Young's Double Slit Experiment (YDSE) Questions in Hindi

(A) माना आयाम $a_1$ और $a_2$ हैं। दिया गया है $a_1 = 2a_2$.
चूंकि तीव्रता $I \propto a^2$, इसलिए माना $I_2 = I'$ और $I_1 = 4I'$.
अधिकतम तीव्रता $I_m = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2 = (\sqrt{4I'} + \sqrt{I'})^2 = (2\sqrt{I'} + \sqrt{I'})^2 = (3\sqrt{I'})^2 = 9I'$.
अतः, $I' = \frac{I_m}{9}$.
$\phi$ कलांतर के लिए परिणामी तीव्रता $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$.
मान रखने पर: $I = 4I' + I' + 2\sqrt{4I' \cdot I'} \cos \phi = 5I' + 4I' \cos \phi$.
सर्वसमिका $\cos \phi = 2 \cos^2 \frac{\phi}{2} - 1$ का उपयोग करने पर:
$I = I'(5 + 4(2 \cos^2 \frac{\phi}{2} - 1)) = I'(5 + 8 \cos^2 \frac{\phi}{2} - 4) = I'(1 + 8 \cos^2 \frac{\phi}{2})$.
$I' = \frac{I_m}{9}$ रखने पर, हमें $I = \frac{I_m}{9}(1 + 8 \cos^2 \frac{\phi}{2})$ प्राप्त होता है।

(D) $n$वीं दीप्त फ्रिंज की स्थिति $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है।
$8$वीं दीप्त फ्रिंज के लिए $(n=8)$: $y_8 = \frac{8 \lambda D}{d}$।
$n$वीं अदीप्त फ्रिंज की स्थिति $y'_n = \frac{(2n-1) \lambda D}{2d}$ द्वारा दी जाती है।
$3$री अदीप्त फ्रिंज के लिए $(n=3)$: $y'_3 = \frac{(2(3)-1) \lambda D}{2d} = \frac{5 \lambda D}{2d} = 2.5 \frac{\lambda D}{d}$।
$8$वीं दीप्त फ्रिंज और $3$री अदीप्त फ्रिंज के बीच की दूरी $\Delta y = y_8 - y'_3 = \frac{8 \lambda D}{d} - 2.5 \frac{\lambda D}{d} = 5.5 \frac{\lambda D}{d}$ है।
मान रखने पर: $\lambda = 480 \times 10^{-9} \, m$,$D = 2 \, m$,$d = 3 \times 10^{-3} \, m$।
$\Delta y = \frac{5.5 \times 480 \times 10^{-9} \times 2}{3 \times 10^{-3}} = \frac{5.5 \times 960 \times 10^{-9}}{3 \times 10^{-3}} = 5.5 \times 320 \times 10^{-6} = 1760 \times 10^{-6} \, m = 1.76 \times 10^{-3} \, m$।

(A) व्यतिकरण प्रतिरूप के केंद्र पर पथ अंतर सभी तरंगदैर्घ्यों के लिए शून्य होता है। इसलिए, सभी रंग केंद्र पर अध्यारोपित होकर एक सफेद केंद्रीय फ्रिंज बनाते हैं। केंद्र के सबसे निकटतम दीप्त फ्रिंज प्रथम कोटि की फ्रिंज होती है। चूँकि $n$-वीं दीप्त फ्रिंज की स्थिति $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है, इसलिए फ्रिंज की चौड़ाई और स्थिति तरंगदैर्घ्य $\lambda$ के सीधे समानुपाती होती है। चूँकि बैंगनी रंग की तरंगदैर्घ्य $(\lambda_{violet} \approx 400 \text{ nm})$ दृश्य स्पेक्ट्रम में सबसे कम होती है, इसलिए बैंगनी रंग की फ्रिंज केंद्रीय सफेद फ्रिंज के सबसे निकट दिखाई देती है।

(B) यंग के द्वि-झिरी प्रयोग में,संपोषी व्यतिकरण (दीप्त फ्रिंज) के लिए शर्त $d \sin \theta = n \lambda$ है,जहाँ $n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$ और $d$ झिरियों के बीच की दूरी है।
दिया गया है कि झिरियों के बीच की दूरी $d = 2 \lambda$ है।
इस मान को शर्त में रखने पर: $(2 \lambda) \sin \theta = n \lambda$।
यह सरल होकर $\sin \theta = n / 2$ हो जाता है।
चूँकि $\sin \theta$ का अधिकतम मान $1$ होता है,इसलिए $n / 2 \le 1$,जिसका अर्थ है $n \le 2$।
अतः,$n$ के संभावित मान $0, \pm 1, \pm 2$ हैं।
$n = 0$ के लिए,केंद्रीय दीप्त फ्रिंज प्राप्त होती है।
$n = 1$ और $n = -1$ के लिए,दो दीप्त फ्रिंज प्राप्त होती हैं।
$n = 2$ और $n = -2$ के लिए,दो दीप्त फ्रिंज प्राप्त होती हैं।
दीप्त फ्रिंजों की कुल संख्या = $1 + 2 + 2 = 5$।

(C) दिया गया है: तरंगदैर्ध्य $\lambda = 6000 \,\mathring A = 6 \times 10^{-7} \, m$.
स्लिटों के बीच की दूरी $d = 0.1 \, cm = 1 \times 10^{-3} \, m$.
पर्दे की दूरी $D = 1 \, m$.
दो क्रमागत निम्निष्ठों (या उच्चिष्ठों) के बीच की दूरी फ्रिंज चौड़ाई $\beta$ के बराबर होती है।
फ्रिंज चौड़ाई का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है।
मान रखने पर: $\beta = \frac{6 \times 10^{-7} \times 1}{1 \times 10^{-3}} = 6 \times 10^{-4} \, m$.
इसे $mm$ में बदलने पर: $\beta = 6 \times 10^{-4} \times 10^3 \, mm = 0.6 \, mm$.

