Mixture and Alligation Questions in Hindi

(B) मिश्रण का कुल आयतन $= 60 \ L$ है।
दूध और पानी का अनुपात $7:5$ है।
अनुपात के भागों का योग $= 7 + 5 = 12$ है।
दूध की मात्रा $= (7/12) \times 60 = 35 \ L$ है।
पानी की मात्रा $= (5/12) \times 60 = 25 \ L$ है।
अनुपात को $1:1$ करने के लिए,पानी की मात्रा दूध की मात्रा के बराबर होनी चाहिए।
आवश्यक पानी की मात्रा $= 35 \ L$ है।
मिलाया जाने वाला पानी $= 35 \ L - 25 \ L = 10 \ L$ है।

(A) मिश्रण का कुल आयतन $30$ $L$ है और दूध तथा पानी का अनुपात $8:7$ है।
अनुपात के पदों का योग $= 8 + 7 = 15$.
दूध की मात्रा $= (8/15) \times 30 = 16$ $L$.
पानी की मात्रा $= (7/15) \times 30 = 14$ $L$.
माना मिश्रण में $x$ $L$ पानी मिलाया जाता है।
नया दूध और पानी का अनुपात $4:5$ हो जाता है।
अतः,$16 / (14 + x) = 4 / 5$.
तिर्यक गुणा करने पर: $16 \times 5 = 4 \times (14 + x)$.
$80 = 56 + 4x$.
$4x = 80 - 56 = 24$.
$x = 6$ $L$.
अतः,$6$ $L$ पानी मिलाया जाना चाहिए।

(C) एलिगेशन (मिश्रण) विधि का उपयोग करते हुए:
पहले तेल का क्रय मूल्य = $Rs. 62$ प्रति $kg$
दूसरे तेल का क्रय मूल्य = $Rs. 72$ प्रति $kg$
मिश्रण का औसत मूल्य = $Rs. 64.50$ प्रति $kg$
एलिगेशन नियम लागू करने पर:
पहले तेल और दूसरे तेल का अनुपात = (औसत मूल्य - दूसरे तेल का क्रय मूल्य) : (पहले तेल का क्रय मूल्य - औसत मूल्य)
अनुपात = $(72 - 64.50) : (64.50 - 62)$
अनुपात = $7.50 : 2.50$
अनुपात = $3 : 1$
अतः,तेल को $3:1$ के अनुपात में मिलाया जाना चाहिए।

(B) $60 \, ltr$ के मिश्रण में पानी की प्रारंभिक मात्रा $= \frac{20}{100} \times 60 = 12 \, ltr$ है।
मिश्रण में दूध की मात्रा $= 60 \, ltr - 12 \, ltr = 48 \, ltr$ है।
नए मिश्रण में पानी $25 \%$ है, जिसका अर्थ है कि दूध $100 \% - 25 \% = 75 \%$ है।
चूंकि केवल पानी मिलाया जा रहा है, इसलिए दूध की मात्रा $48 \, ltr$ स्थिर रहेगी।
मान लीजिए कि नए मिश्रण की कुल मात्रा $x \, ltr$ है।
शर्त के अनुसार, $x$ का $75 \% = 48 \, ltr$ है।
$\frac{75}{100} \times x = 48 \Rightarrow \frac{3}{4} \times x = 48$.
$x = 48 \times \frac{4}{3} = 64 \, ltr$.
मिलाए जाने वाले पानी की मात्रा नई कुल मात्रा और प्रारंभिक कुल मात्रा के बीच का अंतर है: $64 \, ltr - 60 \, ltr = 4 \, ltr$।

(C) एलिगेशन (मिश्रण) के नियम के अनुसार:
सस्ती कीमत $(Rs. 15)$ और महंगी कीमत $(Rs. 20)$ को मिलाकर $Rs. 16.50$ का औसत मूल्य प्राप्त किया जाता है।
महंगी कीमत और औसत मूल्य के बीच का अंतर $= 20 - 16.50 = 3.50$।
औसत मूल्य और सस्ती कीमत के बीच का अंतर $= 16.50 - 15 = 1.50$।
आवश्यक अनुपात $= (\text{महंगी और औसत के बीच का अंतर}) : (\text{औसत और सस्ती के बीच का अंतर})$
आवश्यक अनुपात $= 3.50 : 1.50 = 35 : 15 = 7 : 3$।

(C) मान लीजिए कि $1$ लीटर शुद्ध दूध का लागत मूल्य $(CP)$ $1$ इकाई है।
चूंकि दूधवाला मिश्रण को शुद्ध दूध के लागत मूल्य पर बेचता है,इसलिए $1$ लीटर मिश्रण का विक्रय मूल्य $(SP)$ $1$ इकाई है।
उसे $25 \%$ का लाभ होता है,इसलिए $1$ लीटर मिश्रण का लागत मूल्य $(CP)$ इस प्रकार है:
$CP = \frac{SP}{1 + \text{Gain} \%} = \frac{1}{1 + 0.25} = \frac{1}{1.25} = \frac{100}{125} = \frac{4}{5}$ इकाई।
एलिगेशन (मिश्रण) के नियम का उपयोग करते हुए:
- पानी का लागत मूल्य = $0$
- दूध का लागत मूल्य = $1$
- औसत मूल्य = $\frac{4}{5}$
पानी और दूध का अनुपात = $(1 - \frac{4}{5}) : (\frac{4}{5} - 0) = \frac{1}{5} : \frac{4}{5} = 1 : 4$।
इसका मतलब है कि मिश्रण के $5$ भागों में $1$ भाग पानी है।
पानी का प्रतिशत = $(\frac{1}{1 + 4}) \times 100 \% = \frac{1}{5} \times 100 \% = 20 \%$।

