Mixture and Alligation Questions in Hindi

(C) मान लीजिए बस द्वारा यात्रा में बिताया गया समय $t_1$ घंटे है और ट्रेन द्वारा यात्रा में बिताया गया समय $t_2$ घंटे है।
कुल समय $t_1 + t_2 = 6 \text{ घंटे}$।
कुल दूरी $= 40t_1 + 55t_2 = 285 \text{ km}$।
एलिगेशन विधि का उपयोग करते हुए:
बस की गति $= 40 \text{ km/h}$,ट्रेन की गति $= 55 \text{ km/h}$।
औसत गति $= \frac{285}{6} \text{ km/h} = 47.5 \text{ km/h}$।
बस के लिए अंतर $= |55 - 47.5| = 7.5$।
ट्रेन के लिए अंतर $= |40 - 47.5| = 7.5$।
समय का अनुपात (बस : ट्रेन) $= 7.5 : 7.5 = 1 : 1$।
चूंकि कुल समय $6 \text{ घंटे}$ है,इसलिए प्रत्येक माध्यम में बिताया गया समय $3 \text{ घंटे}$ है।
ट्रेन द्वारा तय की गई दूरी $= \text{गति} \times \text{समय} = 55 \text{ km/h} \times 3 \text{ h} = 165 \text{ km}$।

(A) मिश्रण (Alligation) की विधि का उपयोग करते हुए:
पहले भाग का लाभ प्रतिशत = $8 \%$
दूसरे भाग का लाभ प्रतिशत = $18 \%$
औसत लाभ प्रतिशत = $14 \%$
पहले भाग के लिए अंतर = $|18 - 14| = 4$
दूसरे भाग के लिए अंतर = $|8 - 14| = 6$
मात्राओं का अनुपात = $4 : 6 = 2 : 3$
कुल मात्रा = $50 \text{ kg}$
$18 \%$ लाभ पर बेची गई मात्रा = $\frac{3}{2 + 3} \times 50 = \frac{3}{5} \times 50 = 30 \text{ kg}$.

(D) मिश्रण (Alligation) की विधि का उपयोग करते हुए:
लाभ का हिस्सा = $10 \%$
हानि का हिस्सा = $-5 \%$
औसत लाभ = $7 \%$
मिश्रण का नियम लागू करने पर:
$(10 - 7) = 3$ (हानि वाले हिस्से के लिए)
$(7 - (-5)) = 12$ (लाभ वाले हिस्से के लिए)
$10 \%$ लाभ और $5 \%$ हानि पर बेची गई मात्रा का अनुपात = $12 : 3 = 4 : 1$.
कुल मात्रा = $50 \text{ kg}$.
$10 \%$ लाभ पर बेची गई मात्रा = $\frac{4}{4+1} \times 50 = \frac{4}{5} \times 50 = 40 \text{ kg}$.
$5 \%$ हानि पर बेची गई मात्रा = $\frac{1}{4+1} \times 50 = \frac{1}{5} \times 50 = 10 \text{ kg}$.

(A) मान लीजिए व्यय $300$ है और बचत $200$ है। तो,कुल आय $= 300 + 200 = 500$.
वृद्धि के बाद,नई आय $= 500 \times 1.10 = 550$.
नया व्यय $= 300 \times 1.12 = 336$.
नई बचत $= 550 - 336 = 214$.
बचत में वृद्धि $= 214 - 200 = 14$.
बचत में प्रतिशत वृद्धि $= (14 / 200) \times 100 = 7 \%$.
वैकल्पिक रूप से,एलिगेशन विधि का उपयोग करके:
मान लीजिए बचत में प्रतिशत वृद्धि $x$ है।
एलिगेशन नियम के अनुसार:
$(12 - 10) / (10 - x) = 2 / 3$
$2 / (10 - x) = 2 / 3$
$10 - x = 3$
$x = 7$.
अतः,बचत में $7 \%$ की वृद्धि होती है।

(C) एलिगेशन (Alligation) विधि का उपयोग करते हुए:
विलयन $A$ में अम्ल की सांद्रता $= 10 \%$
विलयन $B$ में अम्ल की सांद्रता $= 30 \%$
मिश्रण की औसत सांद्रता $= 25 \%$
एलिगेशन नियम लागू करने पर:
($A$ की मात्रा) / ($B$ की मात्रा) = ($B$ और औसत के बीच का अंतर) / (औसत और $A$ के बीच का अंतर)
($A$ की मात्रा) / ($B$ की मात्रा) = $(30 - 25) / (25 - 10)$
($A$ की मात्रा) / ($B$ की मात्रा) = $5 / 15$
($A$ की मात्रा) / ($B$ की मात्रा) = $1 / 3$
अतः,आवश्यक अनुपात $1:3$ है।

(D) मिश्रधातु की प्रति $kg$ औसत लागत मूल्य $(C.P.)$ की गणना भारित औसत सूत्र का उपयोग करके की जाती है:
औसत $C.P. = \frac{(3 \times 2000) + (1 \times 400)}{3 + 1}$
औसत $C.P. = \frac{6000 + 400}{4} = \frac{6400}{4} = ₹ 1600/kg$
इस मिश्रधातु के $8$ किलोग्राम की लागत ज्ञात करने के लिए,हम प्रति $kg$ लागत को कुल वजन से गुणा करते हैं:
कुल लागत $= 8 \times 1600 = ₹ 12800$.

