Mixture and Alligation Questions in Hindi

(C) मिश्रण का कुल आयतन $= 75 \, litres$ है।
दूध और पानी का अनुपात $2:1$ है।
दूध की मात्रा $= \frac{2}{2+1} \times 75 = \frac{2}{3} \times 75 = 50 \, litres$ है।
पानी की मात्रा $= \frac{1}{2+1} \times 75 = \frac{1}{3} \times 75 = 25 \, litres$ है।
माना कि मिलाए जाने वाले पानी की मात्रा $x \, litres$ है।
पानी मिलाने के बाद,पानी की नई मात्रा $(25 + x) \, litres$ हो जाएगी।
दूध और पानी का नया अनुपात $1:2$ दिया गया है।
अतः,$\frac{50}{25+x} = \frac{1}{2}$।
तिर्यक गुणा करने पर,$50 \times 2 = 1 \times (25 + x)$।
$100 = 25 + x$।
$x = 100 - 25 = 75 \, litres$।

(A) माना मिश्रण का क्रय मूल्य $(CP)$ $x$ $P$ प्रति $kg$ है।
दिया गया है कि विक्रय मूल्य $(SP)$ $40$ $P$ प्रति $kg$ है और लाभ $25 \%$ है।
$CP = \frac{100}{100 + \text{Gain } \%} \times SP = \frac{100}{125} \times 40 = \frac{4}{5} \times 40 = 32$ $P$ प्रति $kg$.
एलिगेशन (मिश्रण) विधि का उपयोग करने पर:
पहले नमक की लागत = $42$ $P/kg$
दूसरे नमक की लागत = $24$ $P/kg$
औसत मूल्य = $32$ $P/kg$
पहले नमक के लिए अंतर = $|32 - 24| = 8$
दूसरे नमक के लिए अंतर = $|42 - 32| = 10$
मात्राओं का अनुपात = $8 : 10 = 4 : 5$.
माना पहले नमक की मात्रा $x$ $kg$ है।
तब,$\frac{x}{25} = \frac{4}{5}$.
$x = \frac{4}{5} \times 25 = 20$ $kg$.

(C) घोल की प्रारंभिक मात्रा $= 300 \ gm$.
चीनी की मात्रा $= 300$ का $40 \% = \frac{40}{100} \times 300 = 120 \ gm$.
पानी की मात्रा $= 300 - 120 = 180 \ gm$.
माना कि मिलाई जाने वाली चीनी की मात्रा $x \ gm$ है।
चीनी मिलाने के बाद,चीनी की नई मात्रा $= 120 + x$ होगी।
घोल की कुल मात्रा $= 300 + x$ हो जाएगी।
हम चाहते हैं कि चीनी की नई सांद्रता $50 \%$ हो,इसलिए:
$\frac{120 + x}{300 + x} = \frac{50}{100} = \frac{1}{2}$.
तिर्यक गुणा करने पर: $2(120 + x) = 300 + x$.
$240 + 2x = 300 + x$.
$2x - x = 300 - 240$.
$x = 60 \ gm$.

(D) मान लीजिए कि $1$ लीटर दूध का लागत मूल्य $1$ इकाई है।
मान लीजिए कि दूध की मात्रा $100$ लीटर है।
चूंकि दूधवाला लागत मूल्य पर बेचता है लेकिन $25 \%$ का लाभ कमाता है,इसका मतलब है कि मिश्रण का विक्रय मूल्य $125$ लीटर दूध के लागत मूल्य के बराबर है।
चूंकि दूधवाला मिश्रण को शुद्ध दूध के लागत मूल्य पर बेच रहा है,इसलिए अतिरिक्त $25$ लीटर पानी ही होगा जिसे $100$ लीटर दूध में मिलाया गया है।
कुल मिश्रण की मात्रा $= 100 \text{ (दूध)} + 25 \text{ (पानी)} = 125 \text{ लीटर}$.
पानी का प्रतिशत $= \frac{\text{पानी की मात्रा}}{\text{कुल मिश्रण}} \times 100$.
पानी का प्रतिशत $= \frac{25}{125} \times 100 = \frac{1}{5} \times 100 = 20 \%$.

(C) मिश्रण का प्रारंभिक आयतन $= 200 \text{ लीटर}$.
पानी की मात्रा $= 200 \text{ का } 15 \% = \frac{15}{100} \times 200 = 30 \text{ लीटर}$.
दूध की मात्रा $= 200 - 30 = 170 \text{ लीटर}$.
माना $x$ लीटर दूध मिलाया जाता है।
नया कुल आयतन $= 200 + x$.
दूध की नई मात्रा $= 170 + x$.
प्रश्न के अनुसार,नए मिश्रण में $87.5 \%$ दूध है।
अतः,$\frac{170 + x}{200 + x} = \frac{87.5}{100} = \frac{875}{1000} = \frac{7}{8}$.
$8(170 + x) = 7(200 + x)$.
$1360 + 8x = 1400 + 7x$.
$8x - 7x = 1400 - 1360$.
$x = 40 \text{ लीटर}$.

(B) माना खरगोशों की संख्या $x$ है और कबूतरों की संख्या $y$ है।
चूंकि प्रत्येक जानवर का एक सिर होता है,इसलिए हमारे पास है:
$x + y = 200$ $...(i)$
खरगोशों के $4$ पैर होते हैं और कबूतरों के $2$ पैर होते हैं। इसलिए,पैरों की कुल संख्या है:
$4x + 2y = 580$ $...(ii)$
समीकरणों को हल करने के लिए,समीकरण $(i)$ को $2$ से गुणा करें:
$2x + 2y = 400$ $...(iii)$
समीकरण $(ii)$ में से समीकरण $(iii)$ को घटाएं:
$(4x + 2y) - (2x + 2y) = 580 - 400$
$2x = 180$
$x = 90$
$x = 90$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$90 + y = 200$
$y = 110$
अतः,कबूतरों की संख्या $110$ है।

(B) मिश्रण की कुल मात्रा = $66$ $litres$.
दूध और पानी का अनुपात = $5:1$.
अनुपात के भागों का योग = $5 + 1 = 6$.
दूध की मात्रा = $(5/6) \times 66 = 55$ $litres$.
पानी की मात्रा = $(1/6) \times 66 = 11$ $litres$.
माना कि मिलाए गए पानी की मात्रा $x$ $litres$ है।
दूध और पानी का नया अनुपात = $5:3$.
अतः,$\frac{55}{11 + x} = \frac{5}{3}$.
तिर्यक गुणा करने पर: $55 \times 3 = 5(11 + x)$.
$165 = 55 + 5x$.
$5x = 165 - 55 = 110$.
$x = 110 / 5 = 22$ $litres$.