(B) एलिगेशन (मिश्रण) के नियम का उपयोग करते हुए:
पहले प्रकार के चावल का मूल्य = $Rs. 7.20$ प्रति $kg$
दूसरे प्रकार के चावल का मूल्य = $Rs. 5.70$ प्रति $kg$
मिश्रण का औसत मूल्य = $Rs. 6.30$ प्रति $kg$
एलिगेशन के नियम के अनुसार,मात्राओं का अनुपात:
(औसत मूल्य - दूसरे प्रकार का मूल्य) : (पहले प्रकार का मूल्य - औसत मूल्य)
$= (6.30 - 5.70) : (7.20 - 6.30)$
$= 0.60 : 0.90$
$= 6 : 9$
$= 2 : 3$
अतः,अभीष्ट अनुपात $2:3$ है।

(B) व्यावसायिक साझेदारी में, लाभ उसी अनुपात में वितरित किया जाता है जिस अनुपात में भागीदारों द्वारा पूंजी का निवेश किया जाता है।
आदित्य का निवेश $= 45000$ है।
संजय का निवेश $= 30000$ है।
लाभ का आवश्यक अनुपात $= \text{आदित्य का निवेश} : \text{संजय का निवेश}$
$= 45000 : 30000$
$= 45 : 30$
$= 3 : 2$
अतः, उनके लाभ के बीच का अनुपात $3:2$ है।

(A) मिश्रण के नियम (Rule of Alligation) का उपयोग करते हुए:
पहली प्रकार की चीनी का मूल्य = $Rs. 2.00$ प्रति $kg$
दूसरी प्रकार की चीनी का मूल्य = $Rs. 3.50$ प्रति $kg$
मिश्रण का औसत मूल्य = $Rs. 2.50$ प्रति $kg$
मिश्रण के नियम के अनुसार:
(पहली चीनी की मात्रा) / (दूसरी चीनी की मात्रा) = (दूसरी चीनी का मूल्य - औसत मूल्य) / (औसत मूल्य - पहली चीनी का मूल्य)
अनुपात = $(3.50 - 2.50) : (2.50 - 2.00)$
अनुपात = $1.00 : 0.50$
अनुपात = $100 : 50 = 2 : 1$
अतः,आवश्यक अनुपात $2:1$ है।

(C) घोल की प्रारंभिक मात्रा $= 600 \, gm$.
चीनी की प्रारंभिक मात्रा $= 600 \text{ का } 40 \% = \frac{40}{100} \times 600 = 240 \, gm$.
पानी की प्रारंभिक मात्रा $= 600 - 240 = 360 \, gm$.
माना कि मिलाई जाने वाली चीनी की मात्रा $x \, gm$ है।
चीनी मिलाने के बाद,चीनी की नई मात्रा $= 240 + x \, gm$.
घोल की नई कुल मात्रा $= 600 + x \, gm$.
हम घोल में चीनी की नई सांद्रता $50 \%$ चाहते हैं,जिसका अर्थ है कि चीनी और कुल घोल का अनुपात $\frac{1}{2}$ है।
$\frac{240 + x}{600 + x} = \frac{50}{100} = \frac{1}{2}$.
$2(240 + x) = 600 + x$.
$480 + 2x = 600 + x$.
$2x - x = 600 - 480$.
$x = 120 \, gm$.

(D) एलिगेशन (मिश्रण) के नियम का उपयोग करते हुए:
सोने का घनत्व $= 21$
तांबे का घनत्व $= 11$
मिश्रण का औसत घनत्व $= 17$
एलिगेशन नियम लागू करने पर:
(सोना) : (तांबा) = $(17 - 11) : (21 - 17)$
(सोना) : (तांबा) = $6 : 4$
अनुपात को सरल करने पर,हमें $3 : 2$ प्राप्त होता है।

(D) एलिगेशन (मिश्रण) विधि का उपयोग करते हुए:
पहले भाग पर लाभ = $12 \%$
दूसरे भाग पर हानि = $-8 \%$
कुल लाभ = $11 \%$
एलिगेशन लागू करने पर:
$12 \%$ लाभ पर बेची गई पुस्तकों और $8 \%$ हानि पर बेची गई पुस्तकों का अनुपात = $(11 - (-8)) : (12 - 11) = 19 : 1$
कुल भाग = $19 + 1 = 20$
$12 \%$ लाभ पर बेची गई पुस्तकों की संख्या = $\frac{19}{20} \times 100 = 95$

(B) तीनों टबों में दूध और पानी का अनुपात $5:2, 4:3$ और $3:1$ है।
पहले टब में दूध का भाग $= \frac{5}{5+2} = \frac{5}{7}$ है।
दूसरे टब में दूध का भाग $= \frac{4}{4+3} = \frac{4}{7}$ है।
तीसरे टब में दूध का भाग $= \frac{3}{3+1} = \frac{3}{4}$ है।
कुल दूध $= \frac{5}{7} + \frac{4}{7} + \frac{3}{4} = \frac{20 + 16 + 21}{28} = \frac{57}{28}$ है।
पहले टब में पानी का भाग $= \frac{2}{7}$ है।
दूसरे टब में पानी का भाग $= \frac{3}{7}$ है।
तीसरे टब में पानी का भाग $= \frac{1}{4}$ है।
कुल पानी $= \frac{2}{7} + \frac{3}{7} + \frac{1}{4} = \frac{8 + 12 + 7}{28} = \frac{27}{28}$ है।
दूध और पानी का अनुपात $= \frac{57}{28} : \frac{27}{28} = 57 : 27 = 19 : 9$ है।

