Mix Example - WORK AND ENERGY Questions in Gujarati

(A) ધારો કે બે વસ્તુઓનું દળ $m_1$ અને $m_2$ છે,જ્યાં $m_2 > m_1$ છે. ધારો કે તેમનું સમાન વેગમાન $p$ છે.
ગતિઊર્જા $K$ અને વેગમાન $p$ તથા દળ $m$ વચ્ચેનો સંબંધ $K = \frac{p^2}{2m}$ છે.
પ્રથમ વસ્તુ (હલકી) માટે,$K_1 = \frac{p^2}{2m_1}$.
બીજી વસ્તુ (ભારે) માટે,$K_2 = \frac{p^2}{2m_2}$.
તેમની ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K_1}{K_2} = \frac{p^2 / 2m_1}{p^2 / 2m_2} = \frac{m_2}{m_1}$ થાય.
અહીં $m_2 > m_1$ હોવાથી,$\frac{m_2}{m_1} > 1$ થાય,જે દર્શાવે છે કે $K_1 > K_2$.
આમ,હલકી વસ્તુની ગતિઊર્જા વધારે હોય છે.

(N/A) સ્થિતિ ઉર્જા એટલે પદાર્થની સ્થિતિ અથવા આકારને કારણે તેમાં સંગ્રહિત ઉર્જા. જમીનથી $h$ ઊંચાઈએ રહેલા પદાર્થની ગુરુત્વીય સ્થિતિ ઉર્જા એટલે પદાર્થને જમીન પરથી તે ઊંચાઈ સુધી ગુરુત્વાકર્ષણ બળની વિરુદ્ધ લઈ જવા માટે કરવું પડતું કાર્ય.
$m$ દળ ધરાવતા પદાર્થને $h$ ઊંચાઈ સુધી લઈ જવામાં આવે ત્યારે થતું કાર્ય $W$ નીચે મુજબ છે:
$W = \text{બળ} \times \text{સ્થાનાંતર} = (m \times g) \times h = mgh$
આમ, સ્થિતિ ઉર્જા $PE = mgh$ થાય.
$(b)$ આપેલ છે:
દળ $m = 10 \, kg$
ઊંચાઈ $h = 6 \, m$
ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 9.8 \, m s^{-2}$
સ્થિતિ ઉર્જા $PE = mgh = 10 \times 9.8 \times 6 = 588 \, J$.

(112.5 W) પાવર એટલે કાર્ય કરવાનો દર.
આપેલ છે:
છોકરાનું દળ $(m)$ = $45 \, kg$
પગથિયાંની સંખ્યા $(n)$ = $20$
દરેક પગથિયાની ઊંચાઈ = $25 \, cm = 0.25 \, m$
કુલ ઊંચાઈ $(h)$ = $20 \times 0.25 \, m = 5 \, m$
લીધેલ સમય $(t)$ = $20 \, s$
ગુરુત્વપ્રવેગ $(g)$ = $10 \, m s^{-2}$
થયેલ કાર્ય $(W)$ = પ્રાપ્ત કરેલ સ્થિતિઊર્જા = $mgh$
$W = 45 \times 10 \times 5 = 2250 \, J$
પાવર $(P)$ = $\frac{\text{કાર્ય}}{\text{સમય}} = \frac{W}{t}$
$P = \frac{2250}{20} = 112.5 \, W$
આમ,છોકરાનો પાવર $112.5 \, W$ છે.

(N/A) જ્યારે કોઈ સાધન $1$ સેકન્ડમાં $1$ જૂલ ઊર્જાનો વપરાશ કરે,ત્યારે તેનો પાવર $1 \ W$ કહેવાય છે.
$(b)$ આપેલ છે:
ઊર્જા $(E) = 1000 \ J$
સમય $(t) = 10 \ s$
પાવર $(P) = E / t$
$P = 1000 \ J / 10 \ s = 100 \ W$
આમ,લેમ્પનો પાવર $100 \ W$ છે.

(N/A) ના,પદાર્થની કુલ ઊર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે. જેમ પદાર્થ નીચે પડે છે,તેમ જમીનથી તેની ઊંચાઈ ઘટે છે,તેથી તેની સ્થિતિઊર્જા ઘટે છે. તે જ સમયે,તેનો વેગ અને ગતિઊર્જા વધે છે. સ્થિતિઊર્જામાં થયેલો ઘટાડો એ ગતિઊર્જામાં થયેલા વધારા જેટલો જ હોય છે. આમ,કોઈપણ સમયે પદાર્થની સ્થિતિઊર્જા અને ગતિઊર્જાનો સરવાળો (યાંત્રિક ઊર્જા) અચળ રહે છે.
$(b)$
$(i)$ સ્થિતિઊર્જા શરૂઆતની ઊંચાઈ $h$ પર મહત્તમ હોય છે,જ્યાં પદાર્થ સ્થિર હોય છે.
$(ii)$ ગતિઊર્જા જમીનની સપાટી પર મહત્તમ હોય છે,પદાર્થ જમીન સાથે અથડાય તે પહેલાં,કારણ કે આ બિંદુએ વેગ સૌથી વધુ હોય છે.

(N/A) છોકરા દ્વારા લગાડવામાં આવેલા બળ વડે થતું કાર્ય ધન છે,કારણ કે દડાનું સ્થાનાંતર લગાડવામાં આવેલા બળની દિશામાં જ થાય છે.
$(b)$ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ વડે થતું કાર્ય ઋણ છે,કારણ કે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ નીચેની તરફ લાગે છે જ્યારે દડાનું સ્થાનાંતર ઉપરની તરફ થાય છે,એટલે કે બળ અને સ્થાનાંતર પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં છે.

(N/A) બોક્સને ઉંચકવા માટે લગાડવામાં આવેલ બળ તેના વજન જેટલું હોય છે,$F = mg = 250 \,kg \times 10 \,m/s^2 = 2500 \,N$. સ્થાનાંતર $S = 1 \,m$ છે. કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = F \times S = 2500 \,N \times 1 \,m = 2500 \,J$ છે.
$(b)$ જ્યારે બોક્સને પકડી રાખવામાં આવે છે,ત્યારે કોઈ સ્થાનાંતર થતું નથી $(S = 0)$. તેથી,કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = F \times 0 = 0 \,J$ છે.
$(c)$ તેઓ થાકી જાય છે કારણ કે બોક્સ પર લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળનો સામનો કરવા માટે સતત સ્નાયુબદ્ધ પ્રયત્ન કરવો પડે છે,ભલે કોઈ યાંત્રિક કાર્ય થતું ન હોય.

