Simplification Questions in Hindi

(D) दिया गया समीकरण: $\sqrt{1+\frac{x}{144}} = \frac{13}{12}$
वर्गमूल को हटाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$1 + \frac{x}{144} = \left(\frac{13}{12}\right)^2$
$1 + \frac{x}{144} = \frac{169}{144}$
दोनों पक्षों से $1$ घटाने पर:
$\frac{x}{144} = \frac{169}{144} - 1$
$\frac{x}{144} = \frac{169 - 144}{144}$
$\frac{x}{144} = \frac{25}{144}$
दोनों पक्षों को $144$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x = 25$

(B) दिया गया है: $a = \sqrt{2} + 1$ और $b = \sqrt{2} - 1.$
हमें $\frac{1}{a + 1} + \frac{1}{b + 1}$ का मान ज्ञात करना है।
$a$ और $b$ के मान रखने पर:
$\frac{1}{(\sqrt{2} + 1) + 1} + \frac{1}{(\sqrt{2} - 1) + 1} = \frac{1}{\sqrt{2} + 2} + \frac{1}{\sqrt{2}}.$
सरल बनाने के लिए,पहले पद का परिमेयकरण (rationalization) करने पर:
$\frac{1}{\sqrt{2} + 2} \times \frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}} = \frac{2 - \sqrt{2}}{4 - 2} = \frac{2 - \sqrt{2}}{2} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}.$
अब दूसरा पद जोड़ने पर:
$(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}) + \frac{1}{\sqrt{2}} = 1.$
अतः,मान $1$ है।

(C) दिया गया है कि $x + \frac{1}{x} = \sqrt{13}$।
व्यंजक $\frac{3x}{x^2 - 1}$ के अंश और हर को $x$ से विभाजित करने पर:
$\frac{3x/x}{(x^2 - 1)/x} = \frac{3}{x - \frac{1}{x}}$।
हम जानते हैं कि $(x - \frac{1}{x})^2 = (x + \frac{1}{x})^2 - 4$।
मान रखने पर: $(x - \frac{1}{x})^2 = (\sqrt{13})^2 - 4 = 13 - 4 = 9$।
अतः,$x - \frac{1}{x} = \pm 3$।
इस मान को व्यंजक में रखने पर: $\frac{3}{\pm 3} = \pm 1$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $1$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $\sqrt{575} \div x \times 14.98^{2} = 450$
चरण $1$: मानों का सन्निकटन (approximation) करें। $\sqrt{575} \approx \sqrt{576} = 24$ और $14.98 \approx 15$ है।
चरण $2$: सन्निकट मानों को समीकरण में रखें: $24 \div x \times 15^{2} = 450$।
चरण $3$: समीकरण को सरल करें: $\frac{24}{x} \times 225 = 450$।
चरण $4$: $x$ के लिए हल करें: $\frac{24}{x} = \frac{450}{225}$।
चरण $5$: $\frac{24}{x} = 2$।
चरण $6$: $x = \frac{24}{2} = 12$।
अतः,सही उत्तर $12$ है।

(C) समीकरण $30.01^{2} - 19.98^{2} - ? = 21.81^{2}$ को हल करने के लिए,हम मानों को निकटतम पूर्णांकों में अनुमानित कर सकते हैं:
$30.01 \approx 30$
$19.98 \approx 20$
$21.81 \approx 22$
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$30^{2} - 20^{2} - x = 22^{2}$
वर्गों की गणना करने पर:
$900 - 400 - x = 484$
बाएँ पक्ष को सरल करने पर:
$500 - x = 484$
$x$ के लिए हल करने पर:
$x = 500 - 484$
$x = 16$

(B) $820.15 + 2379.85 + 140.01 \times 4.99$ समीकरण को हल करने के लिए,हम $BODMAS$ नियम का उपयोग करते हैं।
सबसे पहले,हम अनुमानित मान प्राप्त करने के लिए संख्याओं को उनके निकटतम पूर्णांकों में बदलते हैं:
$820.15 \approx 820$
$2379.85 \approx 2380$
$140.01 \approx 140$
$4.99 \approx 5$
अब,इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$820 + 2380 + (140 \times 5)$
$= 3200 + 700$
$= 3900$
अतः,प्रश्नवाचक चिह्न के स्थान पर $3900$ आना चाहिए।

(C) समीकरण को हल करने के लिए,हम मानों को निकटतम पूर्णांक में बदलते हैं:
$39.97 \% \approx 40 \% = 0.40$
$649.8 \approx 650$
$13.05 \approx 13$
$45.12 \approx 45$
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$0.40 \times 650 \div 13 = 45 - ?$
$260 \div 13 = 45 - ?$
$20 = 45 - ?$
$? = 45 - 20 = 25$
अतः,सही उत्तर $25$ है।

(D) समीकरण $(674.87 + 59.98) \div 35.02$ को हल करने के लिए,हम गणना को सरल बनाने हेतु सन्निकटन (approximation) का उपयोग करेंगे।
$674.87 \approx 675$
$59.98 \approx 60$
$35.02 \approx 35$
अब,इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करें:
$(675 + 60) \div 35$
$= 735 \div 35$
$= 21$
अतः,प्रश्नवाचक चिह्न के स्थान पर $21$ आना चाहिए।