(D) विनाशी व्यतिकरण (निम्निष्ठ) के लिए,पथ अंतर $\Delta x$ का सूत्र है: $\Delta x = (2n - 1) \frac{\lambda}{2}$,जहाँ $n$ निम्निष्ठ का क्रम है।
तीसरी निम्निष्ठ के लिए,$n = 3$ है।
सूत्र में $n$ का मान रखने पर:
$\Delta x = (2 \times 3 - 1) \frac{\lambda}{2}$
$\Delta x = (6 - 1) \frac{\lambda}{2}$
$\Delta x = \frac{5\lambda}{2}$
अतः,तीसरी निम्निष्ठ के लिए पथ अंतर $\frac{5\lambda}{2}$ है।

(D) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में,व्यतिकरण पैटर्न की तीव्रता $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ द्वारा दी जाती है।
यदि आयाम $a_1$ और $a_2$ समान नहीं हैं,तो अधिकतम तीव्रता $I_{max} = (a_1 + a_2)^2$ और न्यूनतम तीव्रता $I_{min} = (a_1 - a_2)^2$ होती है।
चूंकि $a_1 \neq a_2$,इसलिए न्यूनतम तीव्रता $I_{min}$ शून्य नहीं होती है $(I_{min} > 0)$।
इसका अर्थ है कि अदीप्त फ्रिंजें पूरी तरह से काली नहीं होती हैं,जिसके परिणामस्वरूप व्यतिकरण फ्रिंजों का कंट्रास्ट (दृश्यता) कम हो जाता है।

(A) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $(\beta)$ का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है, जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है, $D$ स्लिट और पर्दे के बीच की दूरी है, और $d$ दो स्लिट्स के बीच की दूरी है.
सूत्र से हम देख सकते हैं कि:
$1$. $\beta \propto \lambda$ (फ्रिंज की चौड़ाई तरंगदैर्ध्य के सीधे समानुपाती होती है)।
$2$. $\beta \propto D$ (फ्रिंज की चौड़ाई स्लिट और पर्दे के बीच की दूरी के सीधे समानुपाती होती है)।
$3$. $\beta \propto \frac{1}{d}$ (फ्रिंज की चौड़ाई स्लिट्स के बीच की दूरी के व्युत्क्रमानुपाती होती है)।
इसलिए, यदि तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ बढ़ती है या स्लिट और पर्दे के बीच की दूरी $(D)$ बढ़ती है, तो फ्रिंज की चौड़ाई बढ़ जाएगी। दिए गए विकल्पों में से, विकल्प $A$ सही उत्तर है।

(C) पर्दे पर एक स्लिट के ठीक सामने वाले बिंदु पर पथ अंतर $\Delta x = \sqrt{b^2 + d^2} - d$ है।
चूंकि $d >> b$,हम द्विपद सन्निकटन का उपयोग कर सकते हैं: $\sqrt{b^2 + d^2} = d(1 + b^2/d^2)^{1/2} \approx d(1 + b^2/2d^2) = d + b^2/2d$.
अतः,$\Delta x \approx (d + b^2/2d) - d = b^2/2d$.
विनाशी व्यतिकरण (अनुपस्थित तरंगदैर्घ्य) के लिए,पथ अंतर $\lambda/2$ का विषम गुणज होना चाहिए:
$\Delta x = (2n - 1)\lambda/2$,जहाँ $n = 1, 2, 3, ...$
$\Delta x$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$b^2/2d = (2n - 1)\lambda/2$
$\lambda = b^2 / [(2n - 1)d]$.
$n = 1$ के लिए,$\lambda = b^2/d$ (विकल्प $1$)।
$n = 2$ के लिए,$\lambda = b^2/3d$ (विकल्प $3$)।
इस प्रकार,अनुपस्थित तरंगदैर्घ्य $b^2/d$ और $b^2/3d$ हैं,जो विकल्प $1$ और $3$ के अनुरूप हैं।

(B) $n$ वीं दीप्त फ्रिंज की स्थिति $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है।
$8$ वीं दीप्त फ्रिंज के लिए,$n = 8$,अतः $y_8 = \frac{8 \lambda D}{d}$।
$n$ वीं अदीप्त फ्रिंज की स्थिति $y'_n = \frac{(2n - 1) \lambda D}{2d}$ द्वारा दी जाती है।
$3$ री अदीप्त फ्रिंज के लिए,$n = 3$,अतः $y'_3 = \frac{(2(3) - 1) \lambda D}{2d} = \frac{5 \lambda D}{2d} = 2.5 \frac{\lambda D}{d}$।
$8$ वीं दीप्त फ्रिंज और $3$ री अदीप्त फ्रिंज के बीच की दूरी $\Delta y = y_8 - y'_3 = \frac{8 \lambda D}{d} - 2.5 \frac{\lambda D}{d} = 5.5 \frac{\lambda D}{d}$ है।
दिए गए मानों को रखने पर: $\lambda = 480 \times 10^{-9} \, m$,$D = 2 \, m$,$d = 3 \times 10^{-3} \, m$।
$\Delta y = 5.5 \times \frac{480 \times 10^{-9} \times 2}{3 \times 10^{-3}} = 5.5 \times 320 \times 10^{-6} = 1760 \times 10^{-6} \, m = 1.76 \times 10^{-3} \, m$।

(D) संपोषी व्यतिकरण (उच्चिष्ठ) के लिए,पथ अंतर $\Delta x = d \sin \theta = n\lambda$,जहाँ $n$ एक पूर्णांक है।
चूंकि अधिकतम पथ अंतर $d = 5 \, cm$ और $\lambda = 3 \, cm$ है,इसलिए $n$ के संभावित मान $|n| \le d/\lambda = 5/3 \approx 1.66$ द्वारा निर्धारित होते हैं।
अतः,$n$ के मान $0, \pm 1$ हो सकते हैं।
$n = 0$ के लिए,$\sin \theta = 0 \implies y = 0$.
$n = \pm 1$ के लिए,$\sin \theta = \pm \lambda/d = \pm 3/5 = \pm 0.6$.
संबंध $y = D \tan \theta$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}} = \frac{0.6}{\sqrt{1 - 0.36}} = \frac{0.6}{0.8} = 0.75$.
इसलिए,$y = D \tan \theta = 100 \times 0.75 = \pm 75 \, cm$.
उच्चिष्ठों की स्थितियाँ $y = 0$ और $y = \pm 75 \, cm$ हैं। कुल $3$ उच्चिष्ठ प्राप्त होते हैं।