(N/A) હા,આ શક્ય છે જ્યારે કોઈ પદાર્થ $v$ જેટલી અચળ ઝડપથી વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરતો હોય. પદાર્થ વર્તુળાકાર માર્ગના કેન્દ્ર તરફ કેન્દ્રગામી પ્રવેગ અનુભવે છે. સ્થાનાંતર હંમેશા વર્તુળાકાર માર્ગને સ્પર્શક હોય છે,એટલે કે બળ અને સ્થાનાંતર વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 90^{\circ}$ હોય છે. તેથી,થયેલું કાર્ય:
$W = F S \cos 90^{\circ} = 0$.
$(b)$ આપણે જાણીએ છીએ કે ગતિઊર્જા $K$ અને રેખીય વેગમાન $p$ વચ્ચેનો સંબંધ $p = \sqrt{2 m K}$ છે.
સમાન ગતિઊર્જા $K$ ધરાવતા બે પદાર્થો માટે:
$p_{1} = \sqrt{2 m_{1} K}$
$p_{2} = \sqrt{2 m_{2} K}$
તેથી,તેમના રેખીય વેગમાનનો ગુણોત્તર:
$\frac{p_{1}}{p_{2}} = \sqrt{\frac{2 m_{1} K}{2 m_{2} K}} = \sqrt{\frac{m_{1}}{m_{2}}}$.

(N/A) પાવર એટલે કાર્ય કરવાનો દર અથવા ઊર્જા વપરાશનો દર. જો કોઈ સાધન $1\, s$ માં $1\, J$ જેટલું કાર્ય કરે,તો તેનો પાવર $1\, W$ કહેવાય છે.
આપેલ છે:
વપરાયેલ ઊર્જા $(W)$ = $1000\, J$
લીધેલ સમય $(t)$ = $10\, s$
સૂત્ર:
$P = \frac{W}{t}$
ગણતરી:
$P = \frac{1000\, J}{10\, s} = 100\, W$
આમ,લેમ્પનો પાવર $100\, W$ છે.

(N/A) આકાશમાં ઉડતા પક્ષીમાં પૃથ્વીની સપાટીની સાપેક્ષે ઊંચાઈ હોવાથી તેમાં સ્થિતિ ઊર્જા હોય છે.
તે જે વેગથી હવામાં ઉડી રહ્યું છે,તેના કારણે તેમાં ગતિ ઊર્જા પણ હોય છે.
સ્થિતિ ઊર્જા $(PE)$ નું સૂત્ર: $PE = mgh$,જ્યાં $m$ એ પક્ષીનું દળ છે,$g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે અને $h$ એ જમીનથી તેની ઊંચાઈ છે.
ગતિ ઊર્જા $(KE)$ નું સૂત્ર: $KE = \frac{1}{2}mv^2$,જ્યાં $m$ એ પક્ષીનું દળ છે અને $v$ એ તેનો વેગ છે.

(N/A) જ્યારે ધનુષને ખેંચવામાં આવે છે,ત્યારે તેમાં સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઉર્જા સંગ્રહિત થાય છે. જ્યારે તીર છોડવામાં આવે છે,ત્યારે ધનુષમાં સંગ્રહિત આ સ્થિતિ ઉર્જા તીરની ગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે,જેના કારણે તે આગળ વધે છે.
$(b)$ આપેલ છે:
દળ $(m) = 50 \, kg$
ઊંચાઈ $(h) = 100 \, m$
ગુરુત્વપ્રવેગ $(g) = 10 \, m/s^2$
સ્થિતિ ઉર્જા $(PE) = m \times g \times h$
$PE = 50 \times 10 \times 100$
$PE = 50,000 \, J$ અથવા $50 \, kJ$.

(N/A) ઉર્જાનો વ્યાવસાયિક એકમ કિલોવોટ-અવર $(kWh)$ છે.
$1 \,kWh = 1 \,kW \times 1 \,h = 1000 \,W \times 3600 \,s = 3.6 \times 10^6 \,J$.
$(b)$ આપેલ છે: પાવર $(P) = 60 \,W = 0.06 \,kW$,સમય $(t) = 10 \,h$.
વપરાતી ઉર્જા $(E) = P \times t = 0.06 \,kW \times 10 \,h = 0.6 \,kWh$.
$1 \,kWh = 1 \text{ યુનિટ}$ હોવાથી,બલ્બ એક દિવસમાં $0.6 \text{ યુનિટ}$ વિદ્યુત ઉર્જા વાપરે છે.

(N/A) કાર્ય કરવાના દરને પાવર કહેવામાં આવે છે. તેનો $SI$ એકમ વોટ $(W)$ છે.
$(b)$ પદાર્થ પર લગાડવામાં આવેલા બળ અને બળની દિશામાં થયેલા સ્થાનાંતરના ગુણાકારને કાર્ય કહેવામાં આવે છે. તેનો $SI$ એકમ જૂલ $(J)$ છે.
$(c)$ પદાર્થની ગતિને કારણે તેમાં રહેલી ઊર્જાને ગતિઊર્જા કહેવામાં આવે છે. તેનો $SI$ એકમ જૂલ $(J)$ છે.

(N/A) પાવર એટલે કાર્ય કરવાનો દર અથવા ઊર્જા વપરાશનો દર.
વિદ્યુત ઊર્જાનો વ્યાવસાયિક એકમ $kWh$ (કિલોવોટ-અવર) છે અને $SI$ એકમ જૂલ $(J)$ છે.
આપેલ છે:
પાવર $(P)$ = $1.5 \, kW$
સમય $(t)$ = $2$ કલાક
વપરાતી વિદ્યુત ઊર્જા $(E)$ = $P \times t$
$E = 1.5 \, kW \times 2 \, \text{h} = 3 \, kWh$.
તેથી, એક દિવસમાં વપરાતી વિદ્યુત ઊર્જા $3$ યુનિટ છે (કારણ કે $1 \, kWh = 1$ યુનિટ).

(2:3) કોઈ પદાર્થ તેની ગતિને કારણે જે ઊર્જા ધરાવે છે તેને ગતિઊર્જા કહેવાય છે.
$(b)$ આપેલ છે કે દળનો ગુણોત્તર $\frac{m_1}{m_2} = \frac{2}{3}$ અને વેગ $v_1 = v_2 = 108 \, km/h$ છે.
ગતિઊર્જાનું સૂત્ર $KE = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
અહીં વેગ સમાન હોવાથી,ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{KE_1}{KE_2} = \frac{\frac{1}{2}m_1v^2}{\frac{1}{2}m_2v^2} = \frac{m_1}{m_2}$ થશે.
તેથી,તેમની ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $2:3$ છે.

