Mix Example - WORK AND ENERGY Questions in Gujarati

(A) કારને ઊંચકવા માટે,ક્રેને ગુરુત્વાકર્ષણ બળની વિરુદ્ધ કાર્ય કરવું પડે છે.
જરૂરી બળ એ કારના વજન જેટલું હોય છે: $F = mg = 500 \, kg \times 9.8 \, m/s^2 = 4900 \, N$.
કારનું સ્થાનાંતર $S = 4 \, m$ છે.
થયેલ કાર્યની ગણતરી આ મુજબ થાય છે: $W = F \times S = 4900 \, N \times 4 \, m = 19600 \, J$.

(A) છોકરાએ સીડી ચઢવા માટે ગુરુત્વાકર્ષણ બળની વિરુદ્ધ કાર્ય કરવું પડે છે.
છોકરા પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ,$F = m \times g = 40 \, kg \times 9.8 \, m s^{-2} = 392 \, N$.
કાપેલું કુલ અંતર (ઊંચાઈ),$S = 50 \times 10 \, cm = 500 \, cm = 5 \, m$.
$(i)$ છોકરા દ્વારા થયેલું કાર્ય,$W = F \times S = 392 \, N \times 5 \, m = 1960 \, J$.
$(ii)$ ઉત્પન્ન થયેલ પાવર,$P = \frac{W}{t} = \frac{1960 \, J}{5 \, s} = 392 \, W$.

(B) $m$ દળને ગુરુત્વાકર્ષણ બળની વિરુદ્ધ $h$ ઊંચાઈ સુધી લઈ જવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W = mgh$ છે.
પાવર $P$ એ કાર્ય કરવાનો દર છે,એટલે કે $P = \frac{W}{t}$.
આપેલ કિંમતો: $m = 10^{5} \text{ kg}$,$g = 10 \text{ m s}^{-2}$,$h = 360 \text{ m}$,અને $t = 1 \text{ કલાક} = 3600 \text{ s}$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$P = \frac{10^{5} \times 10 \times 360}{3600}$
$P = \frac{10^{6} \times 360}{3600}$
$P = 10^{5} \text{ W}$.
આમ,જરૂરી પાવર $10^{5} \text{ W}$ છે.

(C) આપેલ છે: મોટરનો પાવર $P_{total} = 100\, W$, સમય $t = 1\, \text{મિનિટ} = 60\, \text{સેકન્ડ}$.
પાણીને હલાવવા માટે અસરકારક રીતે વપરાતો પાવર એ કુલ પાવરના $50\%$ છે.
હલાવવા માટે વપરાતો પાવર $P_{stir} = 100\, W$ ના $50\% = \frac{50}{100} \times 100 = 50\, W$.
પાણી પર થયેલું કાર્ય શોધવા માટેનું સૂત્ર: $\text{કાર્ય} = \text{પાવર} \times \text{સમય}$.
$\text{કાર્ય} = 50\, W \times 60\, \text{s} = 3000\, J$.
આમ, એક મિનિટમાં પાણી પર થયેલું કાર્ય $3000\, J$ છે.

(C) આપેલ છે: દળ $m = 10 \, kg$,ઊંચાઈ $h = 50 \, cm = 0.5 \, m$,ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \, m s^{-2}$.
$(a)$ મુક્ત કરતા પહેલા સ્થિતિઊર્જા $(PE)$ ની ગણતરી $PE = mgh = 10 \times 10 \times 0.5 = 50 \, J$ મુજબ થાય છે.
$(b)$ ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,કુલ યાંત્રિક ઉર્જા અચળ રહે છે. જમીનને સ્પર્શતા પહેલા,સ્થિતિઊર્જા ગતિઊર્જા $(KE)$ માં રૂપાંતરિત થાય છે. તેથી,$KE = PE = 50 \, J$.
$(c)$ ગતિઊર્જાના સૂત્ર $KE = \frac{1}{2}mv^2$ નો ઉપયોગ કરીને,વેગ $v$ ને $v = \sqrt{\frac{2 \times KE}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 50}{10}} = \sqrt{10} \approx 3.16 \, m s^{-1}$ તરીકે શોધી શકાય છે.

(D) વપરાયેલી ઉર્જા $E = P \times t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
દરરોજ $4$ બલ્બ દ્વારા વપરાતી ઉર્જા $= 4 \times 40 \, W \times 5 \, \text{કલાક} = 800 \, Wh$.
દરરોજ $4$ ટ્યુબલાઈટ દ્વારા વપરાતી ઉર્જા $= 4 \times 60 \, W \times 5 \, \text{કલાક} = 1200 \, Wh$.
દરરોજ ટીવી દ્વારા વપરાતી ઉર્જા $= 100 \, W \times 6 \, \text{કલાક} = 600 \, Wh$.
દરરોજ વોશિંગ મશીન દ્વારા વપરાતી ઉર્જા $= 400 \, W \times 3 \, \text{કલાક} = 1200 \, Wh$.
દરરોજ કુલ વપરાતી ઉર્જા $= 800 + 1200 + 600 + 1200 = 3800 \, Wh$.
એપ્રિલ મહિનામાં $30$ દિવસ હોય છે, તેથી એપ્રિલમાં કુલ વપરાતી ઉર્જા $= 3800 \, Wh \times 30 = 114000 \, Wh$.
યુનિટ $(kWh)$ માં રૂપાંતર: $114000 \, Wh / 1000 = 114 \, kWh$ (અથવા $114$ યુનિટ).
કુલ વીજળીનું બિલ $= 114 \, \text{યુનિટ} \times ₹ 1.80 / \text{યુનિટ} = ₹ 205.20$.

