Mixture and Alligation Questions in Hindi

(C) माना कि दूसरे प्रकार के चावल का मूल्य $Rs. x$ प्रति $kg$ है।
पहले प्रकार के चावल का कुल मूल्य $= 60 \times 32 = Rs. 1920$.
दूसरे प्रकार के चावल का कुल मूल्य $= 48 \times x = Rs. 48x$.
मिश्रण की कुल मात्रा $= 60 + 48 = 108 \ kg$.
मिश्रण का विक्रय मूल्य $= 108 \times 28 = Rs. 3024$.
चूंकि न तो लाभ होता है और न ही हानि,इसलिए कुल क्रय मूल्य कुल विक्रय मूल्य के बराबर होगा।
अतः,$1920 + 48x = 3024$.
$48x = 3024 - 1920$.
$48x = 1104$.
$x = \frac{1104}{48} = 23$.
इस प्रकार,दूसरे प्रकार के चावल का मूल्य $Rs. 23$ प्रति $kg$ है।

(A) माना मिश्रण का क्रय मूल्य $(CP)$ $= CP_{mix}$ है।
दिया गया है कि मिश्रण का विक्रय मूल्य $(SP)$ $Rs. 194.40$ प्रति $kg$ है और लाभ $20\%$ है।
$CP_{mix} = \frac{SP}{1 + \text{Profit}\%} = \frac{194.40}{1.20} = Rs. 162$ प्रति $kg$।
एलिगेशन (मिश्रण) के नियम का उपयोग करते हुए:
प्रकार $I$ चाय की लागत $= 192$
प्रकार $II$ चाय की लागत $= 150$
औसत मूल्य $= 162$
अंतर $1 = |162 - 150| = 12$
अंतर $2 = |192 - 162| = 30$
प्रकार $I$ और प्रकार $II$ चाय का अनुपात $12 : 30$ है।
अनुपात को सरल करने पर: $12 : 30 = 2 : 5$।

(D) शुद्ध दूध की प्रारंभिक मात्रा $= 81 \ L$ है।
चरण $1$: दूध का एक-तिहाई भाग पानी से बदल दिया जाता है।
शेष दूध $= 81 - (\frac{1}{3} \times 81) = 81 - 27 = 54 \ L$।
चरण $2$: मिश्रण का एक-तिहाई भाग निकाल लिया जाता है और पानी मिला दिया जाता है।
निकाले गए दूध की मात्रा $= \frac{1}{3} \times 54 = 18 \ L$।
शेष दूध $= 54 - 18 = 36 \ L$।
चूंकि कुल आयतन $81 \ L$ ही रहता है,इसलिए पानी की मात्रा $= 81 - 36 = 45 \ L$।
दूध और पानी का अभीष्ट अनुपात $= 36 : 45$।
दोनों को $9$ से विभाजित करने पर,हमें $4 : 5$ प्राप्त होता है।

(B) मिश्रधातु का प्रारंभिक वजन $= 50\, g$.
सोने की मात्रा $= 50\, g$ का $80\% = \frac{80}{100} \times 50 = 40\, g$.
चांदी की मात्रा $= 50\, g - 40\, g = 10\, g$.
मान लीजिए कि मिश्रधातु में $x\, g$ सोना मिलाया जाता है।
सोने का नया वजन $= (40 + x)\, g$.
मिश्रधातु का नया कुल वजन $= (50 + x)\, g$.
प्रश्न के अनुसार,सोने का नया प्रतिशत $95\%$ है।
अतः,$\frac{40 + x}{50 + x} = \frac{95}{100} = \frac{19}{20}$.
तिर्यक गुणा करने पर: $20(40 + x) = 19(50 + x)$.
$800 + 20x = 950 + 19x$.
$20x - 19x = 950 - 800$.
$x = 150\, g$.

(B) मिश्र धातु का कुल वजन $100\, kg$ है। तांबा,जस्ता और निकल का अनुपात $5: 3: 2$ है।
अनुपात का योग $= 5 + 3 + 2 = 10$.
तांबे की मात्रा $= (5/10) \times 100 = 50\, kg$.
जस्ते की मात्रा $= (3/10) \times 100 = 30\, kg$.
निकल की मात्रा $= (2/10) \times 100 = 20\, kg$.
माना कि $x\, kg$ निकल मिलाया जाता है। निकल की नई मात्रा $(20 + x)\, kg$ हो जाएगी और मिश्र धातु का कुल वजन $(100 + x)\, kg$ हो जाएगा।
तांबा,जस्ता और निकल का नया अनुपात $5: 3: 3$ है।
चूंकि तांबे और जस्ते की मात्रा में कोई परिवर्तन नहीं होता है,हम निकल और तांबे के अनुपात का उपयोग कर सकते हैं: $\frac{20 + x}{50} = \frac{3}{5}$.
$5(20 + x) = 3 \times 50 \Rightarrow 100 + 5x = 150 \Rightarrow 5x = 50 \Rightarrow x = 10\, kg$.

(D) $15 \text{ kg}$ चावल का क्रय मूल्य $= 15 \times 29 = Rs. 435$
$25 \text{ kg}$ चावल का क्रय मूल्य $= 25 \times 20 = Rs. 500$
कुल क्रय मूल्य $(15 + 25) \text{ kg} = 435 + 500 = Rs. 935$
मिश्रण की कुल मात्रा $= 40 \text{ kg}$
$40 \text{ kg}$ मिश्रण का विक्रय मूल्य $= 40 \times 27 = Rs. 1080$
लाभ $= \text{विक्रय मूल्य} - \text{क्रय मूल्य} = 1080 - 935 = Rs. 145$

(C) मिश्रण की कुल मात्रा $= 40 \, L$.
दूध और पानी का अनुपात $= 7:1$.
दूध की मात्रा $= \frac{7}{7+1} \times 40 = \frac{7}{8} \times 40 = 35 \, L$.
पानी की मात्रा $= 40 - 35 = 5 \, L$.
माना कि मिलाए जाने वाले पानी की मात्रा $x \, L$ है।
प्रश्न के अनुसार,दूध और पानी का नया अनुपात $3:1$ है।
अतः,$\frac{35}{5+x} = \frac{3}{1}$.
तिर्यक गुणा करने पर,$35 = 3(5+x)$.
$35 = 15 + 3x$.
$3x = 35 - 15 = 20$.
$x = \frac{20}{3} = 6 \frac{2}{3} \, L$.