(C) एलिगेशन (मिश्रण) के नियम का उपयोग करते हुए:
पहले प्रकार की लागत = ₹ $2500$ प्रति $kg$
दूसरे प्रकार की लागत = ₹ $1500$ प्रति $kg$
मिश्रण का औसत मूल्य = ₹ $2250$ प्रति $kg$
एलिगेशन विधि लागू करने पर:
(पहले प्रकार की मात्रा) / (दूसरे प्रकार की मात्रा) = (औसत मूल्य - दूसरे प्रकार की लागत) / (पहले प्रकार की लागत - औसत मूल्य)
अनुपात = $(2250 - 1500) / (2500 - 2250)$
अनुपात = $750 / 250$
अनुपात = $3 / 1$
अतः,आवश्यक अनुपात $3:1$ है।

(C) इथेनॉल का प्रारंभिक आयतन $= 80 \text{ लीटर}$।
पहली बार बदलने के बाद,शेष इथेनॉल की मात्रा $= 80 \times (1 - \frac{20}{80}) = 80 \times \frac{60}{80} = 60 \text{ लीटर}$।
दूसरी बार बदलने के बाद,शेष इथेनॉल की मात्रा $= 60 \times (1 - \frac{20}{80}) = 60 \times \frac{60}{80} = 45 \text{ लीटर}$।
ड्रम में तरल का कुल आयतन $80 \text{ लीटर}$ ही रहता है।
अतः,ड्रम में मौजूद पानी की मात्रा $= 80 - 45 = 35 \text{ लीटर}$ है।

(B) मान लीजिए प्रत्येक बोतल की क्षमता $63$ लीटर है ($7, 7, 9$ का लघुत्तम समापवर्त्य - $LCM$)।
तीनों बोतलों में दूध और पानी का अनुपात $2:5$,$3:4$ और $4:5$ है।
$1^{\text{ली}}$ बोतल के लिए: दूध $= \frac{2}{7} \times 63 = 18$ लीटर,पानी $= 63 - 18 = 45$ लीटर।
$2^{\text{री}}$ बोतल के लिए: दूध $= \frac{3}{7} \times 63 = 27$ लीटर,पानी $= 63 - 27 = 36$ लीटर।
$3^{\text{री}}$ बोतल के लिए: दूध $= \frac{4}{9} \times 63 = 28$ लीटर,पानी $= 63 - 28 = 35$ लीटर।
कुल दूध $= 18 + 27 + 28 = 73$ लीटर।
कुल पानी $= 45 + 36 + 35 = 116$ लीटर।
अतः,दूध और पानी का अभीष्ट अनुपात $73:116$ है।

(C) माना बेहतर किस्म की चीनी की लागत प्रति $kg$ $x$ है और घटिया किस्म की लागत प्रति $kg$ $y$ है।
माना मिश्रण की लागत प्रति $kg$ $M$ है।
प्रश्न के अनुसार:
$M = x - 0.50$ $(1)$
$M = y + 0.75$ $(2)$
$(1)$ से,$x - M = 0.50$.
$(2)$ से,$M - y = 0.75$.
एलिगेशन (Alligation) के नियम का उपयोग करते हुए,बेहतर किस्म और घटिया किस्म का अनुपात:
$\text{अनुपात} = \frac{M - y}{x - M} = \frac{0.75}{0.50}$.
अनुपात को सरल करने पर: $\frac{0.75}{0.50} = \frac{75}{50} = \frac{3}{2}$.
अतः,अनुपात $3:2$ है।

(A) दिया गया है:
मिश्रण का विक्रय मूल्य $(S.P.)$ $= ₹ 42$ प्रति $kg$.
लाभ प्रतिशत $= 20 \%$.
सबसे पहले,मिश्रण का क्रय मूल्य $(C.P.)$ ज्ञात करें:
$C.P. = \frac{S.P. \times 100}{100 + \text{लाभ } \%}$
$C.P. = \frac{42 \times 100}{100 + 20} = \frac{4200}{120} = ₹ 35$ प्रति $kg$.
अब,एलिगेशन (मिश्रण) के नियम का उपयोग करें:
पहली प्रकार की चीनी का मूल्य $= ₹ 30$ प्रति $kg$.
दूसरी प्रकार की चीनी का मूल्य $= ₹ 45$ प्रति $kg$.
औसत मूल्य $= ₹ 35$ प्रति $kg$.
एलिगेशन विधि का उपयोग करते हुए:
पहली चीनी और दूसरी चीनी का अनुपात $= (45 - 35) : (35 - 30)$
$= 10 : 5$
$= 2 : 1$.
अतः,अभीष्ट अनुपात $2:1$ है।

(C) मिश्रण का प्रारंभिक आयतन $= 80 \text{ litre}$ है।
दूध की मात्रा $= 80 \text{ का } 10 \% = 8 \text{ litre}$ है।
पानी की मात्रा $= 80 - 8 = 72 \text{ litre}$ है।
माना कि $x$ मात्रा में दूध मिलाया जाता है।
नए मिश्रण में,पानी की मात्रा $72 \text{ litre}$ ही रहेगी,जो नए कुल आयतन का $80 \%$ है।
माना कि नया कुल आयतन $V$ है।
$0.80 \times V = 72 \implies V = \frac{72}{0.80} = 90 \text{ litre}$ है।
मिलाए गए दूध की मात्रा $= V - 80 = 90 - 80 = 10 \text{ litre}$ है।

