Plane Mirror Questions in Hindi

(C) एक समतल दर्पण के लिए,एक वास्तविक वस्तु हमेशा एक आभासी प्रतिबिंब बनाती है।
इसके विपरीत,एक आभासी वस्तु एक वास्तविक प्रतिबिंब बनाती है।
एक आभासी वस्तु तब बनती है जब आपतित प्रकाश किरणें दर्पण के पीछे एक बिंदु की ओर अभिसरित (Converging) हो रही होती हैं।
चूंकि प्रश्न में कहा गया है कि समतल दर्पण द्वारा एक वास्तविक प्रतिबिंब बनता है,इसलिए आपतित किरणें अभिसारी होनी चाहिए।

(B) मान लीजिए कि दोनों दर्पणों के बीच का कोण $\theta$ है।
प्रश्न के अनुसार,आपतित किरण दूसरे दर्पण $(M_2)$ के समानांतर है। इसलिए,पहले दर्पण $(M_1)$ पर आपतन कोण $\theta$ है।
परावर्तन के नियम के अनुसार,$(M_1)$ से परावर्तन कोण भी $\theta$ है।
यह परावर्तित किरण दूसरे दर्पण $(M_2)$ पर आपतित होती है।
दो दर्पणों और प्रकाश किरण द्वारा बने त्रिभुज में,दूसरे दर्पण पर कोण $\theta$ है (क्योंकि परावर्तित किरण पहले दर्पण $(M_1)$ के समानांतर है)।
अतः,त्रिभुज के कोणों का योग $\theta + \theta + \theta = 180^o$ है।
$3\theta = 180^o$
$\theta = 60^o.$

(C) मान लीजिए कि दर्पण $y$-अक्ष पर $y = -d/2$ से $y = d/2$ तक रखा गया है। स्रोत $S$,$(L, 0)$ पर है। स्रोत $S$ का प्रतिबिंब $S'$,$(-L, 0)$ पर बनता है।
व्यक्ति $x = 2L$ रेखा पर चलता है। प्रतिबिंब $S'$ से आने वाली किरणें जो व्यक्ति तक पहुँचती हैं,उन्हें दर्पण के किनारों से गुजरना होगा।
दर्पण के ऊपरी किनारे $(0, d/2)$ और निचले किनारे $(0, -d/2)$ से गुजरने वाली $S'$ की किरणें दृष्टि क्षेत्र को परिभाषित करती हैं।
समरूप त्रिभुजों का उपयोग करते हुए,दर्पण से $x = 2L$ की दूरी पर दृष्टि क्षेत्र की ऊँचाई $h$,दूरियों के अनुपात द्वारा दी जाती है।
प्रतिबिंब $S'$ से दर्पण तक की दूरी $L$ है,और प्रतिबिंब $S'$ से व्यक्ति तक की दूरी $L + 2L = 3L$ है।
समरूप त्रिभुजों द्वारा,दृष्टि क्षेत्र की चौड़ाई $h$ का मान $\frac{h}{d} = \frac{3L}{L} = 3$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,$h = 3d$।

(D) परावर्तन के नियम के अनुसार,आपतन कोण परावर्तन कोण के बराबर होता है।
बिंदु $P$ पर,आपतन कोण $30^o$ है,इसलिए परावर्तन कोण $30^o$ है।
चूंकि दीवारें लंबवत हैं,बिंदु $Q$ पर आपतन कोण $90^o - 30^o = 60^o$ है। अतः,$Q$ पर परावर्तन कोण $60^o$ है।
बिंदु $R$ पर,आपतन कोण $90^o - 60^o = 30^o$ है। अतः,$R$ पर परावर्तन कोण $30^o$ है।
बिंदु $S$ पर,आपतन कोण $90^o - 30^o = 60^o$ है। अतः,$S$ पर परावर्तन कोण $60^o$ है।
बिंदु $T$ पर,आपतन कोण $90^o - 60^o = 30^o$ है। अतः,$T$ पर परावर्तन कोण $30^o$ है।
इसलिए,$Q, R, S$ और $T$ पर परावर्तन कोण क्रमशः $60^o, 30^o, 60^o, 30^o$ हैं।

(B) वस्तु मूल बिंदु $c$ से $10 \text{ cm}$ की दूरी पर $y$-अक्ष पर स्थित है। इसके निर्देशांक $(0, 10)$ हैं।
दर्पण ऋणात्मक $x$-अक्ष के साथ $30^{\circ}$ का कोण बनाता है,जिसका अर्थ है कि यह धनात्मक $x$-अक्ष के साथ $150^{\circ}$ का कोण बनाता है।
दर्पण के अभिलंब का $y$-अक्ष के साथ कोण $30^{\circ}$ है।
दर्पण से $d$ दूरी पर स्थित वस्तु का प्रतिबिंब दर्पण के दूसरी ओर $d$ दूरी पर बनेगा।
परावर्तन की ज्यामिति का उपयोग करते हुए,प्रतिबिंब $I$ मूल बिंदु $c$ से $10 \text{ cm}$ की दूरी पर है।
मूल बिंदु को प्रतिबिंब से जोड़ने वाली रेखा धनात्मक $x$-अक्ष के साथ $-60^{\circ}$ (या $300^{\circ}$) का कोण बनाती है।
अतः,प्रतिबिंब के निर्देशांक $(10 \cos(-60^{\circ}), 10 \sin(-60^{\circ})) = (10 \times 0.5, 10 \times -\frac{\sqrt{3}}{2}) = (5, -5\sqrt{3})$ होंगे।
इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(B) दिया गया है: वस्तु का वेग $\vec{v}_o = 10 \cos(60^\circ) \hat{i} + 10 \sin(60^\circ) \hat{j} = 5 \hat{i} + 5\sqrt{3} \hat{j} \text{ cm/s}$.
दर्पण का वेग $\vec{v}_m = 2 \hat{i} \text{ cm/s}$.
प्रतिबिंब का वेग $\vec{v}_i$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\vec{v}_{i,x} = 2\vec{v}_{m,x} - \vec{v}_{o,x}$ और $\vec{v}_{i,y} = \vec{v}_{o,y}$.
x-घटक की गणना: $\vec{v}_{i,x} = 2(2) - 5 = 4 - 5 = -1 \text{ cm/s}$.
y-घटक की गणना: $\vec{v}_{i,y} = 5\sqrt{3} \text{ cm/s}$.
अतः,जमीन के सापेक्ष प्रतिबिंब का वेग $\vec{v}_i = -1 \hat{i} + 5\sqrt{3} \hat{j} \text{ cm/s}$ है।
दर्पण के सापेक्ष प्रतिबिंब का वेग $\vec{v}_{im} = \vec{v}_i - \vec{v}_m = (-1 \hat{i} + 5\sqrt{3} \hat{j}) - (2 \hat{i}) = -3 \hat{i} + 5\sqrt{3} \hat{j} \text{ cm/s}$.