(C) अनुमानित मान ज्ञात करने के लिए,हम संख्याओं को निकटतम पूर्णांकों में बदलते हैं:
$\frac{1810}{24} \times 8 + 11 \times 19 = x - 306$
सबसे पहले,भाग और गुणा की गणना करें:
$\frac{1810}{24} \approx 75.416$
$75.416 \times 8 \approx 603.33$
$11 \times 19 = 209$
अब,इन मानों को समीकरण में रखें:
$603 + 209 = x - 306$
$812 = x - 306$
$x$ के लिए हल करें:
$x = 812 + 306$
$x = 1118$

(A) दिया गया समीकरण: $2775 \times \frac{160}{\sqrt{x}} = 5550$
$\sqrt{x}$ का मान ज्ञात करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\sqrt{x} = \frac{2775 \times 160}{5550}$
चूंकि $2775 \times 2 = 5550$,हम भिन्न को सरल कर सकते हैं:
$\sqrt{x} = \frac{160}{2}$
$\sqrt{x} = 80$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$x = 80^2 = 6400$

(D) लगभग मान ज्ञात करने के लिए,हम संख्याओं को निकटतम पूर्णांकों में बदलते हैं:
$24.98 \approx 25$,$16.02 \approx 16$,$7.98 \approx 8$,$15.04 \approx 15$,$38.93 \approx 39$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$25^{2} \times \frac{16^{2}}{8 \times 15} \times 39 = 130 \times x^{2}$
$\frac{625 \times 256}{120} \times 39 = 130 \times x^{2}$
व्यंजक को सरल करने पर:
$\frac{625 \times 256 \times 39}{120} = 130 \times x^{2}$
$x^{2} = \frac{625 \times 256 \times 39}{120 \times 130}$
$x^{2} = \frac{625 \times 256 \times 39}{15600} = \frac{6240000}{15600} = 400$
$x = \sqrt{400} = 20$.

(D) लगभग मान ज्ञात करने के लिए,हम प्रतिशत और संख्याओं को राउंड ऑफ करते हैं:
$71.98 \% \approx 72 \%$
$35.06 \% \approx 35 \%$
समीकरण इस प्रकार होगा:
$1200$ का $72 \% + 270$ का $35 \% = 600$ का $x \%$
मानों की गणना करें:
$1200$ का $72 \% = 0.72 \times 1200 = 864$
$270$ का $35 \% = 0.35 \times 270 = 94.5$
इन मानों का योग:
$864 + 94.5 = 958.5$
अब,$x$ के लिए हल करें:
$958.5 = \frac{x}{100} \times 600$
$958.5 = 6x$
$x = \frac{958.5}{6} = 159.75$
निकटतम पूर्णांक में राउंड ऑफ करने पर,हमें $x \approx 160$ प्राप्त होता है।

(A) अनुमानित मान ज्ञात करने के लिए,हम संख्याओं को निकटतम पूर्णांकों में बदलते हैं:
$\frac{7702}{44} + 25 \times 46 = x \times 15$
सबसे पहले,भाग की गणना करें:
$7702 \div 44 \approx 175.045 \approx 175$
इसके बाद,गुणा की गणना करें:
$25 \times 46 = 1150$
अब,परिणामों को जोड़ें:
$175 + 1150 = 1325$
अंत में,$x$ के लिए हल करें:
$1325 = x \times 15$
$x = \frac{1325}{15} \approx 88.33$
निकटतम पूर्णांक में पूर्णांकित करने पर,हमें $x \approx 88$ प्राप्त होता है।

(D) मानों की तुलना करने के लिए,हम वर्गमूल के अनुमानित मानों का उपयोग करते हैं:
$\sqrt{2} \approx 1.414$
$\sqrt{3} \approx 1.732$
$\sqrt{5} \approx 2.236$
$\sqrt{6} \approx 2.449$
अब,योग की गणना करें:
$\sqrt{6} + \sqrt{2} \approx 2.449 + 1.414 = 3.863$
$\sqrt{5} + \sqrt{3} \approx 2.236 + 1.732 = 3.968$
दोनों योगों की तुलना करने पर:
$3.863 < 3.968$
इसलिए,$\sqrt{6} + \sqrt{2} < \sqrt{5} + \sqrt{3}$।
इसका अर्थ है कि कथन $(ii)$ सही है,जबकि कथन $(i)$ और $(iii)$ गलत हैं।

(B) माना $a = 0.67$ और $b = 0.33$ है।
दिया गया व्यंजक $\frac{a^3 - b^3}{a^2 + ab + b^2}$ के रूप में है।
बीजगणितीय सर्वसमिका $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ का उपयोग करते हुए,हम व्यंजक को सरल कर सकते हैं:
$\frac{(a - b)(a^2 + ab + b^2)}{a^2 + ab + b^2} = a - b$.
अब $a$ और $b$ के मान वापस रखने पर:
$a - b = 0.67 - 0.33 = 0.34$.

