Young's Double Slit Experiment (YDSE) Questions in Gujarati

(C) વ્યતિકરણ ભાતમાં પ્રકાશની તીવ્રતા $I_{res} = 4I_0 \cos^2(\frac{\phi}{2})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I_0$ એ દરેક વ્યક્તિગત તરંગની તીવ્રતા છે અને $\phi$ એ કળા તફાવત છે.
$\Delta x = \lambda$ પથ તફાવત માટે,કળા તફાવત $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \lambda = 2\pi$ થાય.
તીવ્રતા $I = 4I_0 \cos^2(\frac{2\pi}{2}) = 4I_0 \cos^2(\pi) = 4I_0(1)^2 = 4I_0$ છે.
હવે,$\Delta x = \frac{\lambda}{4}$ પથ તફાવત માટે,કળા તફાવત $\phi' = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$ થાય.
નવી તીવ્રતા $I' = 4I_0 \cos^2(\frac{\pi/2}{2}) = 4I_0 \cos^2(\frac{\pi}{4})$ છે.
કારણ કે $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી $I' = 4I_0 (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = 4I_0 \cdot \frac{1}{2} = 2I_0$ મળે.
કારણ કે $I = 4I_0$,તેથી $I_0 = \frac{I}{4}$ થાય.
આ કિંમત $I'$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $I' = 2(\frac{I}{4}) = 0.5I$ મળે છે.

(A) વ્યતિકરણ ભાતમાં મહત્તમ તીવ્રતા $I_{max}$ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતા $I_{min}$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે: $I_{max} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$ અને $I_{min} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$.
આપેલ છે કે $I_{max} = 4 I_{min}$,તેથી $(\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2 = 4(\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2} = 2(\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})$.
પદોને ગોઠવતા: $\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2} = 2\sqrt{I_1} - 2\sqrt{I_2}$.
આનું સાદું રૂપ $3\sqrt{I_2} = \sqrt{I_1}$ થાય છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા $9I_2 = I_1$ મળે,તેથી ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = 9/1$ થાય.
આમ,બે તરંગોની તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $I_2/I_1 = 1/9$ છે.

(C) $\text{n}^{th}$ ક્રમના મહત્તમનું સ્થાન $x_n = n \frac{D \lambda}{d}$ છે।
$\text{n}^{th}$ ક્રમના ન્યૂનતમનું સ્થાન $x'_n = (n - 0.5) \frac{D \lambda}{d}$ છે।
$3^{rd}$ ક્રમના મહત્તમ $(n=3)$ અને $3^{rd}$ ક્રમના ન્યૂનતમ $(n=3)$ વચ્ચેનું અંતર:
$\Delta x = x_3 - x'_3 = 3 \frac{D \lambda}{d} - (3 - 0.5) \frac{D \lambda}{d} = 0.5 \frac{D \lambda}{d} = \frac{\beta}{2}$.
આપેલ છે: $\Delta x = 0.18 \,cm = 1.8 \times 10^{-3} \,m$, $D = 1.2 \,m$, અને $d = 0.02 \,cm = 2 \times 10^{-4} \,m$.
$\frac{\beta}{2} = 1.8 \times 10^{-3} \,m \implies \beta = 3.6 \times 10^{-3} \,m$.
$\beta = \frac{D \lambda}{d}$ હોવાથી, $\lambda = \frac{\beta d}{D}$.
$\lambda = \frac{(3.6 \times 10^{-3} \,m) \times (2 \times 10^{-4} \,m)}{1.2 \,m} = 6 \times 10^{-7} \,m = 600 \,nm$.

(A) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં શલાકાની પહોળાઈનું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે.
લોગેરિધમિક વિકલન લેતા,આપણને સાપેક્ષ ત્રુટિનું સૂત્ર મળે છે: $\frac{\Delta \beta}{\beta} = \frac{\Delta D}{D} - \frac{\Delta d}{d}$.
આપેલ છે કે $D$ માં $0.5 \%$ નો વધારો થાય છે,તેથી $\frac{\Delta D}{D} \times 100 = 0.5 \%$.
આપેલ છે કે $d$ માં $0.3 \%$ નો ઘટાડો થાય છે,તેથી $\frac{\Delta d}{d} \times 100 = -0.3 \%$.
આ કિંમતોને ત્રુટિના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{\Delta \beta}{\beta} \times 100 = 0.5 \% - (-0.3 \%) = 0.5 \% + 0.3 \% = 0.8 \%$.
તેથી,શલાકાની પહોળાઈ $0.8 \%$ વધે છે.