(C) $\theta$ कोण पर झुके हुए दो समतल दर्पणों द्वारा उत्पन्न कुल विचलन $\delta = 360^o - 2\theta$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $\delta = 270^o$,इसलिए $270^o = 360^o - 2\theta$ है।
$2\theta = 360^o - 270^o = 90^o$,जिससे $\theta = 45^o$ प्राप्त होता है।
$\theta$ कोण पर झुके हुए दो दर्पणों द्वारा बनने वाले प्रतिबिंबों की संख्या $n = \frac{360^o}{\theta} - 1$ द्वारा दी जाती है।
$\theta = 45^o$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $n = \frac{360^o}{45^o} - 1 = 8 - 1 = 7$ प्राप्त होता है।
अतः,अवलोकनीय प्रतिबिंबों की संख्या $7$ है।

(C) दोनों दर्पणों के बीच की दूरी $d = 6\,cm + 15\,cm = 21\,cm$ है। मान लीजिए $x_1 = 6\,cm$ ($M_1$ से दूरी) और $x_2 = 15\,cm$ ($M_2$ से दूरी) है।
$M_1$ द्वारा निर्मित प्रतिबिंबों की दूरियाँ:
$I_1 = x_1 = 6\,cm$
$I_3 = x_1 + 2d = 6 + 42 = 48\,cm$
$I_5 = x_1 + 4d = 6 + 84 = 90\,cm$
$M_2$ द्वारा निर्मित प्रतिबिंबों की $M_2$ से दूरियाँ:
$I_2 = x_2 = 15\,cm$
$I_4 = x_2 + 2d = 15 + 42 = 57\,cm$
$M_1$ द्वारा निर्मित चौथे प्रतिबिंब की स्थिति ज्ञात करने के लिए,हम प्रतिबिंबों के क्रम को देखते हैं। $M_1$ द्वारा निर्मित प्रतिबिंब $M_1$ से $6\,cm, 48\,cm, 90\,cm, \dots$ की दूरी पर हैं। $M_2$ द्वारा निर्मित प्रतिबिंब $M_2$ से $15\,cm, 57\,cm, 99\,cm, \dots$ की दूरी पर हैं।
$M_2$ के प्रतिबिंबों की दूरियों को $M_1$ के सापेक्ष बदलने पर:
$I_2$,$M_1$ से $15 + 21 = 36\,cm$ की दूरी पर है।
$I_4$,$M_1$ से $57 + 21 = 78\,cm$ की दूरी पर है।
$M_1$ से दूरी के अनुसार प्रतिबिंबों का क्रम: $6\,cm (M_1), 36\,cm (M_2), 48\,cm (M_1), 78\,cm (M_2), 90\,cm (M_1), \dots$
चौथा प्रतिबिंब $M_1$ से $78\,cm$ की दूरी पर है।

(B) जब एक समतल दर्पण $\theta$ कोण से घूमता है, तो परावर्तित किरण $2\theta$ कोण से घूम जाती है।
दिया गया कोणीय त्वरण $\alpha = 4\pi \, rad/s^2$ और समय $t = \frac{1}{4} \, s$ है।
दर्पण के घूर्णन का कोण $\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2$ है।
चूंकि दर्पण स्थिर अवस्था से शुरू होता है, $\omega_0 = 0$.
$\theta = \frac{1}{2} \times (4\pi) \times (\frac{1}{4})^2 = 2\pi \times \frac{1}{16} = \frac{\pi}{8} \, \text{रेडियन}$.
रेडियन को डिग्री में बदलने पर: $\theta = \frac{\pi}{8} \times \frac{180^\circ}{\pi} = 22.5^\circ$.
परावर्तित किरण $2\theta = 2 \times 22.5^\circ = 45^\circ$ घूम जाएगी।

(C) लड़के की ऊँचाई $H = 1.5\,m$ है और उसकी आँखों का स्तर $h_e = 1.4\,m$ है। उसकी आँखों से सिर के ऊपरी हिस्से तक की दूरी $1.5 - 1.4 = 0.1\,m$ है। उसकी आँखों से पैरों तक की दूरी $1.4\,m$ है।
किसी व्यक्ति को अपना पूरा प्रतिबिंब देखने के लिए,दर्पण को आँखों के स्तर के सापेक्ष सिर तक की दूरी के आधे से लेकर पैरों तक की दूरी के आधे तक फैला होना चाहिए।
आँखों के स्तर के ऊपर आवश्यक दर्पण की ऊँचाई: $0.1 / 2 = 0.05\,m$.
आँखों के स्तर के नीचे आवश्यक दर्पण की ऊँचाई: $1.4 / 2 = 0.7\,m$.
दर्पण का निचला किनारा फर्श से $0.8\,m$ पर है। चूँकि आँखों का स्तर $1.4\,m$ पर है,इसलिए दर्पण का निचला किनारा आँखों के स्तर से $1.4 - 0.8 = 0.6\,m$ नीचे है।
चूँकि आँखों के स्तर के नीचे $0.7\,m$ की आवश्यकता है और दर्पण केवल $0.6\,m$ नीचे तक ही है,इसलिए लड़का अपने पैर नहीं देख पाएगा।

(B) वस्तु $O$ को दो समानांतर दर्पणों $AB$ और $CD$ के बीच रखा गया है।
प्रत्येक दर्पण अपने पीछे वस्तु $O$ का एक प्रतिबिंब बनाता है।
चूंकि दर्पण एक-दूसरे के सामने नहीं हैं (वे समानांतर रेखाओं के साथ व्यवस्थित हैं लेकिन एक-दूसरे से दूर हैं),वस्तु $O$ से आने वाली प्रकाश किरणें दर्पण $AB$ से परावर्तित होकर प्रतिबिंब $I_1$ बना सकती हैं,और प्रकाश किरणें दर्पण $CD$ से परावर्तित होकर प्रतिबिंब $I_2$ बना सकती हैं।
चूंकि दर्पण दूसरे दर्पण से परावर्तित किरणों के दृश्य क्षेत्र में ओवरलैप नहीं करते हैं,इसलिए कोई और बहु-परावर्तन नहीं होता है।
इसलिए,केवल दो प्रतिबिंब बनते हैं,प्रत्येक दर्पण द्वारा एक।

(A) दिए गए चित्र में,आपतित किरणें $A$ और $B$ एक-दूसरे के समानांतर हैं। दर्पण से परावर्तन के बाद,परावर्तित किरणें $A'$ और $B'$ भी एक-दूसरे के समानांतर रहती हैं।
गोलीय दर्पण (अवतल या उत्तल) के लिए,समानांतर आपतित किरणें या तो एक फोकस पर अभिसरित होंगी या एक फोकस से अपसरित होती हुई प्रतीत होंगी,जिसका अर्थ है कि वे परावर्तन के बाद समानांतर नहीं रहेंगी।
केवल एक समतल दर्पण ही समानांतर आपतित किरणों के समूह को समानांतर परावर्तित किरणों के समूह के रूप में परावर्तित कर सकता है,चाहे आपतन कोण कुछ भी हो,बशर्ते सतह समतल हो।
इसलिए,दर्पण एक समतल दर्पण होना चाहिए।