(B) कुल राशि $= 41 \text{ रुपये} = 4100 \text{ पैसे}$.
बच्चों की कुल संख्या $= 50$.
प्रति बच्चा औसत राशि $= \frac{4100}{50} = 82 \text{ पैसे}$.
एलिगेशन (मिश्रण) विधि का उपयोग करते हुए:
लड़के ($90$ पैसे) : लड़कियाँ ($65$ पैसे)
औसत मान = $82$ पैसे
लड़कों के लिए अंतर $= |82 - 65| = 17$
लड़कियों के लिए अंतर $= |90 - 82| = 8$
लड़कों और लड़कियों का अनुपात $= 17 : 8$.
कुल भाग $= 17 + 8 = 25$.
लड़कों की संख्या $= \frac{17}{25} \times 50 = 34$.

(A) पात्र $A$ में दूध का भाग $\frac{5}{7}$ है।
पात्र $B$ में दूध का भाग $\frac{8}{13}$ है।
अंतिम मिश्रण में दूध का आवश्यक भाग $\frac{9}{13}$ है।
एलिगेशन (Alligation) के नियम का उपयोग करते हुए:
पात्र $A$ के लिए अंतर $= |\frac{8}{13} - \frac{9}{13}| = \frac{1}{13}$.
पात्र $B$ के लिए अंतर $= |\frac{5}{7} - \frac{9}{13}| = |\frac{65 - 63}{91}| = \frac{2}{91}$.
पात्र $A$ और पात्र $B$ से ली गई मात्राओं का आवश्यक अनुपात $= \frac{1}{13} : \frac{2}{91}$.
सरल बनाने के लिए,दोनों पक्षों को $91$ से गुणा करने पर: $(\frac{1}{13} \times 91) : (\frac{2}{91} \times 91) = 7 : 2$.

(B) माना $1$ रुपये के सिक्कों की संख्या $3x$,$50$ पैसे के सिक्कों की संख्या $8x$ और $25$ पैसे के सिक्कों की संख्या $20x$ है।
$1$ रुपये के सिक्कों का मूल्य $3x \times 1 = 3x$ रुपये है।
$50$ पैसे के सिक्कों का मूल्य $8x \times 0.50 = 4x$ रुपये है।
$25$ पैसे के सिक्कों का मूल्य $20x \times 0.25 = 5x$ रुपये है।
कुल मूल्य $Rs. 372$ दिया गया है,इसलिए:
$3x + 4x + 5x = 372$
$12x = 372$
$x = 31$
सिक्कों की कुल संख्या $3x + 8x + 20x = 31x$ है।
$x = 31$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
कुल सिक्के $= 31 \times 31 = 961$.

(B) माना वाइन की मूल मात्रा $x$ लीटर है।
$1$ प्रक्रिया के बाद,बची हुई वाइन की मात्रा $x(1 - 8/x)$ है।
$4$ प्रक्रियाओं के बाद (प्रारंभिक एक और तीन बार और),बची हुई वाइन की मात्रा $x(1 - 8/x)^4$ है।
मिश्रण का कुल आयतन $x$ लीटर ही रहता है।
वाइन और पानी का अनुपात $16:65$ है,इसलिए वाइन और कुल मिश्रण का अनुपात $16:(16+65) = 16:81$ है।
अतः,$\frac{x(1 - 8/x)^4}{x} = \frac{16}{81}$.
$(1 - 8/x)^4 = (2/3)^4$.
दोनों पक्षों का चतुर्थ मूल लेने पर,$1 - 8/x = 2/3$.
$8/x = 1 - 2/3 = 1/3$.
$x = 8 \times 3 = 24$ लीटर।

(C) माना तरल $A$ की प्रारंभिक मात्रा $7x$ और तरल $B$ की मात्रा $5x$ लीटर है।
कुल प्रारंभिक मात्रा $= 7x + 5x = 12x$ लीटर।
जब $9$ लीटर मिश्रण निकाला जाता है,तो निकाले गए $A$ की मात्रा $\frac{7}{12} \times 9 = \frac{21}{4}$ लीटर है,और निकाले गए $B$ की मात्रा $\frac{5}{12} \times 9 = \frac{15}{4}$ लीटर है।
शेष $A$ की मात्रा $= 7x - \frac{21}{4}$ लीटर।
शेष $B$ की मात्रा $= 5x - \frac{15}{4}$ लीटर।
$9$ लीटर तरल $B$ मिलाने के बाद,$B$ की नई मात्रा $= 5x - \frac{15}{4} + 9 = 5x + \frac{21}{4}$ लीटर।
नया अनुपात $7:9$ है,इसलिए:
$\frac{7x - 21/4}{5x + 21/4} = \frac{7}{9}$
$9(7x - 5.25) = 7(5x + 5.25)$
$63x - 47.25 = 35x + 36.75$
$28x = 84$
$x = 3$
$A$ की प्रारंभिक मात्रा $= 7x = 7 \times 3 = 21$ लीटर।

(D) $n$ बार प्रक्रिया के बाद शेष पदार्थ की मात्रा का सूत्र $A = x(1 - y/x)^n$ है,जहाँ $x$ प्रारंभिक मात्रा है,$y$ प्रतिस्थापित मात्रा है और $n$ प्रक्रिया की कुल संख्या है।
यहाँ,$x = 80$,$y = 8$,और प्रक्रिया शुरू में एक बार की गई थी और फिर $3$ बार और दोहराई गई,इसलिए $n = 1 + 3 = 4$ है।
शेष दूध $= 80(1 - 8/80)^4$
$= 80(1 - 0.1)^4$
$= 80(0.9)^4$
$= 80 \times 0.6561$
$= 52.488 \text{ litre}$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $52.48$ है।