(A) આપેલ છે: દળ $m = 120 \, kg$,પ્રારંભિક વેગ $u = 25 \, m s^{-1}$,અંતિમ વેગ $v = 40 \, m s^{-1}$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,પદાર્થ પર થયેલું કાર્ય $W$ એ તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$W = \Delta KE = \frac{1}{2} m (v^2 - u^2)$
કિંમતો મૂકતા:
$W = \frac{1}{2} \times 120 \times (40^2 - 25^2)$
$W = 60 \times (1600 - 625)$
$W = 60 \times 975$
$W = 58500 \, J$
આમ,પદાર્થ પર કરવું પડતું કાર્ય $58500 \, J$ છે.

(B) $10 \, m$ ની ઊંચાઈ $h$ પર દડાની પ્રારંભિક સ્થિતિઊર્જા $E = mgh$ છે.
જમીન સાથે અથડાયા પછી,ઊર્જામાં $40 \%$ નો ઘટાડો થાય છે,જેનો અર્થ છે કે દડો તેની પ્રારંભિક ઊર્જાના $60 \%$ જાળવી રાખે છે.
જળવાયેલી ઊર્જા $= 0.60 \times mgh$.
જ્યારે દડો નવી ઊંચાઈ $h'$ સુધી પાછો ઉછળે છે,ત્યારે તે ઊંચાઈએ તેની સ્થિતિઊર્જા $mgh'$ હશે.
જળવાયેલી ઊર્જાને નવી સ્થિતિઊર્જા સાથે સરખાવતા: $mgh' = 0.60 \times mgh$.
બંને બાજુથી $mg$ ને દૂર કરતા,આપણને $h' = 0.60 \times h$ મળે છે.
$h = 10 \, m$ મૂકતા,આપણને $h' = 0.60 \times 10 \, m = 6 \, m$ મળે છે.
તેથી,દડો $6 \, m$ ની ઊંચાઈ સુધી પાછો ઉછળશે.

(B) આપેલ છે: દળ $m = 5\, kg$,પ્રારંભિક વેગ $u = 0\, m/s$,બળ $F = 20\, N$,સમય $t = 10\, s$.
પગલું $1$: ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ $F = ma$ નો ઉપયોગ કરીને પ્રવેગની ગણતરી કરો.
$a = F / m = 20 / 5 = 4\, m/s^2$.
પગલું $2$: ગતિના પ્રથમ સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરીને અંતિમ વેગ $v$ શોધો.
$v = 0 + (4 \times 10) = 40\, m/s$.
પગલું $3$: ગતિઊર્જા $KE$ ના સૂત્ર $KE = 1/2 mv^2$ નો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરો.
$KE = 1/2 \times 5 \times (40)^2 = 1/2 \times 5 \times 1600 = 5 \times 800 = 4000\, J$.

(N/A) આપેલ છે: દળ $m = 10 \, kg$,ઊંચાઈ $h = 20 \, m$,ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \, m s^{-2}$.
$1$. જમીન પર ગતિઊર્જા $(KE)$:
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ટોચ પર રહેલી સ્થિતિઊર્જા $(PE)$ જમીન પર પહોંચતા ગતિઊર્જા $(KE)$ માં રૂપાંતરિત થાય છે.
$PE = mgh = 10 \times 10 \times 20 = 2000 \, J$.
તેથી,$KE = 2000 \, J$.
$2$. જમીન સાથે અથડાય તે પહેલાંની ઝડપ $(v)$:
સૂત્ર $KE = \frac{1}{2} mv^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2000 = \frac{1}{2} \times 10 \times v^2$
$2000 = 5 \times v^2$
$v^2 = 400$
$v = \sqrt{400} = 20 \, m s^{-1}$.

(A) માણસ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય તે જે વજન ઉઠાવે છે તેના પર લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળની વિરુદ્ધ હોય છે.
અહીં,ઉઠાવવામાં આવતા પદાર્થનું દળ $m = 30 \, kg$ છે.
જે ઊંચાઈ સુધી તેને ઉઠાવવામાં આવે છે તે $h = 10 \, m$ છે.
ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 9.8 \, m s^{-2}$ છે.
થયેલ કાર્ય $W$ નું સૂત્ર $W = mgh$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $W = 30 \times 9.8 \times 10$.
$W = 30 \times 98 = 2940 \, J$.
નોંધ: માણસનું પોતાનું વજન $(50 \, kg)$ પદાર્થ પર થયેલા કાર્ય સાથે સંબંધિત નથી.

