Plane Mirror Questions in Hindi

(D) $\theta$ कोण पर झुके हुए दो समतल दर्पणों द्वारा बनने वाले प्रतिबिंबों की संख्या $n$ का सूत्र $n = \left( \frac{360^{\circ}}{\theta} - 1 \right)$ होता है, यदि $\frac{360^{\circ}}{\theta}$ एक सम पूर्णांक है।
यहाँ दिया गया है कि प्रतिबिंबों की संख्या $n = 3$ है, इसलिए सूत्र में मान रखने पर:
$3 = \frac{360^{\circ}}{\theta} - 1$
$4 = \frac{360^{\circ}}{\theta}$
$\theta = \frac{360^{\circ}}{4} = 90^{\circ}$
अतः, दो समतल दर्पणों के बीच का कोण $90^{\circ}$ होना चाहिए।

(A) आपतन कोण को आपतित किरण और आपतन बिंदु पर सतह के अभिलंब के बीच के कोण के रूप में परिभाषित किया जाता है।
हालाँकि,आपतित किरण और परावर्तक सतह के बीच के कोण को ग्लेंसिंग एंगल (स्पर्श कोण) कहा जाता है।
दी गई आकृति में,कोण $\theta$ आपतित किरण $I$ और सतह $XY$ के बीच के कोण को दर्शाता है,जो कि ग्लेंसिंग एंगल है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) जब दो समतल दर्पणों को $\theta$ कोण पर रखा जाता है,तो दो क्रमिक परावर्तनों द्वारा उत्पन्न कुल विचलन $\delta = 360^{\circ} - 2\theta$ द्वारा दिया जाता है।
यह दिया गया है कि दर्पण लंबवत हैं,इसलिए $\theta = 90^{\circ}$ है।
सूत्र में $\theta$ का मान रखने पर:
$\delta = 360^{\circ} - 2(90^{\circ}) = 360^{\circ} - 180^{\circ} = 180^{\circ}$।
$180^{\circ}$ का विचलन यह दर्शाता है कि अंतिम किरण मूल किरण की बिल्कुल विपरीत दिशा में है,जिसका अर्थ है कि निर्गत किरण मूल किरण के समानांतर है।

(D) गोलीय दर्पण की फोकस दूरी $f$ और उसकी वक्रता त्रिज्या $R$ के बीच का संबंध $f = R/2$ है। समतल दर्पण को अनंत वक्रता त्रिज्या $(R = \infty)$ वाला एक गोलीय दर्पण माना जा सकता है। इसलिए,समतल दर्पण की फोकस दूरी $f = \infty/2 = \infty$ होती है। अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) समतल दर्पण की फोकस दूरी $f = \infty$ होती है।
दर्पण की शक्ति $P$ को उसकी फोकस दूरी के व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो $P = \frac{1}{f}$ द्वारा दी जाती है।
$f$ का मान रखने पर:
$P = \frac{1}{\infty} = 0 \text{ डायोप्टर}$।
अतः,समतल दर्पण की शक्ति $0$ होती है।

(C) दिया गया है,आपतन कोण $i = 60^{\circ}$ है।
परावर्तन के नियम के अनुसार,परावर्तन कोण $r$,आपतन कोण $i$ के बराबर होता है,इसलिए $r = 60^{\circ}$।
समतल दर्पण द्वारा उत्पन्न विचलन कोण $\delta$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\delta = 180^{\circ} - (i + r)$
चूंकि $i = r = 60^{\circ}$ है,इसलिए हमारे पास है:
$\delta = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 60^{\circ})$
$\delta = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$।

(A) जब प्रकाश की एक किरण समतल दर्पण पर लंबवत आपतित होती है,तो इसका अर्थ है कि किरण दर्पण की सतह पर अभिलंब (normal) की दिशा में यात्रा करती है।
इसलिए,आपतन कोण $i$,जो आपतित किरण और अभिलंब के बीच का कोण है,$0^{\circ}$ होता है।
परावर्तन के नियमों के अनुसार,आपतन कोण परावर्तन कोण के बराबर होता है $(i = r)$।
अतः,परावर्तन कोण $r = 0^{\circ}$ होगा।

