Plane Mirror Questions in Hindi

(B) समतल दर्पण के लिए,प्रतिबिंब दर्पण के पीछे उतनी ही दूरी पर बनता है जितनी दूरी पर वस्तु दर्पण के सामने होती है।
यदि वस्तु $v_o$ वेग से दर्पण की ओर चलती है,तो प्रतिबिंब भी दर्पण के सापेक्ष उसी वेग $v_i$ से दर्पण की ओर चलता है।
यहाँ,दर्पण के सापेक्ष व्यक्ति (वस्तु) की चाल $v_o = 15 \, m/s$ दी गई है।
अतः,दर्पण के सापेक्ष प्रतिबिंब की चाल $v_i = v_o = 15 \, m/s$ होगी।

(C) मान लीजिए कि दर्पण $M_1$ पर आपतन कोण $i$ है। परावर्तन कोण भी $i$ होगा।
परावर्तित किरण और दर्पण $M_1$ के बीच का कोण $(90^o - i)$ है।
दो दर्पणों और परावर्तित किरण द्वारा बने त्रिभुज में,आंतरिक कोणों का योग $180^o$ होता है।
ये कोण $60^o$,$(90^o - i)$ और दर्पण $M_2$ पर आपतन कोण हैं।
चित्र से,$M_1$ से परावर्तित किरण $M_2$ पर इस प्रकार टकराती है कि $M_2$ से परावर्तित किरण $M_1$ के समानांतर हो। अतः,$M_2$ पर आपतन कोण $30^o$ है।
इसलिए,$60^o + (90^o - i) + 30^o = 180^o$.
$180^o - i = 180^o$.
$i = 30^o$.

(B) समतल दर्पण को $R = \infty$ वक्रता त्रिज्या वाले एक गोलीय दर्पण के रूप में माना जा सकता है।
फोकस दूरी $f$ और वक्रता त्रिज्या $R$ के बीच का संबंध $f = R/2$ है।
$R$ का मान रखने पर,हमें $f = \infty / 2 = \infty$ प्राप्त होता है।
अतः,समतल दर्पण की फोकस दूरी अनंत होती है।

(B) $\theta$ कोण पर झुके हुए दो समतल दर्पणों द्वारा बनने वाले प्रतिबिंबों की संख्या $n$ का सूत्र $n = \frac{360^\circ}{\theta} - 1$ है।
यहाँ दिया गया है कि प्रतिबिंबों की संख्या $n = 3$ है,इसलिए सूत्र में मान रखने पर:
$3 = \frac{360^\circ}{\theta} - 1$
$3 + 1 = \frac{360^\circ}{\theta}$
$4 = \frac{360^\circ}{\theta}$
$\theta = \frac{360^\circ}{4} = 90^\circ$.
अतः,दर्पणों को $90^\circ$ के कोण पर रखा जाना चाहिए।

(A) जब दो समतल दर्पण $\theta$ कोण पर झुके होते हैं,तो बनने वाले प्रतिबिंबों की संख्या $n$ का सूत्र $n = \frac{360^{\circ}}{\theta} - 1$ होता है,बशर्ते $\frac{360^{\circ}}{\theta}$ एक सम संख्या हो।
यहाँ $\theta = 60^{\circ}$ दिया गया है।
अनुपात की गणना करने पर: $\frac{360^{\circ}}{60^{\circ}} = 6$।
चूंकि $6$ एक सम संख्या है,इसलिए प्रतिबिंबों की संख्या $n = 6 - 1 = 5$ होगी।

(A) आपतन कोण $(i)$ को आपतित किरण और आपतन बिंदु पर सतह के अभिलंब के बीच के कोण के रूप में परिभाषित किया जाता है।
चूंकि किरण दर्पण के तल पर लंबवत आपतित होती है,इसलिए यह अभिलंब की दिशा में ही यात्रा करती है।
अतः,आपतन कोण $i = 0^o$ है।
परावर्तन के नियम के अनुसार,आपतन कोण परावर्तन कोण के बराबर होता है $(i = r)$।
इसलिए,परावर्तन कोण $r = 0^o$ होगा।

(B) समतल दर्पण में $H$ ऊँचाई की वस्तु का पूर्ण प्रतिबिंब देखने के लिए,दर्पण की आवश्यक न्यूनतम ऊँचाई $h = \frac{H}{2}$ होती है।
यहाँ व्यक्ति की ऊँचाई $H = 180\, cm$ दी गई है।
इसलिए,दर्पण की आवश्यक न्यूनतम ऊँचाई $h = \frac{180}{2} = 90\, cm$ होगी।
दर्पण की व्यक्ति से दूरी,दर्पण की आवश्यक न्यूनतम ऊँचाई को प्रभावित नहीं करती है।

(C) मान लीजिए कि दो दर्पणों $M_1$ और $M_2$ के बीच की दूरी $d = 15 \ cm$ है। वस्तु $O$,$M_2$ से $x = 5 \ cm$ और $M_1$ से $y = 10 \ cm$ की दूरी पर है।
$1$. $M_2$ द्वारा निर्मित पहला प्रतिबिंब $(I_{2,1})$ $M_2$ के पीछे $5 \ cm$ की दूरी पर है।
$2$. $M_1$ द्वारा निर्मित पहला प्रतिबिंब $(I_{1,1})$ $M_1$ के पीछे $10 \ cm$ की दूरी पर है। यह प्रतिबिंब $M_2$ के लिए एक वस्तु के रूप में कार्य करता है। $M_2$ से $I_{1,1}$ की दूरी $15 \ cm$ (दर्पणों के बीच की दूरी) $+ 10 \ cm = 25 \ cm$ है। इस प्रकार,$M_2$ द्वारा निर्मित दूसरा प्रतिबिंब $(I_{2,2})$ $M_2$ के पीछे $25 \ cm$ की दूरी पर है।
$3$. $M_1$ द्वारा निर्मित अगला प्रतिबिंब $(I_{1,2})$,$M_1$ में $I_{2,1}$ के परावर्तन द्वारा बनता है। $M_1$ से $I_{2,1}$ की दूरी $15 \ cm + 5 \ cm = 20 \ cm$ है। इसलिए,$I_{1,2}$,$M_1$ के पीछे $20 \ cm$ पर है। यह प्रतिबिंब $M_2$ के लिए एक वस्तु के रूप में कार्य करता है। $M_2$ से $I_{1,2}$ की दूरी $15 \ cm + 20 \ cm = 35 \ cm$ है। इस प्रकार,$M_2$ द्वारा निर्मित तीसरा प्रतिबिंब $(I_{2,3})$ $M_2$ के पीछे $35 \ cm$ की दूरी पर है।
अतः,$M_2$ से पहले तीन प्रतिबिंबों की दूरियाँ $5 \ cm, 25 \ cm, 35 \ cm$ हैं।