(N/A) આપેલ છે: કારનું દળ $m_{c} = 750\, kg$,વેગ $v = 54\, km h^{-1} = 54 \times \frac{5}{18} = 15\, m s^{-1}$.
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $(KE_{i})$ = $\frac{1}{2} m_{c} v^{2} = \frac{1}{2} \times 750 \times (15)^{2} = 375 \times 225 = 84375\, J$.
જ્યારે $50\, kg$ દળનો મુસાફર કારમાં બેસે છે,ત્યારે નવું કુલ દળ $M = 750 + 50 = 800\, kg$ થાય છે.
નવી ગતિઊર્જા $(KE_{f})$ = $\frac{1}{2} M v^{2} = \frac{1}{2} \times 800 \times (15)^{2} = 400 \times 225 = 90000\, J$.

(A) ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,હવાના અવરોધની ગેરહાજરીમાં પદાર્થની કુલ યાંત્રિક ઊર્જા અચળ રહે છે.
મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પર,દડા પાસે $mgh$ જેટલી સ્થિતિઊર્જા હોય છે અને તેની ગતિઊર્જા $0$ હોય છે.
જેમ જેમ દડો નીચે પડે છે,તેમ તેની સ્થિતિઊર્જા ગતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
જમીનને સ્પર્શતા પહેલા,સંપૂર્ણ સ્થિતિઊર્જા ગતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થઈ જાય છે.
તેથી,જમીનને સ્પર્શતા પહેલા દડાની ગતિઊર્જા $mgh$ જેટલી હોય છે.

(D) $(i)$ ગુરુત્વાકર્ષણ બળની વિરુદ્ધ કરવામાં આવેલું કાર્ય એ ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે,જે સૂત્ર $W = mgh$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે,$g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે અને $h$ એ ઊંચાઈ છે.
$(ii)$ આપેલ છે: દળ $(m) = 45 \, kg$,ઊંચાઈ $(h) = 10 \, m$,અને ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $(g) \approx 10 \, m/s^2$.
કરવામાં આવેલું કાર્ય $(W) = m \times g \times h$
$W = 45 \, kg \times 10 \, m/s^2 \times 10 \, m$
$W = 4500 \, J$.

(A) દરેક બાળક દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય $W = mgh$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે.
અહીં $m = 20 \, kg$,$g = 9.8 \, m/s^2$,અને $h = 10 \, m$ આપેલ છે.
કાર્ય $= 20 \times 9.8 \times 10 = 1960 \, J$.
બંને બાળકો માટે $m$,$g$ અને $h$ સમાન હોવાથી,કરવામાં આવેલું કાર્ય સમાન છે.
પાવર (શક્તિ) એટલે કાર્ય કરવાનો દર,$P = W / t$.
બાળક $A$ માટે: $P_A = 1960 / 10 = 196 \, W$.
બાળક $B$ માટે: $P_B = 1960 / 20 = 98 \, W$.
$196 \, W > 98 \, W$ હોવાથી,બાળક $A$ પાસે વધુ પાવર છે.

(N/A) $m$ દળ ધરાવતા અને $v$ વેગથી ગતિ કરતા પદાર્થની ગતિઊર્જા $(K)$ નું સૂત્ર: $K = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
$(i)$ જો દળ બમણું કરવામાં આવે $(m' = 2m)$ અને વેગ અચળ રહે $(v' = v)$:
$K' = \frac{1}{2}(2m)v^2 = 2 \times (\frac{1}{2}mv^2) = 2K$.
ગતિઊર્જા મૂળ મૂલ્ય કરતા બમણી થાય છે.
$(ii)$ જો વેગ બમણો કરવામાં આવે $(v' = 2v)$ અને દળ અચળ રહે $(m' = m)$:
$K' = \frac{1}{2}m(2v)^2 = \frac{1}{2}m(4v^2) = 4 \times (\frac{1}{2}mv^2) = 4K$.
ગતિઊર્જા મૂળ મૂલ્ય કરતા ચાર ગણી થાય છે.
$(iii)$ જો દળ બમણું કરવામાં આવે $(m' = 2m)$ અને વેગ અડધો કરવામાં આવે $(v' = v/2)$:
$K' = \frac{1}{2}(2m)(v/2)^2 = \frac{1}{2}(2m)(v^2/4) = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{2}mv^2) = K/2$.
ગતિઊર્જા મૂળ મૂલ્ય કરતા અડધી થાય છે.

(D) દબાયેલી સ્પ્રિંગ તેની વિકૃત અવસ્થાને કારણે સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઉર્જાનો સંગ્રહ કરે છે.
જ્યારે સ્પ્રિંગને એસિડમાં ઓગળવામાં આવે છે,ત્યારે સ્પ્રિંગને દબાયેલી સ્થિતિમાં જકડી રાખતા રાસાયણિક બંધો તૂટી જાય છે.
સંગ્રહિત સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઉર્જા મુક્ત થાય છે અને એસિડના અણુઓની ગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
અણુઓની ગતિ ઉર્જામાં આ વધારો એસિડના દ્રાવણના તાપમાનમાં વધારો કરે છે.
તેથી,સ્થિતિ ઉર્જા અંતે ઉષ્મીય ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.