(C) एलिगेशन (मिश्रण) विधि का उपयोग करते हुए,हम प्रत्येक मिश्रण में दूध के अंश पर विचार करते हैं।
बर्तन $A$ में,दूध का अंश $\frac{4}{4+5} = \frac{4}{9}$ है।
बर्तन $B$ में,दूध का अंश $\frac{5}{5+1} = \frac{5}{6}$ है।
अंतिम मिश्रण में दूध का आवश्यक अंश $\frac{5}{5+4} = \frac{5}{9}$ है।
एलिगेशन नियम लागू करने पर:
बर्तन $B$ में दूध और अंतिम मिश्रण के बीच का अंतर: $\frac{5}{6} - \frac{5}{9} = \frac{15-10}{18} = \frac{5}{18}$।
बर्तन $A$ में दूध और अंतिम मिश्रण के बीच का अंतर: $\frac{5}{9} - \frac{4}{9} = \frac{1}{9}$।
$A$ और $B$ से ली गई मात्राओं का अनुपात $\frac{5}{18} : \frac{1}{9}$ है।
दोनों पक्षों को $18$ से गुणा करने पर,हमें $5 : 2$ प्राप्त होता है।

(B) माना तरल $A$ की प्रारंभिक मात्रा $4x$ और तरल $B$ की मात्रा $7x$ है। कुल मात्रा $11x$ है।
जब $6 \text{ लीटर}$ मिश्रण निकाला जाता है,तो निकाले गए $A$ की मात्रा $\frac{4}{11} \times 6 = \frac{24}{11}$ और निकाले गए $B$ की मात्रा $\frac{7}{11} \times 6 = \frac{42}{11}$ है।
$6 \text{ लीटर}$ $B$ मिलाने के बाद,$A$ की नई मात्रा $4x - \frac{24}{11}$ और $B$ की नई मात्रा $7x - \frac{42}{11} + 6$ हो जाती है।
नया अनुपात $3:7$ दिया गया है,इसलिए:
$\frac{4x - \frac{24}{11}}{7x - \frac{42}{11} + 6} = \frac{3}{7}$
$\frac{44x - 24}{77x - 42 + 66} = \frac{3}{7}$
$7(44x - 24) = 3(77x + 24)$
$308x - 168 = 231x + 72$
$77x = 240 \Rightarrow x = \frac{240}{77}$
तरल $A$ की प्रारंभिक मात्रा $4x = 4 \times \frac{240}{77} = \frac{960}{77} \approx 12.467 \text{ लीटर}$ है।

(C) मिश्रण का प्रारंभिक आयतन $= 100 \text{ litres}$.
पानी $= 100$ का $20 \% = 20 \text{ litres}$.
दूध $= 100 - 20 = 80 \text{ litres}$.
माना कि $x$ $litres$ दूध मिलाया जाता है।
दूध का नया आयतन $= 80 + x$.
मिश्रण का नया कुल आयतन $= 100 + x$.
प्रश्न के अनुसार,नए मिश्रण में $87.5 \%$ दूध है।
इसलिए,पानी की मात्रा $100 \% - 87.5 \% = 12.5 \%$ है।
चूंकि पानी की मात्रा $20 \text{ litres}$ स्थिर रहती है,इसलिए:
$12.5 \% \text{ of } (100 + x) = 20$
$0.125 \times (100 + x) = 20$
$100 + x = \frac{20}{0.125} = 160$
$x = 160 - 100 = 60 \text{ litres}$.

(A) माना कि तीन प्रकार के गेहूं $W_1, W_2$ और $W_3$ हैं जिनकी लागत क्रमशः $1.20, 1.44$ और $1.74$ है।
एलिगेशन (Alligation) के नियम के अनुसार:
$W_1(1.20)$ और $W_2(1.44)$ के लिए औसत मूल्य $1.41$ लेने पर,$W_1:W_2 = (1.44-1.41) : (1.41-1.20) = 0.03 : 0.21 = 1 : 7$ प्राप्त होता है।
$W_2(1.44)$ और $W_3(1.74)$ के लिए औसत मूल्य $1.41$ लेने पर,$W_2:W_3 = (1.74-1.41) : (1.41-1.44) = 0.33 : 0.03 = 11 : 1$ प्राप्त होता है।
अब,$W_2$ के अनुपात को समान करने पर:
$W_1:W_2 = 1:7 = 11:77$
$W_2:W_3 = 11:1 = 77:7$
अतः,$W_1:W_2:W_3 = 11:77:7$।

(D) सबसे पहले,$1:2:4$ के अनुपात में $T_{1}, T_{2}$ और $T_{3}$ के प्रारंभिक मिश्रण का क्रय मूल्य $(CP)$ ज्ञात करें:
$CP_{mix} = \frac{(1 \times 74) + (2 \times 68) + (4 \times 63)}{1+2+4} = \frac{74 + 136 + 252}{7} = \frac{462}{7} = Rs. 66$ प्रति किग्रा।
अब,विक्रेता $4$ किग्रा प्रारंभिक मिश्रण ($Rs. 66$ प्रति किग्रा) में $z$ किग्रा $T_{1}$ ($Rs. 74$ प्रति किग्रा) मिलाता है।
नए मिश्रण का विक्रय मूल्य $Rs. 84$ प्रति किग्रा है और $20\%$ का लाभ होता है।
इसलिए,नए मिश्रण का क्रय मूल्य $CP_{new} = 84 \times \frac{100}{120} = Rs. 70$ प्रति किग्रा होगा।
नए मिश्रण के लिए एलिगेशन विधि का उपयोग करते हुए:
$T_{1}$ की मात्रा ($z$ किग्रा) $Rs. 74$ प्रति किग्रा और प्रारंभिक मिश्रण की मात्रा ($4$ किग्रा) $Rs. 66$ प्रति किग्रा के भाव पर मिलकर $Rs. 70$ प्रति किग्रा का मिश्रण बनाती है।
$\frac{74 - 70}{70 - 66} = \frac{4}{z}$
$\frac{4}{4} = \frac{4}{z}$
$1 = \frac{4}{z} \Rightarrow z = 4$ किग्रा।