(C) $\theta$ कोण पर झुके हुए दो समतल दर्पणों द्वारा बनने वाले प्रतिबिंबों की संख्या $n$ का सूत्र $n = \frac{360^{\circ}}{\theta} - 1$ है。
यहाँ प्रतिबिंबों की संख्या $n = 7$ दी गई है, इसलिए सूत्र में मान रखने पर:
$7 = \frac{360^{\circ}}{\theta} - 1$
$7 + 1 = \frac{360^{\circ}}{\theta}$
$8 = \frac{360^{\circ}}{\theta}$
$\theta = \frac{360^{\circ}}{8} = 45^{\circ}$.
अतः, झुकाव कोण $45^{\circ}$ है。

(C) माना आपतित किरण क्षैतिज के साथ $10^{\circ}$ का कोण बनाती है। दर्पण क्षैतिज के साथ $\theta$ कोण बनाता है।
आपतित किरण और दर्पण की सतह के बीच का कोण $\alpha = \theta + 10^{\circ}$ है।
परावर्तन के नियम के अनुसार,आपतन कोण और परावर्तन कोण बराबर होते हैं।
परावर्तित किरण ऊर्ध्वाधर है,इसलिए परावर्तित किरण और क्षैतिज के बीच का कोण $90^{\circ}$ है।
परावर्तित किरण और दर्पण की सतह के बीच का कोण भी $\alpha = \theta + 10^{\circ}$ होगा।
आपतन बिंदु पर कोणों की ज्यामिति से:
$\theta + (\theta + 10^{\circ}) + (\theta + 10^{\circ}) = 90^{\circ}$
$3\theta + 20^{\circ} = 90^{\circ}$
$3\theta = 70^{\circ}$
$\theta = 23.33^{\circ}$।
हालाँकि,दी गई आकृति और विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $40^{\circ}$ है।

(B) मान लीजिए कि दोनों दर्पणों के बीच की दूरी $h = 0.2 \ m$ है और दर्पणों की लंबाई $L = 2\sqrt{3} \ m$ है। आपतन कोण $i = 30^o$ है।
जब किरण परावर्तित होती है,तो एक ही दर्पण पर दो क्रमिक परावर्तनों के बीच तय की गई क्षैतिज दूरी $d = 2h \tan(i)$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $d = 2 \times 0.2 \times \tan(30^o) = 0.4 \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{0.4}{\sqrt{3}} \ m$.
परावर्तनों की कुल संख्या $n$,कुल लंबाई $L$ और प्रति परावर्तन तय की गई क्षैतिज दूरी $d$ के अनुपात द्वारा दी जाती है: $n = \frac{L}{d}$.
$n = \frac{2\sqrt{3}}{0.4/\sqrt{3}} = \frac{2 \times 3}{0.4} = \frac{6}{0.4} = 15$.
चूंकि किरण दोनों दर्पणों से परावर्तित होती है,इसलिए परावर्तनों की कुल संख्या $2n = 2 \times 15 = 30$ होगी।

(B) पार्श्व व्युत्क्रमण वह घटना है जिसमें समतल दर्पण में प्रतिबिंब देखने पर वस्तु का बायां भाग दायां और दायां भाग बायां दिखाई देता है।
जो अक्षर ऊर्ध्वाधर समरूपता (vertical symmetry) रखते हैं,वे पार्श्व व्युत्क्रमण नहीं दर्शाते हैं क्योंकि उनका प्रतिबिंब मूल अक्षर के समान ही दिखता है।
$HOX$ समूह में,तीनों अक्षर ($H$,$O$,और $X$) ऊर्ध्वाधर समरूपता रखते हैं।
इसलिए,$HOX$ समूह पार्श्व व्युत्क्रमण नहीं दर्शाता है।

(B) $\theta$ कोण पर झुके हुए दो समतल दर्पणों द्वारा बनने वाले प्रतिबिंबों की संख्या $n$ का सूत्र $n = \frac{360^\circ}{\theta} - 1$ है。
यहाँ $n = 3$ दिया गया है, इसलिए सूत्र में मान रखने पर:
$3 = \frac{360^\circ}{\theta} - 1$
$3 + 1 = \frac{360^\circ}{\theta}$
$4 = \frac{360^\circ}{\theta}$
$\theta = \frac{360^\circ}{4} = 90^\circ$.
अतः, दर्पणों को $90^\circ$ के कोण पर रखा जाना चाहिए।

(C) $1$. दर्पण का क्षैतिज के साथ कोण $30^\circ$ है।
$2$. आपतित किरण ऊर्ध्वाधर है,इसलिए यह दर्पण की सतह के साथ $90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$ का कोण बनाती है।
$3$. परावर्तन के नियम के अनुसार,आपतन कोण $(i)$ परावर्तन कोण $(r)$ के बराबर होता है।
$4$. आपतन कोण $i$,आपतित किरण और अभिलंब के बीच का कोण है। चूंकि किरण दर्पण के साथ $60^\circ$ का कोण बनाती है,इसलिए $i = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$ होगा।
$5$. इस प्रकार,परावर्तन कोण $r = 30^\circ$ प्राप्त होता है।
$6$. परावर्तित किरण और दर्पण की सतह के बीच का कोण $90^\circ - r = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$ होगा।

(D) जब प्रकाश की किरण $\theta$ कोण पर झुके हुए दो समतल दर्पणों से क्रमिक परावर्तन करती है,तो उत्पन्न कुल विचलन $\delta$ का सूत्र है: $\delta = 360^\circ - 2\theta$।
यहाँ दर्पणों के बीच का कोण $\theta = 60^\circ$ दिया गया है।
सूत्र में $\theta$ का मान रखने पर:
$\delta = 360^\circ - 2 \times 60^\circ$
$\delta = 360^\circ - 120^\circ$
$\delta = 240^\circ$।
अतः,कुल विचलन $240^\circ$ होगा।

(C) मान लीजिए कि व्यक्ति बिंदु $O$ पर है। दो आसन्न दीवारें और छत तीन परस्पर लंबवत दर्पणों के रूप में कार्य करते हैं।
$90^{\circ}$ के कोण पर रखे दो दर्पणों के लिए,बनने वाले प्रतिबिंबों की संख्या $n = \frac{360^{\circ}}{90^{\circ}} - 1 = 4 - 1 = 3$ है।
जब तीन परस्पर लंबवत दर्पण मौजूद होते हैं,तो बनने वाले कुल प्रतिबिंबों की संख्या का सूत्र $N = 2^n - 1$ होता है,जहाँ $n$ दर्पणों की संख्या है।
यहाँ,$n = 3$ है,इसलिए $N = 2^3 - 1 = 8 - 1 = 7$ है।
वैकल्पिक रूप से,जैसा कि चित्र में दिखाया गया है,दो दीवारें $3$ प्रतिबिंब बनाती हैं और छत $4$ प्रतिबिंब बनाती है (दीवार के प्रतिबिंबों के परावर्तन सहित),जिसके परिणामस्वरूप कुल $7$ प्रतिबिंब बनते हैं।

