$P, Q, R$ और $S$ क्रमशः एक चतुर्भुज $ABCD$ की भुजाओं $AB, BC, CD$ और $DA$ के मध्य-बिंदु हैं,जहाँ $AC \perp BD$ है। सिद्ध कीजिए कि $PQRS$ एक आयत है।

(N/A) दिया है: एक चतुर्भुज $ABCD$ जिसमें $AC \perp BD$ है और $P, Q, R$ और $S$ क्रमशः चतुर्भुज $ABCD$ की भुजाओं $AB, BC, CD$ और $DA$ के मध्य-बिंदु हैं।
सिद्ध करना है: $PQRS$ एक आयत है।
उपपत्ति: $\Delta ABC$ में,$P$ और $Q$ क्रमशः भुजाओं $AB$ और $BC$ के मध्य-बिंदु हैं।
मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$PQ \parallel AC$ और $PQ = \frac{1}{2} AC \dots(1)$
$\Delta ADC$ में,$R$ और $S$ क्रमशः भुजाओं $CD$ और $AD$ के मध्य-बिंदु हैं।
मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$SR \parallel AC$ और $SR = \frac{1}{2} AC \dots(2)$
$(1)$ और $(2)$ से,$PQ \parallel SR$ और $PQ = SR$ प्राप्त होता है।
चूंकि सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समांतर है,इसलिए $PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है।
माना $AC$ और $BD$ एक-दूसरे को $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। माना $PQ, BD$ को $E$ पर और $PS, AC$ को $G$ पर प्रतिच्छेद करता है।
चूंकि $PQ \parallel AC$,इसलिए $PE \parallel OG$ है।
चूंकि $PS \parallel BD$,इसलिए $PG \parallel OE$ है।
अतः,$PGOE$ एक समांतर चतुर्भुज है।
चूंकि $AC \perp BD$,इसलिए $\angle EOG = 90^{\circ}$ है।
समांतर चतुर्भुज में,सम्मुख कोण बराबर होते हैं,इसलिए $\angle GPE = \angle EOG = 90^{\circ}$ है।
चूंकि $PQRS$ एक ऐसा समांतर चतुर्भुज है जिसका एक कोण $90^{\circ}$ है,इसलिए $PQRS$ एक आयत है।