(D) माना बर्तन की प्रारंभिक क्षमता $x$ लीटर पानी है।
पहली प्रक्रिया के बाद,बचे हुए पानी की मात्रा $(x - 9)$ लीटर है।
दूसरी प्रक्रिया के बाद,बचे हुए पानी की मात्रा $x(1 - 9/x)^2$ लीटर है।
पानी और कुल आयतन का अनुपात $16 : (16 + 9) = 16 : 25$ है।
अतः,बचे हुए पानी का अंश $\frac{x(1 - 9/x)^2}{x} = \frac{16}{25}$ है।
$(1 - 9/x)^2 = (4/5)^2$.
$1 - 9/x = 4/5$.
$9/x = 1 - 4/5 = 1/5$.
$x = 45$ लीटर।
बर्तन में $45$ लीटर तरल आता है।

(A) माना कि प्रत्येक बार बाहर निकाले गए मिश्रण की मात्रा $y \text{ litres}$ है।
ऑक्सीजन का प्रारंभिक आयतन $8 \text{ litres}$ का $16 \%$ है,जो $0.16 \times 8$ है।
पहली बार बदलने के बाद,शेष ऑक्सीजन $8 \times 0.16 \times (1 - y/8)$ है।
दूसरी बार बदलने के बाद,शेष ऑक्सीजन $8 \times 0.16 \times (1 - y/8)^2$ है।
प्रश्न के अनुसार,अंतिम ऑक्सीजन की मात्रा कुल आयतन $(8 \text{ litres})$ का $9 \%$ है,इसलिए:
$8 \times 0.16 \times (1 - y/8)^2 = 0.09 \times 8$
$(1 - y/8)^2 = 0.09 / 0.16$
$(1 - y/8)^2 = (0.3 / 0.4)^2 = (3/4)^2$
$1 - y/8 = 3/4$
$y/8 = 1 - 3/4 = 1/4$
$y = 8 / 4 = 2 \text{ litres}$.

(A) माना दूसरे द्रव का क्रय मूल्य $x$ प्रति लीटर है।
तब,पहले द्रव का क्रय मूल्य $(x + 2)$ प्रति लीटर होगा।
मिश्रण का विक्रय मूल्य $10 \%$ लाभ पर $Rs. 11$ प्रति लीटर है।
अतः,मिश्रण का क्रय मूल्य $(CP)$ होगा:
$CP = 11 \times \frac{100}{110} = Rs. 10$ प्रति लीटर।
एलिगेशन (मिश्रण) विधि का उपयोग करने पर:
पहले द्रव और दूसरे द्रव का अनुपात = $(10 - x) : (x + 2 - 10) = 3 : 2$
$\frac{10 - x}{x - 8} = \frac{3}{2}$
$2(10 - x) = 3(x - 8)$
$20 - 2x = 3x - 24$
$5x = 44$
$x = 8.8$
अतः,दूसरे द्रव की प्रति लीटर लागत $Rs. 8.80$ है।

(C) $5 \ kg$ आलू की कुल लागत $= 5 \times 5 = Rs. 25$.
$3 \ kg$ आलू की कुल लागत $= 3 \times 4 = Rs. 12$.
मिश्रण का कुल वजन $= 5 + 3 = 8 \ kg$.
मिश्रण की कुल लागत $= 25 + 12 = Rs. 37$.
प्रति $kg$ औसत लागत $= \frac{\text{कुल लागत}}{\text{कुल वजन}} = \frac{37}{8} = Rs. 4.625$.
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,औसत लागत लगभग $Rs. 4.63$ प्रति $kg$ है।

(B) प्रारंभिक $20\, \text{litre}$ मिश्रण में दूध और पानी का अनुपात $3:2$ है। अतः,दूध की मात्रा $12\, \text{litre}$ और पानी की मात्रा $8\, \text{litre}$ है।
चरण $1$: जब $10\, \text{litre}$ मिश्रण निकाला जाता है,तो निकाला गया दूध $(3/5) \times 10 = 6\, \text{litre}$ और निकाला गया पानी $(2/5) \times 10 = 4\, \text{litre}$ है। शेष: $6\, \text{litre}$ दूध और $4\, \text{litre}$ पानी। $10\, \text{litre}$ शुद्ध दूध मिलाने के बाद,पात्र में $6+10 = 16\, \text{litre}$ दूध और $4\, \text{litre}$ पानी होगा।
चरण $2$: जब इस नए मिश्रण से $10\, \text{litre}$ निकाला जाता है,तो दूध और पानी का अनुपात $16:4$ यानी $4:1$ है। निकाला गया दूध $(4/5) \times 10 = 8\, \text{litre}$ और निकाला गया पानी $(1/5) \times 10 = 2\, \text{litre}$ है। शेष: $16-8 = 8\, \text{litre}$ दूध और $4-2 = 2\, \text{litre}$ पानी। $10\, \text{litre}$ शुद्ध दूध मिलाने के बाद,पात्र में $8+10 = 18\, \text{litre}$ दूध और $2\, \text{litre}$ पानी होगा।
दूध और पानी का अंतिम अनुपात $18:2$ है,जिसे सरल करने पर $9:1$ प्राप्त होता है।

(C) मिश्रण का विक्रय मूल्य $Rs. 30/kg$ है और लाभ $20\%$ है। मिश्रण का क्रय मूल्य $\frac{30}{1.2} = Rs. 25/kg$ होगा।
माना तीन किस्मों की मात्रा $Q_A, Q_B,$ और $Q_C$ है,जिनकी लागत क्रमशः $20, 24,$ और $30$ है।
एलिगेशन नियम का उपयोग करते हुए:
$Q_A$ और $Q_C$ के लिए: $\frac{Q_A}{Q_C} = \frac{30 - 25}{25 - 20} = \frac{5}{5} = \frac{1}{1}$.
$Q_B$ और $Q_C$ के लिए: $\frac{Q_B}{Q_C} = \frac{30 - 25}{25 - 24} = \frac{5}{1}$.
यहाँ $Q_C$ का कुल भाग $1 + 1 = 2$ है। अतः,अनुपात $Q_A : Q_B : Q_C = 1 : 5 : 2$ प्राप्त होता है।
यदि मिश्रण में तीसरी किस्म की मात्रा $2$ $kg$ है,तो दूसरी किस्म की मात्रा $5$ $kg$ होगी।