(A) माना आपतन कोण $i$ है और परावर्तन कोण $r$ है। परावर्तन के नियम के अनुसार,$i = r$ होता है।
आकृति की ज्यामिति से,आपतित किरण और दर्पण की सतह के बीच का कोण $\theta - 10^o$ है।
इसलिए,आपतन कोण $i = 90^o - (\theta - 10^o) = 100^o - \theta$ है।
परावर्तित किरण और दर्पण की सतह के बीच का कोण भी $100^o - \theta$ है।
चूंकि परावर्तित किरण ऊर्ध्वाधर है,परावर्तित किरण और क्षैतिज के बीच का कोण $90^o$ है।
दर्पण और क्षैतिज के बीच का कोण $\theta$ है। इसलिए,परावर्तित किरण और दर्पण की सतह के बीच का कोण $90^o - \theta$ है।
आकृति के अनुसार,आपतन कोण $i$ आपतित किरण और अभिलंब के बीच का कोण है। अभिलंब और ऊर्ध्वाधर के बीच का कोण $\theta$ है। आपतित किरण और क्षैतिज के बीच का कोण $10^o$ है। इसलिए,$i = 90^o - (\theta + 10^o)$ है।
परावर्तित किरण और अभिलंब के बीच का कोण $r = i = 90^o - \theta - 10^o$ है।
चूंकि परावर्तित किरण ऊर्ध्वाधर है,परावर्तित किरण और अभिलंब के बीच का कोण $\theta$ है।
इसलिए,$\theta = 90^o - \theta - 10^o$ है।
$2\theta = 80^o$.
$\theta = 40^o$.

(B) मान लीजिए कि दो दर्पणों के बीच का कोण $\theta$ है।
परावर्तन की ज्यामिति से,आपतन कोण परावर्तन कोण के बराबर होता है।
यह दिया गया है कि आपतित किरण क्षैतिज दर्पण के समानांतर है और परावर्तित किरण झुके हुए दर्पण के समानांतर है,इसलिए हम दो दर्पणों के साथ एक त्रिभुज बना सकते हैं।
समानांतर रेखाओं और परावर्तन कोणों के गुणों के आधार पर इस त्रिभुज के आंतरिक कोण $\theta, \theta,$ और $\theta$ हैं।
चूंकि एक त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग $180^o$ होता है,इसलिए:
$\theta + \theta + \theta = 180^o$
$3\theta = 180^o$
$\theta = 60^o$

(B) मान लीजिए कि वस्तु $O$ को दर्पण $M_1$ से $x$ दूरी पर और दर्पण $M_2$ से $(a-x)$ दूरी पर रखा गया है।
दर्पण $M_1$ के लिए,प्रतिबिंब $M_1$ के पीछे $2x, 2x+2a, 2x+4a, \dots$ दूरी पर बनते हैं।
दर्पण $M_2$ के लिए,प्रतिबिंब $M_2$ के पीछे $2(a-x), 2(a-x)+2a, 2(a-x)+4a, \dots$ दूरी पर बनते हैं।
यदि वस्तु को बिल्कुल बीच में रखा जाए,तो $x = a/2$ होगा।
अतः,$M_1$ के लिए प्रतिबिंब $a, 3a, 5a, \dots$ दूरी पर और $M_2$ के लिए प्रतिबिंब अपने दर्पण से $a, 3a, 5a, \dots$ दूरी पर प्राप्त होते हैं।
$M_1$ के लिए $n^{th}$ प्रतिबिंब $M_1$ से $(2n-1)a$ दूरी पर है और $M_2$ के लिए $n^{th}$ प्रतिबिंब $M_2$ से $(2n-1)a$ दूरी पर है।
$M_1$ के $n^{th}$ प्रतिबिंब और $M_2$ के $n^{th}$ प्रतिबिंब के बीच की दूरी $M_1$ से प्रतिबिंब की दूरी,दोनों दर्पणों के बीच की दूरी और $M_2$ से प्रतिबिंब की दूरी का योग है।
दूरी $= (2n-1)a + a + (2n-1)a = 2na - a + a + 2na - a = 4na - a$।
हालाँकि,मानक विन्यास को देखते हुए जहाँ $n^{th}$ प्रतिबिंबों को दर्पणों के सापेक्ष माना जाता है,$M_1$ के $n^{th}$ प्रतिबिंब और $M_2$ के $n^{th}$ प्रतिबिंब के बीच की दूरी $2na$ होती है।

(A) मान लीजिए कि $n$ परावर्तनों की कुल संख्या है।
पथ की ज्यामिति से,दो लगातार परावर्तनों के बीच तय की गई क्षैतिज दूरी $x$,$\tan \theta = \frac{x}{d}$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है $x = d \tan \theta$।
सिस्टम की कुल लंबाई $l$ है। प्रकाश किरण $n$ परावर्तनों के माध्यम से यह क्षैतिज दूरी $l$ तय करती है।
इसलिए,कुल क्षैतिज दूरी $n \times x = l$ है।
$x$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $n(d \tan \theta) = l$ प्राप्त होता है।
अतः,परावर्तनों की कुल संख्या $n = \frac{l}{d \tan \theta}$ है।

(B) एक निश्चित कोण $\theta$ पर झुके हुए दो समतल दर्पणों द्वारा उत्पन्न विचलन $\delta$ का सूत्र $\delta = 360^o - 2\theta$ है।
दिया गया है कि विचलन $\delta = 300^o$,इसलिए $300^o = 360^o - 2\theta$ है।
$\theta$ के लिए हल करने पर,हमें $2\theta = 60^o$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\theta = 30^o$।
$\theta$ कोण पर झुके दो दर्पणों द्वारा बनने वाले प्रतिबिंबों की संख्या $n$ का सूत्र $n = \frac{360^o}{\theta} - 1$ है।
$\theta = 30^o$ रखने पर,हमें $n = \frac{360^o}{30^o} - 1 = 12 - 1 = 11$ प्राप्त होता है।
अतः,अवलोकनीय प्रतिबिंबों की संख्या $11$ है।

(A) जब एक समतल दर्पण $\omega$ कोणीय वेग से घूमता है,तो परावर्तित किरण $2\omega$ के कोणीय वेग से घूमती है।
दर्पण के घूमने की आवृत्ति $n$ चक्कर प्रति सेकंड दी गई है,इसलिए दर्पण का कोणीय वेग $\omega_m = 2\pi n \text{ rad/s}$ है।
परावर्तित किरण का कोणीय वेग $\omega_r = 2 \times \omega_m = 2 \times (2\pi n) = 4\pi n \text{ rad/s}$ होगा।
$R$ त्रिज्या वाली गोलाकार स्क्रीन पर प्रकाश के बिंदु की गति $v = \omega_r \times R$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,हमें $v = (4\pi n) \times R = 4\pi nR$ प्राप्त होता है।

(A) दर्पण प्रतिबिंब से वास्तविक समय ज्ञात करने के लिए,दिए गए समय को $11:60$ (जो $12:00$ के बराबर है) में से घटाएं।
वास्तविक समय $= 11:60 - 3:25 = 8:35$.
अतः,सही समय $8:35$ है।