(C) दिया गया है:
मिश्रण का विक्रय मूल्य $(S.P)$ = ₹ $324$ प्रति $kg$
लाभ प्रतिशत = $20 \%$
चरण $1$: मिश्रण का क्रय मूल्य $(C.P)$ ज्ञात करें।
$C.P = \frac{S.P \times 100}{100 + \text{लाभ } \%}$
$C.P = \frac{324 \times 100}{120} = \frac{3240}{12} = ₹ 270$ प्रति $kg$
चरण $2$: एलिगेशन (मिश्रण) विधि का प्रयोग करें।
पहली प्रकार की चाय की कीमत = ₹ $240$ प्रति $kg$
दूसरी प्रकार की चाय की कीमत = ₹ $280$ प्रति $kg$
मिश्रण का औसत मूल्य = ₹ $270$ प्रति $kg$
एलिगेशन के नियम के अनुसार:
अनुपात = $(280 - 270) : (270 - 240)$
अनुपात = $10 : 30$
अनुपात = $1 : 3$
अतः,चाय को $1:3$ के अनुपात में मिलाया जाना चाहिए।

(C) तीनों बक्सों की क्षमता $24\, kg$,$36\, kg$ और $84\, kg$ है।
मिश्रण का कुल वजन $= 24 + 36 + 84 = 144\, kg$ है।
मिश्रण में $A$,$B$ और $C$ प्रकार के गेहूं का अनुपात $24 : 36 : 84$ है,जिसे सरल करने पर $2 : 3 : 7$ प्राप्त होता है।
कुल मिश्रण में $A$ प्रकार के गेहूं का हिस्सा $\frac{2}{2+3+7} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$ है।
चूंकि मिश्रण को वापस बक्सों में भरा जाता है,इसलिए तीसरे बक्से ($84\, kg$ क्षमता) में कुल मिश्रण के अनुपात के बराबर ही $A$ प्रकार के गेहूं होंगे।
तीसरे बक्से में $A$ प्रकार के गेहूं की मात्रा $= \frac{1}{6} \times 84 = 14\, kg$ होगी।

(B) चीनी के घोल का प्रारंभिक आयतन $3$ $litre$ है और इसमें $60 \%$ चीनी है।
चीनी की मात्रा $= 3 \text{ litre का } 60 \% = 0.60 \times 3 = 1.8 \text{ litre}$.
जब $1$ $litre$ पानी मिलाया जाता है,तो नए घोल का कुल आयतन $3 + 1 = 4 \text{ litre}$ हो जाता है।
चीनी की मात्रा $1.8 \text{ litre}$ स्थिर रहती है।
नए घोल में चीनी का प्रतिशत $= \left( \frac{1.8}{4} \right) \times 100 = 0.45 \times 100 = 45 \%.$

(B) घोल का प्रारंभिक आयतन $= 32 \text{ लीटर}$.
अल्कोहल की सांद्रता $= 20 \%$.
अल्कोहल की मात्रा $= 32 \times 0.20 = 6.4 \text{ लीटर}$.
मिलाया गया पानी $= 8 \text{ लीटर}$.
घोल का नया कुल आयतन $= 32 + 8 = 40 \text{ लीटर}$.
अल्कोहल की नई सांद्रता $= \left( \frac{6.4}{40} \right) \times 100 = 16 \%$.

(A) दिया है:
मिश्रण का विक्रय मूल्य $(S.P.)$ = ₹ $39$ प्रति $kg$
लाभ प्रतिशत = $30 \%$
चरण $1$: मिश्रण का क्रय मूल्य $(C.P.)$ ज्ञात करें।
$C.P. = S.P. \times \frac{100}{100 + \text{लाभ } \%}$
$C.P. = 39 \times \frac{100}{130} = 39 \times \frac{10}{13} = 3 \times 10 = ₹ 30$ प्रति $kg$
चरण $2$: एलिगेशन (Alligation) के नियम का उपयोग करें:
- पहले प्रकार के गेहूं की कीमत = ₹ $32$ प्रति $kg$
- दूसरे प्रकार के गेहूं की कीमत = ₹ $24$ प्रति $kg$
- औसत कीमत (मिश्रण का $C.P.$) = ₹ $30$ प्रति $kg$
एलिगेशन द्वारा:
(पहले की कीमत) $32$ --- (दूसरे की कीमत) $24$
\ /
$30$
/ \
(अंतर) $6$ --- (अंतर) $2$
अनुपात = $6 : 2 = 3 : 1$
अतः,अभीष्ट अनुपात $3:1$ है।

(B) चाय की कुल मात्रा $= 49 \ kg$.
असम चाय और दार्जिलिंग चाय का अनुपात $= 5:2$.
अनुपात के भागों का योग $= 5 + 2 = 7$.
असम चाय की मात्रा $= (5/7) \times 49 = 35 \ kg$.
दार्जिलिंग चाय की मात्रा $= (2/7) \times 49 = 14 \ kg$.
माना कि $x \ kg$ दार्जिलिंग चाय मिलाई जाती है।
दार्जिलिंग चाय की नई मात्रा $= 14 + x \ kg$.
प्रश्न के अनुसार,असम और दार्जिलिंग चाय का नया अनुपात $2:1$ है।
अतः,$35 / (14 + x) = 2 / 1$.
$35 = 2(14 + x)$.
$35 = 28 + 2x$.
$2x = 35 - 28 = 7$.
$x = 7 / 2 = 3.5 \ kg$.