(C) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં,સફેદ પ્રકાશ $4000 \ Å$ થી $7000 \ Å$ ની તરંગલંબાઇ ધરાવે છે.
સ્ક્રીન પરના મધ્યસ્થ બિંદુએ,તમામ તરંગલંબાઇઓ માટે પથ તફાવત શૂન્ય હોય છે.
પથ તફાવત શૂન્ય હોવાથી,તમામ તરંગલંબાઇઓ મધ્યમાં સહાયક વ્યતિકરણ અનુભવે છે,જેના પરિણામે સફેદ શલાકા રચાય છે.
જેમ આપણે કેન્દ્રથી દૂર જઈએ છીએ,તેમ પથ તફાવત વધે છે,જેના કારણે વિવિધ તરંગલંબાઇઓ અલગ-અલગ સ્થાનો પર સહાયક વ્યતિકરણ અનુભવે છે,પરિણામે રંગીન શલાકાઓ જોવા મળે છે.

(D) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta$ નું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે, જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે, $D$ એ સ્લિટ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે, અને $d$ એ બે સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે.
જ્યારે આખી ગોઠવણીને $n$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા પ્રવાહીમાં મૂકવામાં આવે છે, ત્યારે પ્રકાશની તરંગલંબાઇ બદલાઈને $\lambda' = \frac{\lambda}{n}$ થાય છે.
અહીં $D$ અને $d$ બદલાતા નથી, તેથી નવી ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta'$ એ $\beta' = \frac{\lambda' D}{d} = \frac{(\lambda / n) D}{d} = \frac{1}{n} \left( \frac{\lambda D}{d} \right) = \frac{\beta}{n}$ થશે.
તેથી, નવી ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\frac{\beta}{n}$ છે.

(A) $n$-મી પ્રકાશિત શલાકા માટેની શરત $y = n \frac{\lambda D}{d}$ છે.
બંને તરંગલંબાઈ $\lambda_1 = 650 \ nm$ અને $\lambda_2 = 550 \ nm$ ની પ્રકાશિત શલાકાઓ સંપાત થાય તે માટે,તેમના સ્થાન સમાન હોવા જોઈએ: $y_1 = y_2$.
$n_1 \frac{\lambda_1 D}{d} = n_2 \frac{\lambda_2 D}{d}$.
$\frac{n_1}{n_2} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{550}{650} = \frac{11}{13}$.
આપણે લઘુત્તમ અંતર શોધવાનું હોવાથી,આપણે સૌથી નાના પૂર્ણાંકો $n_1 = 11$ અને $n_2 = 13$ લઈશું.
સ્થાનના સૂત્રમાં $n_1 = 11$ મૂકતા:
$y = 11 \times \frac{650 \times 10^{-9} \times 1.2}{2 \times 10^{-3}}$.
$y = 11 \times 325 \times 1.2 \times 10^{-6} = 4290 \times 10^{-6} \ m = 429 \times 10^{-5} \ m$.

(B) આપેલ છે: સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર $d = 2 \ mm = 2 \times 10^{-3} \ m$,પડદાનું અંતર $D = 10 \ m$,તરંગલંબાઇ $\lambda = 6000 \ \mathring{A} = 6 \times 10^{-7} \ m$.
યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં,પડદા પરના કોઈપણ બિંદુએ તીવ્રતા $I = 4 I_0 \cos^2(\frac{\phi}{2})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ કળા તફાવત છે.
પડદા પર $y$ સ્થાન પર પથ તફાવત $\Delta x = \frac{yd}{D}$ છે.
એક સ્લિટની સામેના બિંદુ માટે,$y = \frac{d}{2}$.
તેથી,$\Delta x = \frac{(d/2)d}{D} = \frac{d^2}{2D}$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta x = \frac{(2 \times 10^{-3})^2}{2 \times 10} = \frac{4 \times 10^{-6}}{20} = 2 \times 10^{-7} \ m$.
કળા તફાવત $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x = \frac{2\pi}{6 \times 10^{-7}} \times 2 \times 10^{-7} = \frac{2\pi}{3}$.
તીવ્રતા $I = I_{max} \cos^2(\frac{\phi}{2}) = (4 I_0) \cos^2(\frac{2\pi/3}{2}) = 4 I_0 \cos^2(\frac{\pi}{3})$.
કારણ કે $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$,તેથી $I = 4 I_0 (\frac{1}{2})^2 = 4 I_0 \times \frac{1}{4} = I_0$.