(A) मिश्रण की कुल मात्रा $= 30 \ L$ है।
दूध और पानी का अनुपात $= 7:3$ है।
दूध की मात्रा $= \frac{7}{7+3} \times 30 = \frac{7}{10} \times 30 = 21 \ L$ है।
पानी की मात्रा $= 30 - 21 = 9 \ L$ है।
माना कि मिलाए जाने वाले पानी की मात्रा $x \ L$ है।
प्रश्न के अनुसार,दूध और पानी का नया अनुपात $3:7$ है।
अतः,$\frac{21}{9+x} = \frac{3}{7}$ है।
तिर्यक गुणा करने पर,$21 \times 7 = 3(9+x)$ प्राप्त होता है।
$147 = 27 + 3x$ है।
$3x = 147 - 27 = 120$ है।
$x = \frac{120}{3} = 40 \ L$ है।

(D) बर्तन $A$ में,दूध का अंश $\frac{8}{13}$ है।
बर्तन $B$ में,दूध का अंश $\frac{5}{7}$ है।
नए मिश्रण में दूध का आवश्यक प्रतिशत $69 \frac{3}{13} \% = \frac{900}{13} \% = \frac{900}{13 \times 100} = \frac{9}{13}$ है।
एलिगेशन (मिश्रण) के नियम का उपयोग करते हुए:
$A$ में दूध = $\frac{8}{13}$,$B$ में दूध = $\frac{5}{7}$,माध्य मान = $\frac{9}{13}$।
$B$ के लिए अंतर = $|\frac{8}{13} - \frac{9}{13}| = \frac{1}{13}$।
$A$ के लिए अंतर = $|\frac{5}{7} - \frac{9}{13}| = |\frac{65 - 63}{91}| = \frac{2}{91}$।
$A$ और $B$ का अनुपात = $\frac{2}{91} : \frac{1}{13} = \frac{2}{91} : \frac{7}{91} = 2:7$।

(C) मिश्र धातु का कुल वजन $= 400 \, g$ है।
जिंक और कॉपर का अनुपात $= 5:3$ है।
अनुपात के पदों का योग $= 5 + 3 = 8$ है।
जिंक की मात्रा $= \frac{5}{8} \times 400 = 250 \, g$ है।
कॉपर की मात्रा $= \frac{3}{8} \times 400 = 150 \, g$ है।
माना कि मिश्र धातु में $x \, g$ कॉपर मिलाया जाता है।
कॉपर की नई मात्रा $= 150 + x$ होगी।
प्रश्न के अनुसार,नया अनुपात $5:4$ है:
$\frac{250}{150 + x} = \frac{5}{4}$।
तिर्यक गुणा (cross-multiplication) करने पर: $250 \times 4 = 5 \times (150 + x)$।
$1000 = 750 + 5x$।
$5x = 1000 - 750 = 250$।
$x = \frac{250}{5} = 50 \, g$।

(C) एलिगेशन (मिश्रण) विधि का उपयोग करते हुए:
दूध का लागत मूल्य $= ₹ 3.5/litre$
पानी का लागत मूल्य $= ₹ 0/litre$
मिश्रण का औसत मूल्य $= ₹ 2/litre$
एलिगेशन नियम लागू करने पर:
दूध और पानी का अनुपात $= (2 - 0) : (3.5 - 2) = 2 : 1.5 = 4 : 3$
यहाँ दूध की मात्रा $80$ लीटर दी गई है,मान लीजिए कि मिलाए गए पानी की मात्रा $x$ लीटर है।
इसलिए,$\frac{80}{x} = \frac{4}{3}$
$x = \frac{80 \times 3}{4} = 60$ लीटर।
अतः,$60$ लीटर पानी मिलाया जाना चाहिए।

(B) माना $100$ पैसे के सिक्कों की संख्या $x$ है और $50$ पैसे के सिक्कों की संख्या $y$ है।
हमारे पास $x + y = 80$ (सिक्कों की कुल संख्या) है।
कुल मूल्य $100x + 50y = 6400$ पैसे है (क्योंकि ₹ $64 = 6400$ पैसे)।
दूसरे समीकरण को $50$ से विभाजित करने पर,हमें $2x + y = 128$ प्राप्त होता है।
इसमें से पहले समीकरण को घटाने पर,$(2x + y) - (x + y) = 128 - 80$,जिससे $x = 48$ प्राप्त होता है।
$x = 48$ को $x + y = 80$ में रखने पर,हमें $y = 80 - 48 = 32$ प्राप्त होता है।
वैकल्पिक रूप से,एलीगेशन (मिश्रण) विधि का उपयोग करते हुए:
प्रति सिक्का औसत मूल्य $= \frac{6400}{80} = 80$ पैसे।
एलीगेशन नियम का उपयोग करते हुए:
$100$ पैसे के सिक्के : $50$ पैसे के सिक्के $= (80 - 50) : (100 - 80) = 30 : 20 = 3 : 2$।
$50$ पैसे के सिक्कों की संख्या $= \frac{2}{3+2} \times 80 = \frac{2}{5} \times 80 = 32$।

(C) माना व्यय $400$ है और बचत $100$ है। तो, कुल आय $= 400 + 100 = 500$ होगी।
नई आय $= 500 + 500$ का $20\% = 500 + 100 = 600$ होगी।
नई बचत $= 100 + 100$ का $12\% = 100 + 12 = 112$ होगी।
नया व्यय $= \text{नई आय} - \text{नई बचत} = 600 - 112 = 488$ होगा।
व्यय में वृद्धि $= 488 - 400 = 88$ होगी।
व्यय में प्रतिशत वृद्धि $= (88 / 400) \times 100 = 22\%$ होगी।
वैकल्पिक रूप से, एलिगेशन विधि का उपयोग करते हुए:
व्यय $(4)$ : बचत $(1)$ = $(20 - 12) : (x - 20)$
$4/1 = 8 / (x - 20)$
$4(x - 20) = 8$
$x - 20 = 2$
$x = 22\%$.