(B) एलिगेशन (मिश्रण) के नियम का उपयोग करते हुए:
पहली चीनी का क्रय मूल्य = ₹ $12$ प्रति $kg$
दूसरी चीनी का क्रय मूल्य = ₹ $7$ प्रति $kg$
मिश्रण का औसत मूल्य = ₹ $8$ प्रति $kg$
एलिगेशन सूत्र लागू करने पर:
(पहली चीनी की मात्रा) : (दूसरी चीनी की मात्रा) = (औसत मूल्य - दूसरी चीनी का मूल्य) : (पहली चीनी का मूल्य - औसत मूल्य)
अनुपात = $(8 - 7) : (12 - 8)$
अनुपात = $1 : 4$
अतः,पंसारी को दोनों प्रकार की चीनी को $1:4$ के अनुपात में मिलाना चाहिए।

(B) मान लीजिए कि तीनों पात्रों का आयतन क्रमशः $2x, 3x,$ और $4x$ है।
$1^{st}$ पात्र: स्पिरिट और पानी का अनुपात $4:1$ है। कुल भाग = $5$।
स्पिरिट = $(4/5) \times 2x = 1.6x$,पानी = $(1/5) \times 2x = 0.4x$।
$2^{nd}$ पात्र: स्पिरिट और पानी का अनुपात $11:4$ है। कुल भाग = $15$।
स्पिरिट = $(11/15) \times 3x = 2.2x$,पानी = $(4/15) \times 3x = 0.8x$।
$3^{rd}$ पात्र: स्पिरिट और पानी का अनुपात $7:3$ है। कुल भाग = $10$।
स्पिरिट = $(7/10) \times 4x = 2.8x$,पानी = $(3/10) \times 4x = 1.2x$।
कुल स्पिरिट = $1.6x + 2.2x + 2.8x = 6.6x$।
कुल पानी = $0.4x + 0.8x + 1.2x = 2.4x$।
परिणामी अनुपात = $6.6x : 2.4x = 66 : 24 = 11 : 4$।

(D) मान लीजिए कि दो प्रकार के पीतल $A$ और $B$ हैं।
पीतल $A$ में,तांबे और जस्ते का अनुपात $8:3$ है। तांबे का अंश $\frac{8}{11}$ है और जस्ते का अंश $\frac{3}{11}$ है।
पीतल $B$ में,तांबे और जस्ते का अनुपात $15:7$ है। तांबे का अंश $\frac{15}{22}$ है और जस्ते का अंश $\frac{7}{22}$ है।
हम इन्हें $5:2$ के अनुपात में मिलाते हैं। मान लीजिए कि हम पीतल $A$ की $5$ इकाइयाँ और पीतल $B$ की $2$ इकाइयाँ लेते हैं।
कुल तांबा $= 5 \times \frac{8}{11} + 2 \times \frac{15}{22} = \frac{40}{11} + \frac{15}{11} = \frac{55}{11} = 5$.
कुल जस्ता $= 5 \times \frac{3}{11} + 2 \times \frac{7}{22} = \frac{15}{11} + \frac{7}{11} = \frac{22}{11} = 2$.
नए मिश्रण में तांबे और जस्ते का अनुपात $5:2$ है।

(A) माना $1$ लीटर पेट्रोल का क्रय मूल्य $(CP)$ $₹ 100$ है।
$1$ लीटर केरोसिन का क्रय मूल्य $₹ 100$ का $40 \% = ₹ 40$ है।
रामा $20 \%$ केरोसिन पेट्रोल के साथ मिलाता है। $1000 \text{ ml}$ पेट्रोल के लिए,वह $200 \text{ ml}$ केरोसिन मिलाता है।
मिश्रण का कुल क्रय मूल्य $(1200 \text{ ml})$ है: $100 + (0.2 \times 40) = 100 + 8 = ₹ 108$.
मिश्रण का विक्रय मूल्य $(SP)$ $(1200 \text{ ml})$ (पेट्रोल की कीमत पर बेचने पर) है: $100 + (0.2 \times 100) = ₹ 120$.
लाभ $= SP - CP = 120 - 108 = ₹ 12$.
लाभ प्रतिशत $= (\text{लाभ} / CP) \times 100 = (12 / 108) \times 100 = 100 / 9 = 11.11 \%$.

(A) प्रारंभिक दूध की मात्रा = $80 \text{ litre}$,प्रारंभिक पानी की मात्रा = $18 \text{ litre}$.
कुल मात्रा = $80 + 18 = 98 \text{ litre}$.
दूध और पानी का अनुपात = $80:18 = 40:9$.
जब $49 \text{ litre}$ मिश्रण निकाला जाता है,तो निकाला गया दूध = $49 \times (40/49) = 40 \text{ litre}$.
निकाला गया पानी = $49 \times (9/49) = 9 \text{ litre}$.
शेष दूध = $80 - 40 = 40 \text{ litre}$.
शेष पानी = $18 - 9 = 9 \text{ litre}$.
माना मिलाए गए दूध की मात्रा $2x \text{ litre}$ और पानी की मात्रा $x \text{ litre}$ है।
प्रश्न के अनुसार,नया अनुपात $(40 + 2x) / (9 + x) = 4/1$ है।
$40 + 2x = 4(9 + x)$.
$40 + 2x = 36 + 4x$.
$4x - 2x = 40 - 36$.
$2x = 4 \Rightarrow x = 2$.
मिलाए गए दूध की मात्रा = $2x = 2(2) = 4 \text{ litre}$.

(C) प्रारंभिक मिश्रण $= 120$ $litre$,पानी $= 25 \%$.
पानी $= 0.25 \times 120 = 30$ $litre$.
दूध $= 120 - 30 = 90$ $litre$.
$20$ $litre$ मिश्रण बेचने के बाद,शेष मिश्रण $= 120 - 20 = 100$ $litre$.
शेष $100$ $litre$ मिश्रण में,दूध और पानी का अनुपात समान रहेगा ($75 \%$ दूध और $25 \%$ पानी)।
$100$ $litre$ मिश्रण में पानी $= 0.25 \times 100 = 25$ $litre$.
$100$ $litre$ मिश्रण में दूध $= 0.75 \times 100 = 75$ $litre$.
$16.2$ $litre$ दूध और $3.8$ $litre$ पानी मिलाने के बाद:
नया दूध $= 75 + 16.2 = 91.2$ $litre$.
नया पानी $= 25 + 3.8 = 28.8$ $litre$.
कुल नया मिश्रण $= 91.2 + 28.8 = 120$ $litre$.
पानी का प्रतिशत $= (28.8 / 120) \times 100 = 24 \%$.