(100 W) કાર્ય: અચળ બળ દ્વારા થયેલ કાર્ય એટલે બળની દિશામાં સ્થાનાંતર અને સ્થાનાંતરના મૂલ્યનો ગુણાકાર. તેનો $SI$ એકમ જૂલ $(J)$ છે.
ઊર્જા: પદાર્થની કાર્ય કરવાની ક્ષમતાને ઊર્જા કહેવાય છે. તેનો $SI$ એકમ જૂલ $(J)$ છે.
પાવર: કાર્ય કરવાના દરને પાવર કહેવાય છે. તેનો $SI$ એકમ વોટ $(W)$ છે.
આપેલ છે: દળ $m = 80 \, kg$,પગથિયાની સંખ્યા $= 30$,દરેક પગથિયાની ઊંચાઈ $= 12.5 \, cm = 0.125 \, m$,સમય $t = 30 \, s$,ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \, m \, s^{-2}$.
કુલ ઊંચાઈ $h = 30 \times 0.125 \, m = 3.75 \, m$.
થયેલ કાર્ય $W = mgh = 80 \times 10 \times 3.75 = 3000 \, J$.
પાવર $P = W / t = 3000 / 30 = 100 \, W$.

(N/A) ગતિઊર્જા: પદાર્થમાં તેની ગતિને કારણે રહેલી ઊર્જાને ગતિઊર્જા કહેવાય છે.
સ્થિતિઊર્જા: પદાર્થમાં તેની સ્થિતિ અથવા સંરચનાને કારણે રહેલી ઊર્જાને સ્થિતિઊર્જા કહેવાય છે.
ગતિઊર્જા માટેનું સૂત્ર $KE = \frac{1}{2} mv^2$ છે.
આપેલ છે:
દળ $(m)$ = $10 \, kg$
વેગ $(v)$ = $10 \, m s^{-1}$
ગણતરી:
$KE = \frac{1}{2} \times 10 \times (10)^2$
$KE = 5 \times 100$
$KE = 500 \, J$
પથ્થરની ગતિઊર્જા $500 \, J$ છે.

(D) $(i)$ ધારો કે $m$ દળનો એક પદાર્થ શરૂઆતમાં સ્થિર છે,એટલે કે $u = 0$,ઘર્ષણરહિત સપાટી પર છે. ધારો કે પદાર્થ પર અચળ બળ $F$ લાગે છે,જેનાથી $a$ જેટલો પ્રવેગ ઉત્પન્ન થાય છે. $S$ જેટલા સ્થાનાંતર પછી,પદાર્થ $v$ જેટલો વેગ પ્રાપ્ત કરે છે. ગતિના સમીકરણ $v^2 - u^2 = 2aS$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $a = v^2 / (2S)$ મળે છે.
બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W = F \times S$ છે. $F = ma$ હોવાથી,$W = (ma) \times S = m \times (v^2 / 2S) \times S = 1/2 mv^2$.
આ કાર્ય ગતિઊર્જા $(KE)$ તરીકે સંગ્રહિત થાય છે. આમ,$KE = 1/2 mv^2$. ગતિઊર્જાનો $SI$ એકમ જૂલ $(J)$ છે.
$(ii)$ આપેલ છે: દળ $m = 10 \, kg$,વેગ $v = 5 \, m s^{-1}$.
$KE = 1/2 mv^2 = 1/2 \times 10 \times (5)^2 = 5 \times 25 = 125 \, J$.

(N/A) સંકળાયેલી ઉર્જાના બે સ્વરૂપો ગતિ ઉર્જા $(KE)$ અને સ્થિતિ ઉર્જા $(PE)$ છે.
$(b)$ આકૃતિમાં,બિંદુ $A$ એ અંતિમ સ્થાન દર્શાવે છે જ્યાં $PE$ મહત્તમ છે અને $KE$ શૂન્ય છે. બિંદુ $B$ એ મધ્યમાન સ્થાન દર્શાવે છે જ્યાં $KE$ મહત્તમ છે અને $PE$ શૂન્ય છે.
$(c)$ જેમ લોલક મધ્યમાન સ્થાન $(B)$ થી અંતિમ સ્થાન $(A)$ તરફ જાય છે,તેમ $KE$ નું $PE$ માં રૂપાંતર થાય છે,તેથી $KE$ ઘટે છે અને $PE$ વધે છે. તેનાથી ઉલટું,જ્યારે તે અંતિમ સ્થાન $(A)$ થી મધ્યમાન સ્થાન $(B)$ તરફ આવે છે,ત્યારે $PE$ નું $KE$ માં રૂપાંતર થાય છે,તેથી $PE$ ઘટે છે અને $KE$ વધે છે.
$(d)$ આમાં સમાવિષ્ટ નિયમ ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ છે. આ નિયમ મુજબ,ઉર્જાનું સર્જન કે વિનાશ થઈ શકતો નથી,માત્ર તેનું એક સ્વરૂપમાંથી બીજા સ્વરૂપમાં રૂપાંતર થઈ શકે છે. અલગ કરેલી સિસ્ટમમાં,કુલ ઉર્જા અચળ રહે છે.

(A) ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ: આ નિયમ મુજબ ઉર્જાનું સર્જન કે વિનાશ થઈ શકતો નથી; તેને માત્ર એક સ્વરૂપમાંથી બીજા સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે. અલગ કરેલી સિસ્ટમમાં કુલ ઉર્જા અચળ રહે છે.
ઉદાહરણ: કોઈપણ પદાર્થના મુક્ત પતન દરમિયાન,સ્થિતિ ઉર્જા ધીમે ધીમે ગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે,પરંતુ કુલ યાંત્રિક ઉર્જા અચળ રહે છે.
$(b)$ $(i)$ છોકરી $A$ દ્વારા વપરાયેલ પાવર:
વજન $(mg) = 400 \, N$,ઊંચાઈ $(h) = 8 \, m$,સમય $(t) = 20 \, s$.
પાવર $(P) = \frac{\text{કાર્ય}}{\text{સમય}} = \frac{mgh}{t} = \frac{400 \times 8}{20} = 160 \, W$.
$(ii)$ છોકરી $B$ દ્વારા વપરાયેલ પાવર:
વજન $(mg) = 400 \, N$,ઊંચાઈ $(h) = 8 \, m$,સમય $(t) = 50 \, s$.
પાવર $(P) = \frac{mgh}{t} = \frac{400 \times 8}{50} = 64 \, W$.
$(c)$ પાવર $(P) = 1500 \, W = 1.5 \, kW$,સમય $(t) = 10 \, h$.
વપરાયેલ ઉર્જા $= P \times t = 1.5 \, kW \times 10 \, h = 15 \, kWh$.

