सिद्ध कीजिए कि एक वर्ग की क्रमागत भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने से बना चतुर्भुज भी एक वर्ग होता है।

(N/A) दिया है: एक वर्ग $ABCD$ जिसमें $P, Q, R, S$ क्रमशः भुजाओं $AB, BC, CD, DA$ के मध्य-बिंदु हैं। $PQ, QR, RS$ और $SP$ को मिलाया गया है।
सिद्ध करना है: $PQRS$ एक वर्ग है।
रचना: $AC$ और $BD$ को मिलाइए।
उपपत्ति: $\triangle ABC$ में,$P$ और $Q$ क्रमशः भुजाओं $AB$ और $BC$ के मध्य-बिंदु हैं।
इसलिए,$PQ \parallel AC$ और $PQ = \frac{1}{2} AC$ (मध्य-बिंदु प्रमेय) ... $(1)$
$\triangle ADC$ में,$R$ और $S$ क्रमशः $CD$ और $AD$ के मध्य-बिंदु हैं।
इसलिए,$RS \parallel AC$ और $RS = \frac{1}{2} AC$ (मध्य-बिंदु प्रमेय) ... $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है $PQ \parallel RS$ और $PQ = RS$.
अतः,चतुर्भुज $PQRS$ में सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समांतर है। इसलिए,$PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है।
चूँकि $ABCD$ एक वर्ग है,$AB = BC = CD = DA$.
साथ ही,$PB = BQ = QC = CR = RD = DS = SA = AP = \frac{1}{2} AB$.
$\triangle PBQ$ और $\triangle QCR$ में,$PB = QC$,$BQ = CR$,और $\angle PBQ = \angle QCR = 90^{\circ}$.
$SAS$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा,$\triangle PBQ \cong \triangle QCR$.
इसलिए,$PQ = QR$ $(CPCT)$.
चूँकि $PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है जिसकी आसन्न भुजाएँ बराबर हैं,इसलिए $PQRS$ एक समचतुर्भुज है।
अब,वर्ग $ABCD$ के विकर्णों पर विचार करें। $AC \perp BD$ और $AC = BD$.
चूँकि $PQ \parallel AC$ और $QR \parallel BD$,और $AC \perp BD$,इसलिए यह सिद्ध होता है कि $PQ \perp QR$.
अतः,$PQRS$ एक ऐसा समचतुर्भुज है जिसका एक कोण $90^{\circ}$ है।
इसलिए,$PQRS$ एक वर्ग है।