(B) વેગમાન $(p)$,દળ $(m)$ અને ગતિઊર્જા $(K)$ વચ્ચેનો સંબંધ $p = \sqrt{2mK}$ સૂત્ર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
કારણ કે બંને પદાર્થો માટે ગતિઊર્જા $(K)$ સમાન છે,તેથી વેગમાન એ દળના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં છે $(p \propto \sqrt{m})$.
આથી,જે પદાર્થનું દળ વધારે છે (ભારે પદાર્થ),તેનું વેગમાન હલકા પદાર્થ કરતા વધારે હશે.

(A) ગતિઊર્જા $(K)$,વેગમાન $(p)$ અને દળ $(m)$ વચ્ચેનો સંબંધ $K = \frac{p^2}{2m}$ સૂત્ર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
કારણ કે બંને પદાર્થો માટે વેગમાન $(p)$ સમાન છે,તેથી ગતિઊર્જા એ દળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે $(K \propto \frac{1}{m})$.
આથી,જે પદાર્થનું દળ ઓછું (હલકો પદાર્થ) હોય,તેનો છેદ નાનો હોવાથી તેની ગતિઊર્જાનું મૂલ્ય વધારે મળે છે.
આમ,હલકા પદાર્થની ગતિઊર્જા ભારે પદાર્થ કરતા વધારે હોય છે.

(B) પદાર્થની ગતિઊર્જા $(KE)$ નું સૂત્ર $KE = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
$1$. જો આપણે દળ બમણું કરીએ $(m' = 2m)$,તો નવી ગતિઊર્જા: $KE' = \frac{1}{2}(2m)v^2 = 2 \times KE$ થાય. આમ,દળ બમણું કરવાથી ગતિઊર્જા બમણી થાય છે.
$2$. જો આપણે વેગ બમણો કરીએ $(v' = 2v)$,તો નવી ગતિઊર્જા: $KE'' = \frac{1}{2}m(2v)^2 = \frac{1}{2}m(4v^2) = 4 \times KE$ થાય. આમ,વેગ બમણો કરવાથી ગતિઊર્જા ચાર ગણી થાય છે.
કારણ કે $4 \times KE > 2 \times KE$,તેથી વેગ બમણો કરવાથી પદાર્થની ગતિઊર્જા પર વધુ અસર થાય છે.

(B) જ્યારે પાણી અમુક ઊંચાઈ પર હોય છે,ત્યારે તેમાં ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા હોય છે.
જેમ પાણી નીચે પડે છે,તેમ આ ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા ગતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
તળિયે પહોંચ્યા પછી,પાણીના અણુઓ એકબીજા સાથે અને ખડકો સાથે અથડાય છે,જેના કારણે આ ગતિઊર્જા ઉષ્મા ઊર્જામાં ફેરવાય છે.
પરિણામે,ધોધના તળિયે રહેલું પાણી ઉપરના પાણી કરતા ગરમ હોય છે.

(B) કાર્ય એટલે બળ અને બળની દિશામાં થયેલું સ્થાનાંતરનો ગુણાકાર $(W = F \times s)$.
પ્રથમ કિસ્સામાં,છોકરો દીવાલને ધક્કો મારે છે,પરંતુ દીવાલ ખસતી નથી,તેથી સ્થાનાંતર $(s)$ $0$ છે. તેથી,દીવાલ પર થયેલું કાર્ય $W = F \times 0 = 0$ છે.
બીજા કિસ્સામાં,છોકરો ખુરશીને ધક્કો મારે છે અને તે વર્ગખંડમાં આગળથી પાછળ જાય છે,એટલે કે ત્યાં શૂન્ય સિવાયનું સ્થાનાંતર $(s > 0)$ થાય છે.
ખુરશી પર કાર્ય થાય છે અને દીવાલ પર શૂન્ય કાર્ય થાય છે,તેથી ખુરશીના કિસ્સામાં વધુ કાર્ય થાય છે.

(A) જ્યારે કોઈલ સ્પ્રિંગને દબાવવામાં આવે છે,ત્યારે સ્પ્રિંગને તેની સંતુલન સ્થિતિમાંથી સ્થાનાંતરિત કરવા માટે બાહ્ય બળ લગાડવામાં આવે છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,બાહ્ય બળ દ્વારા સ્પ્રિંગ પર કરવામાં આવેલું કાર્ય સ્પ્રિંગમાં સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઊર્જાના સ્વરૂપમાં સંગ્રહિત થાય છે.
સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઊર્જાનું સૂત્ર $U = \frac{1}{2}kx^2$ છે,જ્યાં $k$ એ સ્પ્રિંગનો અચળાંક છે અને $x$ એ સ્થાનાંતર છે.
જેમ જેમ સ્પ્રિંગ દબાય છે,તેમ સ્થાનાંતર $x$ વધે છે,જેના પરિણામે સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઊર્જામાં વધારો થાય છે.

(B) કોઈપણ પદાર્થની ગુરુત્વીય સ્થિતિ ઉર્જા $(PE)$ નું સૂત્ર $PE = mgh$ છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે,$g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે,અને $h$ એ સંદર્ભ સપાટી (જમીન) થી પદાર્થના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ઊંચાઈ છે.
વ્યક્તિ માટે $m$ અને $g$ અચળ હોવાથી,સ્થિતિ ઉર્જા સીધી રીતે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ઊંચાઈ $(h)$ પર આધાર રાખે છે.
જ્યારે વ્યક્તિ જમીન પર સૂતેલો હોય છે,ત્યારે તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની જમીનથી ઊંચાઈ ઉભા રહેવા,જમીન પર બેસવા અથવા ખુરશી પર બેસવાની સરખામણીમાં સૌથી ઓછી હોય છે.
તેથી,જ્યારે વ્યક્તિ જમીન પર સૂતેલો હોય ત્યારે તેની સ્થિતિ ઉર્જા ન્યૂનતમ હોય છે.