(A) પદાર્થ પર લાગતા બળ દ્વારા થયેલ કાર્ય એટલે બળનું મૂલ્ય અને બળની દિશામાં પદાર્થનું સ્થાનાંતરનો ગુણાકાર.
કાર્ય માટેનું સૂત્ર: $W = F \times s$,જ્યાં $W$ એ કાર્ય છે,$F$ એ બળ છે અને $s$ એ સ્થાનાંતર છે.
$(b)$ જો પદાર્થનું સ્થાનાંતર શૂન્ય હોય,તો થયેલ કાર્ય શૂન્ય થાય છે. કારણ કે $W = F \times 0 = 0$.
$(c)$ ગતિઊર્જા એટલે પદાર્થની ગતિને કારણે તેમાં રહેલી ઊર્જા. $m$ દળ ધરાવતા અને $v$ ઝડપથી ગતિ કરતા પદાર્થની ગતિઊર્જા $(K)$ માટેનું સૂત્ર $K = \frac{1}{2}mv^2$ છે.

(N/A) આપેલ છે: દળ $(m) = 10 \ kg$,ઊંચાઈ $(h) = 10 \ m$,ગુરુત્વપ્રવેગ $(g) = 10 \ m/s^2$.
સ્થિતિ ઊર્જા $(PE) = mgh$,ગતિ ઊર્જા $(KE) = \frac{1}{2}mv^2$,યાંત્રિક ઊર્જા $(ME) = PE + KE$.

ઊંચાઈ $(m)$	$PE$ $(J)$	$KE$ $(J)$	$ME$ $(J)$
$10$	$1000$	$0$	$1000$
$8$	$800$	$200$	$1000$
$5$	$500$	$500$	$1000$
$0$	$0$	$1000$	$1000$

ઊર્જા સંરક્ષણનો નિયમ: ઊર્જાનું સર્જન કે વિનાશ શક્ય નથી; તેને માત્ર એક સ્વરૂપમાંથી બીજા સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે. અલગ કરેલી સિસ્ટમમાં કુલ ઊર્જા અચળ રહે છે.

(N/A) ના,આ વિધાન ખોટું છે. કાર્ય શૂન્ય છે કારણ કે પૃથ્વી પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ (સૂર્યની દિશામાં) અને સ્થાનાંતર (વર્તુળાકાર માર્ગના સ્પર્શક દિશામાં) એકબીજાને લંબ છે,એટલે કે $\theta = 90^{\circ}$. સૂત્ર $W = F S \cos \theta$ મુજબ,$\cos 90^{\circ} = 0$ હોવાથી,થયેલું કાર્ય $W = 0$ થાય છે.
$(b)$ કુલી બોક્સને પકડી રાખવા માટે બળ લગાડે છે પરંતુ બોક્સનું કોઈ સ્થાનાંતર થતું નથી $(S = 0)$,તેથી તેના દ્વારા થયેલું કાર્ય શૂન્ય છે.
$(c)$ કુલ દળ $m = 70 \, kg + 10 \, kg = 80 \, kg$. બળ $F = m \times g = 80 \, kg \times 10 \, m s^{-2} = 800 \, N$. સ્થાનાંતર $S = 100 \, m$. થયેલું કાર્ય $W = F \times S = 800 \, N \times 100 \, m = 80,000 \, J$.

(C) સરેરાશ પાવર એટલે કુલ કરેલ કાર્ય અને તે માટે લાગતા કુલ સમયનો ગુણોત્તર.
$(b)$ જ્યારે ફૂટબોલને કિક મારવામાં આવે છે,ત્યારે તે વક્ર માર્ગે ગતિ કરીને પાછો જમીન પર આવે છે. ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા થયેલ કાર્ય માત્ર શિરોલંબ સ્થાનાંતર પર આધાર રાખે છે. પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થિતિ સમાન (જમીન) હોવાથી,શિરોલંબ સ્થાનાંતર $h = 0$ છે. તેથી,ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W = mgh = 0$ થાય.
$(c)$ રામ અને શ્યામ દ્વારા થયેલ કાર્ય સમાન છે કારણ કે બંનેનું દળ $(40 \, kg)$ સમાન છે અને બંને સમાન ઊંચાઈ $(3 \, m)$ સુધી ચઢે છે.
રામનો પાવર $= \frac{mgh}{t} = \frac{40 \times 9.8 \times 3}{10} = 117.6 \, W$.
શ્યામનો પાવર $= \frac{mgh}{t} = \frac{40 \times 9.8 \times 3}{12} = 98 \, W$.
$117.6 \, W > 98 \, W$ હોવાથી,રામનો પાવર શ્યામના પાવર કરતા વધારે છે.

(1:3) જ્યારે કોઈ પદાર્થ પર બળ લગાડવામાં આવે ત્યારે પદાર્થનું બળની દિશામાં થતું સ્થાનાંતર એટલે કાર્ય. કાર્યનું મૂલ્ય બે પરિબળો પર આધાર રાખે છે: $(1)$ લગાડેલા બળનું મૂલ્ય $(F)$ અને $(2)$ બળની દિશામાં પદાર્થનું સ્થાનાંતર $(s)$.
$(b)$ આપેલ છે: કારની ઝડપ $(v_1) = 30 \, m/s$,ટ્રકની ઝડપ $(v_2) = 30 \, m/s$. દળનો ગુણોત્તર $(m_1 : m_2) = 1 : 3$.
ગતિઊર્જા $(E_k) = \frac{1}{2}mv^2$ હોવાથી,ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર:
$\frac{E_1}{E_2} = \frac{\frac{1}{2}m_1v_1^2}{\frac{1}{2}m_2v_2^2} = \frac{m_1}{m_2} \times \left(\frac{v_1}{v_2}\right)^2$
અહીં $v_1 = v_2$ હોવાથી,ગુણોત્તર $\frac{m_1}{m_2} = \frac{1}{3}$ થાય.
તેથી,ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $1:3$ છે.

(N/A) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ઉર્જાનું સર્જન કરી શકાતું નથી કે તેનો વિનાશ કરી શકાતો નથી; તેને માત્ર એક સ્વરૂપમાંથી બીજા સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે. આમ,અલગ કરેલી સિસ્ટમની કુલ ઉર્જા અચળ રહે છે.
$(b)$ ઉર્જાનો $SI$ એકમ જૂલ $(J)$ છે અને ઉર્જાનો વ્યાવસાયિક એકમ કિલોવોટ-અવર $(kWh)$ છે.
$1 \, kWh = 1 \, kW \times 1 \, h$
$1 \, kWh = 1000 \, W \times 3600 \, s$
$1 \, kWh = 3,600,000 \, J = 3.6 \times 10^6 \, J$.
$(c)$ આપેલ છે: બળ $(F)$ = $7 \, N$,સ્થાનાંતર $(S)$ = $5 \, m$.
થયેલું કાર્ય $(W)$ = $F \times S$
$W = 7 \, N \times 5 \, m = 35 \, J$.