(C) मिश्रण का विक्रय मूल्य $Rs. 96/kg$ है और इस पर $20\%$ का लाभ होता है।
$\text{क्रय मूल्य (CP)} = \frac{\text{विक्रय मूल्य}}{1 + \text{लाभ}\%} = \frac{96}{1.20} = Rs. 80/kg$.
मान लीजिए कि तीन प्रकार की चाय $A$ $(Rs. 60/kg)$,$B$ $(Rs. 75/kg)$ और $C$ $(Rs. 100/kg)$ हैं।
$Rs. 80/kg$ का औसत मूल्य प्राप्त करने के लिए हम एलिगेशन विधि का उपयोग करते हैं।
चरण $1$: $A$ और $C$ की औसत मूल्य $80$ के साथ तुलना करें।
$\frac{Q_A}{Q_C} = \frac{100 - 80}{80 - 60} = \frac{20}{20} = \frac{1}{1}$.
चरण $2$: $B$ और $C$ की औसत मूल्य $80$ के साथ तुलना करें।
$\frac{Q_B}{Q_C} = \frac{100 - 80}{80 - 75} = \frac{20}{5} = \frac{4}{1}$.
चरण $3$: दोनों अनुपातों में $Q_C$ के भागों को बराबर करें। चूँकि $Q_C$ दोनों में $1$ भाग है,इसलिए उन्हें जोड़ने पर:
$Q_A : Q_B : Q_C = 1 : 4 : (1 + 1) = 1 : 4 : 2$.

(A) $4$ किग्रा आलू का कुल मूल्य $= 4 \times 5 = 20$ रुपये।
$8$ किग्रा आलू का कुल मूल्य $= 8 \times 6 = 48$ रुपये।
मिश्रण का कुल मूल्य $= 20 + 48 = 68$ रुपये।
मिश्रण का कुल वजन $= 4 + 8 = 12$ किग्रा।
मिश्रण का औसत मूल्य $= \frac{\text{कुल मूल्य}}{\text{कुल वजन}} = \frac{68}{12} = 5.666... \approx 5.67$ रुपये।
चूंकि $5.67$ विकल्प में नहीं है,इसलिए सबसे निकटतम विकल्प $5.66$ है।

(B) चरण $1$: प्याज का कुल क्रय मूल्य (Cost Price) ज्ञात करें।
कुल क्रय मूल्य $= (20 \times 6.50) + (30 \times 7) = 130 + 210 = Rs. 340$.
चरण $2$: कुल विक्रय मूल्य (Selling Price) ज्ञात करें।
कुल लाभ $= Rs. 60$.
कुल विक्रय मूल्य $= \text{कुल क्रय मूल्य} + \text{कुल लाभ} = 340 + 60 = Rs. 400$.
चरण $3$: प्रति $kg$ विक्रय मूल्य ज्ञात करें।
प्याज की कुल मात्रा $= 20 + 30 = 50 \ kg$.
प्रति $kg$ विक्रय मूल्य $= \frac{400}{50} = Rs. 8$ प्रति $kg$.

(B) पहले पीपे में ($48$ $litres$): वाइन $= \frac{13}{20} \times 48 = 31.2$ $litres$,पानी $= \frac{7}{20} \times 48 = 16.8$ $litres$.
दूसरे पीपे में ($42$ $litres$): वाइन $= \frac{18}{35} \times 42 = 21.6$ $litres$,पानी $= \frac{17}{35} \times 42 = 20.4$ $litres$.
कुल वाइन $= 31.2 + 21.6 = 52.8$ $litres$.
कुल पानी $= 16.8 + 20.4 = 37.2$ $litres$.
$20$ $litres$ पानी मिलाने के बाद,कुल पानी $= 37.2 + 20 = 57.2$ $litres$.
वाइन और पानी का अनुपात $= 52.8 : 57.2 = 528 : 572$.
दोनों को $44$ से विभाजित करने पर,हमें $12 : 13$ प्राप्त होता है।

(A) मिश्रण का कुल आयतन $= 2 + 5 + 9 = 16 \, L$.
पहले गिलास में दूध की मात्रा $= 2 \, L \text{ का } 90 \% = 0.9 \times 2 = 1.8 \, L$.
दूसरे गिलास में दूध की मात्रा $= 5 \, L \text{ का } 80 \% = 0.8 \times 5 = 4.0 \, L$.
तीसरे गिलास में दूध की मात्रा $= 9 \, L \text{ का } 70 \% = 0.7 \times 9 = 6.3 \, L$.
दूध की कुल मात्रा $= 1.8 + 4.0 + 6.3 = 12.1 \, L$.
पानी की कुल मात्रा $= \text{कुल आयतन} - \text{कुल दूध} = 16.0 - 12.1 = 3.9 \, L$.
अतः,दूध और पानी का अनुपात $= 12.1 : 3.9 = 121 : 39$.

(C) मान लीजिए कि प्रत्येक बार $y$ लीटर मिश्रण बाहर निकाला जाता है।
प्रारंभ में,ऑक्सीजन का आयतन $12 \text{ litres}$ का $40 \%$ है,यानी $0.40 \times 12 = 4.8 \text{ litres}$।
कुल आयतन $V$ से $y$ आयतन को $n$ बार बदलने के बाद पदार्थ की शेष मात्रा का सूत्र है: $A_{final} = A_{initial} \times (1 - \frac{y}{V})^n$।
यहाँ,$A_{initial} = 0.40$,$A_{final} = 0.10$,$V = 12$,और $n = 2$ है।
मान रखने पर: $0.10 = 0.40 \times (1 - \frac{y}{12})^2$।
दोनों पक्षों को $0.40$ से विभाजित करने पर: $\frac{0.10}{0.40} = (1 - \frac{y}{12})^2$।
$\frac{1}{4} = (1 - \frac{y}{12})^2$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\frac{1}{2} = 1 - \frac{y}{12}$।
$\frac{y}{12} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$।
$y = 12 \times \frac{1}{2} = 6 \text{ litres}$।