(B) व्यापारी $1000 \, g$ $(1 \, kg)$ के स्थान पर $900 \, g$ का उपयोग करता है।
लाभ = $1000 \, g - 900 \, g = 100 \, g$.
लाभ प्रतिशत = $\frac{\text{लाभ}}{\text{उपयोग किया गया वजन}} \times 100$.
लाभ प्रतिशत = $\frac{100}{900} \times 100 = \frac{100}{9} \% = 11 \frac{1}{9} \%$.

(C) माना लड़कों की संख्या $B$ है और लड़कियों की संख्या $G$ है।
बच्चों की कुल संख्या $B + G = 450$ है।
प्रत्येक लड़के को $100$ पैसे और प्रत्येक लड़की को $50$ पैसे मिलते हैं।
वितरित की गई कुल राशि ₹ $390 = 39000$ पैसे है।
प्रश्न के अनुसार,$100B + 50G = 39000$ है।
$50$ से भाग देने पर,हमें $2B + G = 780$ प्राप्त होता है।
दूसरे समीकरण में से पहले समीकरण को घटाने पर: $(2B + G) - (B + G) = 780 - 450$ है।
$B = 330$ है।
अब,$G = 450 - 330 = 120$ है।
अतः,वहां $120$ लड़कियां हैं।

(B) माना कुल राशि $P = ₹ 70,000$ है। $T = 5 \text{ वर्षों}$ के लिए कुल साधारण ब्याज $SI = ₹ 16,000$ है।
सबसे पहले,कुल राशि के लिए प्रभावी वार्षिक ब्याज दर ज्ञात करें:
$SI = \frac{P \times R \times T}{100} \implies 16,000 = \frac{70,000 \times R \times 5}{100}$
$16,000 = 3,500 \times R \implies R = \frac{16,000}{3,500} = \frac{32}{7} \%$.
मिश्रण (Alligation) की विधि का उपयोग करते हुए:
दर $1$: $6 \% = \frac{42}{7} \%$
दर $2$: $4 \% = \frac{28}{7} \%$
औसत दर: $\frac{32}{7} \%$
अंतर $1$ (औसत और दर $2$ के बीच): $\frac{32}{7} - \frac{28}{7} = \frac{4}{7}$
अंतर $2$ (दर $1$ और औसत के बीच): $\frac{42}{7} - \frac{32}{7} = \frac{10}{7}$
राशियों का अनुपात = $\frac{4}{7} : \frac{10}{7} = 4 : 10 = 2 : 5$.
$6 \%$ की दर से उधार दी गई राशि = $\frac{2}{2+5} \times 70,000 = \frac{2}{7} \times 70,000 = ₹ 20,000$.

(C) एलिगेशन (मिश्रण) के नियम का उपयोग करते हुए:
सोने का घनत्व = $19$
तांबे का घनत्व = $9$
मिश्रण का औसत घनत्व = $15$
एलिगेशन विधि लागू करने पर:
सोने और तांबे का अनुपात = $(\text{औसत घनत्व} - \text{तांबे का घनत्व}) : (\text{सोने का घनत्व} - \text{औसत घनत्व})$
अनुपात = $(15 - 9) : (19 - 15)$
अनुपात = $6 : 4$
अनुपात को सरल करने पर, हमें $3 : 2$ प्राप्त होता है।

(D) एलिगेशन (मिश्रण) विधि का उपयोग करते हुए:
मान लीजिए अजय को दी गई राशि $x$ है और रमेश को दी गई राशि $y$ है।
ब्याज दरें $20 \%$ और $12 \%$ हैं,और कुल ब्याज दर $17 \%$ है।
एलिगेशन के अनुसार:
अजय की दर: $20 \%$
रमेश की दर: $12 \%$
औसत दर: $17 \%$
अजय के लिए अंतर: $|17 - 12| = 5$
रमेश के लिए अंतर: $|17 - 20| = 3$
अजय और रमेश को दी गई राशियों का अनुपात $5: 3$ है।
कुल पूंजी = ₹ $300000$.
अजय को दी गई राशि = $\frac{5}{5+3} \times 300000 = \frac{5}{8} \times 300000 = 5 \times 37500 = ₹ 187500$.

(C) माना प्रारंभिक खर्च $E$ है और प्रारंभिक बचत $S$ है।
हम जानते हैं कि आय = खर्च + बचत,इसलिए $E + S = 4000$।
एलिगेशन (मिश्रण) की विधि का उपयोग करते हुए:
खर्च में प्रतिशत वृद्धि = $12\%$,बचत में प्रतिशत कमी = $-4\%$,और आय में कुल प्रतिशत वृद्धि = $8\%$.
एलिगेशन लागू करने पर:
खर्च और बचत का अनुपात = $(8 - (-4)) : (12 - 8) = 12 : 4 = 3 : 1$।
प्रारंभिक खर्च = $4000 \times \frac{3}{3+1} = ₹ 3000$।
प्रारंभिक बचत = $4000 - 3000 = ₹ 1000$।
बढ़ा हुआ खर्च = $3000 \times (1 + 0.12) = 3000 \times 1.12 = ₹ 3360$।

(A) एलिगेशन (मिश्रण) विधि का उपयोग करते हुए:
लाभ प्रतिशत $= 12 \%$
हानि प्रतिशत $= -8 \%$
औसत लाभ प्रतिशत $= 11 \%$
एलिगेशन लागू करने पर:
लाभ पर बेचे गए पेन और हानि पर बेचे गए पेन का अनुपात $= (11 - (-8)) : (12 - 11) = 19 : 1$
पेन की कुल संख्या $= 60$
$12 \%$ लाभ पर बेचे गए पेन की संख्या $= \frac{19}{19+1} \times 60 = \frac{19}{20} \times 60 = 57$
$8 \%$ हानि पर बेचे गए पेन की संख्या $= \frac{1}{19+1} \times 60 = \frac{1}{20} \times 60 = 3$