(D) मिश्रण का कुल आयतन $= 729 \, ml$ है।
दूध और पानी का अनुपात $= 7:2$ है।
अनुपात के भागों का योग $= 7 + 2 = 9$ है।
एक भाग का मान $= 729 / 9 = 81 \, ml$ है।
दूध की मात्रा $= 7 \times 81 = 567 \, ml$ है।
पानी की मात्रा $= 2 \times 81 = 162 \, ml$ है।
हमें पानी मिलाना है ताकि नया अनुपात $7:3$ हो जाए। चूंकि दूध की मात्रा समान रहती है $(567 \, ml)$,इसलिए नए अनुपात $7:3$ में $7$ भाग $567 \, ml$ के बराबर है।
नए अनुपात में एक भाग का मान $= 567 / 7 = 81 \, ml$ है।
पानी की आवश्यक मात्रा $= 3 \times 81 = 243 \, ml$ है।
मिलाया जाने वाला पानी $= 243 \, ml - 162 \, ml = 81 \, ml$ है।

(A) चरण $1$: मिश्रण का कुल क्रय मूल्य ज्ञात करें।
कुल क्रय मूल्य $= (30 \times 70) + (20 \times 70.75) = 2100 + 1415 = ₹ 3515$.
चरण $2$: मिश्रण का कुल विक्रय मूल्य ज्ञात करें।
कुल मात्रा $= 30 + 20 = 50 \text{ kg}$.
कुल विक्रय मूल्य $= 50 \times 80.50 = ₹ 4025$.
चरण $3$: कुल लाभ ज्ञात करें।
लाभ $= \text{कुल विक्रय मूल्य} - \text{कुल क्रय मूल्य} = 4025 - 3515 = ₹ 510$.

(C) प्रारंभिक घोल की मात्रा = $300$ $grams$.
प्रारंभिक घोल में चीनी की मात्रा = $300$ का $40 \% = 0.40 \times 300 = 120$ $grams$.
प्रारंभिक घोल में पानी की मात्रा = $300 - 120 = 180$ $grams$.
माना कि घोल में $x$ $grams$ चीनी मिलाई जाती है।
चीनी की नई मात्रा = $120 + x$ $grams$.
घोल की नई कुल मात्रा = $300 + x$ $grams$.
प्रश्न के अनुसार,चीनी की नई सांद्रता $50 \%$ है,इसलिए:
$(120 + x) / (300 + x) = 50 / 100 = 1 / 2$.
तिर्यक गुणा करने पर: $2(120 + x) = 300 + x$.
$240 + 2x = 300 + x$.
$2x - x = 300 - 240$.
$x = 60$ $grams$.

(D) मान लीजिए कि प्रत्येक गिलास का आयतन $1$ इकाई है।
पहले गिलास में,एसिड की मात्रा $\frac{2}{5}$ और पानी की मात्रा $\frac{3}{5}$ है।
दूसरे गिलास में,एसिड की मात्रा $\frac{3}{7}$ और पानी की मात्रा $\frac{4}{7}$ है।
तीसरे गिलास में,एसिड की मात्रा $\frac{4}{9}$ और पानी की मात्रा $\frac{5}{9}$ है।
बड़े बर्तन में कुल एसिड $= \frac{2}{5} + \frac{3}{7} + \frac{4}{9} = \frac{126 + 135 + 140}{315} = \frac{401}{315}$।
बड़े बर्तन में कुल पानी $= \frac{3}{5} + \frac{4}{7} + \frac{5}{9} = \frac{189 + 180 + 175}{315} = \frac{544}{315}$।
अतः,एसिड और पानी का आवश्यक अनुपात $= \frac{401}{315} : \frac{544}{315} = 401:544$।

(D) मिश्रधातु $A$ के $60\, kg$ में,सीसे और टिन का अनुपात $3:2$ है।
मिश्रधातु $A$ में टिन की मात्रा = $\frac{2}{3+2} \times 60 = \frac{2}{5} \times 60 = 24\, kg$.
मिश्रधातु $B$ के $100\, kg$ में,टिन और तांबे का अनुपात $1:4$ है।
मिश्रधातु $B$ में टिन की मात्रा = $\frac{1}{1+4} \times 100 = \frac{1}{5} \times 100 = 20\, kg$.
नई मिश्रधातु में टिन की कुल मात्रा = (मिश्रधातु $A$ में टिन) + (मिश्रधातु $B$ में टिन) = $24\, kg + 20\, kg = 44\, kg$.

(D) मान लीजिए कि पहली मिश्र धातु का वजन $3x$ और दूसरी मिश्र धातु का वजन $4x$ है।
पहली मिश्र धातु $(A)$ में,टिन और लोहे का अनुपात $1:2$ है। कुल भाग = $1+2=3$.
$A$ में टिन की मात्रा = $\frac{1}{3} \times 3x = x$.
$A$ में लोहे की मात्रा = $\frac{2}{3} \times 3x = 2x$.
दूसरी मिश्र धातु $(B)$ में,टिन और लोहे का अनुपात $2:3$ है। कुल भाग = $2+3=5$.
$B$ में टिन की मात्रा = $\frac{2}{5} \times 4x = \frac{8x}{5}$.
$B$ में लोहे की मात्रा = $\frac{3}{5} \times 4x = \frac{12x}{5}$.
नए मिश्रण में कुल टिन = $x + \frac{8x}{5} = \frac{13x}{5}$.
नए मिश्रण में कुल लोहा = $2x + \frac{12x}{5} = \frac{22x}{5}$.
नई मिश्र धातु में टिन और लोहे का अनुपात = $\frac{13x}{5} : \frac{22x}{5} = 13:22$.