(C) ભૌતિકવિજ્ઞાનમાં,કાર્યને લાગુ પાડવામાં આવેલા બળ અને બળની દિશામાં થયેલા સ્થાનાંતરના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. તેનું સૂત્ર $W = F \cdot s \cdot \cos(\theta)$ છે,જ્યાં $\theta$ એ બળ અને સ્થાનાંતર વચ્ચેનો ખૂણો છે.
જો ગતિની દિશાને સમાંતર બળનો કોઈ ઘટક ન હોય,તો $\theta = 90^\circ$ થાય. કારણ કે $\cos(90^\circ) = 0$ છે,તેથી થયેલું કાર્ય $W = 0$ થાય છે.
આમ,જ્યારે ગતિની દિશાને સમાંતર બળનો કોઈ ઘટક ન હોય ત્યારે કોઈ કાર્ય થતું નથી.

(D) $m$ દળ ધરાવતા અને $v$ વેગથી ગતિ કરતા પદાર્થની ગતિઊર્જા $(K.E.)$ નું સૂત્ર: $K.E. = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
જો ઝડપ બમણી કરવામાં આવે,તો નવો વેગ $v' = 2v$ થાય છે.
નવી ગતિઊર્જા $(K.E.')$ આ મુજબ થશે: $K.E.' = \frac{1}{2}m(2v)^2 = \frac{1}{2}m(4v^2) = 4 \times (\frac{1}{2}mv^2)$.
તેથી,$K.E.' = 4 \times K.E.$
આ દર્શાવે છે કે જ્યારે ઝડપ બમણી કરવામાં આવે ત્યારે ગતિઊર્જા $4$ ગણી વધે છે.

(A) જમીનથી $h$ ઊંચાઈએ રહેલા $m$ દળના પદાર્થની ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઊર્જા $(PE)$ નું સૂત્ર $PE = mgh$ છે.
જ્યારે પથ્થર $d$ જેટલી ઊભી ઊંચાઈએથી નીચે પડે છે,ત્યારે તેની પ્રારંભિક ઊંચાઈ $h_i$ છે અને અંતિમ ઊંચાઈ $h_f = h_i - d$ થાય છે.
ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta PE = PE_i - PE_f$ છે.
$\Delta PE = mgh_i - mg(h_i - d)$.
$\Delta PE = mgh_i - mgh_i + mgd$.
$\Delta PE = mgd$.
તેથી,ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઊર્જામાં થતો ઘટાડો $mgd$ છે.

(C) ગતિઊર્જા $(KE)$ નું સૂત્ર $KE = \frac{1}{2} mv^2$ છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $v$ એ વેગ છે.
આપેલ છે: $KE = 1 \, J$,$m = 1 \, kg$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $1 = \frac{1}{2} \times 1 \times v^2$.
$v^2 = 2$.
$v = \sqrt{2} \approx 1.414 \, m/s$.
તેથી,ઝડપ આશરે $1.4 \, m/s$ થાય.

(C) જ્યારે પદાર્થોને ઊંચાઈ પરથી નીચે પાડવામાં આવે છે,ત્યારે તેઓ ગુરુત્વાકર્ષણની અસર હેઠળ મુક્ત પતન કરે છે.
હવાના અવરોધની ગેરહાજરીમાં,મુક્ત પતન કરતા પદાર્થનો પ્રવેગ ગુરુત્વપ્રવેગ $(g)$ જેટલો હોય છે,જે આશરે $9.8 \, m/s^2$ છે.
આ પ્રવેગ પદાર્થના દળ,કદ કે દ્રવ્ય પર આધાર રાખતો નથી.
બંને ગોળાઓને એક જ ઊંચાઈ પરથી એકસાથે પાડવામાં આવતા હોવાથી,કોઈપણ બિંદુએ (જમીનથી $10 \, m$ ઊંચાઈ સહિત),તેમનો વેગ અને પ્રવેગ $(g)$ સમાન હશે.
સ્થિતિ ઊર્જા $(PE = mgh)$ દળ પર આધાર રાખે છે,તેથી તે બંને ગોળાઓ માટે અલગ હશે.
વેગમાન $(p = mv)$ દળ પર આધાર રાખે છે,તેથી તે પણ અલગ હશે.
ગતિ ઊર્જા $(KE = 1/2 mv^2)$ દળ પર આધાર રાખે છે,તેથી તે પણ અલગ હશે.
તેથી,માત્ર પ્રવેગ જ એવી ભૌતિક રાશિ છે જે બંને ગોળાઓ માટે સમાન રહે છે.