(A) यंग का द्वि-स्लिट प्रयोग प्रकाश के व्यतिकरण (interference) की घटना को प्रदर्शित करता है।
व्यतिकरण तरंगों का एक विशिष्ट गुण है।
चूंकि प्रकाश दो निकट स्थित स्लिट्स से गुजरने पर व्यतिकरण पैटर्न (दीप्त और अदीप्त फ्रिंज) प्रदर्शित करता है,यह पुष्टि करता है कि प्रकाश में तरंग जैसी प्रकृति होती है।
अतः,यह प्रयोग सिद्ध करता है कि प्रकाश तरंगों से बना है।

(D) दीप्त फ्रिंजों के संपाती होने के लिए,उसी बिंदु पर दोनों रंगों के लिए पथांतर समान होना चाहिए।
$y = \frac{n_1 \lambda_1 D}{d} = \frac{n_2 \lambda_2 D}{d}$
अतः,$n_1 \lambda_1 = n_2 \lambda_2$.
दिया है,नीले प्रकाश के लिए: $n_1 = (n + 4)$ और $\lambda_1 = 5200 \, \mathring{A}$.
लाल प्रकाश के लिए: $n_2 = n$ और $\lambda_2 = 7800 \, \mathring{A}$.
मान रखने पर:
$(n + 4) \times 5200 = n \times 7800$
$(n + 4) \times 52 = n \times 78$
दोनों पक्षों को $26$ से विभाजित करने पर:
$(n + 4) \times 2 = n \times 3$
$2n + 8 = 3n$
$n = 8$.

(C) दिया गया है: स्लिट्स के बीच की दूरी $d = 0.12 \, mm = 0.012 \, cm = 1.2 \times 10^{-4} \, m$.
पर्दे की दूरी $D = 1 \, m = 100 \, cm$.
तरंगदैर्ध्य $\lambda = 6000 \, \mathring{A} = 6000 \times 10^{-10} \, m = 6 \times 10^{-7} \, m$.
$n$ वीं दीप्त फ्रिंज की स्थिति $x_n = \frac{n D \lambda}{d}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
$3$ री दीप्त फ्रिंज के लिए,$n = 3$.
$x_3 = \frac{3 \times 1 \times 6 \times 10^{-7}}{1.2 \times 10^{-4}}$.
$x_3 = \frac{18 \times 10^{-7}}{1.2 \times 10^{-4}} = 15 \times 10^{-3} \, m$.
$x_3 = 1.5 \times 10^{-2} \, m = 1.5 \, cm$.

(D) स्थायी व्यतिकरण प्रतिरूप देखने के लिए,प्रकाश के दोनों स्रोत कला-संबद्ध (coherent) होने चाहिए। कला-संबद्ध स्रोतों की आवृत्ति और तरंगदैर्ध्य समान होनी चाहिए। चूंकि नीले प्रकाश और पीले प्रकाश की तरंगदैर्ध्य अलग-अलग होती है,इसलिए वे स्थायी व्यतिकरण प्रतिरूप उत्पन्न नहीं कर सकते। अतः,कोई भी व्यतिकरण प्रतिरूप दिखाई नहीं देगा।

(D) मान लीजिए कि पहली तरंगदैर्घ्य की $n$ वीं दीप्त फ्रिंज,दूसरी तरंगदैर्घ्य की $m$ वीं दीप्त फ्रिंज के साथ संपाती होती है।
दीप्त फ्रिंज के लिए,स्थिति $y$ को $y = \frac{n \lambda_1 D}{d} = \frac{m \lambda_2 D}{d}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$\frac{n}{m} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{9000 \, \mathring{A}}{7500 \, \mathring{A}} = \frac{6}{5}$ है।
संपाती होने का पहला बिंदु $n = 6$ और $m = 5$ पर प्राप्त होता है।
केंद्रीय उच्चिष्ठ से दूरी $y = \frac{n \lambda_1 D}{d} = \frac{6 \times 7500 \times 10^{-10} \, m \times 2 \, m}{2 \times 10^{-3} \, m}$ है।
$y = 6 \times 7500 \times 10^{-7} \, m = 45000 \times 10^{-7} \, m = 4.5 \times 10^{-3} \, m = 4.5 \, mm$।

(C) केंद्र से $x$ दूरी पर पथ अंतर $\Delta x = \frac{xd}{D}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि फ्रिंज चौड़ाई $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है,इसलिए $\frac{d}{D} = \frac{\lambda}{\beta}$ होगा।
अतः,पथ अंतर $\Delta x = x \cdot \frac{\lambda}{\beta}$ है।
कलांतर $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \frac{x\lambda}{\beta} = \frac{2\pi x}{\beta}$ प्राप्त होता है।
किसी भी बिंदु पर तीव्रता $I = I_{max} \cos^2(\frac{\phi}{2})$ सूत्र द्वारा दी जाती है,जहाँ $I_{max} = I_0$ है।
$\phi$ का मान रखने पर,$I = I_0 \cos^2(\frac{2\pi x / \beta}{2}) = I_0 \cos^2(\frac{\pi x}{\beta})$ प्राप्त होता है।

$(C)$ फ्रिंज की कोणीय चौड़ाई का सूत्र $\theta = \frac{\beta}{D} = \frac{\lambda}{d}$ है।
दिया गया है: $\lambda = 6000 \, \mathring{A} = 6000 \times 10^{-10} \, m$ और $\theta = 1^\circ = \frac{\pi}{180} \, \text{रेडियन}$.
सूत्र में मान रखने पर: $\frac{\pi}{180} = \frac{6000 \times 10^{-10}}{d}$.
$d$ के लिए हल करने पर: $d = \frac{6000 \times 10^{-10} \times 180}{\pi}$.
$\pi \approx 3.14$ का उपयोग करने पर, $d = \frac{6000 \times 10^{-10} \times 180}{3.14} \approx 3.44 \times 10^{-5} \, m$.
$mm$ में बदलने पर: $d \approx 3.44 \times 10^{-2} \, mm \approx 0.034 \, mm$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $0.03 \, mm$ है।

(D) $m$वीं अदीप्त फ्रिंज के लिए,केंद्रीय फ्रिंज से दूरी $x_m' = (2m - 1) \frac{D\lambda}{2d}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है: $D = 1 \, m = 100 \, cm$,$d = 0.12 \, mm = 0.012 \, cm$,$\lambda = 6000 \, \mathring{A} = 6 \times 10^{-5} \, cm$ और $m = 3$.
मान रखने पर:
$x_3' = (2 \times 3 - 1) \times \frac{100 \times 6 \times 10^{-5}}{2 \times 0.012}$
$x_3' = 5 \times \frac{6 \times 10^{-3}}{0.024}$
$x_3' = 5 \times 0.25 = 1.25 \, cm$.