(B) सबसे पहले,हर (denominator) का सरलीकरण करें:
$\sqrt{7+4 \sqrt{3}} = \sqrt{7+2 \times 2 \times \sqrt{3}} = \sqrt{4+3+2 \times 2 \times \sqrt{3}} = \sqrt{(2+\sqrt{3})^{2}} = 2+\sqrt{3}$
$\sqrt{4+2 \sqrt{3}} = \sqrt{3+1+2 \times \sqrt{3} \times 1} = \sqrt{(\sqrt{3}+1)^{2}} = \sqrt{3}+1$
हर $= (2+\sqrt{3}) - (\sqrt{3}+1) = 2+\sqrt{3}-\sqrt{3}-1 = 1$
अब,अंश (numerator) का मान ज्ञात करने के लिए वर्गों के योग का सूत्र $\sum_{k=1}^{n} k^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ का उपयोग करें:
$1$ से $10$ तक के वर्गों का योग $= \frac{10(11)(21)}{6} = 385$
$1$ से $5$ तक के वर्गों का योग $= \frac{5(6)(11)}{6} = 55$
अंश $= 6^{2}+7^{2}+8^{2}+9^{2}+10^{2} = 385 - 55 = 330$
परिणाम $= \frac{330}{1} = 330$

(D) दिया गया है कि $\sqrt[3]{79507} = 43$.
हमें व्यंजक का मान ज्ञात करना है: $\sqrt[3]{79.507} + \sqrt[3]{0.079507} + \sqrt[3]{0.000079507}$.
$1$. $\sqrt[3]{79.507} = \sqrt[3]{\frac{79507}{1000}} = \frac{43}{10} = 4.3$.
$2$. $\sqrt[3]{0.079507} = \sqrt[3]{\frac{79507}{1000000}} = \frac{43}{100} = 0.43$.
$3$. $\sqrt[3]{0.000079507} = \sqrt[3]{\frac{79507}{1000000000}} = \frac{43}{1000} = 0.043$.
इन मानों को जोड़ने पर:
$4.3 + 0.43 + 0.043 = 4.773$.

(A) दी गई व्यंजक: $\frac{(0.064-0.008)(0.16-0.04)}{(0.16+0.08+0.04)(0.4+0.2)^{3}}$
पदों को $0.4$ और $0.2$ की घात के रूप में व्यक्त करें:
$0.064 = 0.4^{3}$,$0.008 = 0.2^{3}$,$0.16 = 0.4^{2}$,$0.04 = 0.2^{2}$,$0.08 = 0.4 \times 0.2$
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करें:
अंश: $(0.4^{3}-0.2^{3})(0.4^{2}-0.2^{2})$
हर: $(0.4^{2}+0.4 \times 0.2+0.2^{2})(0.4+0.2)^{3}$
बीजगणितीय सर्वसमिकाओं $a^{3}-b^{3} = (a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$ और $a^{2}-b^{2} = (a-b)(a+b)$ का उपयोग करते हुए:
अंश: $(0.4-0.2)(0.4^{2}+0.4 \times 0.2+0.2^{2}) \times (0.4-0.2)(0.4+0.2)$
अब व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:
$\frac{(0.4-0.2)(0.4^{2}+0.4 \times 0.2+0.2^{2})(0.4-0.2)(0.4+0.2)}{(0.4^{2}+0.4 \times 0.2+0.2^{2})(0.4+0.2)^{3}}$
समान पदों $(0.4^{2}+0.4 \times 0.2+0.2^{2})$ और एक $(0.4+0.2)$ को काटने पर:
$= \frac{(0.4-0.2)^{2}}{(0.4+0.2)^{2}} = \frac{(0.2)^{2}}{(0.6)^{2}} = \frac{0.04}{0.36} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$

(A) दी गई व्यंजक $x = \sqrt{a \sqrt[3]{b \sqrt{a \sqrt[3]{b \dots \infty}}}}.$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $x^2 = a \sqrt[3]{b \sqrt{a \sqrt[3]{b \dots \infty}}}$ प्राप्त होता है।
अब,इस समीकरण के दोनों पक्षों का घन करने पर,हमें $(x^2)^3 = a^3 \cdot b \sqrt{a \sqrt[3]{b \dots \infty}}$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $x^6 = a^3 b x$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x \neq 0,$ इसलिए $x$ से भाग देने पर $x^5 = a^3 b$ प्राप्त होता है।
अतः,$x = \sqrt[5]{a^3 b}.$

(B) दिया गया है कि $\frac{x}{y} = \frac{3}{4}.$ मान लीजिए कि $x = 3k$ और $y = 4k$ जहाँ $k \neq 0$ एक स्थिरांक है।
हमें $\frac{2x + 3y}{3y - 2x}$ का अनुपात ज्ञात करना है।
$x$ और $y$ के मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{2(3k) + 3(4k)}{3(4k) - 2(3k)} = \frac{6k + 12k}{12k - 6k}$
$= \frac{18k}{6k} = \frac{18}{6} = \frac{3}{1}.$
अतः,अनुपात $3:1$ है।

(B) व्यंजक को हल करने के लिए,अंश और हर में $10$ की घातों को समायोजित करके दशमलव को हटाएँ।
$\sqrt{\frac{0.324 \times 0.081 \times 4.624}{1.5625 \times 0.0289 \times 72.9 \times 64}} = \sqrt{\frac{324 \times 10^{-3} \times 81 \times 10^{-3} \times 4624 \times 10^{-3}}{15625 \times 10^{-4} \times 289 \times 10^{-4} \times 729 \times 10^{-1} \times 64}}$
$= \sqrt{\frac{324 \times 81 \times 4624 \times 10^{-9}}{15625 \times 289 \times 729 \times 64 \times 10^{-9}}}$
$= \sqrt{\frac{324 \times 81 \times 4624}{15625 \times 289 \times 729 \times 64}}$
$= \sqrt{\frac{18^2 \times 9^2 \times 68^2}{125^2 \times 17^2 \times 27^2 \times 8^2}}$
$= \frac{18 \times 9 \times 68}{125 \times 17 \times 27 \times 8}$
$= \frac{11016}{459000} = 0.024$