(D) $(i)$ જ્યારે કોઈ વસ્તુને અમુક ખૂણે ફેંકવામાં આવે છે, ત્યારે તે મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ સુધી ઉપર જાય છે અને પછી પરવલયાકાર માર્ગે પાછી જમીન પર આવે છે। ઉપર જતી વખતે ગુરુત્વાકર્ષણની વિરુદ્ધ થયેલું કાર્ય $W_{against} = mgh$ છે। નીચે પડતી વખતે ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W_{by} = mgh$ છે। પ્રારંભિક અને અંતિમ બિંદુઓ એક જ સમક્ષિતિજ રેખા પર હોવાથી, શિરોલંબ દિશામાં કુલ સ્થાનાંતર $0$ છે। તેથી, ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા થયેલું કુલ કાર્ય $W_{net} = W_{against} + W_{by} = -mgh + mgh = 0 \, J$ છે।
$(ii)$ આપેલ છે: દળ $m = 20 \, kg$, પ્રારંભિક વેગ $u = 5 \, m s^{-1}$, અંતિમ વેગ $v = 2 \, m s^{-1}$।
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ, બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે:
$W = \Delta KE = \frac{1}{2} m v^2 - \frac{1}{2} m u^2$
$W = \frac{1}{2} \times 20 \times (2)^2 - \frac{1}{2} \times 20 \times (5)^2$
$W = 10 \times 4 - 10 \times 25$
$W = 40 - 250 = -210 \, J$।

(A) આપેલ છે: બળ $F = 100 \, N$,સમક્ષિતિજ સ્થાનાંતર $S_H = 5 \, m$,ઉર્ધ્વ સ્થાનાંતર $S_V = 10 \, m$.
ધારો કે $W_1$ એ સમક્ષિતિજ ગતિ દરમિયાન થયેલ કાર્ય છે અને $W_2$ એ ઉર્ધ્વ ગતિ દરમિયાન થયેલ કાર્ય છે.
સમક્ષિતિજ ગતિ માટે,બળ ઉર્ધ્વ છે અને સ્થાનાંતર સમક્ષિતિજ છે,તેથી ખૂણો $\theta = 90^{\circ}$ છે.
$W_1 = F \cdot S_H \cdot \cos(90^{\circ}) = 100 \times 5 \times 0 = 0 \, J$.
ઉર્ધ્વ ગતિ માટે,બળ ઉર્ધ્વ છે અને સ્થાનાંતર પણ ઉર્ધ્વ છે,તેથી ખૂણો $\theta = 0^{\circ}$ છે.
$W_2 = F \cdot S_V \cdot \cos(0^{\circ}) = 100 \times 10 \times 1 = 1000 \, J$.
કુલ કાર્ય $W = W_1 + W_2 = 0 + 1000 = 1000 \, J$.
$(b)$ ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ અને વેગમાન $p = mv$ છે.
$p = mv$ પરથી,$v = \frac{p}{m}$ મળે છે.
ગતિઊર્જાના સૂત્રમાં $v$ ની કિંમત મૂકતા:
$K = \frac{1}{2}m \left(\frac{p}{m}\right)^2 = \frac{1}{2}m \left(\frac{p^2}{m^2}\right) = \frac{p^2}{2m}$.
આમ,સંબંધ $K = \frac{p^2}{2m}$ છે.

(N/A) સરેરાશ પાવર એટલે કાર્ય કરવાનો સરેરાશ દર. જો $t$ સમયમાં કુલ કાર્ય $W$ કરવામાં આવે,તો સરેરાશ પાવર $P_{av}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$P_{av} = \frac{W}{t}$
$4$ ઉપકરણો દ્વારા વપરાતો કુલ પાવર $= 4 \times 500 = 2000\, W = 2\, kW$
ઉપકરણો ચાલવાનો સમય $= 10$ કલાક
દરરોજ વપરાતી ઉર્જા $= 2\, kW \times 10\, h = 20\, kWh$
નવેમ્બર મહિનામાં ($30$ દિવસ) વપરાતી કુલ ઉર્જા $= 20\, kWh \times 30 = 600\, kWh$
$(b)$ જ્યારે કોઈ પદાર્થ ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ મુક્ત પતન કરે છે,ત્યારે તેની ગતિને કારણે તેમાં ગતિ ઉર્જા હોય છે. જ્યારે તે જમીન સાથે અથડાય છે,ત્યારે તેની ગતિ ઉર્જા અન્ય સ્વરૂપોમાં રૂપાંતરિત થાય છે,મુખ્યત્વે સપાટી સાથેના અથડામણને કારણે તે ધ્વનિ ઉર્જા અને ઉષ્મા ઉર્જામાં ફેરવાય છે.

(A) $(i)$ પદાર્થની ગતિઊર્જા $(E)$ તેના વેગમાન $(p)$ સાથે $E = p^2 / 2m$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે. જો વેગમાન સમાન હોય,તો $E \propto 1/m$ થાય.
તેથી,હલકી વસ્તુની ગતિઊર્જા અને ભારે વસ્તુની ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{E_{\text{light}}}{E_{\text{heavy}}} = \frac{m_{\text{heavy}}}{m_{\text{light}}}$ થાય.
અહીં $m_{\text{heavy}} > m_{\text{light}}$ હોવાથી,ગુણોત્તર $1$ કરતા વધારે મળે છે. આમ,હલકી વસ્તુની ગતિઊર્જા વધારે હશે.
$(ii)$ આપેલ છે: પ્રારંભિક ઊંચાઈ $h_1 = 10\, m$. ઊર્જામાં $40\%$ નો ઘટાડો થાય છે,તેથી બાકી રહેલી ઊર્જા પ્રારંભિક ઊર્જાના $60\%$ છે $(E_2 = 0.6 E_1)$.
સ્થિતિઊર્જાના સૂત્ર $E = mgh$ નો ઉપયોગ કરતા,$mgh_2 = 0.6 mgh_1$ મળે.
$h_2 = 0.6 \times h_1 = 0.6 \times 10\, m = 6\, m$.
આમ,દડો $6\, m$ ની ઊંચાઈ સુધી પાછો ઉછળશે.