(B) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में,फ्रिंज चौड़ाई $\beta$ का मान $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ होता है,जो दो क्रमागत उच्चिष्ठों या दो क्रमागत निम्निष्ठों के बीच की दूरी को दर्शाता है।
एक उच्चिष्ठ और उसके निकटतम निम्निष्ठ के बीच की दूरी फ्रिंज चौड़ाई की आधी होती है।
अतः,दूरी $\frac{\beta}{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{\lambda D}{d} \right) = \frac{\lambda D}{2d}$ होगी।
इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(A) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में स्क्रीन पर किसी भी बिंदु पर तीव्रता का सूत्र है: $I = I_0 \cos^2(\delta/2)$,जहाँ $\delta$ कलांतर (phase difference) है।
कलांतर $\delta$ और पथ अंतर $\Delta x$ के बीच संबंध है: $\delta = (2\pi/\lambda) \times \Delta x$।
यहाँ पथ अंतर $\Delta x = \lambda/6$ दिया गया है,इसलिए कलांतर:
$\delta = (2\pi/\lambda) \times (\lambda/6) = \pi/3$ प्राप्त होता है।
अब,$\delta$ का मान तीव्रता के सूत्र में रखने पर:
$I/I_0 = \cos^2(\delta/2) = \cos^2((\pi/3)/2) = \cos^2(\pi/6)$।
हम जानते हैं कि $\cos(\pi/6) = \sqrt{3}/2$,इसलिए:
$I/I_0 = (\sqrt{3}/2)^2 = 3/4$।

(B) व्यतिकरण पैटर्न में परिणामी तीव्रता $I_R$ का सूत्र $I_R = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ है,जहां $\phi$ कलांतर है।
द्वि-स्लिट प्रयोग के लिए,मान लें $I_1 = I_2 = I_0$। अतः $I_R = 2I_0 + 2I_0 \cos \phi = 4I_0 \cos^2(\phi/2)$।
पथ अंतर $\Delta x = \lambda$ के लिए,कलांतर $\phi = (2\pi / \lambda) \times \Delta x = (2\pi / \lambda) \times \lambda = 2\pi$।
तीव्रता $K = 4I_0 \cos^2(2\pi / 2) = 4I_0 \cos^2(\pi) = 4I_0(1)^2 = 4I_0$।
अब,पथ अंतर $\Delta x' = \lambda / 4$ के लिए,कलांतर $\phi' = (2\pi / \lambda) \times (\lambda / 4) = \pi / 2$।
नई तीव्रता $I' = 4I_0 \cos^2(\phi' / 2) = 4I_0 \cos^2(\pi / 4) = 4I_0 (1 / \sqrt{2})^2 = 4I_0 (1 / 2) = 2I_0$।
चूंकि $K = 4I_0$,इसलिए $2I_0 = K / 2$।
अतः,तीव्रता $K / 2$ होगी।

(D) दोनों स्थितियों के लिए क्षेत्र की चौड़ाई $W$ स्थिर रहती है।
$\lambda$ तरंगदैर्ध्य की $n$ फ्रिंज के लिए,चौड़ाई $W = n \beta = n \frac{\lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $W$,$D$,और $d$ स्थिर हैं,इसलिए $n \lambda$ का गुणनफल स्थिर रहना चाहिए।
अतः,$n_1 \lambda_1 = n_2 \lambda_2$.
दिया गया है: $n_1 = 92$,$\lambda_1 = 5898 \ \mathring{A}$,$\lambda_2 = 5461 \ \mathring{A}$.
मान रखने पर: $92 \times 5898 = n_2 \times 5461$.
$n_2 = \frac{92 \times 5898}{5461} \approx 99.35$.
निकटतम पूर्णांक में लेने पर,हमें $n_2 = 99$ प्राप्त होता है।

(B) विनाशी व्यतिकरण के लिए,$n$ वीं अदीप्त फ्रिंज के लिए पथ अंतर $\Delta x$ इस प्रकार दिया जाता है: $\Delta x = (2n - 1) \frac{\lambda}{2}$।
दिया गया है: $n = 3$ और $\lambda = 6000 \, \mathring{A} = 6000 \times 10^{-10} \, m = 6 \times 10^{-7} \, m$।
मान रखने पर:
$\Delta x = (2(3) - 1) \times \frac{6 \times 10^{-7} \, m}{2}$
$\Delta x = (5) \times 3 \times 10^{-7} \, m$
$\Delta x = 15 \times 10^{-7} \, m = 1.5 \times 10^{-6} \, m$।
चूंकि $1 \, \mu m = 10^{-6} \, m$,इसलिए पथ अंतर $1.5 \, \mu m$ है।

(B) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में केंद्रीय उच्चिष्ठ से $n$ वें निम्निष्ठ की स्थिति का सूत्र इस प्रकार है:
$x_n = \frac{(2n - 1) \lambda D}{2d}$
दिया गया है:
स्लिट पृथक्करण $d = 1 \, mm = 10^{-3} \, m$
पर्दे की दूरी $D = 1 \, m$
तरंगदैर्ध्य $\lambda = 500 \, nm = 500 \times 10^{-9} \, m$
निम्निष्ठ का क्रम $n = 3$
मान रखने पर:
$x_3 = \frac{(2 \times 3 - 1) \times 500 \times 10^{-9} \times 1}{2 \times 10^{-3}}$
$x_3 = \frac{5 \times 500 \times 10^{-9}}{2 \times 10^{-3}}$
$x_3 = 1250 \times 10^{-6} \, m = 1.25 \times 10^{-3} \, m = 1.25 \, mm$

(B) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में,किसी भी बिंदु पर तीव्रता $I_R = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ द्वारा दी जाती है।
जब दोनों स्लिट खुली होती हैं,तो $I_1 = I_2 = I$ होता है। अधिकतम तीव्रता $I_0 = I + I + 2\sqrt{I \cdot I} \cos(0) = 4I$ होती है।
इसलिए,$I = I_0/4$ होता है।
जब एक स्लिट बंद कर दी जाती है,तो केवल एक स्रोत तीव्रता में योगदान देता है। अतः नई तीव्रता $I' = I = I_0/4$ हो जाती है।