(C) माना तीसरी किस्म का मूल्य ₹ $x$ प्रति किलो है।
पहली दो किस्मों को $1:1$ के अनुपात में मिलाया जाता है।
पहली दो किस्मों का औसत मूल्य $= \frac{126 + 135}{2} = \frac{261}{2} = ₹ 130.50$.
अब,मिश्रण पहली दो किस्मों के मिश्रण (अनुपात $1+1=2$) और तीसरी किस्म (अनुपात $2$) को $2:2$ के अनुपात में मिलाकर बनाया जाता है,जिसे सरल करने पर $1:1$ प्राप्त होता है।
एलिगेशन (मिश्रण) विधि का उपयोग करते हुए:
औसत मूल्य $= 153$.
औसत मूल्य और पहली दो किस्मों के औसत मूल्य के बीच का अंतर $= 153 - 130.50 = 22.50$.
तीसरी किस्म के मूल्य और औसत मूल्य के बीच का अंतर $= x - 153$.
चूंकि मात्राओं का अनुपात $1:1$ है,इसलिए अंतर समान होना चाहिए:
$x - 153 = 22.50$
$x = 153 + 22.50 = 175.50$.
अतः,तीसरी किस्म का मूल्य ₹ $175.50/kg$ है।

(A) मिश्रण का विक्रय मूल्य $= ₹ 68.20$ प्रति किग्रा।
लाभ $= 10 \%$.
मिश्रण का क्रय मूल्य $= \frac{100}{100 + \text{लाभ } \%} \times \text{विक्रय मूल्य} = \frac{100}{110} \times 68.20 = ₹ 62$ प्रति किग्रा।
एलिगेशन (मिश्रण) के नियम का उपयोग करते हुए:
पहली किस्म का क्रय मूल्य $= 60$
दूसरी किस्म का क्रय मूल्य $= 65$
औसत मूल्य $= 62$
औसत मूल्य और पहले क्रय मूल्य के बीच का अंतर $= 65 - 62 = 3$
औसत मूल्य और दूसरे क्रय मूल्य के बीच का अंतर $= 62 - 60 = 2$
अतः,आवश्यक अनुपात $3:2$ है।

(A) माना कि मिश्रित चावल की कीमत ₹ $x/kg$ है।
भारित औसत सूत्र का उपयोग करते हुए:
मिश्रण की कीमत = $\frac{(\text{मात्रा}_1 \times \text{कीमत}_1) + (\text{मात्रा}_2 \times \text{कीमत}_2)}{\text{मात्रा}_1 + \text{मात्रा}_2}$
मिश्रण की कीमत = $\frac{(2 \times 15) + (3 \times 20)}{2 + 3}$
मिश्रण की कीमत = $\frac{30 + 60}{5}$
मिश्रण की कीमत = $\frac{90}{5} = ₹ 18/kg$.

(A) मान लीजिए $1$ लीटर दूध का क्रय मूल्य $(C.P.)$ $₹ 1$ है।
चूंकि मिश्रण को दूध के क्रय मूल्य पर बेचा जाता है,इसलिए $1$ लीटर मिश्रण का विक्रय मूल्य $(S.P.)$ $₹ 1$ है।
लाभ प्रतिशत $16 \frac{2}{3} \% = \frac{50}{3} \%$ है।
सूत्र का उपयोग करते हुए: $S.P. = C.P. \times (1 + \frac{\text{Gain} \%}{100})$
$1 = C.P. \times (1 + \frac{50}{300}) = C.P. \times (1 + \frac{1}{6}) = C.P. \times \frac{7}{6}$
अतः,$1$ लीटर मिश्रण का क्रय मूल्य $₹ \frac{6}{7}$ है।
एलिगेशन (मिश्रण) के नियम का उपयोग करते हुए:
पानी का क्रय मूल्य = $0$
दूध का क्रय मूल्य = $1$
औसत मूल्य = $\frac{6}{7}$
पानी और दूध का अनुपात = $(1 - \frac{6}{7}) : (\frac{6}{7} - 0) = \frac{1}{7} : \frac{6}{7} = 1 : 6$.

(B) मान लीजिए कि पीपे में वाइन की प्रारंभिक मात्रा $x$ लीटर थी।
$1$ प्रक्रिया के बाद,बची हुई वाइन की मात्रा $x(1 - 8/x)$ है।
$4$ प्रक्रियाओं के बाद (प्रारंभिक एक और $3$ और),बची हुई वाइन की मात्रा $x(1 - 8/x)^4$ है।
बची हुई वाइन और पानी का अनुपात $16$:$65$ है,जिसका अर्थ है कि बची हुई वाइन और कुल आयतन का अनुपात $16$:($16$+$65$) = $16$:$81$ है।
इसलिए,$\frac{x(1 - 8/x)^4}{x} = \frac{16}{81}$.
$(1 - 8/x)^4 = (2/3)^4$.
दोनों पक्षों का चतुर्थ मूल लेने पर,$1 - 8/x = 2/3$.
$8/x = 1 - 2/3 = 1/3$.
$x = 8 \times 3 = 24$ लीटर।

(C) एलिगेशन (मिश्रण) के नियम का उपयोग करते हुए:
पहली किस्म का क्रय मूल्य $= ₹ 15/kg$
दूसरी किस्म का क्रय मूल्य $= ₹ 20/kg$
मिश्रण का औसत मूल्य $= ₹ 16.5/kg$
एलिगेशन विधि द्वारा:
(दूसरी किस्म का मूल्य - औसत मूल्य) : (औसत मूल्य - पहली किस्म का मूल्य)
$= (20 - 16.5) : (16.5 - 15)$
$= 3.5 : 1.5$
$= 35 : 15$
$= 7 : 3$
अतः,अभीष्ट अनुपात $7: 3$ है।

