सिद्ध कीजिए कि एक समांतर चतुर्भुज के कोणों के समद्विभाजकों द्वारा बना चतुर्भुज एक आयत होता है।

(N/A) दिया है: एक समांतर चतुर्भुज $ABCD$ जिसमें कोण $\angle A, \angle B, \angle C, \angle D$ के समद्विभाजक बिंदुओं $P, Q, R, S$ पर प्रतिच्छेद करते हैं और एक चतुर्भुज $PQRS$ बनाते हैं।
सिद्ध करना है: $PQRS$ एक आयत है।
उपपत्ति: चूंकि $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है,इसलिए $AB \parallel DC$ है।
चूंकि $AB \parallel DC$ और तिर्यक रेखा $AD$ उन्हें क्रमशः $A$ और $D$ पर प्रतिच्छेद करती है,इसलिए क्रमागत अंतःकोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
अतः,$\angle A + \angle D = 180^{\circ}$।
$2$ से भाग देने पर,हमें $\frac{1}{2} \angle A + \frac{1}{2} \angle D = 90^{\circ}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $AS$ और $DS$ क्रमशः $\angle A$ और $\angle D$ के समद्विभाजक हैं,इसलिए $\angle DAS + \angle ADS = 90^{\circ} \quad \dots(1)$।
$\triangle DAS$ में,त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म के अनुसार,$\angle DAS + \angle ADS + \angle ASD = 180^{\circ}$।
इसमें $(1)$ का मान रखने पर,$90^{\circ} + \angle ASD = 180^{\circ}$,जिसका अर्थ है कि $\angle ASD = 90^{\circ}$।
चूंकि $\angle PSR$ और $\angle ASD$ शीर्षाभिमुख कोण हैं,इसलिए $\angle PSR = \angle ASD = 90^{\circ}$।
इसी प्रकार,हम सिद्ध कर सकते हैं कि $\angle SRQ = 90^{\circ}$,$\angle RQP = 90^{\circ}$ और $\angle SPQ = 90^{\circ}$।
चूंकि चतुर्भुज $PQRS$ के सभी कोण $90^{\circ}$ हैं,इसलिए $PQRS$ एक आयत है।