(D) मिश्रण के नियम (Alligation) का उपयोग करते हुए:
पहली चीनी का क्रय मूल्य = $Rs. 17/kg$
दूसरी चीनी का क्रय मूल्य = $Rs. 29/kg$
मिश्रण का औसत मूल्य = $Rs. 20/kg$
औसत मूल्य और दूसरी चीनी के मूल्य के बीच का अंतर = $|29 - 20| = 9$
औसत मूल्य और पहली चीनी के मूल्य के बीच का अंतर = $|17 - 20| = 3$
पहली चीनी और दूसरी चीनी का अनुपात $9:3$ है।
अनुपात को सरल करने पर: $9:3 = 3:1$।
अतः,आवश्यक अनुपात $3:1$ है।

(D) एलिगेशन (मिश्रण) के नियम का उपयोग करते हुए:
पहली दाल का मूल्य $= Rs. 70/kg$
दूसरी दाल का मूल्य $= Rs. 45/kg$
मिश्रण का औसत मूल्य $= Rs. 60/kg$
औसत मूल्य और दूसरे मूल्य के बीच का अंतर $= 60 - 45 = 15$
पहले मूल्य और औसत मूल्य के बीच का अंतर $= 70 - 60 = 10$
पहली दाल और दूसरी दाल का आवश्यक अनुपात $= 15 : 10 = 3 : 2$.

(B) एलिगेशन (मिश्रण) विधि का उपयोग करते हुए:
पहले भाग पर लाभ = $10 \%$
दूसरे भाग पर हानि = $-5 \%$
कुल लाभ = $7 \%$
एलिगेशन नियम लागू करने पर:
मात्राओं का अनुपात = $|-5 - 7| : |10 - 7| = |-12| : |3| = 12 : 3 = 4 : 1$
कुल मात्रा $50 \ kg$ है।
$10 \%$ लाभ पर बेची गई मात्रा = $\frac{4}{4+1} \times 50 = \frac{4}{5} \times 50 = 40 \ kg$.

(C) माना कि पहली गाय का क्रय मूल्य $C_1$ और दूसरी गाय का क्रय मूल्य $C_2$ है।
दिया गया है कि $C_1 + C_2 = 2700$.
चूंकि पूरे सौदे में न तो लाभ हुआ और न ही हानि,इसलिए पहली गाय पर हुई हानि दूसरी गाय पर हुए लाभ के बराबर है।
$6\% \text{ of } C_1 = 7.5\% \text{ of } C_2$.
$\frac{C_1}{C_2} = \frac{7.5}{6} = \frac{75}{60} = \frac{5}{4}$.
अतः,क्रय मूल्यों का अनुपात $C_1 : C_2 = 5 : 4$ है।
दूसरी गाय का क्रय मूल्य $C_2 = \frac{4}{5+4} \times 2700 = \frac{4}{9} \times 2700 = 4 \times 300 = Rs. 1200$ होगा।

(D) मान लीजिए नूतन का निवेश $x$ है।
तब,सोनल का निवेश $= x + 5,000$ है।
आदित्य का निवेश $= (x + 5,000) + 4,000 = x + 9,000$ है।
कुल निवेश $x + (x + 5,000) + (x + 9,000) = 50,000$ है।
$3x + 14,000 = 50,000$ है।
$3x = 36,000 \Rightarrow x = 12,000$ है।
नूतन का निवेश $= 12,000$ है।
सोनल का निवेश $= 12,000 + 5,000 = 17,000$ है।
आदित्य का निवेश $= 12,000 + 9,000 = 21,000$ है।
उनके निवेश का अनुपात $21,000 : 17,000 : 12,000 = 21 : 17 : 12$ है।
अनुपात के भागों का योग $21 + 17 + 12 = 50$ है।
लाभ में आदित्य का हिस्सा $= \frac{21}{50} \times 70,000 = 21 \times 1,400 = 29,400$ है।

(A) एलिगेशन (मिश्रण) के नियम का उपयोग करते हुए:
पहले घोल की सांद्रता = $15 \%$
दूसरे घोल की सांद्रता = $40 \%$
माध्य सांद्रता = $30 \%$
दूसरी सांद्रता और माध्य के बीच का अंतर = $40 - 30 = 10$
माध्य और पहली सांद्रता के बीच का अंतर = $30 - 15 = 15$
पहले घोल और दूसरे घोल का अनुपात = $10 : 15$
इस अनुपात को $5$ से विभाजित करने पर,हमें $2 : 3$ प्राप्त होता है।
अतः,अभीष्ट अनुपात $2 : 3$ है।

(A) $30 \text{ kg}$ गेहूं का क्रय मूल्य $(CP)$ $= 30 \times 9.50 = Rs. 285$.
$40 \text{ kg}$ गेहूं का क्रय मूल्य $(CP)$ $= 40 \times 8.50 = Rs. 340$.
$70 \text{ kg}$ मिश्रण का कुल क्रय मूल्य $(CP)$ $= 285 + 340 = Rs. 625$.
$70 \text{ kg}$ मिश्रण का विक्रय मूल्य $(SP)$ $= 70 \times 8.90 = Rs. 623$.
चूंकि क्रय मूल्य $(CP)$ विक्रय मूल्य $(SP)$ से अधिक है,इसलिए हानि होगी।
हानि $= CP - SP = 625 - 623 = Rs. 2$.