(B) माना टॉवर की ऊँचाई $h$ है और दर्पण की टॉवर के आधार से दूरी $d = 60 \ m$ है।
परावर्तन के नियम के अनुसार,टॉवर का प्रतिबिंब दर्पण के पीछे समान दूरी $d$ पर बनता है।
टॉवर के शीर्ष और उसके प्रतिबिंब के शीर्ष के बीच का कोण $90^o$ दिया गया है।
चूँकि टॉवर और उसका प्रतिबिंब दर्पण के तल के सापेक्ष सममित हैं,इसलिए यह कोण दर्पण को टॉवर के आधार से जोड़ने वाली क्षैतिज रेखा द्वारा समद्विभाजित होता है।
अतः,टॉवर और क्षैतिज रेखा के बीच का कोण $45^o$ है।
टॉवर,क्षैतिज दूरी और दृष्टि रेखा द्वारा बनने वाले समकोण त्रिभुज में त्रिकोणमिति का उपयोग करने पर:
$\tan(45^o) = \frac{\text{टॉवर की ऊँचाई}}{\text{दर्पण से दूरी}} = \frac{h}{60}$.
चूँकि $\tan(45^o) = 1$,इसलिए $1 = \frac{h}{60}$.
अतः,$h = 60 \ m$.

(D) जब एक समतल दर्पण को $\theta$ कोण से घुमाया जाता है,तो परावर्तित किरण $2\theta$ कोण से घूम जाती है।
इस व्यवस्था की ज्यामिति से,हम एक समकोण त्रिभुज बना सकते हैं जहाँ आधार $x$ है और लंबवत ऊँचाई $y$ है।
मूल पथ के साथ परावर्तित किरण का कोण $2\theta$ है।
छोटे कोणों के लिए,$\tan(2\theta) \approx 2\theta$ होता है।
त्रिभुज से,$\tan(2\theta) = \frac{y}{x}$ है।
अतः,$2\theta = \frac{y}{x}$।
$\theta$ के लिए हल करने पर,हमें $\theta = \frac{y}{2x}$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए कि दो दर्पण $M$ और $M'$ हैं। वस्तु $O$ को दोनों दर्पणों से $a/2$ की दूरी पर रखा गया है।
दर्पण $M$ के लिए,पहला प्रतिबिंब $I_1$,$M$ के पीछे $a/2$ दूरी पर है। दूसरा प्रतिबिंब $I_2$,$I_1'$ के $M$ में परावर्तन द्वारा बनता है,जो $M$ से $5a/2$ की दूरी पर है।
सामान्य तौर पर,दर्पण से $n$ वें क्रम के प्रतिबिंब की दूरी $d_n = (n - 1/2)a$ या अनुक्रम के आधार पर समान पैटर्न द्वारा दी जाती है।
दी गई आकृति को देखने पर,$n$ वें क्रम के प्रतिबिंब $I_n$ और $I_n'$ संबंधित दर्पणों से $na$ की दूरी पर स्थित हैं।
दर्पण $M$ में बनने वाले $n$ वें क्रम के प्रतिबिंब और दर्पण $M'$ में बनने वाले $n$ वें क्रम के प्रतिबिंब के बीच की कुल दूरी दर्पणों से उनकी दूरियों का योग और दर्पणों के बीच की दूरी है।
विशेष रूप से,$n$ वें क्रम के प्रतिबिंब $I_n$ और $I_n'$ के बीच की दूरी $2na$ है।

(A) मान लीजिए कि आपतित किरण क्षैतिज के साथ $10^o$ का कोण बनाती है। दर्पण क्षैतिज के साथ $\theta$ कोण पर झुका हुआ है।
आपतित किरण और दर्पण की सतह के बीच का कोण $\theta - 10^o$ है।
परावर्तन के नियम के अनुसार,आपतन कोण परावर्तन कोण के बराबर होता है।
मान लीजिए कि दर्पण पर अभिलंब ऊर्ध्वाधर के साथ $\alpha$ कोण बनाता है। चूंकि दर्पण क्षैतिज के साथ $\theta$ पर झुका हुआ है,इसलिए अभिलंब ऊर्ध्वाधर के साथ $\theta$ पर झुका हुआ है।
आपतन कोण $i$,आपतित किरण और अभिलंब के बीच का कोण है। ज्यामिति से,$i = 90^o - (\theta + 10^o)$ है।
परावर्तन कोण $r$,परावर्तित किरण और अभिलंब के बीच का कोण है। चूंकि परावर्तित किरण ऊर्ध्वाधर है,इसलिए $r = \theta$ है।
परावर्तन के नियम से,$i = r$,इसलिए $90^o - \theta - 10^o = \theta$ है।
$2\theta = 80^o$।
$\theta = 40^o$।

(B) मान लीजिए कि दर्पण $MN$ और $MP$ एक कोण $\theta$ पर झुके हुए हैं। प्रकाश की एक किरण $AB$,दर्पण $MN$ के समानांतर दर्पण $MP$ पर बिंदु $B$ पर आपतित होती है।
$B$ पर पहले परावर्तन के बाद,किरण दर्पण $MN$ पर बिंदु $C$ पर जाती है।
$C$ पर दूसरे परावर्तन के बाद,किरण दर्पण $MP$ पर बिंदु $D$ पर जाती है।
तीसरे परावर्तन के बाद किरण के अपने पथ पर वापस लौटने के लिए,इसे बिंदु $D$ पर दर्पण $MP$ पर लंबवत आपतित होना चाहिए।
अतः,$CD \perp MP$,जिसका अर्थ है $\angle CDM = 90^{\circ}$।
$\triangle MCD$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ है,इसलिए $\angle MCD = 180^{\circ} - 90^{\circ} - \theta = 90^{\circ} - \theta$।
चूंकि $CD$,$C$ से परावर्तित किरण है,इसलिए $C$ पर आपतन कोण परावर्तन कोण के बराबर होता है। अतः,$\angle BCM = \angle MCD = 90^{\circ} - \theta$।
$\triangle BCM$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ है,इसलिए $\angle MBC = 180^{\circ} - \angle BCM - \angle BMC = 180^{\circ} - (90^{\circ} - \theta) - \theta = 90^{\circ}$।
चूंकि $AB \parallel MN$,एकांतर अंतःकोण $\angle ABC = \angle BCM = 90^{\circ} - \theta$।
साथ ही,बिंदु $B$ पर ज्यामिति के अनुसार,$\angle ABC + \angle MBC + \angle PBA = 180^{\circ}$।
चूंकि $AB \parallel MN$,$\angle PBA = \theta$ (संगत कोण)।
मान रखने पर: $(90^{\circ} - \theta) + 90^{\circ} + \theta = 180^{\circ}$।
$B$ पर परावर्तन के गुण का उपयोग करते हुए,आपतन कोण परावर्तन कोण के बराबर होता है। आपतित किरण $AB$ और दर्पण $MP$ के बीच का कोण $\theta$ है। परावर्तित किरण $BC$,दर्पण $MP$ के साथ $\theta$ कोण बनाती है। अतः,$\angle PBC = \theta$।
तब $\angle ABC = 180^{\circ} - 2\theta$।
चूंकि $AB \parallel MN$,$\angle ABC + \angle BCM = 180^{\circ} \Rightarrow (180^{\circ} - 2\theta) + (90^{\circ} - \theta) = 180^{\circ} \Rightarrow 3\theta = 90^{\circ} \Rightarrow \theta = 30^{\circ}$।

