frac{258 + 658 + 469}{42} = \frac{1385}{42}$.
अब,$x = \frac{694}{21} - \frac{1385}{42}$.
$= \frac{1388 - 1385}{42} = \frac{3}{42} = \frac{1}{14}$.
अतः,लुप्त मान $\frac{1}{14}$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $57 \frac{4}{7} + 29 \frac{1}{21} + ? = 90 \frac{3}{35}$
अज्ञात पद '$?$' को अलग करने पर:
$? = 90 \frac{3}{35} - 57 \frac{4}{7} - 29 \frac{1}{21}$
पूर्णांक संख्याओं और भिन्नों को अलग करने पर:
$? = (90 - 57 - 29) + (\frac{3}{35} - \frac{4}{7} - \frac{1}{21})$
पूर्णांक भाग की गणना:
$90 - 57 - 29 = 4$
भिन्नों के लिए लघुत्तम समापवर्त्य $(35, 7, 21)$ ज्ञात करें,जो $105$ है:
$\frac{3}{35} = \frac{9}{105}, \frac{4}{7} = \frac{60}{105}, \frac{1}{21} = \frac{5}{105}$
भिन्नों को हल करने पर:
$\frac{9}{105} - \frac{60}{105} - \frac{5}{105} = \frac{9 - 65}{105} = -\frac{56}{105}$
समीकरण का सरलीकरण:
$? = 4 - \frac{56}{105} = 3 + (1 - \frac{56}{105}) = 3 + \frac{49}{105}$
$\frac{49}{105}$ को $7$ से विभाजित करने पर:
$\frac{49 \div 7}{105 \div 7} = \frac{7}{15}$
अतः,$? = 3 \frac{7}{15}$.

(C) माना कि लुप्त संख्या $x$ है।
$12 \frac{5}{7} + 23 \frac{3}{5} - 14 \frac{1}{3} = 28 \frac{4}{7} - x$
$x = 28 \frac{4}{7} + 14 \frac{1}{3} - 23 \frac{3}{5} - 12 \frac{5}{7}$
पूर्णांक संख्याओं और भिन्नों को अलग करें:
$x = (28 + 14 - 23 - 12) + (\frac{4}{7} + \frac{1}{3} - \frac{3}{5} - \frac{5}{7})$
$x = 7 + (\frac{4}{7} - \frac{5}{7} + \frac{1}{3} - \frac{3}{5})$
$x = 7 + (-\frac{1}{7} + \frac{5 - 9}{15})$
$x = 7 - \frac{1}{7} - \frac{4}{15}$
भिन्नों के लिए सामान्य हर $(105)$ ज्ञात करें:
$x = 7 - (\frac{15 + 28}{105})$
$x = 7 - \frac{43}{105}$
$x = 6 + (1 - \frac{43}{105}) = 6 + \frac{62}{105} = 6 \frac{62}{105}$

(A) दी गई अभिव्यक्ति: $7^{5} \div 7^{3} \div 7^{2} \times 7^{4} \times \frac{1}{7^{3}} = 7^{?}$
घातांक के नियमों का उपयोग करते हुए,$a^{m} \div a^{n} = a^{m-n}$ और $a^{m} \times a^{n} = a^{m+n}$.
साथ ही,$\frac{1}{7^{3}} = 7^{-3}$ होता है।
इन मानों को अभिव्यक्ति में रखने पर:
$7^{5-3-2+4-3} = 7^{?}$
घातांक की गणना करने पर: $5 - 3 - 2 + 4 - 3 = 1$.
अतः,$7^{1} = 7^{?}$.
घातांकों की तुलना करने पर,$?$ का मान $1$ प्राप्त होता है।