(D) माना दूध का मूल्य $108$ पैसे प्रति लीटर है और पानी का मूल्य $0$ पैसे प्रति लीटर है।
मिश्रण का औसत मूल्य $90$ पैसे प्रति लीटर है।
एलिगेशन (मिश्रण) के नियम का उपयोग करते हुए:
दूध (मूल्य: $108$) : पानी (मूल्य: $0$) = $(90 - 0) : (108 - 90) = 90 : 18 = 5 : 1$.
दिया गया है कि पानी की मात्रा $16$ लीटर है।
माना दूध की मात्रा $x$ लीटर है।
अतः,$x / 16 = 5 / 1$.
$x = 16 \times 5 = 80$ लीटर।
इस प्रकार,मिश्रण में $80$ लीटर दूध है।

(B) मान लीजिए रसायन का क्रय मूल्य $Rs. 25$ प्रति लीटर है और पानी का क्रय मूल्य $Rs. 0$ प्रति लीटर है।
दिया गया है,मिश्रण का विक्रय मूल्य $= Rs. 20$ प्रति लीटर और लाभ $= 25\%$.
मिश्रण का क्रय मूल्य $(CP)$ $= \frac{100}{100 + \text{लाभ}\%} \times \text{विक्रय मूल्य} = \frac{100}{125} \times 20 = 16$.
एलिगेशन (मिश्रण) के नियम का उपयोग करते हुए:
रसायन $(25)$ : पानी $(0)$ = मिश्रण $(16)$
रसायन और मिश्रण के बीच का अंतर $= 25 - 16 = 9$
पानी और मिश्रण के बीच का अंतर $= 16 - 0 = 16$
अतः,रसायन और पानी का अनुपात $16:9$ है।

(C) मिश्रण की प्रारंभिक मात्रा $= 40$ $litres$ है।
पानी का प्रतिशत $= 10 \%$,इसलिए पानी की मात्रा $= 0.10 \times 40 = 4$ $litres$ है।
दूध की मात्रा $= 40 - 4 = 36$ $litres$ है।
माना मिश्रण में $x$ $litres$ पानी मिलाया जाता है।
पानी की नई मात्रा $= 4 + x$ $litres$ होगी।
मिश्रण की नई कुल मात्रा $= 40 + x$ $litres$ होगी।
प्रश्न के अनुसार,नए मिश्रण में पानी का प्रतिशत $20 \%$ है,इसलिए:
$\frac{4 + x}{40 + x} = \frac{20}{100} = \frac{1}{5}$।
$5(4 + x) = 40 + x$।
$20 + 5x = 40 + x$।
$4x = 20$।
$x = 5$ $litres$।

(B) पहली धातु में जिंक की मात्रा $= \frac{1}{3} \times 2 = \frac{2}{3} \, kg$.
पहली धातु में कॉपर की मात्रा $= 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3} \, kg$.
दूसरी धातु में जिंक की मात्रा $= \frac{1}{4} \times 3 = \frac{3}{4} \, kg$.
दूसरी धातु में कॉपर की मात्रा $= 3 - \frac{3}{4} = \frac{9}{4} \, kg$.
मिश्रण में जिंक की कुल मात्रा $= \frac{2}{3} + \frac{3}{4} = \frac{8 + 9}{12} = \frac{17}{12} \, kg$.
मिश्रण में कॉपर की कुल मात्रा $= \frac{4}{3} + \frac{9}{4} = \frac{16 + 27}{12} = \frac{43}{12} \, kg$.
अतः,जिंक और कॉपर का अभीष्ट अनुपात $= \frac{17}{12} : \frac{43}{12} = 17 : 43$.

(B) मिश्रधातु का प्रारंभिक वजन $= 50 \, g$ है।
मिश्रधातु में सोने का वजन $= 50 \, g$ का $80 \% = 0.80 \times 50 = 40 \, g$ है।
मिश्रधातु में चांदी का वजन $= 50 - 40 = 10 \, g$ है।
माना मिलाए जाने वाले सोने की मात्रा $x \, g$ है।
$x \, g$ सोना मिलाने के बाद,सोने का नया वजन $= 40 + x \, g$ होगा।
मिश्रधातु का कुल वजन $= 50 + x \, g$ हो जाएगा।
प्रश्न के अनुसार,सोने का नया प्रतिशत $95 \%$ है।
इसलिए,चांदी का प्रतिशत $100 \% - 95 \% = 5 \%$ होगा।
चूंकि चांदी का वजन $10 \, g$ स्थिर रहता है,हम लिख सकते हैं:
$(50 + x)$ का $5 \% = 10 \, g$
$0.05 \times (50 + x) = 10$
$50 + x = \frac{10}{0.05} = 200$
$x = 200 - 50 = 150 \, g$.
अतः,$150 \, g$ सोना मिलाया जाना चाहिए।

(C) माना कि $5$-पैसे के सिक्कों की संख्या $x$ है और $10$-पैसे के सिक्कों की संख्या $y$ है।
कुल सिक्कों की संख्या $80$ है,इसलिए $x + y = 80$ ... $(i)$.
सिक्कों का कुल मूल्य $Rs. 6.40$ है,जो $640$ पैसे के बराबर है।
इसलिए,$5x + 10y = 640$ ... $(ii)$.
समीकरण $(ii)$ को $5$ से विभाजित करने पर,हमें $x + 2y = 128$ प्राप्त होता है ... $(iii)$.
समीकरण $(iii)$ में से समीकरण $(i)$ को घटाने पर:
$(x + 2y) - (x + y) = 128 - 80$
$y = 48$.
$y = 48$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$x + 48 = 80$
$x = 80 - 48 = 32$.
अतः,$5$-पैसे के कुल $32$ सिक्के हैं।