(B) एलिगेशन (मिश्रण) के नियम का उपयोग करते हुए:
पहले प्रकार के चावल का मूल्य = ₹ $7.20/kg$
दूसरे प्रकार के चावल का मूल्य = ₹ $5.70/kg$
मिश्रण का औसत मूल्य = ₹ $6.30/kg$
एलिगेशन के नियम के अनुसार,दोनों प्रकार के चावलों की मात्रा का अनुपात है:
(औसत मूल्य - दूसरे प्रकार का मूल्य) : (पहले प्रकार का मूल्य - औसत मूल्य)
$= (6.30 - 5.70) : (7.20 - 6.30)$
$= 0.60 : 0.90$
$= 6 : 9$
$= 2 : 3$
अतः,चावल को $2:3$ के अनुपात में मिलाया जाना चाहिए।

(B) एलिगेशन (मिश्रण) के नियम का उपयोग करते हुए,हम दो समाधानों की सांद्रता की तुलना अंतिम मिश्रण की सांद्रता से करते हैं:
पहले घोल की सांद्रता = $50 \%$
दूसरे घोल की सांद्रता = $18 \%$
मिश्रण की औसत सांद्रता = $26 \%$
एलिगेशन नियम लागू करने पर:
(पहला घोल) : (दूसरा घोल) का अनुपात = $(26 - 18) : (50 - 26)$
अनुपात = $8 : 24 = 1 : 3$
इसका मतलब है कि मूल व्हिस्की के प्रत्येक $1$ भाग के लिए,नए घोल के $3$ भाग मिलाए गए थे।
इसलिए,बदली गई व्हिस्की की मात्रा $\frac{3}{1 + 3} = \frac{3}{4}$ है।

(B) सबसे पहले,मिश्रण का क्रय मूल्य $(CP)$ ज्ञात करें।
मिश्रण का विक्रय मूल्य $(SP)$ = ₹ $9/kg$।
लाभ = $15 \%$।
$CP = \frac{SP \times 100}{100 + \text{लाभ} \%} = \frac{9 \times 100}{115} \approx ₹ 7.83/kg$।
यहाँ दिए गए एलिगेशन आरेख के अनुसार,औसत मूल्य ₹ $9/kg$ लिया गया है।
एलिगेशन के नियम का उपयोग करते हुए:
पहली चीनी की लागत = ₹ $11.70/kg$
दूसरी चीनी की लागत = ₹ $8.10/kg$
औसत मूल्य = ₹ $9/kg$
अंतर $1$: $|11.70 - 9| = 2.70$
अंतर $2$: $|8.10 - 9| = 0.90$
पहली और दूसरी चीनी का अनुपात = $0.90 : 2.70 = 1 : 3$।
माना कि पहली चीनी की मात्रा $x$ kg है।
दिया गया है,दूसरी चीनी की मात्रा = $24$ kg।
इसलिए,$\frac{x}{24} = \frac{1}{3}$।
$x = \frac{24}{3} = 8$ kg।

(C) मिश्रण (Alligation) की विधि का उपयोग करते हुए:
पहले भाग का लाभ प्रतिशत = $8 \%$
दूसरे भाग का लाभ प्रतिशत = $16 \%$
औसत लाभ प्रतिशत = $14 \%$
पहले भाग के लिए अंतर = $|16 - 14| = 2$
दूसरे भाग के लिए अंतर = $|8 - 14| = 6$
$8 \%$ लाभ और $16 \%$ लाभ पर बेचे गए चावल की मात्रा का अनुपात $2:6$ है,जिसे सरल करने पर $1:3$ प्राप्त होता है।
कुल मात्रा = $1000 \ kg$
$16 \%$ लाभ पर बेची गई मात्रा = $\frac{3}{1+3} \times 1000 = \frac{3}{4} \times 1000 = 750 \ kg$.

(A) दिया है:
मिश्रण का विक्रय मूल्य $(S.P.)$ $= ₹ 30$ प्रति $Kg$
लाभ $= 10 \%$
औसत क्रय मूल्य $(C.P.)$ की गणना:
$C.P. = \frac{S.P. \times 100}{100 + \text{लाभ} \%}$
$C.P. = \frac{30 \times 100}{110} = ₹ \frac{300}{11}$ प्रति $Kg$
एलिगेशन (मिश्रण) विधि का उपयोग करते हुए:
सस्ती चाय की कीमत $= ₹ 25$ प्रति $Kg$
महंगी चाय की कीमत $= ₹ 30$ प्रति $Kg$
औसत कीमत $= ₹ \frac{300}{11}$ प्रति $Kg$
सस्ती चाय के लिए अंतर $= 30 - \frac{300}{11} = \frac{330 - 300}{11} = \frac{30}{11}$
महंगी चाय के लिए अंतर $= \frac{300}{11} - 25 = \frac{300 - 275}{11} = \frac{25}{11}$
सस्ती चाय और महंगी चाय का अनुपात $= \frac{30}{11} : \frac{25}{11} = 30 : 25 = 6 : 5$
माना सस्ती चाय की मात्रा $x \ Kg$ है।
दिया है,महंगी चाय की मात्रा $= 30 \ Kg$ है।
$\frac{x}{30} = \frac{6}{5}$
$x = \frac{6}{5} \times 30 = 36 \ Kg$
अतः,$36 \ Kg$ सस्ती चाय को मिलाया जाना चाहिए।

(D) माना पानी का क्रय मूल्य ₹ $0$ प्रति लीटर है और दूध का क्रय मूल्य ₹ $5.40$ प्रति लीटर है।
मिश्रण का औसत मूल्य ₹ $4.20$ प्रति लीटर है।
एलिगेशन (मिश्रण) के नियम का उपयोग करते हुए:
पानी और दूध का अनुपात = $(5.40 - 4.20) : (4.20 - 0) = 1.20 : 4.20 = 12 : 42 = 2 : 7$.
दिया गया है कि दूध की मात्रा $14$ लीटर है,माना मिलाए गए पानी की मात्रा $x$ लीटर है।
इसलिए,$x / 14 = 2 / 7$.
$x = (2 \times 14) / 7 = 4$ लीटर।
अतः,$4$ लीटर पानी मिलाया जाना चाहिए।