(A) परावर्तन के नियम के अनुसार,आपतन कोण $(i)$ परावर्तन कोण $(r)$ के बराबर होता है।
समतल दर्पण के लिए,यदि दो आपतित किरणें एक ही बिंदु पर टकराती हैं,तो उनकी संबंधित परावर्तित किरणों को अभिलंब के साथ समान कोणीय संबंध बनाए रखना चाहिए।
विशेष रूप से,यदि कोई आपतित किरण अभिलंब के साथ $i$ कोण बनाती है,तो उसकी परावर्तित किरण को विपरीत दिशा में अभिलंब के साथ $r = i$ कोण बनाना चाहिए।
आरेख $(I)$ में,परावर्तित किरणें अभिलंब से वही कोणीय दूरी बनाए रखती हैं जो आपतित किरणें रखती हैं,जो दोनों किरणों के लिए परावर्तन के नियम को संतुष्ट करती हैं।
आरेख $(II)$ और $(III)$ दोनों किरणों के लिए एक साथ अभिलंब के सापेक्ष परावर्तन के नियम द्वारा आवश्यक समरूपता को सही ढंग से नहीं दर्शाते हैं।
इसलिए,केवल आरेख $(I)$ ही समतल दर्पण पर एक ही बिंदु से दो किरणों के परावर्तन का सही प्रतिनिधित्व करता है।

(B) मान लीजिए कि दर्पण $M$ क्षैतिज $H$ के साथ $\theta$ कोण पर झुका हुआ है। आपतित किरण दर्पण की सतह के साथ $\theta$ कोण बनाती है। परावर्तन के नियम के अनुसार,परावर्तन कोण आपतन कोण के बराबर होता है। इसलिए,परावर्तित किरण भी दर्पण की सतह के साथ $\theta$ कोण बनाएगी। इस व्यवस्था की ज्यामिति से,परावर्तित किरण और क्षैतिज के बीच का कोण,उस कोण का योग है जो परावर्तित किरण दर्पण के साथ बनाती है और जो कोण दर्पण क्षैतिज के साथ बनाता है। अतः,क्षैतिज के साथ कोण $\theta + \theta = 2\theta$ होगा।

(B) जब दो समतल दर्पणों को एक-दूसरे से $\theta$ कोण पर रखा जाता है,तो उनके बीच रखी वस्तु के प्रतिबिंब एक वृत्त पर स्थित होते हैं।
इस वृत्त का केंद्र दोनों दर्पणों का प्रतिच्छेदन बिंदु होता है।
$\theta = 90^o$ के लिए,बनने वाले प्रतिबिंबों की संख्या $n = (360^o / 90^o) - 1 = 4 - 1 = 3$ है।
ये $3$ प्रतिबिंब एक वर्ग के शीर्षों पर स्थित होते हैं (जहाँ वस्तु और दर्पण का प्रतिच्छेदन बिंदु अन्य शीर्ष बनाते हैं),और ये सभी प्रतिबिंब दर्पणों के प्रतिच्छेदन बिंदु को केंद्र मानकर बनाए गए वृत्त पर स्थित होते हैं।

(C) $H$ ऊंचाई वाले व्यक्ति को समतल दर्पण में अपना पूरा प्रतिबिंब देखने के लिए,आवश्यक दर्पण की न्यूनतम लंबाई $L = H/2$ होती है।
यहाँ $H = 170 \, cm$ दिया गया है,इसलिए दर्पण की न्यूनतम लंबाई $L = 170/2 = 85 \, cm$ होगी। अतः,कथन $(b)$ सही है।
दर्पण का निचला सिरा जमीन से आंखों तक की दूरी के आधे पर स्थित होना चाहिए। मान लीजिए $h$ जमीन से आंखों की ऊंचाई है।
यहाँ $h = 160 \, cm$ दिया गया है,इसलिए जमीन से दर्पण के निचले सिरे की ऊंचाई $h/2 = 160/2 = 80 \, cm$ होगी। अतः,कथन $(c)$ सही है।
इसलिए,सही कथन $(b)$ और $(c)$ हैं।

(C) मान लीजिए दर्पण $M_1$ पर आपतन कोण $i_1 = 30^o$ है। परावर्तन कोण भी $30^o$ है। परावर्तित किरण $M_1$ की सतह के साथ $90^o - 30^o = 60^o$ का कोण बनाती है।
दो दर्पणों और किरण द्वारा निर्मित त्रिभुज में,शीर्ष पर कोण $40^o$ है। $M_1$ पर आधार का कोण $60^o$ है। इस प्रकार,$M_2$ पर आधार का कोण $180^o - (40^o + 60^o) = 80^o$ है।
$M_2$ पर आपतन कोण $90^o - 80^o = 10^o$ है। चूंकि $10^o < 90^o$,किरण $M_2$ से परावर्तित होती है।
$M_2$ से परावर्तन कोण $10^o$ है। यह किरण $M_2$ की सतह के साथ $90^o - 10^o = 80^o$ का कोण बनाती है।
अब,किरण और दर्पणों द्वारा निर्मित त्रिभुज पर विचार करें। शीर्ष पर कोण $40^o$ है। $M_2$ पर आधार का कोण $80^o$ है। $M_1$ पर आधार का कोण $180^o - (40^o + 80^o) = 60^o$ है।
चूंकि $M_1$ की सतह के साथ कोण $60^o$ है,आपतन कोण $90^o - 60^o = 30^o$ है। यह प्रारंभिक आपतन कोण के समान है,जिसका अर्थ है कि किरण दर्पणों के बीच परावर्तित होती रहेगी।
हालाँकि,प्रश्न परावर्तनों की संख्या के बारे में पूछता है। ज्यामिति के आधार पर,किरण फिर से $M_1$ पर टकराएगी,फिर $M_2$ पर,और इसी तरह। चूंकि दर्पण लंबे हैं,किरण तब तक सीमित संख्या में परावर्तनों से गुजरेगी जब तक वह सिस्टम से बाहर नहीं निकल जाती। $40^o$ के कोण के लिए,परावर्तनों की कुल संख्या $N = \frac{180^o}{\theta} = \frac{180^o}{40^o} = 4.5$ के रूप में गणना की जाती है। किरण $4$ परावर्तनों से गुजरेगी।

(D) मान लीजिए कि पिछली खिड़की की चौड़ाई $W = 120 \, cm$ और ऊंचाई $H = 45 \, cm$ है। ड्राइवर से पिछली खिड़की की दूरी $d_1 = 2 \, m$ है। दर्पण को ड्राइवर के सामने $d_2 = 0.5 \, m$ की दूरी पर रखा गया है। पिछली खिड़की का प्रतिबिंब दर्पण के पीछे $d_2 = 0.5 \, m$ की दूरी पर बनता है। इस प्रकार,ड्राइवर से पिछली खिड़की के प्रतिबिंब की कुल दूरी $D = d_1 + d_2 + d_2 = 2 + 0.5 + 0.5 = 3 \, m$ है।
समरूप त्रिभुजों का उपयोग करते हुए,दर्पण के आकार $(w, h)$ और खिड़की के आकार $(W, H)$ का अनुपात,ड्राइवर से दर्पण की दूरी और ड्राइवर से प्रतिबिंब की कुल दूरी के अनुपात के बराबर होता है:
$\frac{w}{W} = \frac{d_2}{D} \Rightarrow w = W \times \frac{0.5}{3} = 120 \times \frac{1}{6} = 20 \, cm$
$\frac{h}{H} = \frac{d_2}{D} \Rightarrow h = H \times \frac{0.5}{3} = 45 \times \frac{1}{6} = 7.5 \, cm$
अतः,दर्पण का न्यूनतम आकार $(20 \, cm \times 7.5 \, cm)$ है।