(C) मान लीजिए कि लड़की की आँख जमीन से $140 \,cm$ की ऊँचाई पर बिंदु $O$ पर है। दर्पण जमीन से $85 \,cm$ से $160 \,cm$ $(85 + 75 = 160 \,cm)$ तक फैला हुआ है।
$1$. लड़की दर्पण के निचले हिस्से में देखकर अपनी आँखों के स्तर से नीचे के शरीर के हिस्से को देख सकती है। उसकी आँख से दर्पण के निचले किनारे तक की दूरी $140 - 85 = 55 \,cm$ है। परावर्तन के गुण के कारण,वह अपने शरीर पर जो सबसे निचला बिंदु देख सकती है,वह दर्पण के निचले किनारे के स्तर से $55 \,cm$ नीचे है,जो जमीन से $85 - 55 = 30 \,cm$ है।
$2$. लड़की दर्पण के ऊपरी हिस्से में देखकर अपनी आँखों के स्तर से ऊपर के शरीर के हिस्से को देख सकती है। उसकी आँख से दर्पण के ऊपरी किनारे तक की दूरी $160 - 140 = 20 \,cm$ है। परावर्तन के गुण के कारण,वह अपने शरीर पर जो सबसे ऊँचा बिंदु देख सकती है,वह दर्पण के ऊपरी किनारे के स्तर से $20 \,cm$ ऊपर है,जो $160 + 20 = 180 \,cm$ है। हालाँकि,लड़की की ऊँचाई केवल $150 \,cm$ है। इसलिए,वह अपने सिर के ऊपरी हिस्से तक $(150 \,cm)$ देख सकती है।
$3$. लड़की को दिखाई देने वाली प्रतिबिंब की कुल ऊँचाई उस सबसे निचले बिंदु $(30 \,cm)$ से सबसे ऊँचे बिंदु $(150 \,cm)$ तक की दूरी है।
दृश्य ऊँचाई = $150 \,cm - 30 \,cm = 120 \,cm$.
अतः,सही विकल्प $(c)$ है।

(C) वस्तु पात्र के तल पर है,जिसमें $10 \,cm$ की ऊँचाई तक पानी भरा है। समतल दर्पण पानी की सतह से $7 \,cm$ ऊपर रखा गया है।
पानी-हवा के अंतरापृष्ठ पर अपवर्तन के कारण,तल पर स्थित वस्तु कम गहराई पर दिखाई देती है।
आभासी गहराई $d'$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$d' = \frac{\text{वास्तविक गहराई}}{n} = \frac{10 \,cm}{1.33} \approx 7.52 \,cm$.
दर्पण से वस्तु की आभासी स्थिति की कुल दूरी,पानी की सतह से दर्पण की दूरी और वस्तु की आभासी गहराई का योग है:
$D = 7 \,cm + 7.52 \,cm = 14.52 \,cm$.
चूँकि एक समतल दर्पण अपने पीछे उतनी ही दूरी पर प्रतिबिंब बनाता है जितनी दूरी पर वस्तु उसके सामने होती है,इसलिए दर्पण से प्रतिबिंब की दूरी $14.52 \,cm$ है,जो लगभग $14.5 \,cm$ है।

(A) मान लीजिए $\hat{t}$ सतह के अभिलंब की दिशा में इकाई सदिश है।
मान लीजिए $\hat{n}_1$ आपतित किरण की दिशा में इकाई सदिश है और $\hat{n}_2$ परावर्तित किरण की दिशा में इकाई सदिश है।
परावर्तन की ज्यामिति से,आपतन कोण परावर्तन कोण के बराबर होता है,जो $\theta$ है।
हम $\hat{n}_1$ और $\hat{n}_2$ को अभिलंब $\hat{t}$ के समानांतर और लंबवत घटकों में विभाजित कर सकते हैं।
$\hat{n}_1 = -\cos \theta \hat{t} + \sin \theta \hat{u}$,जहाँ $\hat{u}$ सतह के समानांतर एक इकाई सदिश है।
$\hat{n}_2 = \cos \theta \hat{t} + \sin \theta \hat{u}$.
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $\hat{n}_2 - \hat{n}_1 = 2 \cos \theta \hat{t}$.
चूंकि $\hat{n}_1 \cdot \hat{t} = \cos(180^\circ - \theta) = -\cos \theta$,इसलिए $\cos \theta = -(\hat{n}_1 \cdot \hat{t})$.
इस मान को घटाने वाले समीकरण में रखने पर: $\hat{n}_2 - \hat{n}_1 = -2(\hat{n}_1 \cdot \hat{t}) \hat{t}$.
अतः,$\hat{n}_2 = \hat{n}_1 - 2(\hat{n}_1 \cdot \hat{t}) \hat{t}$.