(D) एलिगेशन (मिश्रण) के नियम का उपयोग करते हुए:
पहली चाय का मूल्य = $Rs. 4/kg$
दूसरी चाय का मूल्य = $Rs. 10/kg$
मिश्रण का औसत मूल्य = $Rs. 6.50/kg$
एलिगेशन लागू करने पर:
(दूसरी चाय का मूल्य - औसत मूल्य) : (औसत मूल्य - पहली चाय का मूल्य)
$= (10 - 6.50) : (6.50 - 4)$
$= 3.50 : 2.50$
$= 35 : 25 = 7 : 5$
माना कि $Rs. 4/kg$ वाली चाय की मात्रा $x \, kg$ है।
दिया गया है कि $Rs. 10/kg$ वाली चाय की मात्रा = $15 \, kg$ है।
मात्राओं का अनुपात = $x : 15 = 7 : 5$
$x / 15 = 7 / 5$
$x = (7 \times 15) / 5$
$x = 7 \times 3 = 21 \, kg$.
अतः,$21 \, kg$ चाय मिलाई जानी चाहिए।

(B) एलिगेशन (मिश्रण) के नियम का उपयोग करते हुए:
$1$. पानी के सापेक्ष सोने का घनत्व $19$ है।
$2$. पानी के सापेक्ष तांबे का घनत्व $9$ है।
$3$. मिश्रण का वांछित घनत्व पानी के सापेक्ष $15$ है।
एलिगेशन विधि लागू करने पर:
- तांबे और मिश्रण के बीच का अंतर $= |9 - 15| = 6$
- सोने और मिश्रण के बीच का अंतर $= |19 - 15| = 4$
अतः,सोने और तांबे का अनुपात $6:4$ है।
$6:4$ अनुपात को सरल करने पर $3:2$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,धातुओं को $3:2$ के अनुपात में मिलाया जाना चाहिए।

(D) दूध की प्रारंभिक मात्रा $(x)$ = $81$ $\text{लीटर}$ है।
प्रत्येक प्रक्रिया में बदली गई मात्रा $(y)$ = $\frac{1}{3} \times 81 = 27$ $\text{लीटर}$ है।
प्रक्रियाओं की संख्या $(n)$ = $2$ है।
$n$ प्रक्रियाओं के बाद बचे हुए दूध की मात्रा के लिए सूत्र: $Milk_{left} = x(1 - \frac{y}{x})^n$.
$Milk_{left} = 81(1 - \frac{27}{81})^2 = 81(1 - \frac{1}{3})^2 = 81 \times (\frac{2}{3})^2$.
$Milk_{left} = 81 \times \frac{4}{9} = 9 \times 4 = 36$ $\text{लीटर}$ है।
मिश्रण में पानी की मात्रा = कुल आयतन - दूध की मात्रा = $81 - 36 = 45$ $\text{लीटर}$ है।
दूध और पानी का आवश्यक अनुपात = $36 : 45$ है।
दोनों को $9$ से विभाजित करने पर, हमें $4 : 5$ प्राप्त होता है।

(D) एलिगेशन (मिश्रण) विधि का उपयोग करते हुए:
लाभ प्रतिशत $= 12 \%$,हानि प्रतिशत $= -8 \%$,कुल लाभ प्रतिशत $= 11 \%$.
लाभ पर बेचे गए पेन और हानि पर बेचे गए पेन का अनुपात:
$= (11 - (-8)) : (12 - 11)$
$= (11 + 8) : 1$
$= 19 : 1$
कुल भाग $= 19 + 1 = 20$.
$12 \%$ लाभ पर बेचे गए पेन की संख्या $= \frac{19}{20} \times 60 = 19 \times 3 = 57$.

(B) माना $1$ लीटर दूध का लागत मूल्य $(CP)$ $Rs. 1$ है।
चूंकि मिश्रण को दूध के लागत मूल्य पर बेचा जाता है,इसलिए $1$ लीटर मिश्रण का विक्रय मूल्य $(SP)$ $Rs. 1$ है।
दिया गया है कि लाभ $16 \%$ है,इसलिए $1$ लीटर मिश्रण का $CP$ ज्ञात करने के लिए सूत्र: $CP = SP \times \frac{100}{100 + \text{लाभ} \%}$ का उपयोग करें।
$CP = 1 \times \frac{100}{100 + 16} = \frac{100}{116} = \frac{25}{29}$।
एलिगेशन (मिश्रण) के नियम का उपयोग करते हुए:
पानी की लागत = $0$
दूध की लागत = $1$
मिश्रण की औसत लागत = $\frac{25}{29}$
पानी और दूध का अनुपात = $(\text{दूध की लागत} - \text{औसत लागत}) : (\text{औसत लागत} - \text{पानी की लागत})$
अनुपात = $(1 - \frac{25}{29}) : (\frac{25}{29} - 0) = \frac{4}{29} : \frac{25}{29} = 4 : 25$।

(A) सबसे पहले,मिश्रण का क्रय मूल्य $(CP)$ ज्ञात करें।
दिया गया विक्रय मूल्य $(SP)$ = $Rs. 68.20$ प्रति $kg$ और लाभ = $10\%$.
$CP = \frac{100}{100 + \text{Profit}\%} \times SP$
$CP = \frac{100}{110} \times 68.20 = \frac{10}{11} \times 68.20 = Rs. 62$ प्रति $kg$.
अब,एलिगेशन (Alligation) के नियम का उपयोग करें:
पहली किस्म की लागत = $60$
दूसरी किस्म की लागत = $65$
औसत मूल्य = $62$
दूसरी किस्म और औसत मूल्य के बीच का अंतर = $|65 - 62| = 3$
औसत मूल्य और पहली किस्म के बीच का अंतर = $|62 - 60| = 2$
अतः,आवश्यक अनुपात $3:2$ है।