(N/A) $(i)$ ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ જણાવે છે કે ઉર્જાનું સર્જન કે વિનાશ થઈ શકતો નથી,તેને માત્ર એક સ્વરૂપમાંથી બીજા સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે. જો કોઈ તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય બિન-સંરક્ષી બળો કાર્ય ન કરતા હોય,તો તેની કુલ ઉર્જા અચળ રહે છે.
$(ii)$ ધારો કે $m$ દળનો એક પદાર્થ પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએથી મુક્ત પતન કરે છે. ધારો કે પદાર્થ $A$ બિંદુએ $h$ ઊંચાઈ પર છે,$x$ અંતર કાપ્યા પછી $B$ બિંદુએ $(h-x)$ ઊંચાઈ પર છે,અને $C$ બિંદુએ જમીનને સ્પર્શતા પહેલા છે.
$A$ બિંદુએ (ઊંચાઈ $h$): પદાર્થ સ્થિર છે,તેથી વેગ $v = 0$.
ગતિ ઉર્જા $(T) = 1/2 mv^2 = 0$.
સ્થિતિ ઉર્જા $(U) = mgh$.
કુલ ઉર્જા $(E) = T + U = 0 + mgh = mgh$ $....(i)$
$B$ બિંદુએ (ઊંચાઈ $h-x$): પદાર્થે $x$ અંતર કાપ્યું છે. ગતિના સમીકરણ $v^2 - u^2 = 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u=0, a=g, s=x$,આપણને $v^2 = 2gx$ મળે છે.
ગતિ ઉર્જા $(T) = 1/2 m(2gx) = mgx$.
સ્થિતિ ઉર્જા $(U) = mg(h-x) = mgh - mgx$.
કુલ ઉર્જા $(E) = T + U = mgx + mgh - mgx = mgh$ $....(ii)$
$C$ બિંદુએ (ઊંચાઈ $0$): પદાર્થે $h$ અંતર કાપ્યું છે. ગતિના સમીકરણ $v^2 - u^2 = 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u=0, a=g, s=h$,આપણને $V^2 = 2gh$ મળે છે.
ગતિ ઉર્જા $(T) = 1/2 mV^2 = 1/2 m(2gh) = mgh$.
સ્થિતિ ઉર્જા $(U) = mg(0) = 0$.
કુલ ઉર્જા $(E) = T + U = mgh + 0 = mgh$ $....(iii)$
સમીકરણો $(i), (ii),$ અને $(iii)$ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે મુક્ત પતન કરતા પદાર્થની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા દરેક બિંદુએ અચળ રહે છે.

(B) યાંત્રિક ઉર્જા એ પદાર્થની ગતિ ઉર્જા $(KE)$ અને સ્થિતિ ઉર્જા $(PE)$ નો સરવાળો છે. તેના બે પ્રકારો ગતિ ઉર્જા અને સ્થિતિ ઉર્જા છે. ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ જણાવે છે કે ઉર્જાનું સર્જન કે વિનાશ થઈ શકતો નથી; તેનું માત્ર એક સ્વરૂપમાંથી બીજા સ્વરૂપમાં રૂપાંતરણ થઈ શકે છે. સાદું લોલક તેનું ઉદાહરણ છે: મધ્યમાન સ્થાને ઉર્જા સંપૂર્ણપણે ગતિ ઉર્જા હોય છે,જ્યારે અંતિમ સ્થાને તે સંપૂર્ણપણે સ્થિતિ ઉર્જા હોય છે. જેમ લોલક દોલન કરે છે,તેમ ઉર્જા સતત ગતિ ઉર્જા અને સ્થિતિ ઉર્જા વચ્ચે બદલાતી રહે છે.
$(b)$ આપેલ છે: દળ $m = 1000 \, kg$,પ્રારંભિક વેગ $u = 72 \, km \, h^{-1} = 72 \times (5/18) \, m \, s^{-1} = 20 \, m \, s^{-1}$,અંતિમ વેગ $v = 0 \, m \, s^{-1}$.
કાર્ય = ગતિ ઉર્જામાં ફેરફાર = $\frac{1}{2} m (v^2 - u^2)$.
કાર્ય = $\frac{1}{2} \times 1000 \times (0^2 - 20^2) = 500 \times (-400) = -200,000 \, J = -2 \times 10^5 \, J$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે કાર્ય કારની ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં કરવામાં આવ્યું છે.

(A) આપેલ છે: $m_1 = m, m_2 = m, v_1 = 2v, v_2 = 3v$. આપણે $E_1 / E_2$ નો ગુણોત્તર શોધવાનો છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ગતિઊર્જા $E = \frac{1}{2}mv^2$ છે. તેથી:
$\frac{E_1}{E_2} = \frac{\frac{1}{2}m_1v_1^2}{\frac{1}{2}m_2v_2^2} = \frac{v_1^2}{v_2^2} = \frac{(2v)^2}{(3v)^2} = \frac{4v^2}{9v^2} = \frac{4}{9}$.
$(b)$ કુલ ઊર્જા = ગતિઊર્જા $(KE)$ + સ્થિતિઊર્જા $(PE)$.
$h$ ઊંચાઈએ,કુલ ઊર્જા $mgh$ છે (કારણ કે $KE = 0$ અને $PE = mgh$).
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પતન દરમિયાન દરેક બિંદુએ કુલ ઊર્જા અચળ રહે છે.
જમીન સુધી પહોંચવાના અડધા રસ્તે (ઊંચાઈ $h/2$),વેગ $v$ એ $v^2 - u^2 = 2g(h/2)$ દ્વારા મળે છે. અહીં $u = 0$ હોવાથી,$v^2 = gh$.
$KE = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}mgh$.
$PE = mg(h/2) = \frac{1}{2}mgh$.
કુલ ઊર્જા = $KE + PE = \frac{1}{2}mgh + \frac{1}{2}mgh = mgh$.

$(D)$ કાર્ય થવા માટેની બે શરતો છે: $(i)$ પદાર્થ પર બળ લાગવું જોઈએ, અને $(ii)$ પદાર્થનું બળની દિશામાં સ્થાનાંતર થવું જોઈએ.
$(b)$ ઘર્ષણ બળ દ્વારા થતું કાર્ય ઋણ હોય છે કારણ કે ઘર્ષણ બળ પદાર્થના સ્થાનાંતરની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગે છે.
$(c)$ પાવર એટલે કાર્ય કરવાનો દર. તેનો સંબંધ $P = W / t$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે, જ્યાં $P$ એ પાવર છે, $W$ એ કરેલું કાર્ય છે અને $t$ એ લીધેલો સમય છે.
$(d)$ આપેલ છે: કાર્ય $(W) = 1960 \, J$, સમય $(t) = 4 \, \text{મિનિટ} = 4 \times 60 = 240 \, s$.
સૂત્ર $P = W / t$ નો ઉપયોગ કરતા: $P = 1960 / 240 = 8.166... \approx 8.17 \, W$.

(N/A) ગતિઊર્જા $(KE)$ એ $m$ દળ ધરાવતા પદાર્થને સ્થિર અવસ્થા $(u=0)$ માંથી $v$ વેગ સુધી પ્રવેગિત કરવા માટે બળ $F$ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય છે. $v^2 - u^2 = 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $s = v^2 / (2a)$ મળે છે. $F = ma$ હોવાથી,કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = F \times s = ma \times (v^2 / 2a) = 1/2 mv^2$. આમ,$KE = 1/2 mv^2$.
$(b)$ $KE \propto v^2$ હોવાથી,જો વેગ $5v$ થાય,તો નવી ગતિઊર્જા $KE' = 1/2 m(5v)^2 = 25 \times (1/2 mv^2) = 25 \times KE$. ગતિઊર્જા $25$ ગણી વધશે.
$(c)$ જમીન પર પડતા પદાર્થની ગતિઊર્જા તેની પ્રારંભિક સ્થિતિઊર્જા $(PE = mgh)$ જેટલી હોય છે. $h$ ઊંચાઈએ $m$ દળ માટે,$PE_1 = mgh$. $2h$ ઊંચાઈએ $2m$ દળ માટે,$PE_2 = (2m)g(2h) = 4mgh$. $PE_2 > PE_1$ હોવાથી,$2m$ દળ ધરાવતા પદાર્થની ગતિઊર્જા વધારે હશે.