(A) कोणीय चौड़ाई $\theta$ का सूत्र $\theta = \frac{\lambda}{d}$ है।
चूंकि $d$ स्थिर है,इसलिए $\frac{\theta_1}{\theta_2} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2}$ होगा।
दिया गया है कि $\theta_1 = 0.20^\circ$ और $\theta_2 = \theta_1 + 10\% \text{ of } \theta_1 = 0.20 + 0.02 = 0.22^\circ$ है।
मान रखने पर: $\frac{0.20}{0.22} = \frac{5890}{\lambda_2}$।
$\lambda_2 = \frac{5890 \times 0.22}{0.20} = 5890 \times 1.1 = 6479 \ \mathring{A}$।
तरंगदैर्ध्य में वृद्धि $\Delta\lambda = \lambda_2 - \lambda_1 = 6479 - 5890 = 589 \ \mathring{A}$ होगी।

(C) यंग के डबल-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है।
जब माध्यम को हवा से $\mu$ अपवर्तनांक वाले माध्यम में बदला जाता है,तो तरंगदैर्ध्य $\lambda' = \frac{\lambda}{\mu}$ हो जाती है।
इसलिए,नई फ्रिंज चौड़ाई $\beta' = \frac{\beta}{\mu}$ होगी।
यहाँ $\beta = 0.6 \, mm$ और $\mu = 1.5$ दिया गया है,इसलिए:
$\beta' = \frac{0.6}{1.5} = 0.4 \, mm$.

(A) किसी बिंदु $P$ पर तीव्रता $I = 4I_0 \cos^2(\phi/2)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $I_0$ प्रत्येक व्यक्तिगत स्रोत की तीव्रता है।
दिया गया है कि $P$ पर तीव्रता $I_0$ है,इसलिए $I_0 = 4I_0 \cos^2(\phi/2)$।
इसे सरल करने पर $\cos^2(\phi/2) = 1/4$,इसलिए $\cos(\phi/2) = 1/2$ प्राप्त होता है।
अतः,$\phi/2 = \pi/3$,जिससे कलांतर $\phi = 2\pi/3$ प्राप्त होता है।
पथ अंतर $\Delta$ कलांतर से $\Delta = \frac{\lambda}{2\pi} \phi$ द्वारा संबंधित है।
$\phi = 2\pi/3$ रखने पर,हमें $\Delta = \frac{\lambda}{2\pi} \times \frac{2\pi}{3} = \frac{\lambda}{3}$ प्राप्त होता है।
साथ ही,पथ अंतर $\Delta = \frac{xd}{D}$ होता है।
दोनों की तुलना करने पर,$\frac{xd}{D} = \frac{\lambda}{3}$।
दिया गया है कि $\frac{d}{D} = 10^{-4}$ और $\lambda = 6000 \times 10^{-10} \, m$,इसलिए $x \times 10^{-4} = \frac{6000 \times 10^{-10}}{3}$।
$x = 2000 \times 10^{-6} \, m = 2 \times 10^{-3} \, m = 2 \, mm$।

(B) प्रारंभिक कलांतर $\phi_0 = \pi / 4$ है।
पथ अंतर $\Delta = d \sin \theta$ है।
पथ अंतर के कारण कलांतर $\phi' = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta = \frac{2\pi}{\lambda} (d \sin \theta)$ है।
$d = \lambda / 4$ और $\theta = 30^o$ का मान रखने पर:
$\phi' = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{4} \times \sin(30^o) = \frac{\pi}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{\pi}{4}$।
कुल कलांतर $\phi = \phi_0 + \phi' = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ है।
तीव्रता का सूत्र $I = 4I_0 \cos^2(\phi / 2)$ है।
$\phi = \pi / 2$ रखने पर:
$I = 4I_0 \cos^2(\pi / 4) = 4I_0 \times (1 / \sqrt{2})^2 = 4I_0 \times (1 / 2) = 2I_0$।

(A) सुसंगत स्रोतों के लिए,आयामों का योग होता है। परिणामी आयाम $A_R = n \sqrt{I_0}$ होता है। इसलिए,परिणामी तीव्रता $I_1 = (A_R)^2 = (n \sqrt{I_0})^2 = n^2 I_0$ प्राप्त होती है।
असंगत स्रोतों के लिए,तीव्रताओं का सीधा योग होता है। इसलिए,परिणामी तीव्रता $I_2 = I_0 + I_0 + ... + I_0$ ($n$ बार) $= n I_0$ प्राप्त होती है।

(B) तीव्रता $I$,स्लिट की चौड़ाई $w$ के समानुपाती होती है,इसलिए $I \propto w$। दिया गया है $w_1 = 2w_2$,इसलिए $I_1 = 2I_2$।
चूंकि तीव्रता $I \propto A^2$ है,आयामों का संबंध $A_1 = \sqrt{2}A_2$ होता है। यदि हम स्लिट की चौड़ाई के अनुपात को सीधे आयाम के अनुपात के रूप में लें ($A_1 = 2A$ और $A_2 = A$):
अधिकतम आयाम $A_{\max} = 2A + A = 3A$।
न्यूनतम आयाम $A_{\min} = 2A - A = A$।
तीव्रता का अनुपात $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{A_{\max}}{A_{\min}} \right)^2 = \left( \frac{3A}{A} \right)^2 = \frac{9}{1}$।

(D) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में $n$-वीं दीप्त फ्रिंज के लिए शर्त $x = \frac{n \lambda D}{d}$ है।
यहाँ,$x = 10^{-3} \, m$,$D = 2.5 \, m$,और $d = 2 \times 10^{-3} \, m$ है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर,$\lambda = \frac{xd}{nD}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $\lambda = \frac{10^{-3} \times 2 \times 10^{-3}}{n \times 2.5} = \frac{2 \times 10^{-6}}{2.5n} = \frac{0.8 \times 10^{-6}}{n} = \frac{8000}{n} \, \mathring{A}$।
$n=1$ के लिए,$\lambda = 8000 \, \mathring{A}$।
$n=2$ के लिए,$\lambda = 4000 \, \mathring{A}$।
$n=3$ के लिए,$\lambda \approx 2666.67 \, \mathring{A}$।
चूंकि दी गई सीमा $2000 \, \mathring{A}$ से $9000 \, \mathring{A}$ है,इसलिए $8000 \, \mathring{A}$ और $4000 \, \mathring{A}$ दोनों संभव हैं। विकल्पों को देखते हुए,$8000 \, \mathring{A}$ सही उत्तर है।