(B) आपतित किरण का सदिश $\hat{e}_0$ है और परावर्तित किरण का सदिश $\hat{e}$ है। अभिलंब सदिश $\hat{n}$ है।
परावर्तन के नियम के अनुसार,आपतन कोण परावर्तन कोण के बराबर होता है,और तीनों सदिश एक ही तल में स्थित होते हैं।
मान लीजिए $\theta$ आपतित किरण और अभिलंब के बीच का कोण है। चूँकि $\hat{e}_0$ दर्पण की ओर निर्देशित है,$\hat{e}_0$ और $\hat{n}$ के बीच का कोण $(180^\circ - \theta)$ है।
अतः,$\hat{e}_0 \cdot \hat{n} = |\hat{e}_0| |\hat{n}| \cos(180^\circ - \theta) = -\cos \theta$.
हम आपतित किरण $\hat{e}_0$ को अभिलंब $\hat{n}$ के समानांतर और लंबवत घटकों में विभाजित कर सकते हैं:
$\hat{e}_0 = \hat{e}_{0\perp} + \hat{e}_{0\parallel} = (\hat{e}_0 \cdot \hat{n}) \hat{n} + (\hat{e}_0 - (\hat{e}_0 \cdot \hat{n}) \hat{n})$.
परावर्तित किरण $\hat{e}$ का दर्पण की सतह के समानांतर घटक समान रहता है लेकिन अभिलंब की दिशा में घटक उलट जाता है:
$\hat{e} = -(\hat{e}_0 \cdot \hat{n}) \hat{n} + (\hat{e}_0 - (\hat{e}_0 \cdot \hat{n}) \hat{n})$.
$\hat{e} = \hat{e}_0 - 2(\hat{e}_0 \cdot \hat{n}) \hat{n}$.
अतः,सही विकल्प $(B)$ है।

(A) माना स्रोत $S(0,1)$ पर है और दर्पण पर बिंदु $M$ है। परावर्तित किरण $P(3,3)$ से होकर गुजरती है।
चूंकि दर्पण $X$-अक्ष के अनुदिश है,इसलिए दर्पण द्वारा स्रोत $S(0,1)$ का बना प्रतिबिंब $I(0,-1)$ है।
परावर्तित किरण की पथ लंबाई $SM + MP$ है।
परावर्तन के नियम के अनुसार,$SM = IM$ है।
इसलिए,कुल पथ लंबाई $IM + MP = IP$ है।
दूरी $IP$,बिंदु $I(0,-1)$ और $P(3,3)$ के बीच की दूरी है।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर: $IP = \sqrt{(3-0)^2 + (3 - (-1))^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

(C) दो समतल दर्पणों द्वारा $\theta$ कोण पर बनने वाले प्रतिबिंबों की संख्या $n = \frac{360^{\circ}}{\theta} - 1$ द्वारा दी जाती है,यदि $\frac{360^{\circ}}{\theta}$ एक सम पूर्णांक है,या यदि यह एक विषम पूर्णांक है और वस्तु सममित रूप से रखी गई है।
दिया गया है $n = 5$,तो $5 = \frac{360^{\circ}}{\theta} - 1$,जिसका अर्थ है $\frac{360^{\circ}}{\theta} = 6$.
अतः,$\theta = \frac{360^{\circ}}{6} = 60^{\circ}$.
जब कोण को $30^{\circ}$ कम किया जाता है,तो नया कोण $\theta' = 60^{\circ} - 30^{\circ} = 30^{\circ}$ होता है।
प्रतिबिंबों की नई संख्या $n' = \frac{360^{\circ}}{30^{\circ}} - 1 = 12 - 1 = 11$ है।