(B) माना पहले कनस्तर से लिया गया दूध $x$ लीटर है और दूसरे कनस्तर से लिया गया दूध $(12 - x)$ लीटर है।
पहले कनस्तर में,पानी $25\%$ है,इसलिए दूध $75\% = \frac{3}{4}$ है।
दूसरे कनस्तर में,पानी $50\%$ है,इसलिए दूध $50\% = \frac{1}{2}$ है।
अंतिम $12$ लीटर के मिश्रण में पानी और दूध का अनुपात $3:5$ है,जिसका अर्थ है कि दूध कुल मात्रा का $\frac{5}{3+5} = \frac{5}{8}$ भाग है।
अंतिम मिश्रण में कुल दूध $= 12 \times \frac{5}{8} = 7.5$ लीटर।
अब,दूध की मात्रा के आधार पर समीकरण बनाएं:
$\frac{3}{4}x + \frac{1}{2}(12 - x) = 7.5$
हर को हटाने के लिए $4$ से गुणा करें:
$3x + 2(12 - x) = 30$
$3x + 24 - 2x = 30$
$x = 6$ लीटर।
अतः,पहले कनस्तर से $6$ लीटर और दूसरे कनस्तर से $12 - 6 = 6$ लीटर दूध लेना चाहिए।

(D) माना मिश्रण का क्रय मूल्य $(CP)$ $CP$ है। दिया गया है कि विक्रय मूल्य $Rs. 9.24$ प्रति $kg$ है और $10\%$ का लाभ होता है।
$CP = \frac{100}{110} \times 9.24 = \frac{10}{11} \times 9.24 = 8.4$.
एलिगेशन (मिश्रण) के नियम का उपयोग करते हुए:
पहली प्रकार की चीनी की कीमत = $9$
दूसरी प्रकार की चीनी की कीमत = $7$
औसत कीमत = $8.4$
औसत कीमत और दूसरी कीमत के बीच का अंतर = $8.4 - 7 = 1.4$
पहली कीमत और औसत कीमत के बीच का अंतर = $9 - 8.4 = 0.6$
मात्राओं का अनुपात = $1.4 : 0.6 = 14 : 6 = 7 : 3$.
माना पहली प्रकार की चीनी की मात्रा $x\, kg$ है।
अतः,$\frac{x}{27} = \frac{7}{3}$.
$x = \frac{7}{3} \times 27 = 7 \times 9 = 63\, kg$.

(D) $n$ बार प्रक्रिया करने के बाद शेष दूध की मात्रा का सूत्र इस प्रकार है:
$\text{शेष दूध} = x \left(1 - \frac{y}{x}\right)^n$
जहाँ:
$x = 50 \, \text{लीटर}$ (दूध की प्रारंभिक मात्रा)
$y = 5 \, \text{लीटर}$ (प्रत्येक बार बदली गई मात्रा)
$n = 3$ (कुल प्रक्रियाओं की संख्या,क्योंकि पहली बार के बाद प्रक्रिया दो बार और दोहराई गई)
मान रखने पर:
$\text{शेष दूध} = 50 \left(1 - \frac{5}{50}\right)^3$
$= 50 \left(1 - \frac{1}{10}\right)^3$
$= 50 \left(\frac{9}{10}\right)^3$
$= 50 \times \frac{729}{1000}$
$= \frac{729}{20} = 36.45 \, \text{लीटर}$

(D) मिश्रण का कुल आयतन $= 30 \ L$ है।
पानी और दूध का अनुपात $3:7$ है।
अनुपात के भागों का योग $= 3 + 7 = 10$ है।
पानी की मात्रा $= (3/10) \times 30 = 9 \ L$ है।
दूध की मात्रा $= (7/10) \times 30 = 21 \ L$ है।
माना कि मिलाए गए पानी की मात्रा $x \ L$ है।
पानी की नई मात्रा $= 9 + x$ है।
दूध और पानी का नया अनुपात $1:2$ है।
इसलिए,$\frac{\text{दूध}}{\text{पानी}} = \frac{21}{9 + x} = \frac{1}{2}$ है।
तिर्यक गुणा करने पर: $21 \times 2 = 9 + x$ प्राप्त होता है।
$42 = 9 + x$ है।
$x = 42 - 9 = 33 \ L$ है।

(A) माना कि मिश्रण की प्रति $kg$ कीमत $x$ है।
भारित औसत (weighted average) के सूत्र का उपयोग करते हुए:
मिश्रण की कीमत $= \frac{(\text{मात्रा}_1 \times \text{कीमत}_1) + (\text{मात्रा}_2 \times \text{कीमत}_2)}{\text{कुल मात्रा}}$
मिश्रण की कीमत $= \frac{(2 \times 15) + (3 \times 20)}{2 + 3}$
मिश्रण की कीमत $= \frac{30 + 60}{5}$
मिश्रण की कीमत $= \frac{90}{5} = 18$
अतः,मिश्रित चावल की प्रति $kg$ कीमत $Rs. 18$ है।

(C) एलिगेशन (मिश्रण) विधि का उपयोग करते हुए:
पहले भाग का लाभ प्रतिशत = $8 \%$
दूसरे भाग का लाभ प्रतिशत = $18 \%$
औसत लाभ प्रतिशत = $14 \%$
दूसरे भाग और औसत के बीच का अंतर = $18 - 14 = 4$
औसत और पहले भाग के बीच का अंतर = $14 - 8 = 6$
मात्राओं का अनुपात = $4 : 6 = 2 : 3$
कुल भाग = $2 + 3 = 5$
$18 \%$ लाभ पर बेची गई मात्रा = $\frac{3}{5} \times 1000 = 600 \ kg$.