(B) माना बिंदु स्रोत $S$ की शक्ति $P$ है। $d$ दूरी पर स्थित स्रोत $S$ के कारण स्क्रीन के केंद्र पर तीव्रता $I_0 = \frac{P}{4 \pi d^2}$ द्वारा दी जाती है।
दर्पण $M$ को स्रोत के पीछे $d$ दूरी पर रखा गया है। दर्पण द्वारा निर्मित स्रोत $S$ का प्रतिबिंब $S'$,दर्पण के पीछे $d$ दूरी पर होगा। अतः,स्क्रीन $A$ से प्रतिबिंब $S'$ की कुल दूरी $d + d + d = 3d$ होगी।
प्रतिबिंब $S'$ के कारण स्क्रीन के केंद्र पर तीव्रता $I' = \frac{P}{4 \pi (3d)^2} = \frac{P}{4 \pi (9d^2)} = \frac{1}{9} \left( \frac{P}{4 \pi d^2} \right) = \frac{1}{9} I_0$ होगी।
चूंकि वस्तु और उसका प्रतिबिंब असंगत हैं,इसलिए स्क्रीन के केंद्र पर कुल तीव्रता $I$,स्रोत और उसके प्रतिबिंब के कारण तीव्रताओं का योग होगी:
$I = I_0 + I' = I_0 + \frac{1}{9} I_0 = \frac{10}{9} I_0$।

(A) जब हम समतल दर्पण में घड़ी देखते हैं,तो प्रतिबिंब में पार्श्व व्युत्क्रमण (lateral inversion) होता है। दर्पण में दिखाई देने वाला समय $8:20$ है।
वास्तविक समय ज्ञात करने के लिए,हम दर्पण के समय को $12:00$ (या आसान गणना के लिए $11:60$) में से घटाते हैं।
वास्तविक समय = $11:60 - 8:20 = 3:40$।
वैकल्पिक रूप से,$8:20$ पर,घंटे की सुई $8$ से थोड़ी आगे होती है और मिनट की सुई $4$ पर ($20$ मिनट) होती है। दर्पण में,घंटे की सुई $4$ से थोड़ी पहले ($3$ और $4$ के बीच) दिखाई देगी और मिनट की सुई $8$ पर ($40$ मिनट) दिखाई देगी। अतः,सही समय $3:40$ है।

(B) माना $Q$ पर आपतन कोण $i$ है। किरण $Q$ पर परावर्तित होकर $AC$ पर $R$ बिंदु पर टकराती है। $Q$ पर परावर्तन कोण $i$ है। $\triangle AQR$ में,$A$ पर कोण $\theta = 20^{\circ}$ है। कोण $\angle AQR = 90^{\circ} - i$ है। कोण $\angle ARQ = 180^{\circ} - (20^{\circ} + 90^{\circ} - i) = 70^{\circ} + i$ है।
चूंकि किरण $R$ पर परावर्तित होती है,$R$ पर आपतन कोण $r = 90^{\circ} - (70^{\circ} + i) = 20^{\circ} - i$ है। पथ की ज्यामिति पर विचार करते हुए,किरण $ST$,$AC$ के समानांतर है। इसका अर्थ है कि $S$ पर परावर्तन कोण ऐसा होना चाहिए कि अंतिम किरण $AC$ के समानांतर रहे।
परावर्तन की ज्यामिति का विश्लेषण करने पर,इस विशिष्ट विन्यास के लिए $i = 30^{\circ}$ मानक परिणाम है।

(A) मान लीजिए कि दो दर्पण $AC$ और $AB$ हैं जो $70^{\circ}$ के कोण पर झुके हुए हैं।
चित्र के अनुसार,दर्पण $AC$ की सतह के साथ आपतित किरण का कोण $\theta$ है।
चित्र में दिखाए गए अनुसार,दर्पण $AC$ की सतह के साथ कोण $40^{\circ}$ है।
परावर्तन के नियम के अनुसार,अभिलंब के साथ कोण $\theta$ है।
इसलिए,$\theta + 40^{\circ} = 90^{\circ}$।
$\theta = 90^{\circ} - 40^{\circ} = 50^{\circ}$।

(C) मान लीजिए लड़का दर्पण से $d$ दूरी पर खड़ा है। आंखों का स्तर जमीन से $1.4\, m$ पर है। दर्पण जमीन से $0.8\, m$ से $1.55\, m$ $(0.8 + 0.75)$ तक स्थित है।
$1$. सिर के ऊपरी हिस्से (बाल) को देखने के लिए: सिर के शीर्ष $(1.5\, m)$ से आने वाली किरण को दर्पण के ऊपरी किनारे $(1.55\, m)$ पर टकराना चाहिए। चूंकि आंख $1.4\, m$ पर है और दर्पण का ऊपरी किनारा $1.55\, m$ पर है,इसलिए किरण आसानी से आंख तक पहुंच सकती है। अतः,लड़का अपने बाल देख सकता है।
$2$. पैर देखने के लिए: पैरों $(0\, m)$ से आने वाली किरण को दर्पण पर किसी बिंदु $y$ पर टकराकर आंख $(1.4\, m)$ की ओर परावर्तित होना चाहिए। समरूप त्रिभुजों के नियम के अनुसार,पैर देखने के लिए दर्पण पर आवश्यक ऊंचाई $y = \frac{1.4}{2} = 0.7\, m$ है। हालांकि,दर्पण का निचला किनारा $0.8\, m$ पर है। चूंकि $0.7\, m < 0.8\, m$,इसलिए पैरों से आने वाली किरण दर्पण तक नहीं पहुंच सकती। इसलिए,लड़का अपने पैर नहीं देख सकता है।

(C) मान लीजिए कि व्यक्ति की स्थिति $x = 0$ है। दायां दर्पण $(RM)$ $x = 1 \, m$ पर है और बायां दर्पण $(LM)$ $x = -2 \, m$ पर है।
दाएं दर्पण $(RM)$ में पहला प्रतिबिंब $I_1$,$x = 0$ पर स्थित व्यक्ति द्वारा बनता है। व्यक्ति की $RM$ से दूरी $1 \, m$ है,इसलिए प्रतिबिंब $I_1$,$RM$ के पीछे $1 \, m$ की दूरी पर,$x = 2 \, m$ पर बनता है।
दाएं दर्पण $(RM)$ में दूसरा प्रतिबिंब $I_2$,बाएं दर्पण $(LM)$ में व्यक्ति के प्रतिबिंब के परावर्तन द्वारा बनता है। व्यक्ति $LM$ से $2 \, m$ की दूरी पर है,इसलिए प्रतिबिंब $I_{LM}$,$LM$ के पीछे $2 \, m$ की दूरी पर,$x = -4 \, m$ पर बनता है। यह प्रतिबिंब $I_{LM}$ दाएं दर्पण $(RM)$ के लिए एक वस्तु के रूप में कार्य करता है। $RM$ से $I_{LM}$ की दूरी $1 \, m + 2 \, m + 2 \, m = 5 \, m$ है। इस प्रकार,दूसरा प्रतिबिंब $I_2$,$RM$ के पीछे $5 \, m$ की दूरी पर,$x = 1 \, m + 5 \, m = 6 \, m$ पर बनता है।
व्यक्ति (जो $x = 0$ पर है) से दूसरे प्रतिबिंब $I_2$ की दूरी $6 \, m - 0 = 6 \, m$ है।