(D) ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા $(PE)$ નું સૂત્ર $PE = mgh$ છે,જ્યાં:
$m$ એ પદાર્થનું દળ $(1 \, kg)$ છે,
$g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ (આશરે $9.8 \, m/s^2$) છે,
$h$ એ જમીનથી ઊંચાઈ છે.
અહીં $PE = 1 \, J$ આપેલ છે,તેથી:
$1 = 1 \times 9.8 \times h$
$h = 1 / 9.8 \, m$
$h \approx 0.102 \, m$.
આમ,સાચી ઊંચાઈ $0.102 \, m$ છે.

(A) કોઈ ઊંચાઈ $(h)$ પર રહેલી વસ્તુની સ્થિતિઊર્જા $(PE)$ શોધવાનું સૂત્ર છે: $PE = m \cdot g \cdot h$,જ્યાં $m$ એ દળ છે,$g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે અને $h$ એ ઊંચાઈ છે.
આપેલ છે: દળ $(m)$ = $5\,kg$,ઊંચાઈ $(h)$ = $5\,m$,ગુરુત્વપ્રવેગ $(g)$ $\approx 10\,m/s^2$.
જ્યારે વસ્તુ જમીન પર પડે છે ત્યારે તેની સ્થિતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો તેની પ્રારંભિક સ્થિતિઊર્જા જેટલો હોય છે.
$PE = 5\,kg \times 10\,m/s^2 \times 5\,m = 250\,J$.
તેથી,સ્થિતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો $250\,J$ છે.

(B) વેઈટલિફ્ટર દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $(W)$ એ સ્થિતિ ઊર્જામાં થયેલા ફેરફાર જેટલું હોય છે,જે $W = mgh$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,દળ $(m)$ = $240 \,kg$,ઊંચાઈ $(h)$ = $2.5 \,m$,અને ગુરુત્વપ્રવેગ $(g)$ = $9.8 \,m/s^2$ છે.
$W = 240 \times 9.8 \times 2.5 = 5880 \,J$.
લીધેલ સમય $(t)$ = $3 \,s$ છે.
સરેરાશ પાવર $(P)$ એ કાર્ય કરવાનો દર છે,એટલે કે $P = W / t$.
$P = 5880 / 3 = 1960 \,W$.
તેથી,સરેરાશ પાવર $1960 \,W$ છે.

(C) કાર્ય $(W)$ નું સૂત્ર $W = F \cdot s \cdot \cos(\theta)$ છે,જ્યાં $F$ એ બળ છે,$s$ એ સ્થાનાંતર છે,અને $\theta$ એ બળ અને સ્થાનાંતર વચ્ચેનો ખૂણો છે.
જ્યારે કોઈ બળ પદાર્થની ગતિને અવરોધે છે,ત્યારે બળ સ્થાનાંતરની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગે છે.
તેથી,બળ અને સ્થાનાંતર વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 180^{\circ}$ થાય છે.
કારણ કે $\cos(180^{\circ}) = -1$ છે,તેથી થયેલું કાર્ય $W = F \cdot s \cdot (-1) = -F \cdot s$ થાય છે.
આમ,થયેલું કાર્ય ઋણ હોય છે.

(D) કોઈ પદાર્થ પર બળ $(F)$ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય $(W)$ સૂત્ર $W = F \cdot s \cdot \cos(\theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $s$ એ સ્થાનાંતર છે અને $\theta$ એ બળ અને સ્થાનાંતર વચ્ચેનો ખૂણો છે.
કાર્ય ધન હોવા માટે,$\cos(\theta)$ ધન હોવું જોઈએ,જે $0^\circ \le \theta < 90^\circ$ હોય ત્યારે થાય છે.
આનો અર્થ એ છે કે પદાર્થ લાગુ પાડેલા બળની દિશામાં (અથવા તેની સાથે લઘુકોણ બનાવે તેવી દિશામાં) ગતિ કરતો હોવો જોઈએ.
તેથી,જો પદાર્થ લાગુ પાડેલા બળની દિશામાં ગતિ કરે,તો કરવામાં આવેલું કાર્ય ધન હોય છે.

(A) કાર્ય એટલે બળ અને સ્થાનાંતરનો ગુણાકાર. કાર્યનો $SI$ એકમ જૂલ $(J)$ છે,જે $1 \text{ N} \cdot \text{m}$ ની બરાબર છે.
$CGS$ (સેન્ટિમીટર-ગ્રામ-સેકન્ડ) પદ્ધતિમાં,બળનો એકમ ડાઇન છે અને સ્થાનાંતરનો એકમ સેન્ટિમીટર $(cm)$ છે.
તેથી,કાર્યનો $CGS$ એકમ અર્ગ (erg) છે,જ્યાં $1 \text{ erg} = 1 \text{ dyne} \cdot \text{cm}$.
$1 \text{ જૂલ} = 10^7 \text{ અર્ગ}$.

(B) કાર્ય $(W)$ ની વ્યાખ્યા બળ $(F)$ અને બળની દિશામાં થયેલા સ્થાનાંતર $(s)$ ના ગુણાકાર તરીકે કરવામાં આવે છે, જેનું સૂત્ર $W = F \times s$ છે.
જ્યારે $1 \, \text{Newton}$ $(1 \, N)$ નું બળ કોઈ પદાર્થને બળની દિશામાં $1 \, \text{meter}$ $(1 \, m)$ જેટલું સ્થાનાંતરિત કરે, ત્યારે થયેલા કાર્યને એક જૂલ $(1 \, J)$ કાર્ય કહેવામાં આવે છે.
તેથી, $1 \, J = 1 \, N \times 1 \, m$ થાય છે.