(C) माना कि लुप्त संख्या $x$ है।
दिया गया समीकरण: $13 \frac{4}{x} + (5 \frac{3}{4} \text{ of } 3 \frac{1}{5}) \div 4 \frac{3}{5} = 17 \frac{4}{5}$
सबसे पहले,'of' (का) संक्रिया को हल करें: $5 \frac{3}{4} \text{ of } 3 \frac{1}{5} = \frac{23}{4} \times \frac{16}{5} = \frac{23 \times 4}{5} = \frac{92}{5} = 18 \frac{2}{5}$।
अब,भाग की संक्रिया करें: $(18 \frac{2}{5}) \div 4 \frac{3}{5} = \frac{92}{5} \div \frac{23}{5} = \frac{92}{5} \times \frac{5}{23} = 4$।
इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $13 \frac{4}{x} + 4 = 17 \frac{4}{5}$।
दोनों पक्षों से $4$ घटाने पर: $13 \frac{4}{x} = 17 \frac{4}{5} - 4 = 13 \frac{4}{5}$।
दोनों पक्षों की तुलना करने पर,हमें $x = 5$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया समीकरण: $47 \frac{1}{17} \div 1 \frac{49}{51} + 23 \frac{5}{7} + ? = 67 \frac{4}{9}$
मिश्रित भिन्नों को अनुचित भिन्नों में बदलें:
$\frac{800}{17} \div \frac{100}{51} + \frac{166}{7} + ? = \frac{607}{9}$
भाग की प्रक्रिया करें:
$\frac{800}{17} \times \frac{51}{100} + \frac{166}{7} + ? = \frac{607}{9}$
$8 \times 3 + \frac{166}{7} + ? = \frac{607}{9}$
$24 + \frac{166}{7} + ? = \frac{607}{9}$
चर $?$ को अलग करें:
$? = \frac{607}{9} - 24 - \frac{166}{7}$
समान हर $(63)$ ज्ञात करें:
$? = \frac{607 \times 7 - 24 \times 63 - 166 \times 9}{63}$
$? = \frac{4249 - 1512 - 1494}{63} = \frac{1243}{63}$
मिश्रित भिन्न में बदलें:
$? = 19 \frac{46}{63}$

(C) दिया गया समीकरण: $22 \frac{2}{9} + 33 \frac{4}{7} - ? = 28 \frac{4}{45}$
$?$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $? = 22 \frac{2}{9} + 33 \frac{4}{7} - 28 \frac{4}{45}$
पूर्णांक संख्याओं और भिन्नों को अलग करने पर: $? = (22 + 33 - 28) + (\frac{2}{9} + \frac{4}{7} - \frac{4}{45})$
पूर्णांक भाग की गणना: $22 + 33 - 28 = 27$
भिन्नों के लिए सामान्य हर $(9, 7, 45)$ ज्ञात करने पर: $9, 7, 45$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $315$ है।
भिन्नों का रूपांतरण: $\frac{2}{9} = \frac{70}{315}$,$\frac{4}{7} = \frac{180}{315}$,$\frac{4}{45} = \frac{28}{315}$
भिन्नों को संयोजित करने पर: $\frac{70 + 180 - 28}{315} = \frac{222}{315}$
भिन्न को सरल करने पर: $\frac{222 \div 3}{315 \div 3} = \frac{74}{105}$
परिणाम: $27 + \frac{74}{105} = 27 \frac{74}{105}$

(C) सबसे पहले,पूर्णांक संख्याओं और भिन्नों को अलग करें:
$1 + 1 + 1 + \frac{4}{7} + \frac{3}{5} + \frac{1}{3}$
$= 3 + \left( \frac{4}{7} + \frac{3}{5} + \frac{1}{3} \right)$
भिन्नों को जोड़ने के लिए,$7, 5$ और $3$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ ज्ञात करें,जो $105$ है।
$= 3 + \left( \frac{4 \times 15 + 3 \times 21 + 1 \times 35}{105} \right)$
$= 3 + \left( \frac{60 + 63 + 35}{105} \right)$
$= 3 + \frac{158}{105}$
चूंकि $\frac{158}{105} = 1 \frac{53}{105}$,इसलिए:
$= 3 + 1 + \frac{53}{105} = 4 \frac{53}{105}$

(A) व्यंजक $12 \frac{1}{3} + 10 \frac{5}{6} - 7 \frac{2}{3} - 1 \frac{4}{7}$ को हल करने के लिए,हम पूर्णांकों और भिन्नों को अलग करते हैं।
चरण $1$: पूर्णांकों और भिन्नों को अलग करें:
$= (12 + 10 - 7 - 1) + (\frac{1}{3} + \frac{5}{6} - \frac{2}{3} - \frac{4}{7})$
चरण $2$: पूर्णांकों का योग करें:
$= 14 + (\frac{1}{3} + \frac{5}{6} - \frac{2}{3} - \frac{4}{7})$
चरण $3$: भिन्नों $(3, 6, 7)$ के लिए उभयनिष्ठ हर ज्ञात करें। लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $42$ है:
$= 14 + (\frac{14}{42} + \frac{35}{42} - \frac{28}{42} - \frac{24}{42})$
चरण $4$: भिन्न वाले भाग को सरल करें:
$= 14 + (\frac{14 + 35 - 28 - 24}{42}) = 14 + (\frac{-3}{42})$
चरण $5$: अंतिम गणना:
$= 14 - \frac{1}{14} = 13 + (1 - \frac{1}{14}) = 13 \frac{13}{14}$