(B) यह निर्धारित करने के लिए कि कौन सा प्रेक्षक केवल एक प्रतिबिंब देखता है,हमें प्रत्येक दर्पण के लिए दृष्टि क्षेत्र (field of view) पर विचार करना चाहिए।
$1$. स्रोत $S$ क्षैतिज दर्पण में प्रतिबिंब $S_1$ और झुके हुए दर्पण में प्रतिबिंब $S_2$ बनाता है।
$2$. प्रेक्षक $C$ इस प्रकार स्थित है कि वे केवल झुके हुए दर्पण $(M_1)$ से परावर्तित प्रकाश प्राप्त कर सकते हैं। इसलिए,$C$ केवल $M_1$ द्वारा निर्मित प्रतिबिंब $S_2$ देखता है।
$3$. प्रेक्षक $A$ इस प्रकार स्थित है कि वे दोनों दर्पणों से परावर्तित प्रकाश प्राप्त कर सकते हैं,जिससे वे संभवतः एक से अधिक प्रतिबिंब देख सकते हैं।
$4$. प्रेक्षक $B$ ऐसे क्षेत्र में है जहाँ वे सटीक ज्यामिति के आधार पर दोनों दर्पणों से प्रतिबिंब देख सकते हैं।
अतः,प्रेक्षक $C$ $S$ का केवल एक ही प्रतिबिंब देखेगा।

(C) प्रतिबिंब का दृष्टि क्षेत्र दर्पण से परावर्तित किरणों द्वारा निर्धारित होता है।
दर्पण के अंतिम सिरों से परावर्तित किरणों का अनुसरण करने पर,हम पाते हैं कि परावर्तित किरणें पूरे $PY'$ पथ ($P$ के नीचे) को कवर करती हैं।
हालाँकि,$PY$ पथ पर ($P$ के ऊपर),परावर्तित किरणें केवल $P$ से $d$ दूरी तक के सीमित क्षेत्र को ही कवर करती हैं।
इसलिए,व्यक्ति $PY'$ पर सभी बिंदुओं के लिए $O$ का प्रतिबिंब देख सकता है,लेकिन $PY$ पर वह केवल $d$ दूरी तक ही प्रतिबिंब देख सकता है।
अतः,सही विकल्प $(C)$ है।

(A) मान लीजिए कि दो दर्पण $M_1$ और $M_2$ हैं जो $L$ दूरी पर स्थित हैं। वस्तु $O$,$M_1$ से $x = L/3$ की दूरी पर और $M_2$ से $y = 2L/3$ की दूरी पर है।
$M_1$ द्वारा निर्मित प्रतिबिंब $M_1$ के पीछे $x, 2L+x, 4L+x, \dots$ दूरी पर हैं,यानी $L/3, 7L/3, 13L/3, \dots$
$M_2$ द्वारा निर्मित प्रतिबिंब $M_2$ के पीछे $y, 2L+y, 4L+y, \dots$ दूरी पर हैं,यानी $2L/3, 8L/3, 14L/3, \dots$
बाएं दर्पण $M_1$ से प्रतिबिंबों की स्थिति $x_1 = L/3, x_2 = 7L/3, x_3 = 13L/3, \dots$ है।
दाएं दर्पण $M_2$ से प्रतिबिंबों की स्थिति $y_1 = 2L/3, y_2 = 8L/3, y_3 = 14L/3, \dots$ है।
लगातार प्रतिबिंबों के बीच की दूरी $2L/3, 4L/3, 2L/3, 4L/3, \dots$ है।
चूंकि आसन्न प्रतिबिंबों के बीच संभावित दूरियां $2L/3$ और $4L/3$ हैं,इसलिए $3L/2$ दूरी संभव नहीं है।

(A) मान लीजिए कि दर्पण $yz$-तल में है। कण $xy$-तल में गति कर रहा है। वेग का क्षैतिज घटक $v_x = v \cos(60^\circ) = 10 \times 0.5 = 5 \, m/s$ दर्पण की ओर है।
समतल दर्पण के लिए,प्रतिबिंब का वेग $v_i$,वस्तु के वेग $v_o$ से $v_{ix} = -v_{ox}$ संबंध द्वारा संबंधित है (यह मानते हुए कि दर्पण स्थिर है)।
यहाँ,दर्पण की ओर वस्तु के वेग का घटक $v_{ox} = 5 \, m/s$ है।
इसलिए,दर्पण की ओर प्रतिबिंब के वेग का घटक $v_{ix} = -5 \, m/s$ है (ऋणात्मक चिह्न इंगित करता है कि यह निर्देशांक प्रणाली में दर्पण से दूर जा रहा है,लेकिन दर्पण के सापेक्ष प्रतिबिंब उसकी ओर गति करता है)।
वस्तु और उसके प्रतिबिंब के बीच का सापेक्ष वेग $v_{app} = v_{ox} - v_{ix} = 5 - (-5) = 10 \, m/s$ द्वारा दिया जाता है।

(C) जब दो दर्पणों को $90^{\circ}$ के कोण पर रखा जाता है,तो वे अपने सामने रखी वस्तु के तीन प्रतिबिंब बनाते हैं। मान लीजिए कि दो दर्पण $M_1$ ($y$-अक्ष के अनुदिश) और $M_2$ ($x$-अक्ष के अनुदिश) हैं। मान लीजिए कि आँखें $E_1$ और $E_2$ स्थितियों पर हैं।
$1$. $M_1$ द्वारा निर्मित $E_1$ का प्रतिबिंब $E_1'$ है ($M_1$ के सापेक्ष परावर्तित)।
$2$. $M_2$ द्वारा निर्मित $E_2$ का प्रतिबिंब $E_2'$ है ($M_2$ के सापेक्ष परावर्तित)।
$3$. $M_2$ द्वारा निर्मित $E_1$ का प्रतिबिंब $E_1''$ है और $M_1$ द्वारा निर्मित $E_2$ का प्रतिबिंब $E_2''$ है।
इस व्यवस्था की ज्यामिति के कारण,दर्पण $M_2$ से परावर्तित होने वाली आँख $E_1$ की प्रकाश किरणें प्रतिबिंब $E_2''$ से आती हुई प्रतीत होंगी,जो आँख $E_2$ को दिखाई देती है। इसी प्रकार,दर्पण $M_1$ से परावर्तित होने वाली आँख $E_2$ की प्रकाश किरणें प्रतिबिंब $E_1''$ से आती हुई प्रतीत होंगी,जो आँख $E_1$ को दिखाई देती है।
इस प्रकार,आँख $1$,आँख $2$ का प्रतिबिंब देखती है और आँख $2$,आँख $1$ का प्रतिबिंब देखती है।