(C) $m$ દળ ધરાવતા અને $v$ ઝડપથી ગતિ કરતા કણની ગતિઊર્જા $(K)$ નું સૂત્ર: $K = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
જો ઝડપ બમણી કરવામાં આવે,તો નવી ઝડપ $v' = 2v$ થાય છે.
નવી ગતિઊર્જા $(K')$ આ મુજબ થશે: $K' = \frac{1}{2}m(v')^2 = \frac{1}{2}m(2v)^2$.
$K' = \frac{1}{2}m(4v^2) = 4 \times (\frac{1}{2}mv^2) = 4K$.
તેથી,ગતિઊર્જા મૂળ ગતિઊર્જા કરતા ચાર ગણી થાય છે.

(TRUE) આ વિધાન ખરું છે.
આ ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ તરીકે ઓળખાતો એક મૂળભૂત સિદ્ધાંત છે.
આ નિયમ મુજબ,ઉર્જાનું સર્જન કે વિનાશ થઈ શકતો નથી,માત્ર તેનું એક સ્વરૂપમાંથી બીજા સ્વરૂપમાં રૂપાંતર થઈ શકે છે.
તેથી,અલગ કરેલી સિસ્ટમની કુલ ઉર્જા અચળ રહે છે,જેનો અર્થ છે કે એક સ્વરૂપ દ્વારા ગુમાવવામાં આવેલી ઉર્જાની માત્રા બીજા સ્વરૂપ દ્વારા બરાબર મેળવવામાં આવે છે.

(B) આ વિધાન ખોટું છે。
ભૌતિકવિજ્ઞાનમાં, બળ $(F)$ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $(W)$ એ બળ અને બળની દિશામાં થયેલા સ્થાનાંતર $(s)$ ના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જે $W = F \times s \times \cos(\theta)$ સૂત્ર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે。
જો બળ લગાડવામાં આવે પરંતુ કોઈ ગતિ ઉત્પન્ન ન થાય, તો સ્થાનાંતર $(s)$ $0$ થાય છે。
તેથી, કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = F \times 0 = 0$ થાય છે。
પરંતુ, વિધાનમાં કહેવામાં આવ્યું છે કે "બળ કાર્ય કરતું નથી", જેનો અર્થ એ થાય છે કે કાર્ય થઈ રહ્યું નથી। ભૌતિકશાસ્ત્રની દ્રષ્ટિએ જ્યારે સ્થાનાંતર ન હોય ત્યારે કાર્ય શૂન્ય હોય છે, પરંતુ પાઠ્યપુસ્તકના સંદર્ભમાં આ વિધાનને ખોટું ગણવામાં આવે છે કારણ કે તે બળની ક્ષમતા વિશે ખોટી રીતે રજૂ કરવામાં આવ્યું છે。

(B) આ વિધાન ખોટું છે.
કિલોવોટ અવર $(kWh)$ એ ઉર્જાનો એકમ છે,પાવરનો નહીં.
પાવરને વોટ $(W)$ અથવા કિલોવોટ $(kW)$ માં માપવામાં આવે છે,જ્યારે ઉર્જાને કિલોવોટ અવર $(kWh)$ માં માપવામાં આવે છે.

(FALSE) આ વિધાન ખોટું છે.
ભૌતિકવિજ્ઞાનમાં,કાર્યને બળ અને સ્થાનાંતરના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,અને ઉર્જાને કાર્ય કરવાની ક્ષમતા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
કાર્ય અને ઉર્જા બંને એક જ $SI$ એકમમાં માપવામાં આવે છે,જે જૂલ $(J)$ છે.

(A) કાર્ય $(W)$ નું સૂત્ર $W = Fs \cos \theta$ છે,જ્યાં $F$ એ બળ છે,$s$ એ સ્થાનાંતર છે,અને $\theta$ એ બળ અને સ્થાનાંતર સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો છે.
જ્યારે $\theta = 90^{\circ}$ હોય,ત્યારે $\cos 90^{\circ} = 0$ થાય છે.
તેથી,$W = Fs \times 0 = 0$.
કાર્ય ધન,ઋણ અથવા શૂન્ય હોઈ શકે છે,તેથી કાર્યનું ન્યૂનતમ મૂલ્ય (મૂલ્યની દ્રષ્ટિએ) ત્યારે મળે છે જ્યારે બળ સ્થાનાંતરને લંબ હોય,જેના પરિણામે શૂન્ય કાર્ય થાય છે.