(N/A) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ઉર્જાનું સર્જન કે વિનાશ થઈ શકતો નથી,તેને માત્ર એક સ્વરૂપમાંથી બીજા સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે.
$(b)$ આપેલ છે: દળ $m = 1500 \, kg$,પ્રારંભિક વેગ $u = 36 \, km/h = 10 \, m/s$,અંતિમ વેગ $v = 72 \, km/h = 20 \, m/s$.
થયેલું કાર્ય $(W)$ = ગતિ ઉર્જામાં ફેરફાર = $\frac{1}{2} m (v^2 - u^2)$.
$W = \frac{1}{2} \times 1500 \times (20^2 - 10^2) = 750 \times (400 - 100) = 750 \times 300 = 225,000 \, J$ અથવા $2.25 \times 10^5 \, J$.
અહીં વેગમાં વધારો થતો હોવાથી,થયેલું કાર્ય ધન છે.
$(c)$ દોલન કરતા લોલક પાસે તેની અંતિમ સ્થિતિઓ (extreme positions) પર મહત્તમ સ્થિતિ ઉર્જા $(PE)$ અને મધ્યમાન સ્થિતિ (mean position) પર મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $(KE)$ હોય છે.

(A) આપેલ છે: દળ $m = 800 \, kg$,ઊંચાઈ $h = 1500 \, cm = 15 \, m$,સમય $t = 20 \, s$,અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \, m s^{-2}$.
પાણીને ઉપર ખેંચવા માટે કરેલું કાર્ય $W$ એ પ્રાપ્ત કરેલી સ્થિતિઊર્જા જેટલું હોય છે: $W = mgh$.
પાવર $P$ એ કાર્ય કરવાનો દર છે: $P = \frac{W}{t} = \frac{mgh}{t}$.
કિંમતો મૂકતા: $P = \frac{800 \times 10 \times 15}{20}$.
$P = \frac{120000}{20} = 6000 \, W$.
$1 \, kW = 1000 \, W$ હોવાથી,$P = 6 \, kW$ થાય.

(N/A) આપેલ છે: કારનું દળ $m_1 = 750 \,kg$,વેગ $v = 54 \,km \cdot h^{-1} = 54 \times \frac{5}{18} \,m \cdot s^{-1} = 15 \,m \cdot s^{-1}$.
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $(KE_1)$:
$KE_1 = \frac{1}{2} m_1 v^2 = \frac{1}{2} \times 750 \times (15)^2 = 375 \times 225 = 84375 \,J$.
જ્યારે $50 \,kg$ દળનો મુસાફર કારમાં બેસે છે,ત્યારે નવું કુલ દળ $m_2 = 750 \,kg + 50 \,kg = 800 \,kg$ થાય છે.
નવી ગતિઊર્જા $(KE_2)$:
$KE_2 = \frac{1}{2} m_2 v^2 = \frac{1}{2} \times 800 \times (15)^2 = 400 \times 225 = 90000 \,J$.

(A) આપેલ છે: માણસનું દળ $m = 60 \, kg$,લીધેલ સમય $t = 40 \, s$,પગથિયાની સંખ્યા $= 30$,દરેક પગથિયાની ઊંચાઈ $= 20 \, cm = 0.2 \, m$.
કુલ ઊંચાઈ $h = 30 \times 0.2 \, m = 6 \, m$.
ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \, m/s^2$ લેતા.
થયેલ કાર્ય $W = mgh = 60 \times 10 \times 6 = 3600 \, J$.
પાવર $P = \frac{W}{t} = \frac{3600 \, J}{40 \, s} = 90 \, W$.
આમ,માણસનો પાવર $90 \, W$ છે.

(N/A) માણસ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય એ સિસ્ટમ (માણસ + વજન) ની સ્થિતિ ઊર્જામાં થયેલા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
કુલ દળ $m$ એ માણસનું દળ અને તેણે ઉઠાવેલા વજનનો સરવાળો છે:
$m = 70 \,kg + 10 \,kg = 80 \,kg$
ઊંચાઈ $h = 100 \,m$ છે.
ગુરુત્વ પ્રવેગ $g = 9.8 \,m/s^2$ લેતા,કરેલું કાર્ય $W$ નીચે મુજબ ગણી શકાય:
$W = m \times g \times h$
$W = 80 \,kg \times 9.8 \,m/s^2 \times 100 \,m$
$W = 78400 \,J$ (અથવા $7.84 \times 10^4 \,J$).

(B) કોઈ પદાર્થને ચોક્કસ અંતર સુધી ખસેડવા માટે થયેલ કાર્યનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$W = F \times S \times \cos \theta$
ધારો કે બળ સ્થાનાંતરની દિશામાં જ લગાડવામાં આવે છે,તેથી $\theta = 0^\circ$ અને $\cos 0^\circ = 1$ થાય.
આપેલ છે:
બળ $(F)$ = $100 \, N$
સ્થાનાંતર $(S)$ = $10 \, m$
દળ $(m)$ = $50 \, kg$ (નોંધ: અહીં બળ પહેલેથી જ આપેલ હોવાથી દળની ગણતરીમાં જરૂર નથી).
ગણતરી:
$W = F \times S = 100 \, N \times 10 \, m = 1000 \, J$.

(B) આપેલ છે: બળ $F = 20 \,N$,સમય $t = 10 \,s$,દળ $m = 5 \,kg$,અને પ્રારંભિક વેગ $u = 0 \,m/s$.
પ્રથમ,ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરીને પ્રવેગ $a$ શોધો: $a = F/m = 20/5 = 4 \,m/s^2$.
ત્યારબાદ,$v = u + at$ સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને $10 \,s$ પછીનો અંતિમ વેગ $v$ શોધો: $v = 0 + (4 \times 10) = 40 \,m/s$.
અંતે,ગતિઊર્જા $KE$ શોધવા માટે $KE = 1/2 \times m \times v^2$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરો: $KE = 1/2 \times 5 \times (40)^2 = 1/2 \times 5 \times 1600 = 4000 \,J$.

