$AB$ અને $AC$ એ $P$ કેન્દ્ર ધરાવતા વર્તુળની બે જીવાઓ છે. જો $\angle BAC$ નો દ્વિભાજક કેન્દ્ર $P$ માંથી પસાર થતો હોય,તો સાબિત કરો કે $AB = AC$.

(A) ધારો કે $\angle BAC$ નો દ્વિભાજક $AD$ છે,જ્યાં $D$ એ વર્તુળ પરનું બિંદુ છે અને $P$ એ $AD$ પર આવેલું છે.
$\triangle APB$ અને $\triangle APC$ માં:
$1$. $AP = AP$ (સામાન્ય બાજુ).
$2$. $\angle BAP = \angle CAP$ (કારણ કે $AP$ એ $\angle BAC$ નો દ્વિભાજક છે).
$3$. $PB = PC$ (એક જ વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ).
હવે,$\triangle APB$ અને $\triangle APC$ માં સાઈનનો નિયમ વાપરતા:
$\triangle APB$ માં: $\frac{PB}{\sin \theta} = \frac{AB}{\sin \angle APB} \implies AB = \frac{r sin \angle APB}{\sin \theta}$.
$\triangle APC$ માં: $\frac{PC}{\sin \theta} = \frac{AC}{\sin \angle APC} \implies AC = \frac{r sin \angle APC}{\sin \theta}$.
$A, P, D$ એક જ રેખા પર હોવાથી,$\angle APB + \angle APC = 180^{\circ}$.
તેથી,$\sin \angle APB = \sin(180^{\circ} - \angle APC) = \sin \angle APC$.
આમ,$AB = AC$ સાબિત થાય છે.