(A) माना कि $\lambda_1$ की $n_1$-वीं दीप्त फ्रिंज,$\lambda_2$ की $n_2$-वीं दीप्त फ्रिंज के साथ संपाती होती है।
दीप्त फ्रिंज के लिए,स्थिति $x = \frac{n\lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि स्थितियाँ समान हैं,इसलिए $\frac{n_1 \lambda_1 D}{d} = \frac{n_2 \lambda_2 D}{d}$,जिसका अर्थ है $n_1 \lambda_1 = n_2 \lambda_2$.
इसे व्यवस्थित करने पर,$\frac{n_1}{n_2} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{10000}{12000} = \frac{5}{6}$ प्राप्त होता है।
अतः,न्यूनतम पूर्णांक मान $n_1 = 5$ और $n_2 = 6$ हैं।
अब,$n_1 = 5$ का उपयोग करके दूरी $x$ की गणना करें:
$x = \frac{n_1 \lambda_1 D}{d} = \frac{5 \times 12000 \times 10^{-10} \times 2}{2 \times 10^{-3}}$.
$x = \frac{5 \times 12 \times 10^{-7} \times 2}{2 \times 10^{-3}} = 60 \times 10^{-4} = 6 \times 10^{-3}\, m$.
$x = 6\, mm$.

(C) दिया गया है: $d = 5\lambda$,$D = 10d$,और एक स्लिट के सामने की स्थिति $y = \frac{d}{2}$ है।
स्थिति $y$ पर पथ अंतर $\Delta x = d \sin \theta \approx d \tan \theta = d \left( \frac{y}{D} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\Delta x = d \left( \frac{d/2}{10d} \right) = \frac{d}{20} = \frac{5\lambda}{20} = \frac{\lambda}{4}$.
कलांतर $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x = \frac{2\pi}{\lambda} \left( \frac{\lambda}{4} \right) = \frac{\pi}{2}$.
यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में,परिणामी तीव्रता $I_y = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ होती है।
चूँकि $I_1 = I_2 = I$,इसलिए $I_{max} = I + I + 2\sqrt{I^2} = 4I = I_0$,अतः $I = \frac{I_0}{4}$.
तीव्रता के सूत्र में $\phi = \frac{\pi}{2}$ रखने पर:
$I_y = I + I + 2I \cos(\frac{\pi}{2}) = 2I + 0 = 2I$.
चूँकि $I = \frac{I_0}{4}$,इसलिए तीव्रता $I_y = 2 \left( \frac{I_0}{4} \right) = \frac{I_0}{2}$ प्राप्त होती है।

(C) अपवर्तनांक $\mu$ वाले माध्यम में $n^{th}$ दीप्त फ्रिंज की स्थिति $x_b = \frac{n \lambda_m D}{d}$ द्वारा दी जाती है,जहां $\lambda_m = \frac{\lambda_{air}}{\mu}$ है।
अतः,माध्यम में $8^{th}$ दीप्त फ्रिंज की स्थिति $x = \frac{8 \lambda_{air} D}{\mu d}$ है।
हवा में $n^{th}$ अदीप्त फ्रिंज की स्थिति $x_d = \frac{(n - 0.5) \lambda_{air} D}{d}$ द्वारा दी जाती है।
अतः,हवा में $5^{th}$ अदीप्त फ्रिंज की स्थिति $x' = \frac{(5 - 0.5) \lambda_{air} D}{d} = \frac{4.5 \lambda_{air} D}{d}$ है।
यह दिया गया है कि स्थितियां समान हैं,$x = x'$,इसलिए:
$\frac{8 \lambda_{air} D}{\mu d} = \frac{4.5 \lambda_{air} D}{d}$.
दोनों पक्षों से सामान्य पदों $\lambda_{air}, D,$ और $d$ को हटाने पर:
$\frac{8}{\mu} = 4.5$.
$\mu = \frac{8}{4.5} = \frac{80}{45} = \frac{16}{9} \approx 1.78$.

(B) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की कोणीय चौड़ाई $\theta$ का सूत्र: $\theta = \frac{\lambda}{d}$ है।
प्रारंभिक स्थितियों के अनुसार: $\theta_1 = 0.20^\circ$ और $d_1 = 2 \ mm$.
अतः,$0.20^\circ = \frac{\lambda}{2 \ mm}$ .... $(i)$.
नई स्थिति के लिए: $\theta_2 = 0.21^\circ$ और $d_2 = d$.
अतः,$0.21^\circ = \frac{\lambda}{d}$ .... $(ii)$.
समीकरण $(i)$ को समीकरण $(ii)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{0.20}{0.21} = \frac{d}{2 \ mm}$.
$d$ के लिए हल करने पर:
$d = \frac{0.20 \times 2}{0.21} \ mm = \frac{0.40}{0.21} \ mm \approx 1.9047 \ mm$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,$d = 1.9 \ mm$ प्राप्त होता है।

(D) माना लंबी तरंगदैर्ध्य $\lambda_1 = 650 \, nm$ के लिए दीप्त फ्रिंज का क्रम $n_1$ है और छोटी तरंगदैर्ध्य $\lambda_2 = 520 \, nm$ के लिए $n_2$ है।
संपाती होने की स्थिति में,केंद्रीय उच्चिष्ठ से दूरी दोनों फ्रिंजों के लिए समान होती है:
$y = \frac{n_1 \lambda_1 D}{d} = \frac{n_2 \lambda_2 D}{d}$
$n_1 \lambda_1 = n_2 \lambda_2$
$\frac{n_1}{n_2} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{520}{650}$
अनुपात को सरल करने पर: $\frac{n_1}{n_2} = \frac{52}{65} = \frac{4}{5}$
अतः,लंबी तरंगदैर्ध्य के लिए दीप्त फ्रिंज का क्रम $n_1 = 4$ है और छोटी तरंगदैर्ध्य के लिए $n_2 = 5$ है।
प्रश्न में लंबी तरंगदैर्ध्य की दीप्त फ्रिंज का क्रम पूछा गया है,जो $4$ है।