(A) व्यक्ति दर्पण में स्रोत $S$ का प्रतिबिंब तब तक देख सकता है जब तक वह प्रतिबिंब के दृष्टि क्षेत्र (field of view) के भीतर रहता है।
मान लीजिए दर्पण $AB$ है जिसकी लंबाई $L = 20\,cm$ है। स्रोत $S$ दर्पण से $d_1 = 10\,cm$ की दूरी पर है।
व्यक्ति दर्पण से $d_2 = 20\,cm$ की दूरी पर एक रेखा पर चलता है। स्रोत $S$ से व्यक्ति की कुल दूरी $d_1 + d_2 = 10\,cm + 20\,cm = 30\,cm$ है।
समरूप त्रिभुजों का उपयोग करके,दर्पण से $d_1 + d_2$ दूरी पर दृष्टि क्षेत्र की चौड़ाई $PQ$ इस प्रकार है:
$\frac{PQ}{L} = \frac{d_1 + d_2}{d_1} = \frac{30\,cm}{10\,cm} = 3$
$PQ = 3 \times L = 3 \times 20\,cm = 60\,cm$.
व्यक्ति $v = 10\,cm/s$ की गति से चलता है।
वह समय $t$ जिसके लिए वह प्रतिबिंब देख सकता है,$t = \frac{PQ}{v} = \frac{60\,cm}{10\,cm/s} = 6\,s$ है।

(A) मान लीजिए कि दो दर्पण $M_1$ और $M_2$ हैं जो $L$ दूरी पर स्थित हैं। वस्तु $O$,$M_1$ से $x = L/3$ दूरी पर और $M_2$ से $y = 2L/3$ दूरी पर है।
$M_1$ द्वारा बनाए गए प्रतिबिंब $M_1$ से $L/3, 7L/3, 13L/3, \dots$ दूरी पर हैं।
$M_2$ द्वारा बनाए गए प्रतिबिंब $M_2$ से $2L/3, 8L/3, 14L/3, \dots$ दूरी पर हैं।
सभी स्थितियों को $M_1$ के सापेक्ष बदलने पर: $M_1$ से दूरियाँ $L/3, 5L/3, 7L/3, 11L/3, 13L/3, 17L/3, \dots$ प्राप्त होती हैं।
लगातार प्रतिबिंबों के बीच का अंतर $4L/3, 2L/3, 4L/3, 2L/3, \dots$ है।
अतः,किन्हीं दो प्रतिबिंबों के बीच की दूरी $2L/3$ के गुणज में होती है,इसलिए $\frac{3L}{2}$ संभव नहीं है।

(C) माना $d = 10 \, cm = 0.1 \, m$ दर्पणों के बीच की दूरी है और $L = 20 \, m$ दर्पणों की लंबाई है।
प्रत्येक परावर्तन के बाद,किरण दर्पण के अनुदिश $x$ क्षैतिज दूरी तय करती है।
पथ की ज्यामिति से,हमारे पास $\tan 53^{\circ} = \frac{x}{d}$ है।
दिया गया है कि $\tan 53^{\circ} = \frac{4}{3}$,इसलिए $x = d \tan 53^{\circ} = 0.1 \times \frac{4}{3} \, m = \frac{0.4}{3} \, m$ है।
कुल परावर्तनों की संख्या $n$,कुल लंबाई $L$ और प्रति परावर्तन तय की गई क्षैतिज दूरी $x$ के अनुपात द्वारा दी जाती है।
$n = \frac{L}{x} = \frac{20}{0.4 / 3} = \frac{20 \times 3}{0.4} = \frac{60}{0.4} = 150$ है।
अतः,प्रकाश का $150$ बार परावर्तन होता है।

(C) मान लीजिए कि आपतित किरण क्षैतिज के साथ $10^o$ का कोण बनाती है। परावर्तित किरण लंबवत है, जिसका अर्थ है कि यह क्षैतिज के साथ $90^o$ का कोण बनाती है।
आपतित किरण और परावर्तित किरण के बीच का कोण कुल विचलन $\delta$ है।
चूंकि आपतित किरण क्षैतिज से $10^o$ नीचे है और परावर्तित किरण क्षैतिज से $90^o$ ऊपर है, इसलिए उनके बीच का कोण $\delta = 90^o + 10^o = 100^o$ है।
परावर्तन का नियम कहता है कि विचलन कोण $\delta$, आपतन कोण $i$ से $\delta = 180^o - 2i$ द्वारा संबंधित है।
इसलिए, $100^o = 180^o - 2i$, जिससे $2i = 80^o$, या $i = 40^o$ प्राप्त होता है।
आपतन कोण $i$, आपतित किरण और दर्पण के अभिलंब के बीच का कोण है।
मान लीजिए कि $\theta$ वह कोण है जो दर्पण क्षैतिज के साथ बनाता है। आपतित किरण और दर्पण की सतह के बीच का कोण $i = 90^o - (\text{आपतित किरण और दर्पण की सतह के बीच का कोण})$ है।
ज्यामिति से, आपतित किरण और दर्पण की सतह के बीच का कोण $\theta + 10^o$ है।
इस प्रकार, आपतन कोण $i = 90^o - (\theta + 10^o)$ है।
$i = 40^o$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें $40^o = 90^o - \theta - 10^o$ प्राप्त होता है।
$40^o = 80^o - \theta$, जिसका अर्थ है कि $\theta = 40^o$।

(C) $H$ ऊँचाई की वस्तु का पूर्ण प्रतिबिंब समतल दर्पण में देखने के लिए,आवश्यक दर्पण की न्यूनतम लंबाई $H/2$ होती है।
इसका कारण यह है कि सिर के ऊपरी हिस्से और पैरों से आने वाली प्रकाश की किरणें दर्पण से परावर्तित होकर आँखों तक पहुँचनी चाहिए।
यहाँ व्यक्ति की ऊँचाई $H = 160\,cm$ दी गई है।
अतः,दर्पण की न्यूनतम लंबाई $L = H/2 = 160/2 = 80\,cm$ होगी।
आँखों की ऊँचाई पूर्ण प्रतिबिंब देखने के लिए आवश्यक दर्पण की न्यूनतम लंबाई को प्रभावित नहीं करती है,बशर्ते दर्पण सही ढंग से स्थित हो।

(A) एक आभासी वस्तु तब बनती है जब आपतित किरणें दर्पण के पीछे किसी बिंदु की ओर अभिसरित हो रही होती हैं। इस मामले में,दर्पण के पीछे का बिंदु $P$ एक आभासी वस्तु के रूप में कार्य करता है।
जब ये किरणें समतल दर्पण से टकराती हैं,तो वे परावर्तित हो जाती हैं और वास्तव में दर्पण के सामने बिंदु $Q$ पर मिलती हैं।
चूंकि परावर्तित किरणें वास्तव में बिंदु $Q$ पर मिलती हैं,इसलिए $Q$ पर बना प्रतिबिंब एक वास्तविक प्रतिबिंब है।
अतः,समतल दर्पण के कारण आभासी वस्तु का प्रतिबिंब वास्तविक होता है।
कथन और कारण दोनों सही हैं,और कारण कथन की सही व्याख्या करता है।