(B) $20$ लीटर के प्रारंभिक मिश्रण में:
अल्कोहल $= 20 \times \frac{20}{100} = 4$ लीटर।
पानी $= 20 - 4 = 16$ लीटर।
जब $4$ लीटर पानी मिलाया जाता है:
पानी की नई मात्रा $= 16 + 4 = 20$ लीटर।
मिश्रण की नई कुल मात्रा $= 20 + 4 = 24$ लीटर।
नए मिश्रण में अल्कोहल का प्रतिशत इस प्रकार ज्ञात किया जाता है:
$\text{प्रतिशत} = \left( \frac{\text{अल्कोहल की मात्रा}}{\text{मिश्रण की कुल मात्रा}} \right) \times 100$
$\text{प्रतिशत} = \left( \frac{4}{24} \right) \times 100 = \frac{1}{6} \times 100 = \frac{50}{3} = 16 \frac{2}{3} \%$।

(D) माना प्रत्येक पात्र की क्षमता $x$ लीटर है।
पहले पात्र में:
दूध $= \frac{3}{4}x$ लीटर
पानी $= \frac{1}{4}x$ लीटर
दूसरे पात्र में:
दूध $= \frac{5}{7}x$ लीटर
पानी $= \frac{2}{7}x$ लीटर
दोनों को मिलाने पर,दूध की कुल मात्रा:
दूध $= \frac{3}{4}x + \frac{5}{7}x = \frac{21x + 20x}{28} = \frac{41x}{28}$ लीटर
पानी की कुल मात्रा:
पानी $= \frac{1}{4}x + \frac{2}{7}x = \frac{7x + 8x}{28} = \frac{15x}{28}$ लीटर
अतः,दूध और पानी का अभीष्ट अनुपात:
$\frac{41x}{28} : \frac{15x}{28} = 41:15$

(B) प्रारंभ में:
बर्तन $A$ में दूध = $40$ $\text{लीटर}$
बर्तन $B$ में पानी = $22$ $\text{लीटर}$
पहली प्रक्रिया के बाद ($A$ से $8$ $\text{लीटर}$ दूध $B$ में स्थानांतरित करने पर):
बर्तन $A$ में दूध = $40 - 8 = 32$ $\text{लीटर}$
बर्तन $B$ में दूध = $8$ $\text{लीटर}$
बर्तन $B$ में पानी = $22$ $\text{लीटर}$
बर्तन $B$ में कुल मिश्रण = $8 + 22 = 30$ $\text{लीटर}$
दूसरी प्रक्रिया के बाद ($B$ से $6$ $\text{लीटर}$ मिश्रण $A$ में स्थानांतरित करने पर):
निकाले गए मिश्रण का अंश = $\frac{6}{30} = \frac{1}{5}$ है।
$B$ से निकाला गया दूध = $\frac{1}{5} \times 8 = \frac{8}{5}$ $\text{लीटर}$.
$B$ से निकाला गया पानी = $\frac{1}{5} \times 22 = \frac{22}{5}$ $\text{लीटर}$.
बर्तन $A$ में दूध की अंतिम मात्रा = $32 + \frac{8}{5} = \frac{160 + 8}{5} = \frac{168}{5}$ $\text{लीटर}$.
बर्तन $B$ में पानी की अंतिम मात्रा = $22 - \frac{22}{5} = \frac{110 - 22}{5} = \frac{88}{5}$ $\text{लीटर}$.
आवश्यक अनुपात = $\frac{168}{5} : \frac{88}{5} = 168 : 88 = 21 : 11$.

(A) मान लीजिए कि मिश्रणों को $x:y$ के अनुपात में मिलाया जाता है।
पात्र $A$ में,दूध का अंश $\frac{4}{4+3} = \frac{4}{7}$ है।
पात्र $B$ में,दूध का अंश $\frac{2}{2+3} = \frac{2}{5}$ है।
अंतिम मिश्रण $C$ में,दूध और पानी का अनुपात $1:1$ है,इसलिए दूध का अंश $\frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$ है।
एलिगेशन (मिश्रण) के नियम का उपयोग करते हुए:
अंतर $1$ ($B$ और $C$ के बीच) $= \frac{1}{2} - \frac{2}{5} = \frac{5-4}{10} = \frac{1}{10}$.
अंतर $2$ ($A$ और $C$ के बीच) $= \frac{4}{7} - \frac{1}{2} = \frac{8-7}{14} = \frac{1}{14}$.
आवश्यक अनुपात $x:y$ इन अंतरों का अनुपात है:
$x:y = \frac{1}{10} : \frac{1}{14} = \frac{14}{10} = \frac{7}{5}$.
अतः,तरल पदार्थों को $7:5$ के अनुपात में मिलाया जाना चाहिए।

(B) एलिगेशन (मिश्रण) के नियम का उपयोग करते हुए:
हमारे पास दो सांद्रताएँ हैं: $25 \%$ और $60 \%$.
वांछित औसत सांद्रता $40 \%$ है।
$60$ और $40$ के बीच का अंतर $= 20$.
$40$ और $25$ के बीच का अंतर $= 15$.
पहली सांद्रता और दूसरी सांद्रता का अनुपात $20: 15$ है।
$20: 15$ अनुपात को $5$ से विभाजित करने पर,हमें $4: 3$ प्राप्त होता है।
अतः,आवश्यक अनुपात $4: 3$ है।