(D) दिया गया है: $\frac{x^{24}+1}{x^{12}}=7$
अंश के प्रत्येक पद को हर से विभाजित करने पर:
$\frac{x^{24}}{x^{12}}+\frac{1}{x^{12}}=7$
$x^{12}+\frac{1}{x^{12}}=7$ ..... $(1)$
हमें $\frac{x^{72}+1}{x^{36}}$ का मान ज्ञात करना है,जो $x^{36}+\frac{1}{x^{36}}$ है।
सर्वसमिका $(a+b)^3 = a^3+b^3+3ab(a+b)$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a=x^{12}$ और $b=\frac{1}{x^{12}}$:
$\left(x^{12}+\frac{1}{x^{12}}\right)^3 = (x^{12})^3 + \left(\frac{1}{x^{12}}\right)^3 + 3(x^{12})\left(\frac{1}{x^{12}}\right)\left(x^{12}+\frac{1}{x^{12}}\right)$
समीकरण $(1)$ से मान रखने पर:
$7^3 = x^{36} + \frac{1}{x^{36}} + 3(1)(7)$
$343 = x^{36} + \frac{1}{x^{36}} + 21$
$x^{36} + \frac{1}{x^{36}} = 343 - 21$
$x^{36} + \frac{1}{x^{36}} = 322$
अतः,$\frac{x^{72}+1}{x^{36}} = 322$.

(A) दिया गया व्यंजक: $x^{3}+27x^{2}+243x+631$ है।
व्यंजक में $x=2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$= (2)^{3} + 27(2)^{2} + 243(2) + 631$
$= 8 + 27(4) + 486 + 631$
$= 8 + 108 + 486 + 631$
$= 1233$.

(A) दी गई व्यंजक: $p(p^{2} + 3p + 3) = p^{3} + 3p^{2} + 3p$.
इसे सरल बनाने के लिए,हम घन के सूत्र को पूर्ण करने हेतु $1$ जोड़ेंगे और घटाएंगे: $(p+1)^{3} = p^{3} + 3p^{2} + 3p + 1$.
अतः,$p^{3} + 3p^{2} + 3p = (p+1)^{3} - 1$.
अब $p = 99$ रखने पर:
$(99 + 1)^{3} - 1 = 100^{3} - 1$.
$100^{3} = 1000000$.
$1000000 - 1 = 999999$.

(B) दिया गया समीकरण: $a^{2}+b^{2}+c^{2}=ab+bc+ca$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca=0$।
पूरे समीकरण को $2$ से गुणा करने पर: $2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}-2ab-2bc-2ca=0$।
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $(a^{2}-2ab+b^{2})+(b^{2}-2bc+c^{2})+(c^{2}-2ca+a^{2})=0$।
जो सरल होकर बनता है: $(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}=0$।
चूंकि वर्गों का योग शून्य है,इसलिए प्रत्येक पद को व्यक्तिगत रूप से शून्य होना चाहिए:
$a-b=0 \Rightarrow a=b$,
$b-c=0 \Rightarrow b=c$,
$c-a=0 \Rightarrow c=a$।
अतः,$a=b=c$ है।
अब इन मानों को $\frac{a+c}{b}$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{a+c}{b} = \frac{a+a}{a} = \frac{2a}{a} = 2$।

(A) दिया गया है कि $ab + bc + ca = 0$.
इससे हमें प्राप्त होता है $bc = -ab - ca$.
इसे पहले पद के हर में प्रतिस्थापित करने पर: $a^2 - bc = a^2 - (-ab - ca) = a^2 + ab + ca = a(a + b + c)$.
इसी प्रकार,अन्य हरों के लिए:
$b^2 - ca = b^2 - (-ab - bc) = b^2 + ab + bc = b(a + b + c)$.
$c^2 - ab = c^2 - (-bc - ca) = c^2 + bc + ca = c(a + b + c)$.
अब,इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{1}{a(a + b + c)} + \frac{1}{b(a + b + c)} + \frac{1}{c(a + b + c)}$
$= \frac{1}{a + b + c} \left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right)$
$= \frac{1}{a + b + c} \left(\frac{bc + ac + ab}{abc}\right)$
चूंकि $ab + bc + ca = 0$,इसलिए दूसरे भिन्न का अंश $0$ होगा।
$= \frac{1}{a + b + c} \times \frac{0}{abc} = 0$.

(D) दिया गया है कि $(2+\sqrt{3}) a = 1$ और $(2-\sqrt{3}) b = 1$ है।
$(2+\sqrt{3}) a = 1$ से,हमें $a = \frac{1}{2+\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{1}{a} = 2+\sqrt{3}$ है।
इसी प्रकार,$(2-\sqrt{3}) b = 1$ से,हमें $b = \frac{1}{2-\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{1}{b} = 2-\sqrt{3}$ है।
अब,दोनों मानों को जोड़ने पर:
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = (2+\sqrt{3}) + (2-\sqrt{3}) = 4$.

(B) दिया गया समीकरण: $3x + \frac{3}{x} = 1$.
पूरे समीकरण को $3$ से विभाजित करने पर हमें प्राप्त होता है: $x + \frac{1}{x} = \frac{1}{3}$.
अब,सर्वसमिका $(a + b)^{3} = a^{3} + b^{3} + 3ab(a + b)$ का उपयोग करके दोनों पक्षों का घन करने पर:
$(x + \frac{1}{x})^{3} = (\frac{1}{3})^{3}$
$x^{3} + \frac{1}{x^{3}} + 3(x)(\frac{1}{x})(x + \frac{1}{x}) = \frac{1}{27}$
अब $x + \frac{1}{x} = \frac{1}{3}$ का मान रखने पर:
$x^{3} + \frac{1}{x^{3}} + 3(1)(\frac{1}{3}) = \frac{1}{27}$
$x^{3} + \frac{1}{x^{3}} + 1 = \frac{1}{27}$.