(C) दी गई व्यंजक $4 \frac{3}{4} + 2 \frac{1}{8} + 7 \frac{1}{4} + 3 \frac{7}{8} + 11 \frac{12}{13}$ को हल करने के लिए,हम पूर्णांकों और भिन्नों को अलग-अलग समूहों में विभाजित करते हैं।
सबसे पहले,पदों को समूहित करें:
$= (4 + 7 + 2 + 3 + 11) + (\frac{3}{4} + \frac{1}{4}) + (\frac{1}{8} + \frac{7}{8}) + \frac{12}{13}$
पूर्णांकों का योग ज्ञात करें:
$4 + 7 + 2 + 3 + 11 = 27$
भिन्नों का योग ज्ञात करें:
$(\frac{3}{4} + \frac{1}{4}) = \frac{4}{4} = 1$
$(\frac{1}{8} + \frac{7}{8}) = \frac{8}{8} = 1$
सभी परिणामों को जोड़ें:
$= 27 + 1 + 1 + \frac{12}{13} = 29 \frac{12}{13}$

(A) व्यंजक $7 \frac{11}{18} + 13 \frac{1}{9} + 5 \frac{7}{9} - 16 \frac{2}{3}$ को हल करने के लिए,हम पूर्णांकों और भिन्नों को अलग करते हैं:
$= (7 + 13 + 5 - 16) + \left( \frac{11}{18} + \frac{1}{9} + \frac{7}{9} - \frac{2}{3} \right)$
सबसे पहले,पूर्णांकों का योग और घटाव करें:
$7 + 13 + 5 - 16 = 9$
इसके बाद,भिन्नों के लिए उभयनिष्ठ हर (common denominator) $18$ लें:
$= \frac{11}{18} + \frac{2}{18} + \frac{14}{18} - \frac{12}{18}$
$= \frac{11 + 2 + 14 - 12}{18} = \frac{15}{18}$
भिन्न $\frac{15}{18}$ को अंश और हर को $3$ से विभाजित करके सरल करें:
$= \frac{5}{6}$
पूर्णांक और भिन्न को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$= 9 \frac{5}{6}$

(A) माना कि लुप्त मान $x$ है।
$1 \frac{7}{9} + 3 \frac{5}{8} - 2 \frac{1}{18} + 4 \frac{7}{16} - 9 \frac{5}{18} + x = 0$
पूर्णांक संख्याओं और भिन्नों को अलग करें:
$(1 + 3 - 2 + 4 - 9) + (\frac{7}{9} + \frac{5}{8} - \frac{1}{18} + \frac{7}{16} - \frac{5}{18}) + x = 0$
$-3 + (\frac{7}{9} - \frac{6}{18}) + \frac{5}{8} + \frac{7}{16} + x = 0$
$-3 + (\frac{14 - 6}{18}) + \frac{10 + 7}{16} + x = 0$
$-3 + \frac{8}{18} + \frac{17}{16} + x = 0$
$-3 + \frac{4}{9} + \frac{17}{16} + x = 0$
$-3 + \frac{64 + 153}{144} + x = 0$
$-3 + \frac{217}{144} + x = 0$
$-3 + 1 \frac{73}{144} + x = 0$
$-1 \frac{71}{144} + x = 0$
$x = 1 \frac{71}{144}$

(C) दिया गया समीकरण: $425 \div 16.95 \times ? = 225$
$16.95$ को लगभग $17$ मानने पर,समीकरण इस प्रकार होगा:
$\frac{425}{17} \times ? = 225$
$425 \div 17$ की गणना करने पर:
$425 \div 17 = 25$
अब,इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$25 \times ? = 225$
$?$ के लिए हल करने पर:
$? = \frac{225}{25}$
$? = 9$