(C) $30 \text{ kg}$ चावल का कुल क्रय मूल्य $= 30 \times 10 = ₹ 300$.
$35 \text{ kg}$ चावल का कुल क्रय मूल्य $= 35 \times 11 = ₹ 385$.
मिश्रण का कुल क्रय मूल्य $= 300 + 385 = ₹ 685$.
मिश्रण की कुल मात्रा $= 30 + 35 = 65 \text{ kg}$.
$30\%$ लाभ प्राप्त करने के लिए,कुल विक्रय मूल्य $= ₹ 685 \times (1 + 30/100) = 685 \times 1.3 = ₹ 890.5$ होना चाहिए।
प्रति $\text{kg}$ विक्रय मूल्य $= 890.5 / 65 = ₹ 13.7$।

(B) मान लीजिए कि प्रत्येक बर्तन का कुल आयतन उनके भागों के योग $(13, 14, 15)$ के लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ के बराबर है,जो $2730$ है।
बर्तन $1$ के लिए ($6:7$,योग $= 13$): पानी $= (6/13) \times 2730 = 1260$,दूध $= (7/13) \times 2730 = 1470$.
बर्तन $2$ के लिए ($5:9$,योग $= 14$): पानी $= (5/14) \times 2730 = 975$,दूध $= (9/14) \times 2730 = 1755$.
बर्तन $3$ के लिए ($8:7$,योग $= 15$): पानी $= (8/15) \times 2730 = 1456$,दूध $= (7/15) \times 2730 = 1274$.
कुल पानी $= 1260 + 975 + 1456 = 3691$.
कुल दूध $= 1470 + 1755 + 1274 = 4499$.
पानी और दूध का आवश्यक अनुपात $3691:4499$ है।

(B) प्रारंभिक मिश्रण $= 40$ लीटर।
अल्कोहल और पानी का अनुपात $= 5:3$।
जब $8$ लीटर मिश्रण निकाल लिया जाता है,तो शेष मिश्रण $= 40 - 8 = 32$ लीटर।
शेष $32$ लीटर में,अल्कोहल की मात्रा $= \frac{5}{8} \times 32 = 20$ लीटर।
पानी की मात्रा $= \frac{3}{8} \times 32 = 12$ लीटर।
अब,मिश्रण में $8$ लीटर पानी मिलाया जाता है।
अल्कोहल की नई मात्रा $= 20$ लीटर।
पानी की नई मात्रा $= 12 + 8 = 20$ लीटर।
अतः,अल्कोहल और पानी का अभीष्ट अनुपात $= 20:20 = 1:1$।

(B) एलिगेशन (मिश्रण) की विधि का उपयोग करते हुए,हम प्रत्येक मिश्रण में दूध के अंश पर विचार करते हैं।
पहले बर्तन में,दूध का अंश $\frac{3}{3+2} = \frac{3}{5}$ है।
दूसरे बर्तन में,दूध का अंश $\frac{7}{7+3} = \frac{7}{10}$ है।
अंतिम मिश्रण में दूध का वांछित अंश $\frac{2}{2+1} = \frac{2}{3}$ है।
एलिगेशन नियम लागू करने पर:
बर्तन $I$ और बर्तन $II$ का अनुपात $= \left| \frac{7}{10} - \frac{2}{3} \right| : \left| \frac{3}{5} - \frac{2}{3} \right|$
$= \left| \frac{21-20}{30} \right| : \left| \frac{9-10}{15} \right|$
$= \frac{1}{30} : \frac{1}{15}$
$= \frac{1}{30} : \frac{2}{30}$
$= 1:2$.

(C) माना तरल $A$ की प्रारंभिक मात्रा $7x$ लीटर है और तरल $B$ की मात्रा $5x$ लीटर है।
कुल प्रारंभिक मात्रा $= 7x + 5x = 12x$ लीटर।
जब $9$ लीटर मिश्रण निकाला जाता है,तो निकाले गए $A$ की मात्रा $\frac{7}{12} \times 9 = \frac{21}{4}$ लीटर है,और निकाले गए $B$ की मात्रा $\frac{5}{12} \times 9 = \frac{15}{4}$ लीटर है।
$A$ की शेष मात्रा $= 7x - \frac{21}{4}$।
$B$ की शेष मात्रा $= 5x - \frac{15}{4} + 9 = 5x + \frac{21}{4}$।
प्रश्न के अनुसार,नया अनुपात $7:9$ है:
$\frac{7x - 21/4}{5x + 21/4} = \frac{7}{9}$।
$9(7x - 5.25) = 7(5x + 5.25)$।
$63x - 47.25 = 35x + 36.75$।
$28x = 84$।
$x = 3$।
$A$ की प्रारंभिक मात्रा $= 7x = 7 \times 3 = 21$ लीटर।

(D) माना मूल मिश्रण में एसिड की मात्रा $x$ लीटर है और पानी की मात्रा $3x$ लीटर है।
प्रश्न के अनुसार,जब $5$ लीटर एसिड मिलाया जाता है,तो एसिड और पानी का नया अनुपात $1:2$ हो जाता है।
अतः,$\frac{x+5}{3x} = \frac{1}{2}$.
तिर्यक गुणा करने पर,$2(x+5) = 3x$ प्राप्त होता है।
$2x + 10 = 3x$.
$3x - 2x = 10$,जिससे $x = 10$ प्राप्त होता है।
मूल मिश्रण की मात्रा $x + 3x = 4x = 4(10) = 40$ लीटर थी।
$5$ लीटर एसिड मिलाने के बाद,नए मिश्रण की मात्रा $40 + 5 = 45$ लीटर है।

