समलंब चतुर्भुज $ABCD$ में,$AB \parallel CD$ है और $E$,$AD$ का मध्य-बिंदु है। $E$ से होकर जाने वाली और $AB$ के समांतर रेखा $BC$ को $F$ पर प्रतिच्छेद करती है। सिद्ध कीजिए कि $F$,$BC$ का मध्य-बिंदु है और $EF = \frac{1}{2}(AB + CD)$ है।
(A) $1$. $AC$ को मिलाइए। मान लीजिए कि $AC$,$EF$ को बिंदु $G$ पर प्रतिच्छेद करता है।
$2$. $\triangle ADC$ में,$E$,$AD$ का मध्य-बिंदु है और $EG \parallel DC$ है (क्योंकि $EF \parallel AB$ और $AB \parallel CD$ है)। मध्य-बिंदु प्रमेय के विलोम से,$G$,$AC$ का मध्य-बिंदु है। अतः,$EG = \frac{1}{2}CD$.
$3$. $\triangle ABC$ में,$G$,$AC$ का मध्य-बिंदु है और $GF \parallel AB$ है। मध्य-बिंदु प्रमेय के विलोम से,$F$,$BC$ का मध्य-बिंदु है। अतः,$GF = \frac{1}{2}AB$.
$4$. दोनों रेखाखंडों को जोड़ने पर: $EF = EG + GF = \frac{1}{2}CD + \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}(AB + CD)$.
$5$. अतः,$F$,$BC$ का मध्य-बिंदु है और $EF = \frac{1}{2}(AB + CD)$ सिद्ध होता है।
$2$. $\triangle ADC$ में,$E$,$AD$ का मध्य-बिंदु है और $EG \parallel DC$ है (क्योंकि $EF \parallel AB$ और $AB \parallel CD$ है)। मध्य-बिंदु प्रमेय के विलोम से,$G$,$AC$ का मध्य-बिंदु है। अतः,$EG = \frac{1}{2}CD$.
$3$. $\triangle ABC$ में,$G$,$AC$ का मध्य-बिंदु है और $GF \parallel AB$ है। मध्य-बिंदु प्रमेय के विलोम से,$F$,$BC$ का मध्य-बिंदु है। अतः,$GF = \frac{1}{2}AB$.
$4$. दोनों रेखाखंडों को जोड़ने पर: $EF = EG + GF = \frac{1}{2}CD + \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}(AB + CD)$.
$5$. अतः,$F$,$BC$ का मध्य-बिंदु है और $EF = \frac{1}{2}(AB + CD)$ सिद्ध होता है।
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