(A) $\theta$ कोण पर झुके हुए दो समतल दर्पणों द्वारा बनने वाले प्रतिबिंबों की संख्या $n$,$n = \frac{360^o}{\theta} - 1$ द्वारा दी जाती है यदि $\frac{360^o}{\theta}$ एक सम पूर्णांक है।
यदि $\frac{360^o}{\theta}$ एक विषम पूर्णांक है,तो यदि वस्तु को सममित रूप से रखा जाता है तो $n = \frac{360^o}{\theta} - 1$ और यदि वस्तु को असममित रूप से रखा जाता है तो $n = \frac{360^o}{\theta}$ होता है।
यहाँ $\theta = 72^o$ दिया गया है,इसलिए $\frac{360^o}{72^o} = 5$,जो एक विषम पूर्णांक है।
चूंकि वस्तु को असममित रूप से रखा गया है,इसलिए बनने वाले प्रतिबिंबों की संख्या $n = 5$ है।
अतः,कथन सही है।
कारण,दो झुके हुए समतल दर्पणों द्वारा बनने वाले प्रतिबिंबों की संख्या के लिए सामान्य नियम बताता है,जो सही है।
चूंकि कथन,कारण में बताए गए नियम का सीधा अनुप्रयोग है,इसलिए कारण,कथन की सही व्याख्या है।

(B) समतल दर्पण वास्तविक प्रतिबिंब तब बनाता है जब वस्तु आभासी होती है। आभासी वस्तु तब बनती है जब अभिसारी प्रकाश किरणें दर्पण पर आपतित होती हैं। परावर्तित किरणें तब दर्पण के सामने एक बिंदु पर अभिसरित होती हैं,जिससे वास्तविक प्रतिबिंब बनता है।
इसके विपरीत,यदि वस्तु वास्तविक है (बिंदु स्रोत से आने वाली अपसारी किरणें),तो समतल दर्पण दर्पण के पीछे एक आभासी प्रतिबिंब बनाता है।
इसलिए,कथन सही है क्योंकि यदि आपतित किरणें अभिसारी (आभासी वस्तु) हों तो समतल दर्पण वास्तविक प्रतिबिंब बना सकता है।
कारण भी सही है क्योंकि समतल दर्पण वास्तविक वस्तु के लिए आभासी प्रतिबिंब बनाता है।
हालाँकि,कारण यह नहीं बताता कि कथन सत्य क्यों है; यह एक अलग स्थिति (वास्तविक वस्तु बनाम आभासी वस्तु) का वर्णन करता है। अतः,दोनों सही हैं,लेकिन कारण,कथन की सही व्याख्या नहीं है।

(D) दिया गया है:
दर्पण का विक्षेप कोण,$\theta = 3.5^{\circ}$.
दर्पण से पर्दे की दूरी,$D = 1.5\; m$.
जब एक समतल दर्पण को $\theta$ कोण से घुमाया जाता है,तो परावर्तित किरण $2\theta$ कोण से घूम जाती है।
इसलिए,परावर्तित किरण का विक्षेप कोण $2\theta = 2 \times 3.5^{\circ} = 7.0^{\circ}$ होगा।
पर्दे पर परावर्तित प्रकाश के बिंदु का विस्थापन $(d)$ निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया जाता है:
$\tan(2\theta) = \frac{d}{D}$
मान रखने पर:
$d = D \times \tan(7.0^{\circ})$
$d = 1.5\; m \times \tan(7.0^{\circ})$
$\tan(7.0^{\circ}) \approx 0.12278$ का उपयोग करने पर,
$d = 1.5 \times 0.12278 = 0.18417\; m$
विस्थापन को सेंटीमीटर में बदलने पर:
$d = 0.18417 \times 100\; cm = 18.417\; cm \approx 18.4\; cm$.
अतः,परावर्तित प्रकाश के बिंदु का विस्थापन $18.4\; cm$ है।

जब प्रकाश की किरणें किसी पॉलिश की हुई सतह से टकराती हैं,तो वे वापस उसी माध्यम में लौट आती हैं,इस घटना को प्रकाश का परावर्तन कहते हैं।
परावर्तन के नियम:
$(i)$ आपतित किरण,परावर्तित किरण और आपतन बिंदु पर सतह के अभिलंब,तीनों एक ही तल में स्थित होते हैं।
$(ii)$ आपतन कोण $(i)$ का मान परावर्तन कोण $(r)$ के बराबर होता है,अर्थात $\angle i = \angle r$।

(A) दर्पण मुख्य रूप से दो प्रकार के होते हैं:
$(1)$ समतल दर्पण
$(2)$ गोलीय दर्पण
गोलीय दर्पण के दो प्रकार होते हैं:
$(1)$ अवतल दर्पण: यदि गोलीय दर्पण की आंतरिक (वक्र) सतह को परावर्तक बनाया जाता है,तो इसे अवतल दर्पण कहा जाता है।
$(2)$ उत्तल दर्पण: यदि गोलीय दर्पण की बाहरी (उभरी हुई) सतह को परावर्तक बनाया जाता है,तो इसे उत्तल दर्पण कहा जाता है।

(N/A) आपतित प्रकाश की तरंगदैर्ध्य,$\lambda = 5000 \,\mathring{A} = 5000 \times 10^{-10} \,m$.
प्रकाश की गति,$c = 3 \times 10^{8} \,m/s$.
आपतित प्रकाश की आवृत्ति इस संबंध द्वारा दी जाती है,$v = \frac{c}{\lambda}$.
$v = \frac{3 \times 10^{8}}{5000 \times 10^{-10}} = 6 \times 10^{14} \,Hz$.
परावर्तित प्रकाश की तरंगदैर्ध्य और आवृत्ति आपतित प्रकाश के समान ही रहती है।
अतः,परावर्तित प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $5000 \,\mathring{A}$ है और इसकी आवृत्ति $6 \times 10^{14} \,Hz$ है।
जब परावर्तित किरण आपतित किरण के लंबवत होती है,तो आपतन कोण $\angle i$ और परावर्तन कोण $\angle r$ का योग $90^{\circ}$ होता है।
परावर्तन के नियम के अनुसार,आपतन कोण हमेशा परावर्तन कोण के बराबर होता है,अर्थात $\angle i = \angle r$.
इसलिए,$\angle i + \angle i = 90^{\circ} \implies 2\angle i = 90^{\circ} \implies \angle i = 45^{\circ}$.
दी गई स्थिति के लिए आपतन कोण $45^{\circ}$ है।