(D) मान लीजिए कि प्रत्येक पात्र की क्षमता $L$ इकाई है। गणना को आसान बनाने के लिए,हम दोनों अनुपातों के भागों के योग का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ चुनते हैं।
पहले पात्र में भागों का योग $= 3 + 1 = 4$।
दूसरे पात्र में भागों का योग $= 5 + 2 = 7$।
$4$ और $7$ का लघुत्तम समापवर्त्य $28$ है।
पहले पात्र के लिए:
दूध $= (3/4) \times 28 = 21$ इकाई,पानी $= (1/4) \times 28 = 7$ इकाई।
दूसरे पात्र के लिए:
दूध $= (5/7) \times 28 = 20$ इकाई,पानी $= (2/7) \times 28 = 8$ इकाई।
जब मिलाया जाता है,तो कुल दूध $= 21 + 20 = 41$ इकाई।
कुल पानी $= 7 + 8 = 15$ इकाई।
अतः,मिश्रण में दूध और पानी का अनुपात $41:15$ है।

(B) मिश्रण का कुल आयतन $60\, L$ है।
एसिड और पानी का अनुपात $2:1$ है।
एसिड की मात्रा $= \frac{2}{2+1} \times 60 = \frac{2}{3} \times 60 = 40\, L$.
पानी की मात्रा $= 60 - 40 = 20\, L$.
माना कि मिलाए जाने वाले पानी की मात्रा $x\, L$ है।
नया एसिड और पानी का अनुपात $1:2$ हो जाता है।
अतः,$\frac{40}{20+x} = \frac{1}{2}$.
तिर्यक गुणा करने पर,$40 \times 2 = 20 + x$.
$80 = 20 + x$.
$x = 80 - 20 = 60\, L$.
इसलिए,$60\, L$ पानी मिलाया जाना चाहिए।

(A) मिश्रण का कुल आयतन $= 25\, L$ है।
एसिड और पानी का अनुपात $4: 1$ है।
अनुपात के भागों का योग $= 4 + 1 = 5$ है।
एसिड की मात्रा $= (4/5) \times 25 = 20\, L$ है।
पानी की मात्रा $= (1/5) \times 25 = 5\, L$ है।
$3\, L$ पानी मिलाने के बाद,पानी की नई मात्रा $= 5 + 3 = 8\, L$ है।
एसिड की मात्रा $20\, L$ ही रहती है।
एसिड और पानी का नया अनुपात $= 20 : 8$ है।
दोनों को $4$ से विभाजित करने पर,हमें $5 : 2$ प्राप्त होता है।

(A) मिश्रण की कुल मात्रा $729 \ L$ है। दूध और पानी का अनुपात $7:2$ है।
दूध की मात्रा $= \frac{7}{7+2} \times 729 = \frac{7}{9} \times 729 = 567 \ L.$
पानी की मात्रा $= 729 - 567 = 162 \ L.$
माना कि मिलाए जाने वाले पानी की मात्रा $x \ L$ है।
प्रश्न के अनुसार,दूध और पानी का नया अनुपात $7:3$ है।
$\frac{567}{162 + x} = \frac{7}{3}$
तिर्यक गुणा (cross-multiplication) करने पर:
$567 \times 3 = 7 \times (162 + x)$
$1701 = 1134 + 7x$
$7x = 1701 - 1134$
$7x = 567$
$x = \frac{567}{7} = 81 \ L.$
अतः,$81 \ L$ पानी मिलाया जाना चाहिए।

(C) मिश्रण का कुल आयतन = $75 \ L$ है।
दूध और पानी का अनुपात $2:1$ है।
दूध की मात्रा = $\frac{2}{2+1} \times 75 = \frac{2}{3} \times 75 = 50 \ L$ है।
पानी की मात्रा = $\frac{1}{2+1} \times 75 = \frac{1}{3} \times 75 = 25 \ L$ है।
माना कि मिश्रण में $x \ L$ पानी और मिलाया जाता है।
पानी की नई मात्रा $(25+x) \ L$ हो जाएगी।
दूध और पानी का नया अनुपात $1:2$ दिया गया है।
इसलिए,$\frac{50}{25+x} = \frac{1}{2}$ है।
तिर्यक गुणा (cross-multiplication) करने पर,$50 \times 2 = 25+x$ प्राप्त होता है।
$100 = 25+x$ है।
$x = 100 - 25 = 75 \ L$ है।

(B) मान लीजिए कि बैरल में मिश्रण का कुल आयतन $4\,L$ है।
वाइन और पानी का अनुपात $3:1$ है,इसलिए वाइन की मात्रा $3\,L$ और पानी की मात्रा $1\,L$ है।
मान लीजिए कि मिश्रण का $x$ भाग निकाल लिया जाता है।
जब $x$ भाग मिश्रण निकाला जाता है,तो निकाली गई वाइन $3x$ और निकाला गया पानी $x$ होता है।
शेष वाइन $3 - 3x$ और शेष पानी $1 - x$ है।
$x$ भाग पानी मिलाने के बाद (चूंकि कुल निकाला गया आयतन $4x$ है),पानी की नई मात्रा $(1 - x) + 4x = 1 + 3x$ हो जाती है।
प्रश्न के अनुसार,वाइन और पानी का नया अनुपात $1:1$ है,इसलिए:
$\frac{3 - 3x}{1 + 3x} = \frac{1}{1}$
$3 - 3x = 1 + 3x$
$6x = 2$
$x = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
अतः,मिश्रण का आवश्यक भाग जिसे निकाला जाना चाहिए वह $\frac{1}{3}$ है।

(D) माना कि सामान्य अनुपात गुणक $x$ है।
अतः,स्पिरिट की मात्रा $= 3x$ और पानी की मात्रा $= 2x$ होगी।
प्रश्न के अनुसार,मिश्रण में पानी से $3 \ L$ अधिक स्पिरिट है:
$3x - 2x = 3$
$x = 3$
इसलिए,स्पिरिट की मात्रा $= 3x = 3 \times 3 = 9 \ L$ है।