(D) माना व्यंजक $E = \frac{1}{a^{2}+a x+x^{2}}-\frac{1}{a^{2}-a x+x^{2}}+\frac{2 a x}{a^{4}+a^{2} x^{2}+x^{4}}$ है।
सबसे पहले,पहले दो पदों का उभयनिष्ठ हर $(a^{2}+a x+x^{2})(a^{2}-a x+x^{2})$ लेकर सरल करें।
ध्यान दें कि $(a^{2}+a x+x^{2})(a^{2}-a x+x^{2}) = (a^{2}+x^{2})^{2} - (ax)^{2} = a^{4} + 2a^{2}x^{2} + x^{4} - a^{2}x^{2} = a^{4} + a^{2}x^{2} + x^{4}$ है।
अतः,व्यंजक इस प्रकार होगा:
$E = \frac{(a^{2}-a x+x^{2}) - (a^{2}+a x+x^{2})}{a^{4}+a^{2}x^{2}+x^{4}} + \frac{2 a x}{a^{4}+a^{2} x^{2}+x^{4}}$
$E = \frac{a^{2}-a x+x^{2}-a^{2}-a x-x^{2}}{a^{4}+a^{2}x^{2}+x^{4}} + \frac{2 a x}{a^{4}+a^{2} x^{2}+x^{4}}$
$E = \frac{-2ax}{a^{4}+a^{2}x^{2}+x^{4}} + \frac{2ax}{a^{4}+a^{2} x^{2}+x^{4}}$
$E = 0$.

(B) माना कि $a = 941$ और $b = 149$ है।
दिया गया व्यंजक $\frac{(a+b)^{2} + (a-b)^{2}}{a^{2} + b^{2}}$ के रूप में है।
बीजगणितीय सर्वसमिकाओं $(a+b)^{2} = a^{2} + b^{2} + 2ab$ और $(a-b)^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab$ का उपयोग करके अंश का विस्तार करने पर:
अंश $= (a^{2} + b^{2} + 2ab) + (a^{2} + b^{2} - 2ab) = 2(a^{2} + b^{2})$.
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{2(a^{2} + b^{2})}{a^{2} + b^{2}} = 2$.
अतः,व्यंजक का मान $2$ है।

(A) दी गई अभिव्यक्ति: $5 \sqrt{5} \times 5^{3} \div 5^{-\frac{3}{2}} = 5^{a+2}$
सभी पदों को आधार $5$ में व्यक्त करने पर:
$5^1 \times 5^{1/2} \times 5^3 \div 5^{-3/2} = 5^{a+2}$
घातांक के नियमों $x^m \times x^n = x^{m+n}$ और $x^m \div x^n = x^{m-n}$ का उपयोग करने पर:
$5^{(1 + 1/2 + 3 - (-3/2))} = 5^{a+2}$
घातांक को सरल करने पर:
$1 + 0.5 + 3 + 1.5 = 6$
अतः,$5^6 = 5^{a+2}$
घातांकों की तुलना करने पर:
$6 = a + 2$
$a = 6 - 2 = 4$

(A) माना $x = 3+2 \sqrt{2}$ और $y = 3-2 \sqrt{2}$ है।
यहाँ $xy = (3+2 \sqrt{2})(3-2 \sqrt{2}) = 3^2 - (2 \sqrt{2})^2 = 9 - 8 = 1$ है।
हमें $x^{-3} + y^{-3} = \frac{1}{x^3} + \frac{1}{y^3} = \frac{x^3 + y^3}{(xy)^3}$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि $xy = 1$ है,यह $x^3 + y^3$ में सरल हो जाता है।
सर्वसमिका $x^3 + y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y)$ का उपयोग करने पर:
$x+y = (3+2 \sqrt{2}) + (3-2 \sqrt{2}) = 6$ है।
अतः,$x^3 + y^3 = (6)^3 - 3(1)(6) = 216 - 18 = 198$।

(A) दी गई व्यंजक: $\left\{\left(\sqrt[n]{x^{2}}\right)^{n / 2}\right\}^{2}$
चरण $1$: आंतरिक पद $\sqrt[n]{x^{2}}$ को सरल करें। इसे $(x^{2})^{1/n} = x^{2/n}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चरण $2$: इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करें: $\left\{(x^{2/n})^{n/2}\right\}^{2}$।
चरण $3$: घात के नियम $(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}$ का उपयोग करें। व्यंजक $\left\{x^{(2/n) \cdot (n/2)}\right\}^{2}$ हो जाता है।
चरण $4$: घातांक को सरल करें: $(2/n) \cdot (n/2) = 1$। अतः,व्यंजक $\{x^{1}\}^{2}$ में सरल हो जाता है।
चरण $5$: अंत में,$x^{1 \cdot 2} = x^{2}$।