(A) माना मिश्रण का कुल आयतन $V$ है। प्रारंभ में,एसिड की मात्रा $0.8V$ और पानी की मात्रा $0.2V$ है।
माना मिश्रण का $x$ भाग हटाकर पानी से बदल दिया जाता है।
$xV$ मिश्रण हटाने के बाद,शेष एसिड $0.8V(1-x)$ है।
$xV$ पानी मिलाने के बाद,पानी की नई मात्रा $0.2V(1-x) + xV$ हो जाती है।
एसिड और पानी का नया अनुपात $4:3$ दिया गया है,इसलिए:
$\frac{0.8V(1-x)}{0.2V(1-x) + xV} = \frac{4}{3}$
$\frac{0.8(1-x)}{0.2 + 0.8x} = \frac{4}{3}$
$2.4(1-x) = 4(0.2 + 0.8x)$
$2.4 - 2.4x = 0.8 + 3.2x$
$1.6 = 5.6x$
$x = 2/7$.

(D) प्रारंभ में,मिश्रण में $80 \%$ एसिड और $20 \%$ पानी है,इसलिए एसिड : पानी का अनुपात $= 80:20 = 4:1$ है।
माना मिश्रण का कुल आयतन $1$ इकाई है। माना मिश्रण का $x$ भाग निकालकर उसके स्थान पर पानी मिलाया जाता है।
मिश्रण का $x$ भाग निकालने के बाद,शेष मिश्रण $(1-x)$ है।
शेष एसिड की मात्रा $4(1-x)/5$ है और शेष पानी की मात्रा $(1-x)/5$ है।
$x$ मात्रा में पानी मिलाने के बाद,पानी की नई मात्रा $(1-x)/5 + x$ हो जाती है।
प्रश्न के अनुसार,एसिड और पानी का नया अनुपात $4:3$ है:
$\frac{4(1-x)/5}{(1-x)/5 + x} = \frac{4}{3}$
$\frac{4(1-x)}{1-x+5x} = \frac{4}{3}$
$\frac{1-x}{1+4x} = \frac{1}{3}$
$3 - 3x = 1 + 4x$
$7x = 2$
$x = \frac{2}{7}$

(C) माना मिश्रधातु $A$ का वजन $1 \text{ kg}$ है।
$\therefore$ $A$ में सोना $= \frac{7}{9} \text{ kg}$ और तांबा $= \frac{2}{9} \text{ kg}$ है।
$1 \text{ kg}$ मिश्रधातु $B$ में,सोना $= \frac{7}{18} \text{ kg}$ और तांबा $= \frac{11}{18} \text{ kg}$ है।
चूंकि समान मात्रा को मिलाया गया है,मिश्रधातु $C$ में कुल सोना $= \frac{7}{9} + \frac{7}{18} = \frac{14+7}{18} = \frac{21}{18} \text{ kg}$ होगा।
मिश्रधातु $C$ में कुल तांबा $= \frac{2}{9} + \frac{11}{18} = \frac{4+11}{18} = \frac{15}{18} \text{ kg}$ होगा।
$\therefore$ $C$ में सोने और तांबे का आवश्यक अनुपात $= \frac{21}{18} : \frac{15}{18} = 21 : 15 = 7 : 5$ होगा।

(C) माना कि पहले मिश्रण और दूसरे मिश्रण का अनुपात $x:y$ है।
पहली बोतल में एसिड का भाग $\frac{2}{2+5} = \frac{2}{7}$ है।
दूसरी बोतल में एसिड का भाग $\frac{7}{7+3} = \frac{7}{10}$ है।
अंतिम मिश्रण में एसिड का भाग $\frac{2}{2+3} = \frac{2}{5}$ है।
एलिगेशन (Alligation) के नियम का उपयोग करते हुए:
दूसरे मिश्रण और अंतिम मिश्रण के बीच का अंतर: $\frac{7}{10} - \frac{2}{5} = \frac{7-4}{10} = \frac{3}{10}$।
अंतिम मिश्रण और पहले मिश्रण के बीच का अंतर: $\frac{2}{5} - \frac{2}{7} = \frac{14-10}{35} = \frac{4}{35}$।
अतः,अनुपात $x:y = \frac{3}{10} : \frac{4}{35}$ है।
दोनों पक्षों को $70$ से गुणा करने पर,हमें $x:y = (\frac{3}{10} \times 70) : (\frac{4}{35} \times 70) = 21 : 8$ प्राप्त होता है।

(C) पानी के सापेक्ष दूध की न्यूनतम मात्रा वाला बर्तन खोजने के लिए,हम प्रत्येक मिश्रण में दूध का भिन्न ज्ञात करते हैं:
$1$. पहला बर्तन: $\frac{5}{5+3} = \frac{5}{8} = 0.625$
$2$. दूसरा बर्तन: $\frac{2}{2+1} = \frac{2}{3} \approx 0.666$
$3$. तीसरा बर्तन: $\frac{3}{3+2} = \frac{3}{5} = 0.600$
$4$. चौथा बर्तन: $\frac{7}{7+4} = \frac{7}{11} \approx 0.636$
मानों की तुलना करने पर: $0.600 < 0.625 < 0.636 < 0.666$.
न्यूनतम मान $0.6$ है,जो तीसरे बर्तन के लिए है।