(B) पहले बर्तन में दूध का भाग $\frac{3}{5}$ है।
दूसरे बर्तन में दूध का भाग $\frac{7}{10}$ है।
अंतिम मिश्रण में दूध का भाग $\frac{2}{3}$ है।
एलिगेशन (मिश्रण) के नियम का उपयोग करते हुए:
अंतर $1$ (दूसरे बर्तन और मिश्रण के बीच) $= \frac{7}{10} - \frac{2}{3} = \frac{21-20}{30} = \frac{1}{30}$.
अंतर $2$ (मिश्रण और पहले बर्तन के बीच) $= \frac{2}{3} - \frac{3}{5} = \frac{10-9}{15} = \frac{1}{15}$.
अभीष्ट अनुपात इन अंतरों का अनुपात है: $\frac{1}{30} : \frac{1}{15}$.
दोनों पक्षों को $30$ से गुणा करने पर,हमें $1 : 2$ प्राप्त होता है।

(C) माना तरल $A$ की प्रारंभिक मात्रा $7x$ और तरल $B$ की $5x$ है। कुल मात्रा $= 12x$ है।
जब $9\,L$ मिश्रण निकाला जाता है,तो निकाला गया $A = \frac{7}{12} \times 9 = \frac{21}{4}\,L$ और निकाला गया $B = \frac{5}{12} \times 9 = \frac{15}{4}\,L$ है।
शेष $A = 7x - \frac{21}{4}$।
शेष $B = 5x - \frac{15}{4}$।
$9\,L$ तरल $B$ मिलाने के बाद,नया अनुपात $\frac{7x - 21/4}{5x - 15/4 + 9} = \frac{7}{9}$ है।
$\frac{28x - 21}{20x - 15 + 36} = \frac{7}{9} \Rightarrow \frac{28x - 21}{20x + 21} = \frac{7}{9}$।
अंश को $7$ से विभाजित करने पर: $\frac{4x - 3}{20x + 21} = \frac{1}{9}$।
$36x - 27 = 20x + 21 \Rightarrow 16x = 48 \Rightarrow x = 3$।
तरल $A$ की प्रारंभिक मात्रा $= 7x = 7 \times 3 = 21\,L$।

(B) माना बर्तन $A$ में एसिड का भाग $\frac{4}{7}$ है और बर्तन $B$ में एसिड का भाग $\frac{5}{8}$ है।
बर्तन $C$ में अंतिम मिश्रण में एसिड का भाग $\frac{3}{5}$ है।
एलिगेशन (मिश्रण) के नियम का उपयोग करते हुए:
$A$ और $B$ का अनुपात $= \left| \frac{5}{8} - \frac{3}{5} \right| : \left| \frac{3}{5} - \frac{4}{7} \right|$
$= \left| \frac{25 - 24}{40} \right| : \left| \frac{21 - 20}{35} \right|$
$= \frac{1}{40} : \frac{1}{35}$
$= 35 : 40 = 7 : 8$.
अतः,मिश्रणों को $7:8$ के अनुपात में मिलाया जाना चाहिए।

(A) बर्तन $A$ में,एसिड का भाग $\frac{5}{7}$ है।
बर्तन $B$ में,एसिड का भाग $\frac{8}{13}$ है।
आवश्यक मिश्रण में एसिड का भाग $\frac{9}{13+4} = \frac{9}{13}$ होना चाहिए।
एलिगेशन (मिश्रण) के नियम का उपयोग करते हुए:
मात्राओं का अनुपात = ($B$ में एसिड और औसत के बीच का अंतर) : (औसत और $A$ में एसिड के बीच का अंतर)
अनुपात = $|\frac{9}{13} - \frac{8}{13}| : |\frac{5}{7} - \frac{9}{13}|$
अनुपात = $\frac{1}{13} : |\frac{65-63}{91}| = \frac{1}{13} : \frac{2}{91}$
सरल बनाने के लिए,दोनों पक्षों को $91$ से गुणा करें:
अनुपात = $(\frac{1}{13} \times 91) : (\frac{2}{91} \times 91) = 7 : 2$.

(A) बर्तन $A$ में,एसिड का भाग $\frac{4}{7}$ है।
बर्तन $B$ में,एसिड का भाग $\frac{2}{5}$ है।
बर्तन $C$ में प्राप्त होने वाले नए मिश्रण में आधा एसिड होना चाहिए,इसलिए इसका भाग $\frac{1}{2}$ है।
एलिगेशन (मिश्रण) के नियम का उपयोग करते हुए:
बर्तन $A$ और बर्तन $B$ का अनुपात $= (\frac{1}{2} - \frac{2}{5}) : (\frac{4}{7} - \frac{1}{2})$
$= (\frac{5-4}{10}) : (\frac{8-7}{14})$
$= \frac{1}{10} : \frac{1}{14}$
$= 14 : 10$
$= 7 : 5$
अतः,आवश्यक अनुपात $7:5$ है।

(A) मान लीजिए कि पहले मिश्रण में वाइन की सांद्रता $\frac{3}{5}$ है और दूसरे मिश्रण में $\frac{4}{9}$ है।
हम चाहते हैं कि अंतिम मिश्रण में वाइन और पानी की मात्रा समान हो,इसलिए अंतिम मिश्रण में वाइन की सांद्रता $\frac{1}{2}$ होनी चाहिए।
एलिगेशन के नियम का उपयोग करते हुए:
पहले मिश्रण और दूसरे मिश्रण का अनुपात $= |\frac{4}{9} - \frac{1}{2}| : |\frac{3}{5} - \frac{1}{2}|$
$= |\frac{8-9}{18}| : |\frac{6-5}{10}| = \frac{1}{18} : \frac{1}{10} = 10 : 18 = 5 : 9$.
यह दिया गया है कि पहले मिश्रण के $3 \, L$ का उपयोग किया जाता है,मान लीजिए कि दूसरे मिश्रण की मात्रा $x$ है।
$\frac{5}{9} = \frac{3}{x}$
$5x = 27$
$x = \frac{27}{5} = 5 \frac{2}{5} \, L$.