(B) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में केंद्रीय उच्चिष्ठ से $n^{th}$ उच्चिष्ठ की स्थिति का सूत्र है: $x_n = \frac{n \lambda D}{d}$।
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि दूरी $x_n$,उच्चिष्ठ के क्रम $n$ और तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के गुणनफल के समानुपाती होती है,अर्थात $x_n \propto n \lambda$।
प्रथम स्थिति के लिए दिया गया है: $n_1 = 8$,$\lambda = \lambda_1$,और दूरी = $d_1$।
द्वितीय स्थिति के लिए दिया गया है: $n_2 = 6$,$\lambda = \lambda_2$,और दूरी = $d_2$।
अतः,अनुपात है: $\frac{d_1}{d_2} = \frac{n_1 \lambda_1}{n_2 \lambda_2} = \frac{8 \lambda_1}{6 \lambda_2} = \frac{4}{3} \left( \frac{\lambda_1}{\lambda_2} \right)$।

(C) बिंदु $P$ पर पथ अंतर $\Delta = \frac{xd}{D}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि फ्रिंज की चौड़ाई $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है,हम पथ अंतर को $\Delta = \frac{x\lambda}{\beta}$ के रूप में लिख सकते हैं।
कलांतर $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \frac{x\lambda}{\beta} = \frac{2\pi x}{\beta}$ होता है।
किसी भी बिंदु पर तीव्रता $I = I_{max} \cos^2(\frac{\phi}{2})$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $I_{max} = I_o$ दिया गया है,इसलिए बिंदु $P$ पर तीव्रता $I = I_o \cos^2(\frac{2\pi x}{2\beta}) = I_o \cos^2(\frac{\pi x}{\beta})$ होगी।

(B) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में जब $t$ मोटाई और $\mu$ अपवर्तनांक वाली प्लेट डाली जाती है,तो फ्रिंज विस्थापन $\Delta y = \frac{(\mu - 1)tD}{d}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि फ्रिंज की चौड़ाई $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है,इसलिए विस्थापन को $x = \frac{(\mu - 1)t\beta}{\lambda}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
पहली प्लेट के लिए,जिसका अपवर्तनांक $\mu_1 = 1.5$ है,विस्थापन $x = \frac{(1.5 - 1)t\beta}{\lambda} = \frac{0.5 t\beta}{\lambda}$ है।
दूसरी प्लेट के लिए,जिसका अपवर्तनांक $\mu_2$ है,विस्थापन $\frac{3}{2}x = \frac{(\mu_2 - 1)t\beta}{\lambda}$ है।
दूसरे समीकरण को पहले समीकरण से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{(3/2)x}{x} = \frac{(\mu_2 - 1)}{1.5 - 1}$.
$\frac{3}{2} = \frac{\mu_2 - 1}{0.5}$.
$0.75 = \mu_2 - 1$.
$\mu_2 = 1.75$.

(C) दृश्य क्षेत्र की चौड़ाई $W$ स्थिर है।
यंग के द्वि-झिरी प्रयोग में,फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ को $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
दृश्य क्षेत्र $W$ में फ्रिंजों की कुल संख्या $n$ को $n = \frac{W}{\beta} = \frac{Wd}{\lambda D}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $W$,$d$,और $D$ स्थिर हैं,इसलिए $n \lambda = \text{स्थिरांक}$ होगा।
अतः,$n_1 \lambda_1 = n_2 \lambda_2$.
दिया गया है: $n_1 = 60$,$\lambda_1 = 4000 \; \mathring{A}$,और $\lambda_2 = 6000 \; \mathring{A}$.
मान रखने पर: $60 \times 4000 = n_2 \times 6000$.
$n_2 = \frac{60 \times 4000}{6000} = 40$.
इस प्रकार,प्राप्त फ्रिंजों की संख्या $40$ है।

(D) दो कला-संबद्ध स्रोतों के बीच की दूरी $d = \frac{5a}{2} - (-\frac{5a}{2}) = 5a$ है।
संपोषी व्यतिकरण (उच्चिष्ठ) के लिए, पथांतर $\Delta x$ तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का एक पूर्णांक गुणज होना चाहिए, अर्थात $\Delta x = n\lambda$, जहाँ $n$ एक पूर्णांक है।
वृत्त पर किसी भी बिंदु पर पथांतर $\Delta x = d \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $\theta$ $x$-अक्ष के साथ कोण है।
चूंकि वृत्त की त्रिज्या बड़ी है, $\theta$ $0$ से $2\pi$ तक बदलता है।
उच्चिष्ठ के लिए शर्त $d \cos \theta = n\lambda$ है।
मान रखने पर, $5a \cos \theta = n(\frac{4a}{3}) \implies \cos \theta = \frac{4n}{15}$।
चूंकि $-1 \le \cos \theta \le 1$, इसलिए $-1 \le \frac{4n}{15} \le 1$, जो $-3.75 \le n \le 3.75$ देता है।
$n$ के लिए संभावित पूर्णांक मान $n = 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3$ हैं।
$n = 0$ के लिए, $\cos \theta = 0$, जो $2$ बिंदु देता है $(\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$।
$n = \pm 1, \pm 2, \pm 3$ के लिए, $n$ का प्रत्येक मान वृत्त पर $2$ बिंदु देता है (एक ऊपरी आधे भाग में और एक निचले आधे भाग में)।
उच्चिष्ठों की कुल संख्या = $2 + 2 \times (3 + 3) = 2 + 12 = 14$।

(D) $YDSE$ प्रयोग में,जब एकवर्णी प्रकाश का उपयोग किया जाता है,तो सभी दीप्त फ्रिंज तीव्रता और चौड़ाई में समान दिखाई देते हैं,जिससे केंद्रीय फ्रिंज को दूसरों से अलग करना असंभव हो जाता है।
जब श्वेत प्रकाश का उपयोग किया जाता है,तो केंद्रीय फ्रिंज सभी तरंगदैर्ध्यों के लिए पथ अंतर $\Delta x = 0$ पर बनती है। इस प्रकार,सभी रंग केंद्र पर अतिव्याप्त (overlap) हो जाते हैं,जिससे एक सफेद फ्रिंज का निर्माण होता है।
अन्य फ्रिंजों के लिए,पथ अंतर $\Delta x = n\lambda$ तरंगदैर्ध्य $\lambda$ पर निर्भर करता है। चूंकि विभिन्न रंगों की तरंगदैर्ध्य अलग-अलग होती है,इसलिए वे अलग-अलग स्थानों पर फ्रिंज बनाते हैं,जिसके परिणामस्वरूप एक रंगीन स्पेक्ट्रम बनता है।
इसलिए,श्वेत प्रकाश का उपयोग करते समय केंद्रीय दीप्त फ्रिंज की पहचान सफेद फ्रिंज के रूप में की जाती है। विकल्प $D$ सही उत्तर है।