(C) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં કોણીય ફ્રિન્જ પહોળાઈ $\theta$ નું સૂત્ર $\theta = \frac{\lambda}{d}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ વપરાયેલ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે અને $d$ એ બે સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે.
વિધાન $I$: કોણીય ફ્રિન્જ પહોળાઈ માત્ર તરંગલંબાઇ $\lambda$ અને સ્લિટના અંતર $d$ પર આધાર રાખે છે. તે પડદા અને સ્લિટ વચ્ચેના અંતર $D$ થી સ્વતંત્ર છે. તેથી,પડદાને દૂર ખસેડવાથી કોણીય અંતરમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી. આમ,વિધાન $I$ ખોટું છે.
વિધાન $II$: કારણ કે $\theta = \frac{\lambda}{d}$,કોણીય ફ્રિન્જ પહોળાઈ તરંગલંબાઇ $\lambda$ ના સીધા પ્રમાણમાં છે. જો સ્ત્રોતને વધુ તરંગલંબાઇ ધરાવતા સ્ત્રોત સાથે બદલવામાં આવે,તો $\theta$ વધશે. આમ,વિધાન $II$ સાચું છે.
નિષ્કર્ષ: વિધાન $I$ ખોટું છે અને વિધાન $II$ સાચું છે.

(C) યંગના ડબલ-સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta$ એ $\beta = \frac{D\lambda}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે ફ્રિન્જની પહોળાઈ સમાન છે,તેથી $\beta_1 = \beta_2$.
તેથી,$\frac{D_1 \lambda_1}{d_1} = \frac{D_2 \lambda_2}{d_2}$.
ગુણોત્તર $\frac{D_1}{D_2}$ શોધવા માટે પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\frac{D_1}{D_2} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1} \times \frac{d_1}{d_2}$ મળે છે.
સ્લિટના અંતરનો ગુણોત્તર $\frac{d_1}{d_2} = 2$ અને તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{1}{2}$ આપેલ છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = 2$.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{D_1}{D_2} = 2 \times 2 = 4$ મળે છે.

(B) આપેલ છે: સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર $d = 0.54$ mm $= 0.54 \times 10^{-3}$ m.
પડદાનું અંતર $D = 1.8$ m.
મધ્યસ્થ શલાકાથી $n$ મી પ્રકાશિત શલાકાનું અંતર $y_n = \frac{n\lambda D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$6$ ઠ્ઠી પ્રકાશિત શલાકા માટે,$n = 6$ અને $y_6 = 1.2$ cm $= 1.2 \times 10^{-2}$ m.
તરંગલંબાઈ $\lambda$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $\lambda = \frac{y_n d}{n D}$.
કિંમતો મૂકતા: $\lambda = \frac{1.2 \times 10^{-2} \times 0.54 \times 10^{-3}}{6 \times 1.8}$.
$\lambda = \frac{0.648 \times 10^{-5}}{10.8} = 0.06 \times 10^{-5}$ m.
$\lambda = 600 \times 10^{-9}$ m $= 600$ nm.

(B) આપેલ છે: સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર $d = 0.2 \text{ mm} = 2 \times 10^{-4} \text{ m}$.
પડદાનું અંતર $D = 2.0 \text{ m}$.
શલાકાનો ક્રમ $n = 3$.
$n^{th}$ પ્રકાશિત શલાકાનું અંતર $y_n = 1.5 \text{ cm} = 1.5 \times 10^{-2} \text{ m}$.
$n^{th}$ પ્રકાશિત શલાકાના સ્થાન માટેનું સૂત્ર $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ છે.
તરંગલંબાઇ $\lambda$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $\lambda = \frac{y_n d}{n D}$.
કિંમતો મૂકતા: $\lambda = \frac{1.5 \times 10^{-2} \times 2 \times 10^{-4}}{3 \times 2.0}$.
$\lambda = \frac{3 \times 10^{-6}}{6} = 0.5 \times 10^{-6} \text{ m}$.
એંગસ્ટ્રોમમાં ફેરવતા: $\lambda = 0.5 \times 10^{-6} \times 10^{10} \mathring{A} = 5000 \mathring{A}$.
આમ,વપરાયેલ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $5000 \mathring{A}$ છે.