(C) एलिगेशन (मिश्रण) के नियम का उपयोग करते हुए:
लड़कों का उत्तीर्ण प्रतिशत = $85 \%$
लड़कियों का उत्तीर्ण प्रतिशत = $70 \%$
कुल उत्तीर्ण प्रतिशत = $75 \%$
लड़कों के लिए अंतर = $|75 - 70| = 5$
लड़कियों के लिए अंतर = $|85 - 75| = 10$
लड़कों और लड़कियों का अनुपात = $5 : 10 = 1 : 2$
कुल छात्र = $900$
लड़कियों की संख्या = $\frac{2}{1 + 2} \times 900 = \frac{2}{3} \times 900 = 600$

(D) घोल की प्रारंभिक मात्रा $= 400 \, gm$.
नमक की मात्रा $= 400 \text{ का } 40 \% = \frac{40}{100} \times 400 = 160 \, gm$.
पानी की मात्रा $= 400 - 160 = 240 \, gm$.
माना $x \, gm$ नमक मिलाया जाता है।
नमक की नई मात्रा $= 160 + x$.
घोल की नई कुल मात्रा $= 400 + x$.
हम घोल में नमक की नई सांद्रता $50 \%$ चाहते हैं,इसलिए $\frac{160 + x}{400 + x} = \frac{50}{100} = \frac{1}{2}$.
$2(160 + x) = 400 + x$.
$320 + 2x = 400 + x$.
$x = 400 - 320 = 80 \, gm$.

(D) माना मिश्रण का प्रति दर्जन मूल्य $x$ है।
भारित औसत विधि का उपयोग करते हुए:
मिश्रण का मूल्य $= \frac{(3 \times 12) + (5 \times 10)}{3 + 5}$
मिश्रण का मूल्य $= \frac{36 + 50}{8}$
मिश्रण का मूल्य $= \frac{86}{8}$
मिश्रण का मूल्य $= 10.75$
अतः,मिश्रण का प्रति दर्जन मूल्य $Rs. 10.75$ है।

(A) माना मिश्रण की औसत कीमत $x$ प्रति दर्जन है।
एलिगेशन (मिश्रण) विधि का उपयोग करते हुए:
मात्राओं का अनुपात = $\frac{\text{कीमत}_2 - x}{x - \text{कीमत}_1} = \frac{3}{5}$
$\frac{5.40 - x}{x - 4.20} = \frac{3}{5}$
$5(5.40 - x) = 3(x - 4.20)$
$27.00 - 5x = 3x - 12.60$
$8x = 39.60$
$x = \frac{39.60}{8} = 4.95$
अतः,मिश्रण की प्रति दर्जन कीमत $Rs. 4.95$ है।

(B) प्रारंभिक मिश्रण $= 48 \text{ लीटर}$.
पानी की मात्रा $= 48 \text{ का } 10 \% = 4.8 \text{ लीटर}$.
दूध की मात्रा $= 48 - 4.8 = 43.2 \text{ लीटर}$.
माना कि मिलाए जाने वाले पानी की मात्रा $x \text{ लीटर}$ है।
नए मिश्रण में दूध की मात्रा $43.2 \text{ लीटर}$ स्थिर रहेगी,जो अब कुल नए मिश्रण का $(100 - 20) \% = 80 \%$ है।
अतः,$(48 + x) \text{ का } 80 \% = 43.2$.
$0.8 \times (48 + x) = 43.2$.
$48 + x = \frac{43.2}{0.8} = 54$.
$x = 54 - 48 = 6 \text{ लीटर}$.

(B) माना दूध की मात्रा $M$ और पानी की मात्रा $W$ है। कुल मात्रा $M + W = 160 \text{ लीटर}$ है।
एलिगेशन (मिश्रण) के नियम के अनुसार:
दूध $(70 \%)$ और पानी $(30 \%)$ को मिलाकर $55 \%$ का अंतिम मिश्रण प्राप्त किया जाता है।
अंतर इस प्रकार है:
$|55 - 30| = 25$
$|70 - 55| = 15$
दूध और पानी का अनुपात $25 : 15 = 5 : 3$ है।
कुल भाग $= 5 + 3 = 8$.
दूध की मात्रा $= \frac{5}{8} \times 160 = 100 \text{ लीटर}$.
पानी की मात्रा $= \frac{3}{8} \times 160 = 60 \text{ लीटर}$.

(C) प्रारंभिक मिश्रण $= 80 \text{ लीटर}$.
पानी की मात्रा $= 80 \text{ का } 10 \% = 8 \text{ लीटर}$.
दूध की मात्रा $= 80 - 8 = 72 \text{ लीटर}$.
माना कि मिलाए जाने वाले पानी की मात्रा $x \text{ लीटर}$ है।
नया कुल मिश्रण $= 80 + x \text{ लीटर}$.
नया पानी की मात्रा $= 8 + x \text{ लीटर}$.
प्रश्न के अनुसार,नए मिश्रण में पानी की मात्रा $20 \%$ है:
$8 + x = 0.20 \times (80 + x)$
$8 + x = 16 + 0.2x$
$x - 0.2x = 16 - 8$
$0.8x = 8$
$x = \frac{8}{0.8} = 10 \text{ लीटर}$.