(A) एलिगेशन (मिश्रण) के नियम का उपयोग करते हुए:
पहली किस्म का क्रय मूल्य = ₹$25$ प्रति $kg$
दूसरी किस्म का क्रय मूल्य = ₹$30$ प्रति $kg$
औसत मूल्य = ₹$28$ प्रति $kg$
एलिगेशन विधि द्वारा:
(दूसरी किस्म का मूल्य - औसत मूल्य) : (औसत मूल्य - पहली किस्म का मूल्य)
$= (30 - 28) : (28 - 25)$
$= 2 : 3$
अतः,आवश्यक अनुपात $2:3$ है।

(C) एलिगेशन (Alligation) नियम का उपयोग करते हुए:
लड़कों का उत्तीर्ण प्रतिशत = $70 \%$
लड़कियों का उत्तीर्ण प्रतिशत = $85 \%$
कुल उत्तीर्ण प्रतिशत = $75 \%$
एलिगेशन विधि लागू करने पर:
लड़कों और लड़कियों का अनुपात = $(85 - 75) : (75 - 70) = 10 : 5 = 2 : 1$
छात्रों की कुल संख्या = $480$
लड़कों की संख्या = $\frac{2}{2+1} \times 480 = \frac{2}{3} \times 480 = 320$
अतः,परीक्षा में $320$ लड़के शामिल हुए थे।

(B) इसे एलिगेशन (मिश्रण) विधि का उपयोग करके हल करने के लिए,पहले सभी मानों को समान इकाई (पैसे) में बदलें।
पहली प्रकार की चाय की कीमत = $75$ पैसे।
दूसरी प्रकार की चाय की कीमत = ₹$5.50 = 550$ पैसे।
मिश्रण का औसत मूल्य = ₹$4.50 = 450$ पैसे।
एलिगेशन नियम का उपयोग करते हुए:
पहली चाय और दूसरी चाय का अनुपात = $(550 - 450) : (450 - 75)$
$= 100 : 375$
दोनों पक्षों को $25$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$= 4 : 15$
अतः,आवश्यक अनुपात $4:15$ है।

(C) एलिगेशन (मिश्रण) विधि का उपयोग करते हुए:
माना कि पहले प्रकार की चीनी की कीमत ₹ $5.50$ प्रति $kg$ है और दूसरे प्रकार की कीमत ₹ $4.80$ प्रति $kg$ है।
मिश्रण का औसत मूल्य ₹ $5.25$ प्रति $kg$ है।
एलिगेशन के नियम को लागू करने पर:
पहले प्रकार और दूसरे प्रकार की चीनी की मात्रा का अनुपात = $(5.25 - 4.80) : (5.50 - 5.25)$
$= 0.45 : 0.25$
$= 45 : 25 = 9 : 5$
दिया गया है कि दूसरे प्रकार की चीनी की मात्रा $60 \ kg$ है।
माना कि पहले प्रकार की चीनी की मात्रा $x \ kg$ है।
अतः,$\frac{x}{60} = \frac{9}{5}$
$x = \frac{60 \times 9}{5} = 12 \times 9 = 108 \ kg$.

(B) एलिगेशन (मिश्रण) के नियम का उपयोग करते हुए:
सस्ती चीनी की लागत = ₹ $4.50$ प्रति $kg$
महंगी चीनी की लागत = ₹ $5.75$ प्रति $kg$
मिश्रण का औसत मूल्य = ₹ $5.50$ प्रति $kg$
महंगी चीनी के लिए अंतर = $5.75 - 5.50 = 0.25$
सस्ती चीनी के लिए अंतर = $5.50 - 4.50 = 1.00$
सस्ती चीनी और महंगी चीनी का अनुपात = $1.00 : 0.25 = 4 : 1$
माना कि महंगी चीनी की मात्रा $x \, kg$ है।
दिया गया है,सस्ती चीनी की मात्रा = $75 \, kg$।
इसलिए,$\frac{75}{x} = \frac{1}{4}$
$x = 75 \times 4 = 300 \, kg$.

(C) माना कि स्पिरिट का लागत मूल्य $(C.P.)$ ₹$10$ प्रति लीटर है।
चूंकि मिश्रण को स्पिरिट के लागत मूल्य पर बेचा जाता है,इसलिए मिश्रण का विक्रय मूल्य $(S.P.)$ ₹$10$ प्रति लीटर है।
दिया गया लाभ $= 10 \%$.
मिश्रण का लागत मूल्य $(C.P.)$ $= \frac{S.P. \times 100}{100 + \text{लाभ } \%}$
मिश्रण का लागत मूल्य $= \frac{10 \times 100}{110} = ₹ \frac{100}{11}$ प्रति लीटर।
एलिगेशन (मिश्रण) के नियम का उपयोग करते हुए:
पानी का लागत मूल्य $= 0$
स्पिरिट का लागत मूल्य $= 10$
औसत मूल्य $= \frac{100}{11}$
पानी और स्पिरिट का अनुपात $= (10 - \frac{100}{11}) : (\frac{100}{11} - 0)$
$= \frac{10}{11} : \frac{100}{11} = 10 : 100 = 1 : 10$.