(FALSE) આ વિધાન ખોટું છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ઉર્જાનું સર્જન કે વિનાશ થઈ શકતો નથી,પરંતુ તેનું એક સ્વરૂપમાંથી બીજા સ્વરૂપમાં રૂપાંતર થઈ શકે છે.
જ્યારે કોઈ પદાર્થ નીચે પડે છે અને જમીન સાથે અથડાય છે,ત્યારે તેની ગતિ ઉર્જાનું અન્ય સ્વરૂપોમાં રૂપાંતર થાય છે,જેમ કે ધ્વનિ ઉર્જા,ઉષ્મા ઉર્જા અને વિરૂપણની સ્થિતિ ઉર્જા (જો પદાર્થ કે જમીન પર કોઈ અસર થાય તો).
તેથી,તંત્રની કુલ ઉર્જા સંરક્ષિત રહે છે અને આ નિયમનું ઉલ્લંઘન થતું નથી.

(TRUE) આ વિધાન સાચું છે.
ગતિઊર્જા $(KE)$ નું સૂત્ર છે: $KE = \frac{1}{2}mv^2$,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $v$ એ વેગ છે.
જો વેગ અડધો કરવામાં આવે,તો નવો વેગ $v' = \frac{v}{2}$ થાય.
નવી ગતિઊર્જા $KE'$ આ મુજબ થશે: $KE' = \frac{1}{2}m(v')^2 = \frac{1}{2}m(\frac{v}{2})^2 = \frac{1}{2}m(\frac{v^2}{4}) = \frac{1}{4} (\frac{1}{2}mv^2) = \frac{1}{4} KE$.
આમ,ગતિઊર્જા મૂળ ગતિઊર્જાના $\frac{1}{4}$ ભાગની થાય છે.

(TRUE) આ વિધાન ખરું છે.
જ્યારે ધનુષની દોરી ખેંચવામાં આવે છે,ત્યારે ધનુષ પર કાર્ય થાય છે,જે ખેંચાયેલા ધનુષમાં સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિઊર્જા તરીકે સંગ્રહિત થાય છે. જ્યારે તીર છોડવામાં આવે છે,ત્યારે આ સંગ્રહિત સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિઊર્જા તીરની ગતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે,જેના કારણે તીર આગળ વધે છે.

(FALSE) આ વિધાન ખોટું છે.
બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય એ લાગુ પાડેલા બળ અને બળની દિશામાં થયેલા સ્થાનાંતરના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે $(W = F \cdot s \cdot \cos \theta)$.
કાર્ય કરવાનો દર એ પાવર (સામર્થ્ય) તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે $(P = W / t)$.
તેથી,કરવામાં આવેલું કાર્ય માત્ર બળ અને સ્થાનાંતરના મૂલ્ય પર આધાર રાખે છે,તે કાર્ય કરવામાં લાગતા સમય કે ઝડપ પર આધાર રાખતું નથી.

(A) આ વિધાન સાચું છે.
પાવર (શક્તિ) ની વ્યાખ્યા કાર્ય કરવાના દર અથવા ઉર્જાના રૂપાંતરણના દર તરીકે કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે, $Power (P) = \frac{Work (W)}{Time (t)}$.
તેનો $SI$ એકમ વોટ $(W)$ છે.

(A) આ વિધાન $True$ (સાચું) છે.
કાર્ય $(W)$ નું સૂત્ર $W = F \cdot s \cdot \cos(\theta)$ છે,જ્યાં $F$ એ બળ છે,$s$ એ સ્થાનાંતર છે,અને $\theta$ એ બળ અને સ્થાનાંતર વચ્ચેનો ખૂણો છે.
વર્તુળાકાર ગતિમાં,કેન્દ્રગામી બળ હંમેશા વર્તુળના કેન્દ્ર તરફ લાગે છે,જ્યારે સ્થાનાંતર (સ્પર્શકની દિશામાં) હંમેશા ત્રિજ્યાને લંબ હોય છે.
કેન્દ્રગામી બળ અને સ્થાનાંતર વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 90^{\circ}$ હોવાથી,કાર્ય $W = F \cdot s \cdot \cos(90^{\circ})$ થાય છે.
કારણ કે $\cos(90^{\circ}) = 0$ છે,તેથી કેન્દ્રગામી બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $0$ થાય છે.

(FALSE) આ વિધાન ખોટું છે.
કાર્યનો $SI$ એકમ જૂલ $(J)$ છે,જે ત્યારે વ્યાખ્યાયિત થાય છે જ્યારે $1$ ન્યૂટનનું બળ કોઈ પદાર્થને $1$ મીટર જેટલું સ્થાનાંતરિત કરે.
વોટ $(W)$ એ પાવર (શક્તિ) નો $SI$ એકમ છે,જે કાર્ય કરવાના દર અથવા ઉર્જાના સ્થાનાંતરણના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે ($1$ વોટ = $1$ જૂલ પ્રતિ સેકન્ડ).

(TRUE) આ વિધાન ખરું છે.
ગતિઊર્જા $(KE)$ નું સૂત્ર $KE = \frac{1}{2}mv^2$ છે,જ્યાં $m$ એ પદાર્થનું દળ છે અને $v$ એ તેની ઝડપ (અથવા વેગ) છે.
આ સૂત્રમાં ગતિઊર્જાની ગણતરી કરવા માટે માત્ર પદાર્થના દળ $(m)$ અને ઝડપ $(v)$ ની જરૂર હોવાથી,આ બે મૂલ્યો જાણવાથી આપણે પદાર્થની ગતિઊર્જા નક્કી કરી શકીએ છીએ.