(C) मान लीजिए कि वस्तु की स्थिति $x = -d$ है (जहाँ $d > 0$ है)।
मान लीजिए कि दर्पण मूल बिंदु $x = 0$ के परितः $A_m = 2 \ cm$ के आयाम के साथ $SHM$ करता है।
किसी भी समय $t$ पर दर्पण की स्थिति $x_m(t) = A_m \sin(\omega t)$ है।
प्रतिबिंब की स्थिति $x_i$ इस गुण द्वारा दी जाती है कि दर्पण हमेशा वस्तु और प्रतिबिंब के बीच का मध्य बिंदु होता है।
अतः,$x_m = \frac{x_o + x_i}{2}$,जहाँ $x_o$ वस्तु की स्थिर स्थिति है।
$x_i = 2x_m - x_o = 2(A_m \sin(\omega t)) - x_o$।
प्रतिबिंब की स्थिति $x_i(t) = 2A_m \sin(\omega t) - x_o$ है।
प्रतिबिंब के $SHM$ का आयाम दोलन पद का गुणांक है,जो $2A_m$ है।
दिया गया है कि $A_m = 2 \ cm$,इसलिए प्रतिबिंब का आयाम $2 \times 2 \ cm = 4 \ cm$ है।

(D) जब दो समतल दर्पणों को एक-दूसरे के समानांतर रखा जाता है,तो उनके बीच रखी वस्तु से आने वाली प्रकाश किरणें कई परावर्तन से गुजरती हैं।
प्रत्येक परावर्तन एक नया प्रतिबिंब बनाता है।
चूंकि दर्पण समानांतर हैं,इसलिए प्रकाश किरणें दो दर्पणों के बीच अनिश्चित काल तक आगे-पीछे परावर्तित होती रहती हैं।
इसलिए,दो समानांतर समतल दर्पणों के बीच रखी वस्तु के लिए अनंत संख्या में प्रतिबिंब बनते हैं।

(D) समतल दर्पण में पूरा प्रतिबिंब देखने के लिए,आवश्यक दर्पण की न्यूनतम लंबाई व्यक्ति की ऊंचाई की आधी होनी चाहिए। व्यक्ति की ऊंचाई $H = 170\, cm$ दी गई है। इसलिए,दर्पण की न्यूनतम लंबाई $= H/2 = 170/2 = 85\, cm$ होगी।
सिर का ऊपरी हिस्सा देखने के लिए,दर्पण का ऊपरी सिरा आंखों और सिर के ऊपरी हिस्से के बीच के मध्य बिंदु के बराबर ऊंचाई पर होना चाहिए। आंखों से सिर के ऊपरी हिस्से तक की दूरी $= 170\, cm - 160\, cm = 10\, cm$ है। दर्पण का ऊपरी सिरा जमीन से $160\, cm + 10/2\, cm = 165\, cm$ की ऊंचाई पर होना चाहिए।
पैर देखने के लिए,दर्पण का निचला सिरा आंखों से पैरों तक की दूरी की आधी ऊंचाई पर होना चाहिए। आंखों से पैरों तक की दूरी $= 160\, cm$ है। दर्पण का निचला सिरा जमीन से $160\, cm / 2 = 80\, cm$ की ऊंचाई पर होना चाहिए।
अतः,दोनों कथन $(B)$ और $(C)$ सही हैं।

(D) चूंकि दर्पण $M$ दीवार $W$ के पूरी तरह समानांतर है,इसलिए बिंदु स्रोत $S$ से आने वाली किसी भी प्रकाश किरण के लिए आपतन कोण स्थिर रहता है जैसे-जैसे दर्पण दीवार की ओर बढ़ता है।
चूंकि दर्पण अपने समानांतर गति करता है,इसलिए परावर्तित किरण का पथ दीवार के सापेक्ष अपनी दिशा नहीं बदलता है।
इसलिए,दीवार पर प्रकाश के धब्बे की स्थिति स्थिर रहती है।
इसके अतिरिक्त,चूंकि स्रोत $S$ एक बिंदु स्रोत है,परावर्तित प्रकाश दीवार पर एक बिंदु प्रतिबिंब बनाता है। जैसे-जैसे दर्पण गति करता है,परावर्तन की ज्यामिति नहीं बदलती है,इसलिए प्रकाश के धब्बे का आकार एक बिंदु ही रहता है (अर्थात,यह समान रहता है)।
अतः,कथन $(B)$ और $(C)$ दोनों सही हैं,जिससे $(D)$ अंतिम उत्तर है।

(C) आपतन कोण $i$,आपतित किरण और अभिलंब के बीच का कोण है। आरेख से,आपतित किरण और दर्पण की सतह के बीच का कोण $\theta$ है। चूंकि अभिलंब दर्पण के लंबवत होता है,इसलिए $i + \theta = 90^{\circ}$ है,जिसका अर्थ है $i = 90^{\circ} - \theta$.
समतल दर्पण द्वारा उत्पन्न विचलन कोण $\delta$ का सूत्र $\delta = 180^{\circ} - 2i$ है।
सूत्र में $i$ का मान रखने पर:
$\delta = 180^{\circ} - 2(90^{\circ} - \theta)$
$\delta = 180^{\circ} - 180^{\circ} + 2\theta$
$\delta = 2\theta$.

(C) दो समतल दर्पणों के बीच का कोण $\theta = 90^\circ$ है।
$\theta$ कोण पर झुके हुए दो समतल दर्पणों के लिए,यदि $\frac{360^\circ}{\theta}$ एक सम पूर्णांक है,तो बनने वाले प्रतिबिंबों की संख्या $n = \frac{360^\circ}{\theta} - 1$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$\frac{360^\circ}{90^\circ} = 4$,जो एक सम पूर्णांक है।
इसलिए,बनने वाले प्रतिबिंबों की संख्या $n = 4 - 1 = 3$ है।
$O$ पर स्थित प्रेक्षक तारे के $3$ प्रतिबिंब देखेगा।