(B) $300\, gm$ घोल में नमक की प्रारंभिक मात्रा $= 300 \times 0.40 = 120\, gm$ है।
मान लीजिए कि $x\, gm$ नमक मिलाया जाता है।
नमक की नई मात्रा $= 120 + x$ होगी।
घोल का नया कुल वजन $= 300 + x$ होगा।
प्रश्न के अनुसार,नई सांद्रता $50 \%$ है,इसलिए:
$\frac{120 + x}{300 + x} = \frac{50}{100} = \frac{1}{2}$.
$2(120 + x) = 300 + x$.
$240 + 2x = 300 + x$.
$x = 300 - 240 = 60\, gm$.
वैकल्पिक रूप से,एलिगेशन विधि का उपयोग करते हुए:
प्रारंभिक सांद्रता $= 40 \%$,मिलाए गए नमक की सांद्रता $= 100 \%$,लक्षित सांद्रता $= 50 \%$.
प्रारंभिक घोल और मिलाए गए नमक का अनुपात $(100 - 50) : (50 - 40) = 50 : 10 = 5 : 1$ है।
चूंकि प्रारंभिक घोल $300\, gm$ है,इसलिए मिलाया गया नमक $= \frac{300}{5} \times 1 = 60\, gm$ होगा।

(B) माना पहली गाय का क्रय मूल्य $C_1$ और दूसरी गाय का $C_2$ है।
एलिगेशन (मिश्रण) विधि का उपयोग करते हुए:
पहली गाय पर हानि = $-6 \%$
दूसरी गाय पर लाभ = $7.5 \%$
कुल लाभ/हानि = $0 \%$
क्रय मूल्यों का अनुपात व्यक्तिगत लाभ/हानि प्रतिशत और कुल प्रतिशत के बीच के अंतर से प्राप्त होता है:
अनुपात = $(7.5 - 0) : (0 - (-6)) = 7.5 : 6 = 75 : 60 = 5 : 4$.
इस प्रकार,दोनों गायों की कीमत का अनुपात $5:4$ है।
पहली गाय की कीमत = $\frac{5}{5+4} \times 1350 = \frac{5}{9} \times 1350 = 5 \times 150 = ₹750$.
दूसरी गाय की कीमत = $\frac{4}{5+4} \times 1350 = \frac{4}{9} \times 1350 = 4 \times 150 = ₹600$.

(C) कुल छात्रों की संख्या $= 65$.
वितरित की गई कुल राशि $= 39$ रुपये $= 3900$ पैसे।
प्रति छात्र प्राप्त औसत राशि $= \frac{3900}{65} = 60$ पैसे।
मिश्रण के नियम (Alligation) का उपयोग करते हुए:
लड़के ($80$ पैसे) : लड़कियाँ ($30$ पैसे)
औसत मान $= 60$ पैसे।
लड़कों के लिए अंतर $= |60 - 30| = 30$।
लड़कियों के लिए अंतर $= |80 - 60| = 20$।
लड़कों और लड़कियों का अनुपात $= 30 : 20 = 3 : 2$।
लड़कों की संख्या $= \frac{3}{3+2} \times 65 = \frac{3}{5} \times 65 = 39$।
लड़कियों की संख्या $= \frac{2}{3+2} \times 65 = \frac{2}{5} \times 65 = 26$।

(A) मिश्रण (Alligation) की विधि का उपयोग करने पर:
पहले भाग पर लाभ = $10 \%$
दूसरे भाग पर हानि = $-5 \%$
कुल लाभ = $7 \%$
मिश्रण नियम लागू करने पर:
$|(-5) - 7| = 12$
$|10 - 7| = 3$
$10 \%$ लाभ और $5 \%$ हानि पर बेची गई मात्राओं का अनुपात = $12 : 3 = 4 : 1$
कुल मात्रा = $50 \ kg$
$10 \%$ लाभ पर बेची गई मात्रा = $\frac{4}{4+1} \times 50 = \frac{4}{5} \times 50 = 40 \ kg$
$5 \%$ हानि पर बेची गई मात्रा = $\frac{1}{4+1} \times 50 = \frac{1}{5} \times 50 = 10 \ kg$
अतः,बेची गई मात्राएँ $40 \ kg$ और $10 \ kg$ हैं।

(D) माना कुल राशि ₹ $5000$ है। $3$ वर्षों में अर्जित कुल ब्याज ₹ $750$ है।
औसत वार्षिक ब्याज दर की गणना इस प्रकार की जाती है:
$\text{औसत दर} = \frac{\text{कुल ब्याज} \times 100}{\text{मूलधन} \times \text{समय}} = \frac{750 \times 100}{5000 \times 3} = 5 \% \text{ प्रति वर्ष}$.
मिश्रण (Alligation) के नियम का उपयोग करते हुए:
- दर $1 = 3 \%$
- दर $2 = 8 \%$
- औसत दर = $5 \%$
दर $2$ और औसत दर के बीच का अंतर = $|8 - 5| = 3$
औसत दर और दर $1$ के बीच का अंतर = $|5 - 3| = 2$
$3 \%$ और $8 \%$ पर निवेश की गई राशियों का अनुपात $3 : 2$ है।
$3 \%$ पर निवेश की गई राशि = $\frac{3}{3+2} \times 5000 = \frac{3}{5} \times 5000 = ₹ 3000$.
$8 \%$ पर निवेश की गई राशि = $\frac{2}{3+2} \times 5000 = \frac{2}{5} \times 5000 = ₹ 2000$.

(D) माना $6 \%$ की दर पर उधार दी गई राशि $x$ है और $4 \%$ की दर पर उधार दी गई राशि $(7000 - x)$ है।
साधारण ब्याज के सूत्र $SI = \frac{P \times R \times T}{100}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{x \times 6 \times 5}{100} + \frac{(7000 - x) \times 4 \times 5}{100} = 1600$
$30x + 20(7000 - x) = 160000$
$30x + 140000 - 20x = 160000$
$10x = 20000$
$x = 2000$
वैकल्पिक रूप से,एलिगेशन विधि का उपयोग करने पर:
ब्याज की औसत दर $= \frac{1600 \times 100}{7000 \times 5} = \frac{32}{7} \%$.
राशियों का अनुपात $|4 - \frac{32}{7}| : |6 - \frac{32}{7}| = |\frac{28-32}{7}| : |\frac{42-32}{7}| = \frac{4}{7} : \frac{10}{7} = 2 : 5$ है।
$6 \%$ की दर पर उधार दी गई राशि $= \frac{2}{2+5} \times 7000 = \frac{2}{7} \times 7000 = ₹2000$.

