સાબિત કરો કે ત્રિકોણના કોઈપણ ખૂણાનો દ્વિભાજક અને તેની સામેની બાજુનો લંબદ્વિભાજક જો એકબીજાને છેદે,તો તેઓ ત્રિકોણના પરિવર્તુળ પર છેદશે.

(N/A) આપેલ છે: એક $\Delta ABC$ અને રેખા $l$ જે $BC$ નો લંબદ્વિભાજક છે.
સાબિત કરવાનું છે: $\angle A$ નો ખૂણાનો દ્વિભાજક અને $BC$ નો લંબદ્વિભાજક $\Delta ABC$ ના પરિવર્તુળ પર છેદે છે.
સાબિતી: ધારો કે $\angle A$ નો ખૂણાનો દ્વિભાજક $\Delta ABC$ ના પરિવર્તુળને બિંદુ $P$ પર છેદે છે. $BP$ અને $CP$ ને જોડો.
એક જ વૃત્તખંડના ખૂણાઓ સમાન હોવાથી,આપણી પાસે છે:
$\angle BAP = \angle BCP$
$AP$ એ $\angle A$ નો દ્વિભાજક હોવાથી,આપણી પાસે છે:
$\angle BAP = \angle PAC = \frac{1}{2} \angle A$
તેથી,$\angle BCP = \frac{1}{2} \angle A$ $...(1)$
તે જ રીતે,સમાન વૃત્તખંડમાં,$\angle PAC = \angle PBC$.
$\angle PAC = \frac{1}{2} \angle A$ હોવાથી,આપણી પાસે છે:
$\angle PBC = \frac{1}{2} \angle A$ $...(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ પરથી,આપણને મળે છે:
$\angle BCP = \angle PBC$
$\Delta PBC$ માં,પાયાના ખૂણા સમાન હોવાથી,તેમની સામેની બાજુઓ સમાન હોય છે:
$BP = CP$
$P$ એ $B$ અને $C$ થી સમાન અંતરે હોવાથી,$P$ એ $BC$ ના લંબદ્વિભાજક પર હોવું જોઈએ.
આમ,$\angle A$ નો ખૂણાનો દ્વિભાજક અને $BC$ નો લંબદ્વિભાજક $\Delta ABC$ ના પરિવર્તુળ પર છેદે છે.