(C) परावर्तन के नियम के अनुसार,आपतन कोण परावर्तन कोण के बराबर होता है,और आपतित किरण,परावर्तित किरण और अभिलंब एक ही तल में स्थित होते हैं।
मान लीजिए अभिलंब सदिश $\overrightarrow{ c }$ है। अभिलंब के अनुदिश आपतित किरण $\overrightarrow{ a }$ का घटक $(\overrightarrow{ a } \cdot \overrightarrow{ c }) \overrightarrow{ c }$ है।
अभिलंब के लंबवत $\overrightarrow{ a }$ का घटक $\overrightarrow{ a } - (\overrightarrow{ a } \cdot \overrightarrow{ c }) \overrightarrow{ c }$ है।
चूंकि परावर्तित किरण $\overrightarrow{ b }$ का अभिलंब के लंबवत घटक समान रहता है लेकिन अभिलंब के अनुदिश घटक विपरीत हो जाता है,इसलिए:
$\overrightarrow{ b } = (\overrightarrow{ a } - (\overrightarrow{ a } \cdot \overrightarrow{ c }) \overrightarrow{ c }) - (\overrightarrow{ a } \cdot \overrightarrow{ c }) \overrightarrow{ c }$
$\overrightarrow{ b } = \overrightarrow{ a } - 2(\overrightarrow{ a } \cdot \overrightarrow{ c }) \overrightarrow{ c }$

(C) मान लीजिए कि दर्पण $y$-अक्ष पर स्थित है और इसका केंद्र मूल बिंदु $(0,0)$ पर है। दर्पण $y = -25 \,cm$ से $y = +25 \,cm$ तक फैला है।
प्रकाश स्रोत $S$ बिंदु $(60 \,cm, 0)$ पर है।
समतल दर्पण में स्रोत $S$ का प्रतिबिंब $S'$ बिंदु $(-60 \,cm, 0)$ पर बनता है।
व्यक्ति दर्पण से $1.2 \,m = 120 \,cm$ की दूरी पर चलता है।
प्रतिबिंब $S'$ से निकलने वाली किरणें जो दृष्टि क्षेत्र को परिभाषित करती हैं,वे दर्पण के किनारों $y = 25 \,cm$ और $y = -25 \,cm$ से होकर गुजरती हैं।
समरूप त्रिभुजों का उपयोग करते हुए,ऊंचाई और प्रतिबिंब $S'$ से दूरी का अनुपात स्थिर रहता है:
$\frac{y_{edge}}{distance_{S'}} = \frac{x}{distance_{S'} + distance_{man}}$
यहाँ,दर्पण से प्रतिबिंब $S'$ की दूरी $60 \,cm$ है। दर्पण से व्यक्ति की दूरी $120 \,cm$ है।
इसलिए,प्रतिबिंब $S'$ से व्यक्ति की कुल दूरी $60 \,cm + 120 \,cm = 180 \,cm$ है।
समरूप त्रिभुजों के गुण का उपयोग करते हुए:
$\frac{25 \,cm}{60 \,cm} = \frac{x}{180 \,cm}$
$x = \frac{25 \times 180}{60} = 25 \times 3 = 75 \,cm$.
यह $x$ केंद्रीय अक्ष से एक तरफ के चरम बिंदु तक की दूरी है।
दोनों चरम बिंदुओं के बीच की कुल दूरी $2x = 2 \times 75 \,cm = 150 \,cm$ है।

(B) मान लीजिए कि जिस कोने पर दर्पण मिलते हैं वह मूल बिंदु $(0,0)$ है। बिंदु स्रोत $P$ की स्थिति $(a, 2a)$ है।
दर्पण ${M}_{1}$ ($x=0$ पर) द्वारा निर्मित प्रतिबिंब ${I}_{1} = (-a, 2a)$ है।
दर्पण ${M}_{2}$ ($y=0$ पर) द्वारा निर्मित प्रतिबिंब ${I}_{2} = (a, -2a)$ है।
दोनों दर्पणों द्वारा निर्मित प्रतिबिंब (परावर्तनों का प्रतिच्छेदन) ${I}_{3} = (-a, -2a)$ है।
हमें प्रतिबिंबों के सभी जोड़ों के बीच की दूरी ज्ञात करने की आवश्यकता है:
$1$. ${I}_{1}$ और ${I}_{2}$ के बीच की दूरी: $\sqrt{(a - (-a))^2 + (-2a - 2a)^2} = \sqrt{(2a)^2 + (-4a)^2} = \sqrt{4a^2 + 16a^2} = \sqrt{20a^2} = 2\sqrt{5}a = 2 \times 2.3a = 4.6a$.
$2$. ${I}_{1}$ और ${I}_{3}$ के बीच की दूरी: $\sqrt{(-a - (-a))^2 + (-2a - 2a)^2} = \sqrt{0 + (-4a)^2} = 4a$.
$3$. ${I}_{2}$ और ${I}_{3}$ के बीच की दूरी: $\sqrt{(-a - a)^2 + (-2a - (-2a))^2} = \sqrt{(-2a)^2 + 0} = 2a$.
सबसे लंबी दूरी $4.6a$ है। अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) लहरें समतल दर्पण के रूप में कार्य करती हैं जो प्रकाश को परावर्तित करके $\delta$ कोणीय विस्तार वाला प्रतिबिंब बनाती हैं।
यह दिया गया है कि $O$ और $E$ समान ऊँचाई पर हैं,इसलिए $O E B C$ एक समलंब चतुर्भुज बनाता है जहाँ $O E \parallel B C$ है।
मान लीजिए बिंदु $B$ पर आपतन कोण $\beta$ है और बिंदु $C$ पर आपतन कोण $\gamma$ है।
परावर्तन की ज्यामिति से,क्षैतिज के साथ परावर्तित किरण का कोण दर्पण की सतह के झुकाव $\alpha$ से प्रभावित होता है।
परावर्तन के नियम और आरेख में दिखाए गए कोणों के ज्यामितीय गुणों का उपयोग करते हुए:
$\angle 1 = 90^{\circ} - \beta - \alpha$
$\angle 2 = 90^{\circ} - \gamma - \alpha$
चूंकि $O$ और $E$ समान ऊँचाई पर हैं,समरूपता के कारण $\beta = \gamma$ होता है।
कोणीय विस्तार $\delta$ प्रेक्षक $E$ पर परावर्तित किरणों द्वारा बनाया गया कोण है।
त्रिभुज की ज्यामिति से,झुके हुए दर्पणों के कारण होने वाला कुल विचलन $\delta = 2 \alpha$ होता है।

(C) प्रकाश किरण के हर दूसरी दीवार से ठीक एक बार परावर्तित होने के बाद उसी छेद से बाहर निकलने के लिए,पथ को वर्ग के विकर्ण के सापेक्ष सममित होना चाहिए।
मान लीजिए कि आपतन कोण $\theta_i$ है। पहली दीवार पर परावर्तन कोण भी $\theta_i$ होगा।
वर्ग के माध्यम से पथ का अनुसरण करने पर,ज्यामिति यह मांग करती है कि बाद की दीवारों पर आपतन कोण ऐसा हो जो बाहर निकलने वाले कोण $e = \theta_i$ के साथ छेद पर वापस आ जाए।
किरण के अन्य तीनों दीवारों से टकराने के बाद उसी छेद से बाहर निकलने के लिए,कुल विचलन ऐसा होना चाहिए कि किरण अपने मूल पथ के समानांतर हो लेकिन विपरीत दिशा में हो,या एक सममित पथ का अनुसरण करे।
एक वर्गाकार बाड़े में,प्रकाश के तीनों दीवारों से टकराकर छेद पर वापस आने के लिए,ज्यामिति यह निर्धारित करती है कि $\theta_i$ को $2\theta_i = 90^{\circ}$ की शर्त को पूरा करना होगा,जो $\theta_i = 45^{\circ}$ देता है।
अतः,किरण केवल $\theta_i = 45^{\circ}$ पर ही बाहर आएगी।

