Mass-Energy, Nuclear Binding Energy, Nuclear Stability Questions in Hindi

(A) परमाणु क्रमांक $Z = 14$ और द्रव्यमान संख्या $A = 29$ है।
प्रोटॉन की संख्या $Z = 14$ है।
न्यूट्रॉन की संख्या $N = A - Z = 29 - 14 = 15$ है।
द्रव्यमान क्षति $\Delta m$ इस प्रकार है: $\Delta m = [Z m_p + N m_n] - M_{nucleus}$.
$\Delta m = [14 \times 1.007276 u + 15 \times 1.008664 u] - 28.976495 u$.
$\Delta m = [14.101864 u + 15.129960 u] - 28.976495 u$.
$\Delta m = 29.231824 u - 28.976495 u = 0.255329 u$.
बंधन ऊर्जा $B.E. = \Delta m \times 931.5 MeV/u$.
$B.E. = 0.255329 \times 931.5 MeV \approx 237.84 MeV$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $237.86 MeV$ है।

(B) कथन $(i)$ गलत है क्योंकि नाभिक का द्रव्यमान हमेशा उसके व्यक्तिगत न्यूक्लियॉन के द्रव्यमान के योग से कम होता है। यह द्रव्यमान अंतर,जिसे द्रव्यमान क्षति कहा जाता है,नाभिक के निर्माण के समय मुक्त होने वाली बंधन ऊर्जा के अनुरूप होता है। इसलिए,नाभिक की द्रव्यमान ऊर्जा उसके व्यक्तिगत प्रोटॉन और न्यूट्रॉन की कुल द्रव्यमान ऊर्जा से कम होती है।
कथन $(ii)$ सत्य है। एक नाभिक को उसके घटक न्यूक्लियॉन में अलग करने के लिए,प्रबल नाभिकीय बल के विरुद्ध कार्य करना पड़ता है,जिसके लिए बंधन ऊर्जा के बराबर ऊर्जा इनपुट की आवश्यकता होती है।
कथन $(iii)$ सत्य है। प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा नाभिकीय स्थिरता का एक मानक माप है; उच्च मान इंगित करते हैं कि न्यूक्लियॉन अधिक मजबूती से बंधे हुए हैं।
कथन $(iv)$ सत्य है। नाभिकीय विखंडन में,एक भारी नाभिक प्रति न्यूक्लियॉन उच्च बंधन ऊर्जा वाले हल्के नाभिकों में विभाजित हो जाता है,जिसके परिणामस्वरूप ऊर्जा मुक्त होती है।
अतः,कथन $(ii)$,$(iii)$ और $(iv)$ सही हैं।

(A) अल्फा कण $\left({ }^{4} He\right)$ में $2$ प्रोटॉन और $2$ न्यूट्रॉन होते हैं।
घटकों का कुल द्रव्यमान $m_{c} = 2(m_{p} + m_{n}) = 2(1.00783 + 1.00867) = 2(2.01650) = 4.03300 \ amu$ है।
द्रव्यमान क्षति $\Delta m = m_{c} - m_{He} = 4.03300 - 4.00300 = 0.0300 \ amu$ है।
बंधन ऊर्जा $E$ की गणना करने के लिए $1 \ amu = 931 \ MeV$ का उपयोग करते हुए:
$E = \Delta m \times 931 \ MeV/amu = 0.0300 \times 931 = 27.93 \ MeV$।
अतः,बंधन ऊर्जा लगभग $27.9 \ MeV$ है।

(A) एक नाभिक की स्थिरता सीधे उसकी प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा से संबंधित होती है। हालाँकि,इन प्रतिक्रियाओं में,हम सापेक्ष स्थिरता निर्धारित करने के लिए सीधे बंधन ऊर्जा $(BE)$ की तुलना कर सकते हैं।
पहली प्रतिक्रिया से: ${ }_2 He ^3 + { }_0 n ^1 \rightarrow { }_2 He ^4 + 20 \ MeV$। मुक्त ऊर्जा $(Q = 20 \ MeV)$ का अर्थ है कि $BE({ }_2 He ^4) - BE({ }_2 He ^3) = 20 \ MeV$। अतः,$BE({ }_2 He ^4) > BE({ }_2 He ^3)$।
दूसरी प्रतिक्रिया से: ${ }_2 He ^4 + { }_0 n ^1 \rightarrow { }_2 He ^5 - 0.9 \ MeV$। अवशोषित ऊर्जा $(Q = -0.9 \ MeV)$ का अर्थ है कि $BE({ }_2 He ^5) - BE({ }_2 He ^4) = -0.9 \ MeV$। अतः,$BE({ }_2 He ^4) > BE({ }_2 He ^5)$।
दोनों की तुलना करने पर,हमें $BE({ }_2 He ^4) > BE({ }_2 He ^3)$ और $BE({ }_2 He ^4) > BE({ }_2 He ^5)$ प्राप्त होता है।
चूँकि ${ }_2 He ^4$ एक बहुत ही स्थिर अल्फा कण (मैजिक नंबर $Z=2, N=2$) है,इसलिए इसकी स्थिरता सबसे अधिक है। ${ }_2 He ^3$ और ${ }_2 He ^5$ की तुलना करने पर,${ }_2 He ^3$ अधिक स्थिर है क्योंकि ${ }_2 He ^5$ अत्यधिक अस्थिर है और तेजी से क्षय होता है।
इसलिए,स्थिरता का सही क्रम $X_4 > X_3 > X_5$ है।

