જો ચક્રીય ચતુષ્કોણ $ABCD$ ના સામસામેના ખૂણાઓના દ્વિભાજકો તેને પરિગત વર્તુળને $P$ અને $Q$ બિંદુઓમાં છેદે,તો સાબિત કરો કે $PQ$ એ વર્તુળનો વ્યાસ છે.

(N/A) ધારો કે ચક્રીય ચતુષ્કોણ $ABCD$ ના સામસામેના ખૂણાઓ $\angle A$ અને $\angle C$ ના દ્વિભાજકો વર્તુળને અનુક્રમે $P$ અને $Q$ બિંદુઓમાં છેદે છે.
આપણે સાબિત કરવું છે કે $PQ$ એ વર્તુળનો વ્યાસ છે.
$AQ$ અને $DQ$ ને જોડો.
ચક્રીય ચતુષ્કોણના સામસામેના ખૂણાઓ પૂરક હોવાથી,ચક્રીય ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં:
$\angle DAB + \angle DCB = 180^{\circ}$
બંને બાજુ $2$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{2} \angle DAB + \frac{1}{2} \angle DCB = 90^{\circ}$
ધારો કે $\angle 1 = \frac{1}{2} \angle DAB$ અને $\angle 2 = \frac{1}{2} \angle DCB$. તેથી,$\angle 1 + \angle 2 = 90^{\circ}$.
$\angle 2$ અને $\angle 3$ એ એક જ વૃત્તખંડમાં આવેલા ખૂણાઓ છે જે જીવા $QD$ દ્વારા અંતરાયેલા છે,તેથી $\angle 2 = \angle 3$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\angle 1 + \angle 3 = 90^{\circ}$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\angle PAQ = 90^{\circ}$.
વર્તુળના પરિઘ પર $PQ$ દ્વારા અંતરાયેલો ખૂણો $90^{\circ}$ હોવાથી,$PQ$ એ વર્તુળનો વ્યાસ છે.