(B) दिया गया समीकरण: $(\sqrt{3})^{5} \times 9^{2} = 3^{n} \times 3 \sqrt{3}$
सभी पदों को आधार $3$ में व्यक्त करें:
$(\sqrt{3})^{5} = (3^{1/2})^{5} = 3^{5/2}$
$9^{2} = (3^{2})^{2} = 3^{4}$
$3 \sqrt{3} = 3^{1} \times 3^{1/2} = 3^{1 + 1/2} = 3^{3/2}$
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$3^{5/2} \times 3^{4} = 3^{n} \times 3^{3/2}$
घातांक के नियम $a^{m} \times a^{n} = a^{m+n}$ का उपयोग करते हुए:
$3^{5/2 + 4} = 3^{n + 3/2}$
$3^{13/2} = 3^{n + 3/2}$
घातांकों की तुलना करने पर:
$13/2 = n + 3/2$
$n = 13/2 - 3/2$
$n = 10/2$
$n = 5$

(A) दी गई व्यंजक: $p(p^{2}+3p+3)$
$= p^{3}+3p^{2}+3p$
बीजगणितीय सर्वसमिका $(p+1)^{3} = p^{3}+3p^{2}+3p+1$ को पूर्ण करने के लिए,हम $1$ जोड़ेंगे और घटाएंगे:
$= (p^{3}+3p^{2}+3p+1) - 1$
$= (p+1)^{3} - 1$
$p=99$ रखने पर:
$= (99+1)^{3} - 1$
$= 100^{3} - 1$
$= 1000000 - 1$
$= 999999$

(B) दिया गया समीकरण: $3^{x}-3^{x-1}=486$
हम $3^{x-1}$ को $\frac{3^{x}}{3}$ के रूप में लिख सकते हैं:
$3^{x}-\frac{3^{x}}{3}=486$
$3^{x}$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
$3^{x}(1-\frac{1}{3})=486$
कोष्ठक के अंदर के व्यंजक को सरल करने पर:
$3^{x}(\frac{2}{3})=486$
दोनों पक्षों को $\frac{3}{2}$ से गुणा करने पर:
$3^{x}=486 \times \frac{3}{2}$
$3^{x}=243 \times 3$
$3^{x}=729$
$729$ को $3$ की घात के रूप में व्यक्त करने पर:
$729 = 3^{6}$
अतः,$3^{x}=3^{6}$,जिसका अर्थ है कि $x=6$.

(B) माना $a = 2.75$ और $b = 2.25$ है।
दिया गया व्यंजक $\frac{a^3 - b^3}{a^2 + ab + b^2}$ के रूप में है।
हम बीजगणितीय सर्वसमिका जानते हैं: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$।
इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{(a - b)(a^2 + ab + b^2)}{a^2 + ab + b^2} = a - b$।
अब,$a$ और $b$ के मान वापस रखने पर:
$2.75 - 2.25 = 0.5$।
चूंकि $0.5 = \frac{1}{2}$,इसलिए सही विकल्प $B$ है।

(B) $1-\frac{a}{1-\frac{1}{1+\frac{a}{1-a}}}$ व्यंजक को सरल बनाने के लिए,हम सबसे अंदर वाले भिन्न से शुरुआत करते हैं:
सबसे पहले,हर $1+\frac{a}{1-a}$ को सरल करें:
$1+\frac{a}{1-a} = \frac{1-a+a}{1-a} = \frac{1}{1-a}$
अगले चरण में,इस मान को व्यंजक में वापस रखें:
$1-\frac{a}{1-\frac{1}{\frac{1}{1-a}}} = 1-\frac{a}{1-(1-a)}$
अब,हर $1-(1-a)$ को सरल करें:
$1-1+a = a$
अंत में,इस मान को वापस रखने पर:
$1-\frac{a}{a} = 1-1 = 0$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) दी गई व्यंजक: $\frac{(243)^{\frac{n}{5}} \times 3^{2n+1}}{9^{n} \times 3^{n-1}}$
सभी पदों को आधार $3$ में व्यक्त करें:
$243 = 3^5$ और $9 = 3^2$.
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करें:
$\frac{(3^5)^{\frac{n}{5}} \times 3^{2n+1}}{(3^2)^n \times 3^{n-1}}$
घातांकों को सरल करें:
$= \frac{3^n \times 3^{2n+1}}{3^{2n} \times 3^{n-1}}$
घातांक के नियम $a^m \times a^n = a^{m+n}$ का उपयोग करके:
$= \frac{3^{n + 2n + 1}}{3^{2n + n - 1}} = \frac{3^{3n+1}}{3^{3n-1}}$
नियम $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ का उपयोग करते हुए:
$= 3^{(3n+1) - (3n-1)} = 3^{3n+1-3n+1} = 3^2 = 9$.

(C) $x^{3} + y^{3} + z^{3} - 3xyz$ के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका इस प्रकार है:
$x^{3} + y^{3} + z^{3} - 3xyz = \frac{1}{2}(x + y + z)[(x - y)^{2} + (y - z)^{2} + (z - x)^{2}]$
यहाँ $x = 333$,$y = 333$,और $z = 334$ दिया गया है:
योग $(x + y + z) = 333 + 333 + 334 = 1000$
अंतर:
$(x - y) = 333 - 333 = 0$
$(y - z) = 333 - 334 = -1$
$(z - x) = 334 - 333 = 1$
इन मानों को सर्वसमिका में रखने पर:
$= \frac{1}{2}(1000)[(0)^{2} + (-1)^{2} + (1)^{2}]$
$= \frac{1}{2}(1000)[0 + 1 + 1]$
$= \frac{1}{2}(1000)(2) = 1000$