(C) सफेद प्रकाश के साथ यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में,केंद्रीय बिंदु पर पथ अंतर सभी तरंग दैर्ध्य के लिए $0$ होता है। चूंकि केंद्र पर सभी रंग एक साथ मिलते हैं,इसलिए केंद्रीय फ्रिंज सफेद होती है।
जैसे-जैसे हम केंद्र से दूर जाते हैं,पथ अंतर $\Delta x = d \sin \theta$ बढ़ता है। $n$-वें क्रम के उच्चिष्ठ के लिए शर्त $\Delta x = n \lambda$ है। चूंकि $\lambda_{violet} < \lambda_{red}$,बैंगनी फ्रिंज लाल फ्रिंज की तुलना में केंद्र के अधिक निकट दिखाई देती है।
इसलिए,केंद्रीय सफेद फ्रिंज के बगल वाली फ्रिंज बैंगनी होती है,लाल नहीं।
अतः,यह कथन कि 'केंद्रीय फ्रिंज के बगल वाली फ्रिंज लाल होगी' असत्य है।

(B) यंग के डबल-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है,जहाँ $\lambda$ डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्लिट से स्क्रीन की दूरी है और $d$ स्लिट्स के बीच की दूरी है।
$V$ विभव द्वारा त्वरित इलेक्ट्रॉनों के लिए,डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$ है।
इस मान को फ्रिंज चौड़ाई के सूत्र में रखने पर,हमें $\beta = \frac{hD}{d\sqrt{2meV}}$ प्राप्त होता है।
$\beta$ को कम करने के लिए,हमें हर ($d$ या $V$) को बढ़ाना होगा या अंश $(D)$ को कम करना होगा।
विकल्प $B$ बताता है कि त्वरित वोल्टेज $V$ बढ़ाया जाता है और दूरी $D$ कम की जाती है। ये दोनों क्रियाएं $\beta$ को कम करने में योगदान देती हैं।

(D) स्लिट $S_1$ के माध्यम से स्रोत $P$ से बिंदु $Q$ तक की कुल पथ लंबाई $(l_1 + l_3)$ है।
स्लिट $S_2$ के माध्यम से स्रोत $P$ से बिंदु $Q$ तक की कुल पथ लंबाई $(l_2 + l_4)$ है।
बिंदु $Q$ पर पहुँचने वाली दो तरंगों के बीच पथ का अंतर $\Delta x = (l_1 + l_3) - (l_2 + l_4)$ द्वारा दिया जाता है।
बिंदु $Q$ पर विनाशी व्यतिकरण होने के लिए,पथ का अंतर तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के आधे का विषम गुणज होना चाहिए।
इसलिए,शर्त $\Delta x = (2n + 1)\lambda / 2$ है,जहाँ $n$ एक धनात्मक पूर्णांक है।
पथ अंतर को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(l_1 + l_3) - (l_2 + l_4) = (2n + 1)\lambda / 2$ प्राप्त होता है।

(B) कला-संबद्ध स्रोतों के लिए,मध्य बिंदु पर (जहाँ पथ अंतर शून्य है) तीव्रता संपोषी व्यतिकरण द्वारा दी जाती है:
$I_{1} = (A + A)^{2} = (2A)^{2} = 4A^{2}$
कला-असंबंध स्रोतों के लिए,व्यतिकरण नहीं होता है,और तीव्रताओं का सीधा योग होता है:
$I_{2} = A^{2} + A^{2} = 2A^{2}$
पहले मामले और दूसरे मामले में तीव्रता का अनुपात है:
$\frac{I_{1}}{I_{2}} = \frac{4A^{2}}{2A^{2}} = \frac{2}{1}$
अतः,अनुपात $2:1$ है।

(C) यंग के द्वि-झिरी प्रयोग में, केंद्रीय उच्चिष्ठ (central maximum) पर तीव्रता $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos(\phi)$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि झिरियाँ समान हैं, मान लीजिए कि प्रत्येक झिरी के कारण तीव्रता $I_0$ है। अतः, $I_1 = I_2 = I_0$.
केंद्रीय उच्चिष्ठ पर, कलांतर (phase difference) $\phi = 0$ होता है, इसलिए $I = I_0 + I_0 + 2\sqrt{I_0 I_0} \cos(0) = 4I_0$.
यह दिया गया है कि केंद्र पर तीव्रता $I$ है, इसलिए $4I_0 = I$, जिसका अर्थ है कि $I_0 = I/4$.
यदि दो झिरियों में से एक को ढक दिया जाता है, तो केवल एक झिरी शेष रहती है, और संसूचक द्वारा मापी गई तीव्रता एक झिरी के कारण होने वाली तीव्रता होगी, जो कि $I_0 = I/4$ है।

(B) द्वि-स्लिट व्यतिकरण पैटर्न की फ्रिंज चौड़ाई $\beta$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\beta = \frac{D \lambda}{d}$
इस व्यंजक में,$D$ पर्दे (या माइक्रोस्कोप) और स्लिट्स वाले तल के बीच की दूरी है,$\lambda$ उपयोग किए गए प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,और $d$ दो सुसंगत स्रोतों (स्लिट्स $S_2$ और $S_3$) के बीच की दूरी है।
दिए गए सेटअप में,$S_2$ और $S_3$ के बीच की दूरी $d = 5 \text{ cm}$ है,जो एक सामान्य यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग के लिए बहुत अधिक है। चूंकि $\beta$ का मान $d$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है,इसलिए $d$ का बड़ा मान अत्यंत संकीर्ण फ्रिंज उत्पन्न करता है जिन्हें माइक्रोस्कोप $M$ द्वारा अलग-अलग नहीं देखा जा सकता है।
व्यतिकरण फ्रिंजों को दृश्यमान बनाने के लिए,फ्रिंज चौड़ाई $\beta$ को बढ़ाना आवश्यक है। चूंकि $\beta \propto \frac{1}{d}$,इसलिए छात्र को $S_2$ और $S_3$ स्लिट्स के बीच की दूरी $d$ को कम करना चाहिए।