(D) माना तरल $P$ की प्रारंभिक मात्रा $4x$ और तरल $Q$ की मात्रा $x$ है।
जब $10 \, L$ मिश्रण निकाला जाता है,तो $P$ की निकाली गई मात्रा $\frac{4}{5} \times 10 = 8 \, L$ और $Q$ की निकाली गई मात्रा $\frac{1}{5} \times 10 = 2 \, L$ है।
मिश्रण निकालने के बाद,$P$ की शेष मात्रा $4x - 8$ और $Q$ की शेष मात्रा $x - 2$ है।
फिर,$10 \, L$ तरल $Q$ मिलाया जाता है,इसलिए $Q$ की नई मात्रा $x - 2 + 10 = x + 8$ हो जाती है।
नया अनुपात $2:3$ दिया गया है,इसलिए $\frac{4x - 8}{x + 8} = \frac{2}{3}$।
तिर्यक गुणा करने पर $3(4x - 8) = 2(x + 8)$,जो सरल होकर $12x - 24 = 2x + 16$ हो जाता है।
$10x = 40$,इसलिए $x = 4$।
तरल $P$ की प्रारंभिक मात्रा $4x = 4 \times 4 = 16 \, L$ थी।

(D) दूध की प्रारंभिक मात्रा $(x)$ = $81$ लीटर।
प्रत्येक प्रक्रिया में बदली गई मात्रा $(y)$ = $81$ का $\frac{1}{3} = 27$ लीटर।
प्रक्रियाओं की संख्या $(n)$ = $2$।
$n$ प्रक्रियाओं के बाद शेष दूध की मात्रा का सूत्र: $Milk_{final} = x \left(1 - \frac{y}{x}\right)^n$।
$Milk_{final} = 81 \left(1 - \frac{27}{81}\right)^2 = 81 \left(1 - \frac{1}{3}\right)^2 = 81 \times \left(\frac{2}{3}\right)^2$।
$Milk_{final} = 81 \times \frac{4}{9} = 9 \times 4 = 36$ लीटर।
अंतिम मिश्रण में पानी की मात्रा = कुल आयतन - दूध की मात्रा = $81 - 36 = 45$ लीटर।
दूध और पानी का अनुपात = $36 : 45$।
दोनों को $9$ से विभाजित करने पर,हमें $4 : 5$ प्राप्त होता है।

(D) कुल लाभ $= Rs. 1020$.
आदित्य का हिस्सा $= Rs. 495$.
मनीष का हिस्सा $= 1020 - 495 = Rs. 525$.
लाभ के हिस्से का अनुपात उनके निवेश और समय के गुणनफल के अनुपात के बराबर होता है।
मान लीजिए आदित्य ने $x$ महीनों के लिए निवेश किया। तो मनीष ने $(36 - x)$ महीनों के लिए निवेश किया।
लाभ का अनुपात $= \frac{300 \times x}{500 \times (36 - x)} = \frac{495}{525}$.
भिन्न $\frac{495}{525}$ को $15$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{33}{35}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{3x}{5(36 - x)} = \frac{33}{35}$.
$\frac{x}{36 - x} = \frac{33}{35} \times \frac{5}{3} = \frac{11}{7}$.
$7x = 11(36 - x)$.
$7x = 396 - 11x$.
$18x = 396$.
$x = \frac{396}{18} = 22$.
इस प्रकार,आदित्य ने अपना पैसा $22$ महीनों के लिए निवेश किया था।

(C) माना कि तरल $A$ की प्रारंभिक मात्रा $3x$ और तरल $B$ की मात्रा $2x$ है। कुल प्रारंभिक मात्रा $5x$ है।
जब $5$ लीटर मिश्रण निकाला जाता है,तो निकाले गए $A$ की मात्रा $\frac{3}{5} \times 5 = 3$ लीटर है और निकाले गए $B$ की मात्रा $\frac{2}{5} \times 5 = 2$ लीटर है।
$A$ की शेष मात्रा $= 3x - 3$.
$B$ की शेष मात्रा $= 2x - 2$.
$5$ लीटर तरल $B$ मिलाने के बाद,$B$ की नई मात्रा $= 2x - 2 + 5 = 2x + 3$ हो जाती है।
नया अनुपात $2 : 3$ दिया गया है,इसलिए $\frac{3x - 3}{2x + 3} = \frac{2}{3}$.
तिर्यक गुणा करने पर: $3(3x - 3) = 2(2x + 3)$.
$9x - 9 = 4x + 6$.
$5x = 15$,जिसका अर्थ है $x = 3$.
तरल $A$ की प्रारंभिक मात्रा $= 3x = 3 \times 3 = 9$ लीटर।

(C) मान लीजिए कि $1 \ kg$ चाय का लागत मूल्य $100$ इकाई है।
$40 \ kg$ चाय का कुल लागत मूल्य $= 40 \times 100 = 4000$ इकाई है।
वह एक हिस्सा $5 \%$ हानि पर (अर्थात $95$ इकाई प्रति $kg$) और शेष भाग लागत मूल्य पर (अर्थात $100$ इकाई प्रति $kg$) बेचता है।
कुल हानि $3 \%$ है,इसलिए कुल विक्रय मूल्य $4000 \times 0.97 = 3880$ इकाई है।
मान लीजिए कि $x$ वह मात्रा है जिसे $5 \%$ हानि पर बेचा गया और $(40 - x)$ वह मात्रा है जिसे लागत मूल्य पर बेचा गया।
$95x + 100(40 - x) = 3880$
$95x + 4000 - 100x = 3880$
$-5x = 3880 - 4000$
$-5x = -120$
$x = 24 \ kg$ ($5 \%$ हानि पर बेची गई मात्रा)।
लागत मूल्य पर बेची गई मात्रा $= 40 - 24 = 16 \ kg$.