(A) दिया गया समीकरण: $\frac{x-a^{2}}{b+c}+\frac{x-b^{2}}{c+a}+\frac{x-c^{2}}{a+b}=4(a+b+c)$
माना $x = (a+b+c)^{2}$.
समीकरण में $x$ का मान रखने पर:
$\frac{(a+b+c)^{2}-a^{2}}{b+c} + \frac{(a+b+c)^{2}-b^{2}}{c+a} + \frac{(a+b+c)^{2}-c^{2}}{a+b}$
सर्वसमिका $A^{2}-B^{2} = (A-B)(A+B)$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{(a+b+c-a)(a+b+c+a)}{b+c} + \frac{(a+b+c-b)(a+b+c+b)}{c+a} + \frac{(a+b+c-c)(a+b+c+c)}{a+b}$
$= \frac{(b+c)(2a+b+c)}{b+c} + \frac{(a+c)(a+2b+c)}{c+a} + \frac{(a+b)(a+b+2c)}{a+b}$
$= (2a+b+c) + (a+2b+c) + (a+b+2c)$
$= 4a+4b+4c = 4(a+b+c)$
अतः,समीकरण संतुष्ट होता है,इसलिए $x = (a+b+c)^{2}$.

(D) दिया गया है कि $(x-a)(x-b)=1$,अतः हम लिख सकते हैं कि $(x-b) = \frac{1}{x-a}$।
हमें $a-b+5=0$ दिया गया है,जिसका अर्थ है कि $a-b = -5$,या $b-a = 5$।
हमें $(x-a)^{3}-\frac{1}{(x-a)^{3}}$ का मान ज्ञात करना है।
$\frac{1}{x-a} = x-b$ को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$(x-a)^{3} - (x-b)^{3}$।
माना $u = x-a$ है। तो $x-b = u + (a-b) = u - 5$।
अतः,व्यंजक $u^3 - (u-5)^3$ बन जाता है।
इसका विस्तार करने पर: $u^3 - (u^3 - 15u^2 + 75u - 125) = 15u^2 - 75u + 125$।
वैकल्पिक रूप से,दिए गए $(x-a)(x-b)=1$ का उपयोग करते हुए:
$u(u-5) = 1 \implies u^2 - 5u = 1$।
हम $u^3 - (u-5)^3 = 15u^2 - 75u + 125$ का मान ज्ञात कर रहे हैं।
$= 15(u^2 - 5u) + 125$।
$u^2 - 5u = 1$ रखने पर:
$= 15(1) + 125 = 15 + 125 = 140$।

(A) माना $x = \sqrt{2 \sqrt[3]{4 \sqrt{2 \sqrt[3]{4 \ldots}}}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है $x^{2} = 2 \sqrt[3]{4 \sqrt{2 \sqrt[3]{4 \ldots}}}$.
अब,दोनों पक्षों का घन करने पर,हमें प्राप्त होता है $(x^{2})^{3} = 2^{3} \times 4 \times \sqrt{2 \sqrt[3]{4 \ldots}}$.
इसे सरल करने पर $x^{6} = 8 \times 4 \times x$ प्राप्त होता है।
$x^{6} = 32x$.
चूँकि $x \neq 0$,$x$ से विभाजित करने पर $x^{5} = 32$ प्राप्त होता है।
$x^{5} = 2^{5}$,जिसका अर्थ है कि $x = 2$।

(B) व्यंजक को हल करने के लिए,प्रत्येक पद का परिमेयकरण (rationalization) करते हैं:
$1$. $\frac{3 \sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{3}} = \frac{3 \sqrt{2}(\sqrt{6}-\sqrt{3})}{6-3} = \frac{3 \sqrt{2}(\sqrt{6}-\sqrt{3})}{3} = \sqrt{2}(\sqrt{6}-\sqrt{3}) = \sqrt{12}-\sqrt{6} = 2 \sqrt{3}-\sqrt{6}$
$2$. $\frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = \frac{4 \sqrt{3}(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{6-2} = \frac{4 \sqrt{3}(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4} = \sqrt{3}(\sqrt{6}-\sqrt{2}) = \sqrt{18}-\sqrt{6} = 3 \sqrt{2}-\sqrt{6}$
$3$. $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{3-2} = \sqrt{6}(\sqrt{3}-\sqrt{2}) = \sqrt{18}-\sqrt{12} = 3 \sqrt{2}-2 \sqrt{3}$
इन मानों को मूल व्यंजक में रखने पर:
$(2 \sqrt{3}-\sqrt{6}) - (3 \sqrt{2}-\sqrt{6}) + (3 \sqrt{2}-2 \sqrt{3})$
$= 2 \sqrt{3} - \sqrt{6} - 3 \sqrt{2} + \sqrt{6} + 3 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3}$
$= (2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}) + (-\sqrt{6} + \sqrt{6}) + (-3 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2})$
$= 0 + 0 + 0 = 0$

(A) दिया गया समीकरण: $a^{2}+b^{2}-c^{2}=2(a-b-c)-3$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $a^{2}+b^{2}-c^{2}-2a+2b+2c+3=0$
नोट: मूल समीकरण में वर्गों के योग के रूप में हल करने के लिए चिह्न में सुधार आवश्यक है। यदि समीकरण $a^{2}+b^{2}+c^{2}=2(a-b-c)-3$ है,तो:
$a^{2}-2a+1 + b^{2}+2b+1 + c^{2}+2c+1 = 0$
$(a-1)^{2} + (b+1)^{2} + (c+1)^{2} = 0$
चूंकि वर्गों का योग शून्य है,इसलिए प्रत्येक पद शून्य होना चाहिए:
$a-1=0 \Rightarrow a=1$
$b+1=0 \Rightarrow b=-1$
$c+1=0 \Rightarrow c=-1$
अब,$4a-3b+5c$ का मान ज्ञात करें:
$4(1) - 3(-1) + 5(-1) = 4 + 3 - 5 = 2$