(A) વપરાયેલ પાવર $P$ એ કાર્ય કરવાની દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જેનું સૂત્ર $P = W / t$ છે.
છોકરી અચળ ઝડપે ચઢતી હોવાથી,થયેલ કાર્ય $W$ એ સ્થિતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે,એટલે કે $W = mgh$.
આપેલ કિંમતો છે: દળ $m = 40\, kg$,ઊંચાઈ $h = 6\, m$,અને સમય $t = 15\, s$. ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 9.8\, m/s^2$ લેતા.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$P = \frac{mgh}{t} = \frac{40 \times 9.8 \times 6}{15} = \frac{2352}{15} = 156.8\, W$.
આમ,છોકરી દ્વારા વપરાયેલ પાવર $156.8\, W$ છે.

(D) ધારો કે દરેક પદાર્થનું દળ $m$ છે.
પ્રથમ પદાર્થની ગતિઊર્જા $(KE)$ $K_{1} = \frac{1}{2}mv^{2} \quad \dots(i)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બીજા પદાર્થની ગતિઊર્જા $(KE)$ $K_{2} = \frac{1}{2}m(3v)^{2} = \frac{1}{2}m(9v^{2}) = \frac{9}{2}mv^{2} \quad \dots(ii)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેમની ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર શોધવા માટે,આપણે સમીકરણ $(ii)$ ને સમીકરણ $(i)$ વડે ભાગીએ છીએ:
$\frac{K_{2}}{K_{1}} = \frac{\frac{9}{2}mv^{2}}{\frac{1}{2}mv^{2}} = \frac{9}{1}$.
આમ,તેમની ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $9:1$ છે.

(A) આપેલ છે: દળ,$m = 2 \, kg$,વેગ,$v = 0.1 \, m s^{-1}$.
ગતિઊર્જા $(KE)$ નું સૂત્ર $KE = \frac{1}{2} m v^2$ છે.
આપેલ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$KE = \frac{1}{2} \times 2 \times (0.1)^2$
$KE = 1 \times 0.01$
$KE = 0.01 \, J$.
આમ,પદાર્થની ગતિઊર્જા $0.01 \, J$ છે.

(B) આપેલ છે: પદાર્થનું દળ,$m = 100 \, g = 0.1 \, kg$.
ગતિઊર્જા,$KE = 20 \, J$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ગતિઊર્જાનું સૂત્ર $KE = \frac{1}{2} m v^2$ છે.
વેગ $v$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$v^2 = \frac{2 \times KE}{m}$.
કિંમતો મૂકતા:
$v^2 = \frac{2 \times 20}{0.1} = \frac{40}{0.1} = 400$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$v = \sqrt{400} = 20 \, m s^{-1}$.

(N/A) આપેલ છે: દળ,$m = 10\, kg$,ઊંચાઈ,$h = 5\, m$,ગુરુત્વપ્રવેગ,$g = 9.8\, m/s^2$.
$1$. ટોચ પર સ્થિતિઊર્જા $(PE)$:
$PE = mgh = 10 \times 9.8 \times 5 = 490\, J$.
$2$. જમીન પર ગતિઊર્જા $(KE)$:
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ટોચ પરની સ્થિતિઊર્જા જમીન પર પહોંચતા ગતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
$KE = PE = 490\, J$.
$3$. જમીન સાથે અથડાય તે પહેલાંની ઝડપ:
ગતિના સમીકરણ $v^2 - u^2 = 2gh$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં પ્રારંભિક વેગ $u = 0\, m/s$ છે:
$v^2 - 0 = 2 \times 9.8 \times 5$
$v^2 = 98$
$v = \sqrt{98} \approx 9.9\, m/s$.

(B) ગતિઊર્જા $(KE)$ નું સૂત્ર $KE = \frac{1}{2}mv^2$ છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $v$ એ વસ્તુનો વેગ છે.
$1$. જો આપણે દળ બમણું કરીએ $(m' = 2m)$,તો નવી ગતિઊર્જા $KE' = \frac{1}{2}(2m)v^2 = 2 \times KE$ થાય. આમ,ગતિઊર્જા બમણી થાય છે.
$2$. જો આપણે વેગ બમણો કરીએ $(v' = 2v)$,તો નવી ગતિઊર્જા $KE'' = \frac{1}{2}m(2v)^2 = \frac{1}{2}m(4v^2) = 4 \times KE$ થાય. આમ,ગતિઊર્જા ચાર ગણી વધે છે.
બંનેની સરખામણી કરતા,દળ બમણું કરવા કરતા વેગ બમણો કરવાથી ગતિઊર્જા પર વધુ અસર થાય છે.

(B) આપેલ છે: દળ $m = 4 \, kg$,બળ $F = 16 \, N$,પ્રારંભિક વેગ $u = 0$,સમય $t = 10 \, s$.
પગલું $1$: ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ $F = ma$ નો ઉપયોગ કરીને પ્રવેગ $a$ શોધો.
$a = \frac{F}{m} = \frac{16 \, N}{4 \, kg} = 4 \, m/s^2$.
પગલું $2$: ગતિના સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરીને અંતિમ વેગ $v$ શોધો.
$v = 0 + (4 \, m/s^2 \times 10 \, s) = 40 \, m/s$.
પગલું $3$: ગતિઊર્જા $KE$ ના સૂત્ર $KE = \frac{1}{2}mv^2$ નો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરો.
$KE = \frac{1}{2} \times 4 \, kg \times (40 \, m/s)^2 = 2 \times 1600 = 3200 \, J$.

(C) કાર્યની વ્યાખ્યા $W = F S \cos \theta$ મુજબ આપવામાં આવે છે,જ્યાં $F$ એ બળ છે,$S$ એ સ્થાનાંતર છે,અને $\theta$ એ બળ અને સ્થાનાંતર સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$1$. સમક્ષિતિજ ગતિ માટે: લગાડવામાં આવેલ બળ ઉર્ધ્વ દિશામાં ($10 \,N$ ઉપરની તરફ) છે અને સ્થાનાંતર સમક્ષિતિજ $(5 \,m)$ છે. તેથી ખૂણો $\theta = 90^{\circ}$ છે.
$W_{1} = F S \cos 90^{\circ} = 10 \times 5 \times 0 = 0 \,J$.
$2$. ઉર્ધ્વ ગતિ માટે: લગાડવામાં આવેલ બળ ઉર્ધ્વ દિશામાં ($10 \,N$ ઉપરની તરફ) છે અને સ્થાનાંતર પણ ઉર્ધ્વ દિશામાં ($10 \,m$ ઉપરની તરફ) છે. તેથી ખૂણો $\theta = 0^{\circ}$ છે.
$W_{2} = F S \cos 0^{\circ} = 10 \times 10 \times 1 = 100 \,J$.
કુલ કાર્ય = $W_{1} + W_{2} = 0 + 100 = 100 \,J$.