(B) $mu$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમમાં શલાકાની પહોળાઈ $\beta$ નું સૂત્ર $\beta' = \frac{\beta}{\mu}$ છે.
અહીં પ્રારંભિક શલાકાની પહોળાઈ $\beta = 2.4 \text{ } \mu\text{m}$ અને નવા માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $\mu = 1.2$ આપેલ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા,$\beta' = \frac{2.4}{1.2} = 2 \text{ } \mu\text{m}$ મળે છે.
તેથી,નવી શલાકાની પહોળાઈ $2 \text{ } \mu\text{m}$ થશે.

(C) ધારો કે $I_s$ એ એક સ્લિટને કારણે મળતી તીવ્રતા છે.
પરિણામી તીવ્રતા $I_R$ નું સૂત્ર: $I_R = I_s + I_s + 2 \sqrt{I_s I_s} \cos \phi = 2I_s + 2I_s \cos \phi = 2I_s(1 + \cos \phi) = 4I_s \cos^2(\phi/2)$.
આપેલ છે કે $P$ બિંદુએ પરિણામી તીવ્રતા $I_R$ એ એક સ્લિટની તીવ્રતા $(I_s)$ જેટલી છે,તેથી:
$4I_s \cos^2(\phi/2) = I_s$
$\cos^2(\phi/2) = 1/4$
$\cos(\phi/2) = 1/2$
આનો અર્થ એ છે કે $\phi/2 = \pi/3$,તેથી કળા તફાવત $\phi = 2\pi/3$ થાય.
પથ તફાવત $\Delta x$ અને કળા તફાવત $\phi$ વચ્ચેનો સંબંધ $\Delta x = (\lambda / 2\pi) \phi$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\Delta x = (6000 \mathring{A} / 2\pi) \times (2\pi/3) = 2000 \mathring{A}$.

(C) વ્યતિકરણ ભાતમાં કોઈપણ બિંદુએ તીવ્રતા $I = I_{max} \cos^2(\frac{\phi}{2})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ કળા તફાવત છે.
આપેલ છે કે $I = \frac{3}{4} I_{max}$,તેથી $\frac{3}{4} I_{max} = I_{max} \cos^2(\frac{\phi}{2})$.
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા $\cos^2(\frac{\phi}{2}) = \frac{3}{4}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\cos(\frac{\phi}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
તેથી,$\frac{\phi}{2} = \frac{\pi}{6}$,જે કળા તફાવત $\phi = \frac{\pi}{3}$ આપે છે.
પથ તફાવત $\Delta x$ અને કળા તફાવત $\phi$ વચ્ચેનો સંબંધ $\Delta x = \frac{\lambda}{2\pi} \phi$ છે.
$\phi = \frac{\pi}{3}$ મૂકતા,આપણને $\Delta x = \frac{\lambda}{2\pi} \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{\lambda}{6}$ મળે છે.
આને $\frac{\lambda}{x}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 6$ મળે છે.

(C) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં પ્રકાશની તીવ્રતા $I = I_{max} \cos^2(\frac{\phi}{2})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ કળા તફાવત છે.
કળા તફાવત $\phi$ અને પથ તફાવત $\Delta x$ વચ્ચેનો સંબંધ $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ છે.
પથ તફાવત $\Delta x = \frac{\lambda}{3}$ માટે,કળા તફાવત $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{3} = \frac{2\pi}{3}$ થાય.
આ બિંદુએ તીવ્રતા $I_1 = I_{max} \cos^2(\frac{2\pi/3}{2}) = I_{max} \cos^2(\frac{\pi}{3}) = I_{max} (\frac{1}{2})^2 = \frac{I_{max}}{4}$ મળે.
આપેલ છે કે $I_1 = K$,તેથી $K = \frac{I_{max}}{4}$,જેનો અર્થ છે કે $I_{max} = 4K$.
પથ તફાવત $\Delta x = \lambda$ માટે,કળા તફાવત $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \lambda = 2\pi$ થાય.
આ બિંદુએ તીવ્રતા $I_2 = I_{max} \cos^2(\frac{2\pi}{2}) = I_{max} \cos^2(\pi) = I_{max} (-1)^2 = I_{max}$ મળે.
આમ,$I_{max} = 4K$ હોવાથી,પથ તફાવત $\lambda$ પર તીવ્રતા $4K$ થશે.