(C) दिया गया है: $2x + \frac{2}{x} = 3$
पूरे समीकरण को $2$ से विभाजित करने पर:
$x + \frac{1}{x} = \frac{3}{2}$
अब,सर्वसमिका $(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$ का उपयोग करके दोनों पक्षों का घन करने पर:
$(x + \frac{1}{x})^3 = (\frac{3}{2})^3$
$x^3 + \frac{1}{x^3} + 3(x)(\frac{1}{x})(x + \frac{1}{x}) = \frac{27}{8}$
समीकरण में $x + \frac{1}{x} = \frac{3}{2}$ रखने पर:
$x^3 + \frac{1}{x^3} + 3(1)(\frac{3}{2}) = \frac{27}{8}$
$x^3 + \frac{1}{x^3} + \frac{9}{2} = \frac{27}{8}$
$x^3 + \frac{1}{x^3} = \frac{27}{8} - \frac{9}{2} = \frac{27 - 36}{8} = -\frac{9}{8}$
अंत में,$x^3 + \frac{1}{x^3} + 2$ का मान ज्ञात करने पर:
$-\frac{9}{8} + 2 = \frac{-9 + 16}{8} = \frac{7}{8}$

(A) माना कि $x = a^{2}-b^{2}$,$y = b^{2}-c^{2}$,और $z = c^{2}-a^{2}$ है।
अतः,$x+y+z = (a^{2}-b^{2}) + (b^{2}-c^{2}) + (c^{2}-a^{2}) = 0$ है।
हम जानते हैं कि बीजीय सर्वसमिका के अनुसार: यदि $x+y+z = 0$ है,तो $x^{3}+y^{3}+z^{3} = 3xyz$ होता है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(a^{2}-b^{2})^{3}+(b^{2}-c^{2})^{3}+(c^{2}-a^{2})^{3} = 3(a^{2}-b^{2})(b^{2}-c^{2})(c^{2}-a^{2})$।
वर्गों के अंतर के सूत्र $a^{2}-b^{2} = (a-b)(a+b)$ का उपयोग करके पदों का विस्तार करने पर:
$= 3(a-b)(a+b)(b-c)(b+c)(c-a)(c+a)$।
अतः,$(a+b)(a-b)$ एक गुणनखंड है।

(D) दिया गया है कि $x = \sqrt[3]{5} + 2$ है।
दोनों पक्षों से $2$ घटाने पर,हमें $x - 2 = \sqrt[3]{5}$ प्राप्त होता है।
अब,समीकरण के दोनों पक्षों का घन (cube) करने पर:
$(x - 2)^3 = (\sqrt[3]{5})^3$
बीजगणितीय सर्वसमिका $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ का उपयोग करते हुए,बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर:
$x^3 - 3(x^2)(2) + 3(x)(2^2) - 2^3 = 5$
$x^3 - 6x^2 + 12x - 8 = 5$
$x^3 - 6x^2 + 12x - 13$ का मान ज्ञात करने के लिए,समीकरण के दोनों पक्षों से $5$ घटाने पर:
$x^3 - 6x^2 + 12x - 8 - 5 = 0$
$x^3 - 6x^2 + 12x - 13 = 0$.

(D) सबसे पहले,भिन्न $\frac{1}{3-\sqrt{8}}$ के हर का परिमेयकरण करें:
$\frac{1}{3-\sqrt{8}} = \frac{1 \times (3+\sqrt{8})}{(3-\sqrt{8})(3+\sqrt{8})} = \frac{3+\sqrt{8}}{3^2 - (\sqrt{8})^2} = \frac{3+\sqrt{8}}{9-8} = 3+\sqrt{8}$.
अब,इस मान को मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करें:
$(3+\sqrt{8}) + (3+\sqrt{8}) - (6+4\sqrt{2})$.
चूंकि $\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}$,हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$(3+2\sqrt{2}) + (3+2\sqrt{2}) - (6+4\sqrt{2})$.
$= 6 + 4\sqrt{2} - 6 - 4\sqrt{2} = 0$.

(C) दिया गया है कि $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=83$ है।
हम जानते हैं कि $(x-\frac{1}{x})^{2} = x^{2}+\frac{1}{x^{2}}-2$ होता है।
मान रखने पर,$(x-\frac{1}{x})^{2} = 83-2 = 81$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x>1$ है,इसलिए $x-\frac{1}{x}$ धनात्मक होना चाहिए,अतः $x-\frac{1}{x} = \sqrt{81} = 9$ है।
अब,सर्वसमिका $(x-\frac{1}{x})^{3} = x^{3}-\frac{1}{x^{3}}-3(x-\frac{1}{x})$ का उपयोग करने पर।
मान रखने पर,$9^{3} = x^{3}-\frac{1}{x^{3}}-3(9)$ प्राप्त होता है।
$729 = x^{3}-\frac{1}{x^{3}}-27$ है।
अतः,$x^{3}-\frac{1}{x^{3}} = 729+27 = 756$ है।