(A) माना पहली मिश्रधातु में जिंक का भाग $\frac{1}{1+2} = \frac{1}{3}$ है।
माना दूसरी मिश्रधातु में जिंक का भाग $\frac{2}{2+3} = \frac{2}{5}$ है।
माना अंतिम मिश्रधातु में जिंक का भाग $\frac{5}{5+8} = \frac{5}{13}$ है।
एलिगेशन (मिश्रण) के नियम का उपयोग करते हुए:
मिश्रधातुओं का अनुपात = $\left| \frac{2}{5} - \frac{5}{13} \right| : \left| \frac{5}{13} - \frac{1}{3} \right|$
$= \left| \frac{26-25}{65} \right| : \left| \frac{15-13}{39} \right|$
$= \frac{1}{65} : \frac{2}{39}$
$= \frac{1}{5 \times 13} : \frac{2}{3 \times 13}$
$= \frac{1}{5} : \frac{2}{3} = 3 : 10.$

(C) मिश्रधातु $A$ में,सोने और तांबे का अनुपात $5:3$ है। कुल भाग $5+3 = 8$ है।
मिश्रधातु $B$ में,सोने और तांबे का अनुपात $5:11$ है। कुल भाग $5+11 = 16$ है।
समान मात्रा को मिलाने के लिए,हम कुल भागों को बराबर करते हैं। $8$ और $16$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $16$ है।
मिश्रधातु $A$ के लिए,अनुपात को $2$ से गुणा करें: $(5 \times 2) : (3 \times 2) = 10:6.$
मिश्रधातु $B$ के लिए,अनुपात $5:11$ ही रहेगा।
जब समान मात्रा को पिघलाकर मिश्रधातु $C$ बनाई जाती है,तो कुल सोना $10 + 5 = 15$ और कुल तांबा $6 + 11 = 17$ होता है।
अतः,मिश्रधातु $C$ में सोने और तांबे का अनुपात $15:17$ है।

(A) आइए प्रत्येक मिश्र धातु में सोने के अंश पर विचार करें।
पहली मिश्र धातु में,सोने और चांदी का अनुपात $7: 22$ है,इसलिए सोने का अंश $\frac{7}{7+22} = \frac{7}{29}$ है।
दूसरी मिश्र धातु में,सोने और चांदी का अनुपात $21: 37$ है,इसलिए सोने का अंश $\frac{21}{21+37} = \frac{21}{58}$ है।
अंतिम मिश्रण में,सोने और चांदी का अनुपात $25: 62$ है,इसलिए सोने का अंश $\frac{25}{25+62} = \frac{25}{87}$ है।
एलिगेशन (मिश्रण) के नियम का उपयोग करते हुए:
पहली मिश्र धातु और दूसरी मिश्र धातु का अनुपात = $\left| \frac{21}{58} - \frac{25}{87} \right| : \left| \frac{25}{87} - \frac{7}{29} \right|$
$= \left| \frac{63 - 50}{174} \right| : \left| \frac{25 - 21}{87} \right|$
$= \frac{13}{174} : \frac{4}{87}$
$= \frac{13}{174} : \frac{8}{174}$
$= 13: 8$.

(A) मान लीजिए शुद्ध दूध का क्रय मूल्य $CP_m = 16 / L$ है और पानी का क्रय मूल्य $CP_w = 0 / L$ है।
मिश्रण का विक्रय मूल्य $SP = 15 / L$ है और इस पर $25 \%$ का लाभ होता है।
मिश्रण का क्रय मूल्य $(CP_{mix})$ इस प्रकार निकाला जाता है:
$CP_{mix} = \frac{SP}{1 + \text{Profit}\%} = \frac{15}{1 + 0.25} = \frac{15}{1.25} = 12 / L$.
एलिगेशन (Alligation) के नियम का उपयोग करते हुए:
दूध $(16)$ : पानी $(0)$
औसत मूल्य = $12$
अंतर (दूध की तरफ) = $|12 - 0| = 12$
अंतर (पानी की तरफ) = $|16 - 12| = 4$
दूध और पानी का अनुपात = $12 : 4 = 3 : 1$.

(A) एलिगेशन (मिश्रण) के नियम का उपयोग करते हुए:
पहले घोल की सांद्रता $= 15 \%$
दूसरे घोल की सांद्रता $= 40 \%$
वांछित औसत सांद्रता $= 30 \%$
एलिगेशन विधि द्वारा:
दूसरी सांद्रता और औसत के बीच का अंतर $= 40 - 30 = 10$
औसत और पहली सांद्रता के बीच का अंतर $= 30 - 15 = 15$
पहले घोल और दूसरे घोल का अनुपात $= 10 : 15 = 2 : 3$.

(B) माना कि दूध की प्रारंभिक मात्रा $7x$ और पानी की मात्रा $5x$ है।
प्रश्न के अनुसार,जब $15 \, L$ पानी मिलाया जाता है,तो नया अनुपात $7:8$ हो जाता है।
अतः,समीकरण इस प्रकार है: $\frac{7x}{5x + 15} = \frac{7}{8}$.
तिर्यक गुणा (cross-multiplication) करने पर: $7x \times 8 = 7(5x + 15)$.
दोनों पक्षों को $7$ से विभाजित करने पर: $8x = 5x + 15$.
दोनों पक्षों से $5x$ घटाने पर: $3x = 15$,जिससे $x = 5$ प्राप्त होता है।
पानी की प्रारंभिक मात्रा $5x = 5 \times 5 = 25 \, L$ थी।
नए मिश्रण में पानी की कुल मात्रा $25 \, L + 15 \, L = 40 \, L$ है।

(C) पानी के सापेक्ष दूध की न्यूनतम मात्रा वाला बर्तन ज्ञात करने के लिए,हम प्रत्येक मिश्रण में दूध का भिन्न निकालते हैं:
$1$. पहला बर्तन: $\frac{5}{5+3} = \frac{5}{8} = 0.625$
$2$. दूसरा बर्तन: $\frac{2}{2+1} = \frac{2}{3} \approx 0.666$
$3$. तीसरा बर्तन: $\frac{3}{3+2} = \frac{3}{5} = 0.600$
$4$. चौथा बर्तन: $\frac{7}{7+4} = \frac{7}{11} \approx 0.636$
मानों की तुलना करने पर: $0.600 < 0.625 < 0.636 < 0.666$।
अतः,तीसरे बर्तन में पानी के सापेक्ष दूध की मात्रा न्यूनतम है।