(D) मिश्रण का कुल आयतन $= 729 \ ml$ है।
दूध और पानी का अनुपात $7:2$ है।
अनुपात के पदों का योग $= 7 + 2 = 9$ है।
दूध की मात्रा $= 729 \times \frac{7}{9} = 81 \times 7 = 567 \ ml$ है।
पानी की मात्रा $= 729 \times \frac{2}{9} = 81 \times 2 = 162 \ ml$ है।
माना कि मिलाए जाने वाले पानी की मात्रा $x \ ml$ है।
नए अनुपात $7:3$ के अनुसार:
$\frac{567}{162 + x} = \frac{7}{3}$ है।
तिर्यक गुणा करने पर: $567 \times 3 = 7 \times (162 + x)$।
$1701 = 1134 + 7x$।
$7x = 1701 - 1134 = 567$।
$x = \frac{567}{7} = 81 \ ml$।

(A) माना स्पिरिट का लागत मूल्य $(C.P.)$ ₹$1$ प्रति इकाई है।
चूंकि स्पिरिट को लागत मूल्य पर बेचा जाता है,इसलिए मिश्रण का विक्रय मूल्य $(S.P.)$ ₹$1$ प्रति इकाई है।
वांछित लाभ $= 20 \%$.
मिश्रण का लागत मूल्य $(C.P.)$ $= \frac{S.P. \times 100}{100 + \text{लाभ } \%}$
मिश्रण का लागत मूल्य $(C.P.)$ $= \frac{1 \times 100}{120} = \frac{5}{6}$ प्रति इकाई।
एलिगेशन (मिश्रण) विधि का उपयोग करने पर:
पानी का लागत मूल्य $= 0$
स्पिरिट का लागत मूल्य $= 1$
औसत मूल्य $= \frac{5}{6}$
पानी और स्पिरिट का अनुपात $= (1 - \frac{5}{6}) : (\frac{5}{6} - 0)$
$= \frac{1}{6} : \frac{5}{6} = 1 : 5$.
अतः,स्पिरिट में पानी $1:5$ के अनुपात में मिलाया जाना चाहिए।

(C) एलिगेशन (मिश्रण) की विधि का उपयोग करते हुए:
अधिकारी का औसत वेतन = ₹$10000$
श्रमिक का औसत वेतन = ₹$2000$
औसत वेतन = ₹$3000$
अधिकारियों के लिए अंतर = $|3000 - 2000| = 1000$
श्रमिकों के लिए अंतर = $|3000 - 10000| = 7000$
(अधिकारियों की संख्या) : (श्रमिकों की संख्या) का अनुपात = $1000 : 7000 = 1 : 7$
कुल कर्मचारी = $400$
अधिकारियों की संख्या = $\frac{1}{1+7} \times 400 = \frac{1}{8} \times 400 = 50$
श्रमिकों की संख्या = $400 - 50 = 350$
अतः,अधिकारियों की संख्या $50$ है और श्रमिकों की संख्या $350$ है।

(A) एलिगेशन (मिश्रण) की विधि का उपयोग करते हुए:
मान लीजिए चलने की चाल $7\, km/h$ है और दौड़ने की चाल $12\, km/h$ है।
औसत चाल = $\frac{100\, km}{10\, h} = 10\, km/h$.
एलिगेशन लागू करने पर:
$|12 - 10| = 2$
$|7 - 10| = 3$
चलने और दौड़ने में लिए गए समय का अनुपात $2:3$ है।
कुल समय = $10\, \text{घंटे}$.
चलने में लिया गया समय = $\frac{2}{2+3} \times 10 = 4\, \text{घंटे}$.
दौड़ने में लिया गया समय = $\frac{3}{2+3} \times 10 = 6\, \text{घंटे}$.
चलकर तय की गई दूरी = $7\, km/h \times 4\, h = 28\, km$.
दौड़कर तय की गई दूरी = $12\, km/h \times 6\, h = 72\, km$.
अतः,तय की गई दूरियाँ $28\, km$ और $72\, km$ हैं।

(B) एलिगेशन (मिश्रण) विधि का उपयोग करते हुए:
मजदूरों का औसत वेतन = ₹ $75$
पर्यवेक्षकों का औसत वेतन = ₹ $600$
सभी कर्मचारियों का औसत वेतन = ₹ $100$
एलिगेशन के नियम के अनुसार:
(मजदूरों की संख्या) : (पर्यवेक्षकों की संख्या) का अनुपात = $(600 - 100) : (100 - 75)$
$= 500 : 25$
$= 20 : 1$
दिया गया है कि मजदूरों की संख्या $840$ है।
माना पर्यवेक्षकों की संख्या $x$ है।
$\frac{840}{x} = \frac{20}{1}$
$x = \frac{840}{20} = 42$
अतः,पर्यवेक्षकों की संख्या $42$ है।

(B) इस प्रश्न में,कीमतों पर एलिगेशन (मिश्रण) विधि लागू होती है,इसलिए हमें पहले मिश्रण का क्रय मूल्य ($C$.$P$.) ज्ञात करना चाहिए।
मिश्रण का विक्रय मूल्य ($S$.$P$.) = ₹ $20$ प्रति लीटर
लाभ = $25 \%$
मिश्रण का क्रय मूल्य ($C$.$P$.) = $S.P. \times \frac{100}{100 + \text{लाभ } \%}$
$C$.$P$. = $20 \times \frac{100}{125} = 20 \times 0.8 = ₹ 16$ प्रति लीटर
अब,एलिगेशन विधि का उपयोग करते हुए:
रसायन की कीमत = ₹ $25$ प्रति लीटर
पानी की कीमत = ₹ $0$ प्रति लीटर
मिश्रण का औसत मूल्य = ₹ $16$ प्रति लीटर
रसायन और पानी का अनुपात = $(16 - 0) : (25 - 16) = 16 : 9$
अतः,आवश्यक अनुपात $16:9$ है।