Mix Examples - Number Systems Questions in Hindi

(A) एक संख्या को परिमेय कहा जाता है यदि उसे $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त किया जा सके,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है।
चूंकि $\frac{22}{7}$ को दो पूर्णांकों $22$ और $7$ के अनुपात के रूप में व्यक्त किया गया है,जहाँ $7 \neq 0$ है,इसलिए यह एक परिमेय संख्या की परिभाषा को पूरा करती है।
अतः,$\frac{22}{7}$ एक परिमेय संख्या है।

(D) प्राकृत संख्याएँ $1$ से शुरू होने वाली गिनती की संख्याओं का समूह हैं, अर्थात
$N = \{1, 2, 3, \ldots\}$।
पूर्ण संख्याएँ प्राकृत संख्याओं का वह समूह हैं जिसमें शून्य भी शामिल होता है, अर्थात
$W = \{0, 1, 2, 3, \ldots\}$।
दोनों समूहों की तुलना करने पर, संख्या $0$ पूर्ण संख्याओं के समूह में मौजूद है लेकिन प्राकृत संख्याओं के समूह में शामिल नहीं है।
अतः, सही उत्तर $0$ है।

(A) माना कि $x = 3.\overline{5} = 3.555...$ (समीकरण $1$)।
दोनों पक्षों को $10$ से गुणा करने पर:
$10x = 35.555...$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ को घटाने पर:
$10x - x = 35.555... - 3.555...$
$9x = 32$।
अतः, $x = \frac{32}{9}$।

(B) माना कि $x = 0.272727...$ (समीकरण $1$)
चूँकि दो अंकों की पुनरावृत्ति हो रही है, इसलिए दोनों पक्षों को $100$ से गुणा करने पर:
$100x = 27.272727...$ (समीकरण $2$)
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ को घटाने पर:
$100x - x = 27.272727... - 0.272727...$
$99x = 27$
$x = \frac{27}{99}$
अंश और हर को $9$ से विभाजित करने पर:
$x = \frac{3}{11}$

(B) $\frac{1}{7}$ का दशमलव प्रसार ज्ञात करने के लिए,हम $1$ को $7$ से भाग देते हैं।
$1$ को $7$ से भाग देने पर $0.142857142857...$ प्राप्त होता है।
चूंकि शेषफल कभी भी $0$ नहीं होता है और अंकों का समूह $142857$ बार-बार दोहराया जाता है,इसलिए यह दशमलव प्रसार अनवसानी आवर्ती है।

(A) इस व्यंजक को सिद्ध करने के लिए,हम घातांक के नियमों का उपयोग करके बाएँ पक्ष $(LHS)$ को चरण-दर-चरण सरल करेंगे:
$1$. पहले भिन्न के अंश और हर को सरल करें: $\frac{x^{ab-ac}}{x^{ba-bc}}$.
$2$. कोष्ठक के अंदर के पद को सरल करें: $\left(\frac{x^b}{x^a}\right)^c = (x^{b-a})^c = x^{bc-ac}$.
$3$. अब,व्यंजक इस प्रकार हो जाता है: $\frac{x^{ab-ac}}{x^{ab-bc}} \div x^{bc-ac}$.
$4$. भाग के नियम $x^m / x^n = x^{m-n}$ का उपयोग करते हुए,पहला भाग है: $x^{(ab-ac) - (ab-bc)} = x^{ab-ac-ab+bc} = x^{bc-ac}$.
$5$. अंत में,दूसरे पद से भाग दें: $x^{bc-ac} \div x^{bc-ac} = x^{(bc-ac) - (bc-ac)} = x^0 = 1$.
अतः,$LHS = RHS = 1$.

(A) एक संख्या परिमेय होती है यदि उसे $p/q$ के रूप में व्यक्त किया जा सके,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है।
कोई भी आवर्ती दशमलव संख्या एक परिमेय संख्या होती है।
माना $x = 0.3\overline{7} = 0.3777...$
$10$ से गुणा करने पर: $10x = 3.777...$
$100$ से गुणा करने पर: $100x = 37.777...$
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $100x - 10x = 37.777... - 3.777...$
$90x = 34$
$x = 34/90 = 17/45$।
चूंकि $0.3\overline{7}$ को $17/45$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,इसलिए यह एक परिमेय संख्या है।

(A) यह निर्धारित करने के लिए कि $\sqrt{8^{2}+15^{2}}$ एक परिमेय संख्या है या अपरिमेय संख्या,हम पहले वर्गमूल के अंदर के व्यंजक को सरल करते हैं।
चरण $1$: संख्याओं के वर्ग की गणना करें।
$8^{2} = 64$
$15^{2} = 225$
चरण $2$: परिणामों को जोड़ें।
$64 + 225 = 289$
चरण $3$: योग का वर्गमूल ज्ञात करें।
$\sqrt{289} = 17$
चूंकि $17$ को $\frac{17}{1}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जो $\frac{p}{q}$ के रूप में है जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है,इसलिए यह एक परिमेय संख्या है।

(B) सबसे पहले,वर्गमूल के अंदर के व्यंजक को सरल करें: $8 + 15 = 23$.
इसलिए,व्यंजक $\sqrt{23}$ हो जाता है।
चूंकि $23$ एक पूर्ण वर्ग नहीं है,इसलिए इसके वर्गमूल को $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$.
अतः,$\sqrt{23}$ एक अपरिमेय संख्या है।

(N/A) दी गई संख्या $3.8232323 \ldots$ है।
यहाँ,दशमलव बिंदु के बाद $23$ अंक की पुनरावृत्ति हो रही है।
इसलिए,हम इस आवर्ती दशमलव को पुनरावृत्त अंकों के ऊपर बार $( \overline{ } )$ लगाकर दर्शा सकते हैं।
अतः,इसका संक्षिप्त रूप $3.8 \overline{23}$ है।