(D) जब प्रकाश की एक किरण $\theta$ कोण पर झुके हुए दो समतल दर्पणों से दो क्रमिक परावर्तन करती है,तो उत्पन्न कुल विचलन $\delta$ सूत्र $\delta = 360^{\circ} - 2\theta$ द्वारा दिया जाता है।
इस प्रश्न में,निर्गत किरण आपतित किरण के समानांतर है,जिसका अर्थ है कि कुल विचलन $\delta = 180^{\circ}$ है।
इस मान को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$180^{\circ} = 360^{\circ} - 2\theta$
$\theta$ के लिए हल करने हेतु पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$2\theta = 360^{\circ} - 180^{\circ}$
$2\theta = 180^{\circ}$
$\theta = 90^{\circ}$
अतः,परावर्तित किरण को आपतित किरण के समानांतर होने के लिए दर्पणों के बीच का कोण $90^{\circ}$ होना चाहिए।

(C) आपतित किरण ऋणात्मक $y$-दिशा में यात्रा करती है,इसलिए इसका दिशा सदिश $-\hat{j}$ है।
दर्पण $Y$-अक्ष के साथ $30^{\circ}$ का कोण बनाता है। दर्पण का अभिलंब $X$-अक्ष के साथ $30^{\circ}$ का कोण बनाता है (या $Y$-अक्ष के साथ $60^{\circ}$ का कोण)।
परावर्तन के नियम के अनुसार,आपतन कोण परावर्तन कोण के बराबर होता है।
आपतित किरण दर्पण की सतह के साथ $30^{\circ}$ का कोण बनाती है। अतः,परावर्तित किरण भी दर्पण की सतह के साथ $30^{\circ}$ का कोण बनाएगी।
ज्यामिति को देखने पर,परावर्तित किरण चौथे चतुर्थांश में $X$-अक्ष के साथ $30^{\circ}$ का कोण बनाती है।
परावर्तित किरण के दिशा सदिश को $\vec{v} = v_x \hat{i} + v_y \hat{j}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि यह चौथे चतुर्थांश में है,इसलिए $v_x > 0$ और $v_y < 0$ है।
धनात्मक $X$-अक्ष के साथ कोण $-30^{\circ}$ है।
अतः,दिशा $(\cos(-30^{\circ})\hat{i} + \sin(-30^{\circ})\hat{j}) = (\frac{\sqrt{3}}{2}\hat{i} - \frac{1}{2}\hat{j})$ के समानुपाती है।
$2$ से गुणा करने पर,हमें $\sqrt{3}\hat{i} - \hat{j}$ सदिश प्राप्त होता है।
इसलिए,सही विकल्प $(c)$ है।

(C) चित्र की ज्यामिति से,स्क्रीन पर छाया की लंबाई $CD = H$ है।
समरूप त्रिभुजों $\triangle BGF$ और $\triangle DEF$ से,हमारे पास है:
$\frac{DE}{BG} = \frac{FE}{GF} \Rightarrow \frac{h'}{h} = \frac{d-x}{x} \Rightarrow \frac{d}{x} = \frac{h' + h}{h} \quad \dots(i)$
अब,समरूप त्रिभुजों $\triangle ABG$ और $\triangle ACE$ से,हमारे पास है:
$\frac{CE}{AE} = \frac{BG}{AG} \Rightarrow \frac{H + h'}{d + x} = \frac{h}{x} \Rightarrow \frac{d+x}{x} = \frac{H + h'}{h} \Rightarrow \frac{d}{x} + 1 = \frac{H + h'}{h} \Rightarrow \frac{d}{x} = \frac{H + h' - h}{h} \quad \dots(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर:
$\frac{h' + h}{h} = \frac{H + h' - h}{h}$
$h' + h = H + h' - h$
$H = 2h$
अतः,दीवार पर छाया की ऊंचाई $2h$ है।

(A) जब एक समतल दर्पण को उसके तल में स्थित एक अक्ष के परितः $\delta$ कोण से घुमाया जाता है,तो दर्पण का अभिलंब भी उसी $\delta$ कोण से घूम जाता है।
माना आपतन कोण $i$ है। परावर्तन कोण भी $i$ होता है।
जब दर्पण $\delta$ कोण से घूमता है,तो नया आपतन कोण $i \pm \delta$ हो जाता है (घूर्णन की दिशा पर निर्भर करता है)।
नया परावर्तन कोण भी $i \pm \delta$ होगा।
परावर्तित किरण की दिशा में परिवर्तन,नए परावर्तन कोण और मूल परावर्तन कोण के बीच का अंतर है।
गणितीय रूप से,प्रकाशिकी में यह एक मानक परिणाम है कि यदि एक समतल दर्पण को $\delta$ कोण से घुमाया जाता है,तो परावर्तित किरण उसी दिशा में $2 \delta$ कोण से घूम जाती है।

(A) डिजिटल मूवी प्रोजेक्टर,विशेष रूप से वे जो $DLP$ (डिजिटल लाइट प्रोसेसिंग) तकनीक का उपयोग करते हैं,डिजिटल माइक्रोमिरर डिवाइस $(DMD)$ पर आधारित होते हैं।
इस उपकरण में एक सेमीकंडक्टर चिप पर लाखों सूक्ष्म दर्पण लगे होते हैं।
प्रत्येक दर्पण प्रक्षेपित छवि के एक पिक्सेल के अनुरूप होता है।
इन माइक्रोमिरर्स को झुकाकर,प्रोजेक्टर प्रकाश को या तो लेंस की ओर (उज्ज्वल पिक्सेल बनाने के लिए) या उससे दूर (अंधेरा पिक्सेल बनाने के लिए) परावर्तित करता है।
इसलिए,इसका मूल सिद्धांत सूक्ष्म दर्पणों से प्रकाश का परावर्तन है।

(B) रियरव्यू मिरर में डे और नाइट सेटिंग के लिए मोटे वेज-आकार (wedge-shaped) के दर्पण का उपयोग किया जाता है।
'दिन' की स्थिति में,कांच की सामने की सतह प्रकाश को परावर्तित करती है,जिससे एक स्पष्ट और उज्ज्वल प्रतिबिंब प्राप्त होता है।
'रात' की स्थिति में,दर्पण को इस तरह झुकाया जाता है कि प्रकाश दर्पण की पिछली चांदी वाली सतह से परावर्तित हो,जो प्रतिबिंब को धुंधला कर देता है,जिससे पीछे आने वाले वाहनों की हेडलाइट की चकाचौंध (glare) कम हो जाती है।