(D) कथन $I$ असत्य है क्योंकि प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा द्रव्यमान संख्या का एकदिष्ट वर्धमान फलन नहीं है। यह शुरू में बढ़ती है,आयरन $(Fe)$ के लिए अधिकतम तक पहुँचती है,और फिर भारी नाभिकों के लिए घटती है।
कथन $II$ सत्य है क्योंकि कम प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा वाले नाभिक कम स्थिर होते हैं। नाभिकीय विखंडन (भारी नाभिकों के लिए) या नाभिकीय संलयन (हल्के नाभिकों के लिए) जैसी प्रक्रियाओं के माध्यम से,वे अधिक स्थिर नाभिकों में परिवर्तित होने की प्रवृत्ति रखते हैं जिनकी प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा अधिक होती है,ताकि वे कम ऊर्जा वाली स्थिति प्राप्त कर सकें।

(C) आइंस्टीन के द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता सिद्धांत के अनुसार,ऊर्जा $E$ को सूत्र $E = mc^2$ द्वारा दर्शाया जाता है।
यहाँ,$m$ पदार्थ का द्रव्यमान है और $c$ निर्वात में प्रकाश की गति है।
दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 1.0 \text{ kg}$
प्रकाश की गति $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$E = 1.0 \text{ kg} \times (3 \times 10^8 \text{ m/s})^2$
$E = 1.0 \times 9 \times 10^{16} \text{ J}$
$E = 9 \times 10^{16} \text{ J}$
अतः,$1.0 \text{ kg}$ पदार्थ का ऊर्जा समतुल्य $9 \times 10^{16} \text{ J}$ है।
सही विकल्प $C$ है।

(B) प्रोटॉन की संख्या $Z = 83$ और न्यूट्रॉन की संख्या $N = 209 - 83 = 126$ है।
द्रव्यमान क्षति $\Delta m$ की गणना इस प्रकार की जाती है: $\Delta m = [Z m_p + N m_n - M_{nucleus}]$।
$\Delta m = [83 \times 1.007825 + 126 \times 1.008665 - 208.980388] \text{ u}$।
$\Delta m = [83.649475 + 127.09179 - 208.980388] \text{ u} = 1.760877 \text{ u}$।
कुल बंधन ऊर्जा $BE = \Delta m \times 931 \text{ MeV/u} = 1.760877 \times 931 \approx 1639.376 \text{ MeV}$ है।
प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा $\frac{BE}{A} = \frac{1639.376}{209} \approx 7.84 \text{ MeV}$ है।

(C) नाभिकीय अभिक्रिया इस प्रकार है: $2 \times X(A=3) + Y(A=4) \to Z(A=10)$.
अभिकारकों की कुल बंधन ऊर्जा $= (2 \times 3 \times 5.6 \text{ MeV}) + (4 \times 7.4 \text{ MeV}) = 33.6 \text{ MeV} + 29.6 \text{ MeV} = 63.2 \text{ MeV}$.
उत्पाद की कुल बंधन ऊर्जा $= 10 \times 6.1 \text{ MeV} = 61.0 \text{ MeV}$.
प्रक्रिया में ऊर्जा परिवर्तन $\Delta E = E_{\text{product}} - E_{\text{reactants}} = 61.0 \text{ MeV} - 63.2 \text{ MeV} = -2.2 \text{ MeV}$.
इस प्रक्रिया में शामिल ऊर्जा परिवर्तन का परिमाण $2.2 \text{ MeV}$ है।
अतः,$\Delta Mc^2 = 2.2 \text{ MeV}$.

(B) $^{12}_{6}C$ के नाभिक में $6$ प्रोटॉन और $6$ न्यूट्रॉन होते हैं।
घटक न्यूक्लियॉन का कुल द्रव्यमान इस प्रकार है:
$M_{nucleons} = 6 \times m_p + 6 \times m_n$
$M_{nucleons} = 6 \times 1.00727 \text{ u} + 6 \times 1.00866 \text{ u}$
$M_{nucleons} = 6.04362 \text{ u} + 6.05196 \text{ u} = 12.09558 \text{ u}$.
द्रव्यमान क्षति $\Delta m$ न्यूक्लियॉन के द्रव्यमानों के योग और नाभिक के वास्तविक द्रव्यमान के बीच का अंतर है:
$\Delta m = M_{nucleons} - M_{nucleus}$
$\Delta m = 12.09558 \text{ u} - 12.00000 \text{ u} = 0.09558 \text{ u}$.