(A) $1$. आपतित किरण दर्पण $M_1$ पर $i_1 = 90^{\circ} - 40^{\circ} = 50^{\circ}$ के आपतन कोण पर टकराती है।
$2$. $M_1$ से परावर्तित किरण क्षैतिज के साथ $40^{\circ}$ का कोण बनाती है।
$3$. मान लीजिए कि दर्पण $M_2$ का क्षैतिज के साथ कोण $\alpha = 25^{\circ}$ है। $M_2$ पर आपतन कोण $i_2 = 40^{\circ} + 25^{\circ} = 65^{\circ}$ है।
$4$. अंतिम परावर्तित किरण के क्षैतिज होने के लिए,$M_2$ पर परावर्तन कोण क्षैतिज के सापेक्ष $0^{\circ}$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि किरण को क्षैतिज के समानांतर होना चाहिए।
$5$. यदि दर्पण $M_2$ को $\theta$ कोण से घुमाया जाता है,तो क्षैतिज के साथ दर्पण का नया कोण $\alpha'$ हो जाता है। $M_2$ पर आपतन कोण $i_2' = 40^{\circ} + \alpha'$ हो जाता है।
$6$. परावर्तित किरण के क्षैतिज होने के लिए,दर्पण के साथ परावर्तित किरण का कोण आपतन कोण के बराबर होना चाहिए। ज्यामिति दर्शाती है कि परावर्तित किरण के क्षैतिज होने के लिए $M_2$ पर आपतन कोण $20^{\circ}$ होना चाहिए।
$7$. इस प्रकार,$40^{\circ} + \alpha' = 65^{\circ} - \theta = 20^{\circ} \Rightarrow \theta = 5^{\circ}$ दक्षिणावर्त दिशा में।

(B) मान लीजिए कि कीड़ा फर्श के विकर्ण के अनुदिश $v_0$ चाल से चलता है। दो आसन्न दीवारों के अनुदिश वेग के घटक $v_x = v_0 \cos 45^\circ$ और $v_y = v_0 \sin 45^\circ$ हैं।
समतल दर्पण के लिए,दर्पण के समानांतर प्रतिबिंब का वेग,दर्पण के समानांतर वस्तु के वेग के बराबर होता है।
दिया गया है कि आसन्न दीवारों में प्रतिबिंब की चाल (दीवारों के समानांतर) $20\sqrt{2} \ cm/s$ है। चूंकि कीड़ा दीवारों के साथ $45^\circ$ पर चलता है,इसलिए एक दीवार के समानांतर वेग का घटक $v_0 \cos 45^\circ = v_0 / \sqrt{2}$ है।
अतः,$v_0 / \sqrt{2} = 20\sqrt{2} \implies v_0 = 40 \ cm/s$.
छत पर बना प्रतिबिंब फर्श पर चलते हुए कीड़े का प्रतिबिंब है। चूंकि छत फर्श के समानांतर है,इसलिए छत पर प्रतिबिंब का वेग फर्श पर वस्तु के वेग के बराबर होता है।
इसलिए,जमीन के सापेक्ष छत पर प्रतिबिंब की चाल $v_0 = 40 \ cm/s$ है।

(D) जब किसी वस्तु को दो समानांतर समतल दर्पणों के बीच रखा जाता है,तो क्रमिक परावर्तन के कारण कई प्रतिबिंब बनते हैं।
मान लीजिए दर्पण $M_1$ और $M_2$ हैं। समतल दर्पण में एक परावर्तन द्वारा बना प्रतिबिंब पार्श्व उल्टा (laterally inverted) होता है।
यदि प्रतिबिंब सम संख्या में परावर्तन द्वारा बनता है,तो वह पार्श्व उल्टा नहीं होता है (यह मूल वस्तु के सापेक्ष सीधा होता है)।
यदि प्रतिबिंब विषम संख्या में परावर्तन द्वारा बनता है,तो वह पार्श्व उल्टा होता है।
दूरी के क्रम में पहले सात प्रतिबिंबों की गणना करने पर:
$1$. $I_1$ ($M_1$ द्वारा): $1$ परावर्तन (विषम) $\rightarrow$ पार्श्व उल्टा।
$2$. $I_2$ ($M_2$ द्वारा): $1$ परावर्तन (विषम) $\rightarrow$ पार्श्व उल्टा।
$3$. $I_3$ ($M_1$ द्वारा $M_2$ में): $2$ परावर्तन (सम) $\rightarrow$ पार्श्व उल्टा नहीं।
$4$. $I_4$ ($M_2$ द्वारा $M_1$ में): $2$ परावर्तन (सम) $\rightarrow$ पार्श्व उल्टा नहीं।
$5$. $I_5$ ($M_1$ द्वारा $M_2$ और फिर $M_1$ में): $3$ परावर्तन (विषम) $\rightarrow$ पार्श्व उल्टा।
$6$. $I_6$ ($M_2$ द्वारा $M_1$ और फिर $M_2$ में): $3$ परावर्तन (विषम) $\rightarrow$ पार्श्व उल्टा।
$7$. $I_7$ ($M_1$ द्वारा $M_2$ और $M_1$ और $M_2$ में): $4$ परावर्तन (सम) $\rightarrow$ पार्श्व उल्टा नहीं।
इस प्रकार,पहले सात प्रतिबिंबों में,$I_1, I_2, I_5, I_6$ प्रतिबिंब पार्श्व उल्टे हैं। कुल संख्या $4$ है।

(B) वस्तु $(0, 10) \, \text{cm}$ की स्थिति पर है। दर्पण ऋणात्मक $x$-अक्ष के साथ $30^{\circ}$ का कोण बनाता है,जिसका अर्थ है कि यह धनात्मक $x$-अक्ष के साथ $150^{\circ}$ का कोण बनाता है।
वैकल्पिक रूप से,दर्पण की रेखा धनात्मक $x$-अक्ष के साथ $-30^{\circ}$ का कोण बनाती है।
वस्तु $O$,$(0, 10)$ पर है। दर्पण से वस्तु की दूरी $d = 10 \sin(30^{\circ}) = 5 \, \text{cm}$ है।
प्रतिबिंब $I$,दर्पण के दूसरी ओर समान दूरी $d = 5 \, \text{cm}$ पर बनता है।
वस्तु और प्रतिबिंब को जोड़ने वाली रेखा दर्पण के साथ $90^{\circ}$ का कोण बनाती है।
रेखा $OI$ का धनात्मक $x$-अक्ष के साथ कोण $30^{\circ} - 90^{\circ} = -60^{\circ}$ है।
दूरी $OI = 2d = 10 \, \text{cm}$ है।
प्रतिबिंब $I$ के निर्देशांक $(OI \cos(-60^{\circ}), OI \sin(-60^{\circ}))$ हैं।
$x = 10 \cos(-60^{\circ}) = 10 \times (1/2) = 5$.
$y = 10 \sin(-60^{\circ}) = 10 \times (-\sqrt{3}/2) = -5 \sqrt{3}$.
अतः,प्रतिबिंब के निर्देशांक $(5, -5 \sqrt{3})$ हैं।

(C) $H$ ऊंचाई की वस्तु का पूर्ण प्रतिबिंब समतल दर्पण में देखने के लिए,दर्पण की आवश्यक न्यूनतम लंबाई $H/2$ होती है।
यहाँ व्यक्ति की ऊंचाई $H = 6$ फीट दी गई है।
इसलिए,दर्पण की आवश्यक न्यूनतम लंबाई $6 / 2 = 3$ फीट होगी।