(A) वास्तविक प्रतिबिंब तब बनता है जब प्रकाश की किरणें परावर्तन के बाद वास्तव में एक-दूसरे को काटती हैं।
समतल दर्पण के लिए,वास्तविक प्रतिबिंब तभी बनता है जब आपतित प्रकाश किरण पुंज दर्पण के पीछे किसी बिंदु की ओर अभिसारी (converging) हो।
इस स्थिति में,दर्पण के पीछे का बिंदु समतल दर्पण के लिए एक आभासी वस्तु के रूप में कार्य करता है।
इसके बाद परावर्तित किरणें दर्पण के सामने एक बिंदु पर अभिसरित होती हैं,जिससे एक वास्तविक प्रतिबिंब बनता है।
इसलिए,आपतित किरण पुंज का अभिसारी होना आवश्यक है।

(C) मान लीजिए गेंद का वेग $\vec{v}_b = u \cos \theta \hat{i} + u \sin \theta \hat{j}$ है।
यह मानते हुए कि दर्पण को $yz$-तल में लंबवत रखा गया है,गेंद के प्रतिबिंब का वेग $\vec{v}_i = -u \cos \theta \hat{i} + u \sin \theta \hat{j}$ होगा।
गेंद के सापेक्ष प्रतिबिंब का वेग $\vec{v}_{ib} = \vec{v}_i - \vec{v}_b$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\vec{v}_{ib} = (-u \cos \theta \hat{i} + u \sin \theta \hat{j}) - (u \cos \theta \hat{i} + u \sin \theta \hat{j})$.
$\vec{v}_{ib} = -2u \cos \theta \hat{i}$.
चूंकि वेग स्थिर है और ऋणात्मक $x$-अक्ष की दिशा में है,इसलिए गति एक सीधी रेखा में और क्षैतिज होगी।

(A) समतल दर्पण हमेशा आभासी,सीधा,वस्तु के आकार के बराबर और पार्श्व रूप से उल्टा (laterally inverted) प्रतिबिंब बनाता है।
चूंकि प्रतिबिंब आभासी है,इसलिए यह वास्तविक नहीं है।
चूंकि प्रतिबिंब सीधा है,यह स्थिति $B$ को संतुष्ट करता है।
चूंकि प्रतिबिंब समान आकार का है,यह स्थिति $C$ को संतुष्ट नहीं करता है।
चूंकि प्रतिबिंब पार्श्व रूप से उल्टा है,यह स्थिति $D$ को संतुष्ट करता है।
अतः,सही विशेषताएँ $B$ (सीधा) और $D$ (पार्श्व रूप से उल्टा) हैं।

(B) मान लीजिए कि दर्पणों के बीच की दूरी $d = 10\,cm$ है। वस्तु $O$,दर्पण $A$ से $x_A = 2\,cm$ और दर्पण $B$ से $x_B = 8\,cm$ की दूरी पर है।
$1$. दर्पण $A$ द्वारा बनाया गया पहला प्रतिबिंब $I_1$,दर्पण $A$ के पीछे $2\,cm$ की दूरी पर है।
$2$. दर्पण $B$ द्वारा बनाया गया पहला प्रतिबिंब $I_2$,दर्पण $B$ के पीछे $8\,cm$ की दूरी पर है।
$3$. दर्पण $A$ द्वारा बनाया गया दूसरा प्रतिबिंब $(I_3)$,दर्पण $A$ द्वारा $I_2$ का प्रतिबिंब है। दर्पण $A$ से $I_2$ की दूरी $10\,cm + 8\,cm = 18\,cm$ है। इसलिए,$I_3$,दर्पण $A$ के पीछे $18\,cm$ की दूरी पर बनता है।
दर्पण $A$ के पीछे के प्रतिबिंब $2\,cm$ $(I_1)$ और $18\,cm$ $(I_3)$ की दूरी पर हैं। दर्पण $A$ के पीछे दूसरा सबसे निकटतम प्रतिबिंब दर्पण $A$ से $18\,cm$ की दूरी पर है।

(B) प्रारंभ में,वस्तु $x = -12\,cm$ पर है और दर्पण $x = 0$ पर है। प्रतिबिंब $x = +12\,cm$ पर बनता है।
जब दर्पण को वस्तु की ओर $4\,cm$ खिसकाया जाता है,तो दर्पण की नई स्थिति $x = -4\,cm$ होती है।
नई दर्पण स्थिति से वस्तु की दूरी $u = |-12 - (-4)| = 8\,cm$ है।
चूंकि प्रतिबिंब दर्पण के पीछे समान दूरी पर बनता है,इसलिए प्रतिबिंब की नई स्थिति $x_i$ समीकरण $|x_i - (-4)| = 8\,cm$ को संतुष्ट करती है,जिससे $x_i = 4\,cm$ प्राप्त होता है।
प्रतिबिंब की प्रारंभिक स्थिति $12\,cm$ थी और अंतिम स्थिति $4\,cm$ है।
अतः,प्रतिबिंब की स्थिति में विस्थापन $12\,cm - 4\,cm = 8\,cm$ दर्पण की ओर होगा।

(B) परावर्तन के नियम के अनुसार,आपतन कोण $i$,परावर्तन कोण $r$ के बराबर होता है। दिया गया है $r = 30^{\circ}$,इसलिए $i = 30^{\circ}$ होगा।
समतल दर्पण के लिए विचलन कोण $\delta$ का सूत्र $\delta = 180^{\circ} - (i + r)$ है।
मान रखने पर: $\delta = 180^{\circ} - (30^{\circ} + 30^{\circ}) = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$।
अतः,विचलन कोण $120^{\circ}$ है।

(C) माना आपतित इकाई सदिश $\vec{a} = \frac{1}{2}\hat{i} + \frac{\sqrt{3}}{2}\hat{j}$ है और परावर्तित इकाई सदिश $\vec{b} = \frac{1}{2}\hat{i} - \frac{\sqrt{3}}{2}\hat{j}$ है।
इन दो सदिशों के बीच का कोण $\theta$ डॉट प्रोडक्ट सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$.
चूंकि ये इकाई सदिश हैं,$|\vec{a}| = 1$ और $|\vec{b}| = 1$ है।
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (\frac{1}{2})(\frac{1}{2}) + (\frac{\sqrt{3}}{2})(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{3}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$.
अतः,$\cos \theta = -\frac{1}{2}$,जिसका अर्थ है $\theta = 120^{\circ}$।
आपतित किरण और परावर्तित किरण के बीच का कोण $120^{\circ}$ है।
विचलन कोण $\delta = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$ है।
विचलन कोण का सूत्र $\delta = 180^{\circ} - 2i$ भी होता है,जहाँ $i$ आपतन कोण है।
$60^{\circ} = 180^{\circ} - 2i \implies 2i = 120^{\circ} \implies i = 60^{\circ}$।

(B) समतल दर्पण का आवर्धन $(m)$ $+1$ होता है।
इसका कारण यह है कि समतल दर्पण वस्तु के आकार के बराबर ही प्रतिबिंब बनाता है $(h_i = h_o)$।
समतल दर्पण द्वारा बना प्रतिबिंब आभासी और सीधा होता है,जिसका अर्थ है कि आवर्धन धनात्मक होना चाहिए।
चूंकि प्रतिबिंब की ऊंचाई वस्तु की ऊंचाई के बराबर होती है,इसलिए अनुपात $1$ होता है।
अतः,आवर्धन की गणना इस प्रकार की जाती है:
$m = \frac{h_i}{h_o} = 1$.