Mass-Energy, Nuclear Binding Energy, Nuclear Stability Questions in Hindi

(B) नाभिक की प्रारंभिक बंधन ऊर्जा की गणना इस प्रकार की जाती है: $E_{i} = 242 \times 7.6\,MeV = 1839.2\,MeV$.
अंतिम अवस्था में दो टुकड़े होते हैं,जिनमें से प्रत्येक की द्रव्यमान संख्या $121$ है। प्रत्येक खंड के लिए प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा $8.1\,MeV$ है।
कुल अंतिम बंधन ऊर्जा है: $E_{f} = (121 \times 8.1\,MeV) + (121 \times 8.1\,MeV) = 242 \times 8.1\,MeV = 1960.2\,MeV$.
बंधन ऊर्जा में कुल लाभ अंतिम और प्रारंभिक बंधन ऊर्जा के बीच का अंतर है:
$\Delta E = E_{f} - E_{i} = 242 \times (8.1 - 7.6)\,MeV$.
$\Delta E = 242 \times 0.5\,MeV = 121\,MeV$.

(D) नाभिकीय अभिक्रिया में मुक्त ऊर्जा $Q$,द्रव्यमान क्षति और $1 \, u$ के ऊर्जा समतुल्य $(931.5 \, MeV/c^2)$ के गुणनफल के बराबर होती है।
द्रव्यमान क्षति $\Delta m = (m_A - m_B - m_D)$.
$\Delta m = (238.05079 - 234.04363 - 4.00260) \, u$.
$\Delta m = 238.05079 - 238.04623 = 0.00456 \, u$.
मुक्त ऊर्जा $Q = \Delta m \times 931.5 \, MeV/u$.
$Q = 0.00456 \times 931.5 \, MeV \approx 4.24764 \, MeV$.
निकटतम मान लेने पर,$Q \approx 4.25 \, MeV$।

(D) प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा का वक्र दर्शाता है कि $30$ से $170$ के बीच द्रव्यमान संख्या वाले नाभिकों के लिए, प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा लगभग स्थिर (लगभग $8 \text{ MeV}$ प्रति न्यूक्लियॉन) रहती है।
ऐसा इसलिए होता है क्योंकि नाभिकीय बल लघु-परास का होता है, जिसका अर्थ है कि एक न्यूक्लियॉन केवल अपने निकटतम पड़ोसियों के साथ ही अन्योन्यक्रिया करता है।
जैसे-जैसे द्रव्यमान संख्या बढ़ती है, एक दिए गए न्यूक्लियॉन के लिए पड़ोसियों की संख्या प्रभावी रूप से स्थिर रहती है, जिससे प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा कुल न्यूक्लियॉन संख्या से स्वतंत्र हो जाती है।
अतः, अभिकथन और कारण दोनों सत्य हैं, और नाभिकीय बल की लघु-परास प्रकृति ही प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा के संतृप्ति का कारण है।

(C) ${ }_{6} C^{13}$ से एक न्यूट्रॉन को हटाने के लिए नाभिकीय अभिक्रिया इस प्रकार है: ${ }_{6} C^{13} + \text{Energy} \rightarrow { }_{6} C^{12} + { }_{0} n^{1}$.
द्रव्यमान क्षति $\Delta m$ उत्पादों के द्रव्यमान और अभिकारक के द्रव्यमान के बीच का अंतर है:
$\Delta m = (M({ }_{6} C^{12}) + M({ }_{0} n^{1})) - M({ }_{6} C^{13})$
$\Delta m = (12.000000 + 1.008665) - 13.003354$
$\Delta m = 13.008665 - 13.003354 = 0.005311 \ u$.
आवश्यक ऊर्जा $E = \Delta m \times 931.5 \ MeV/u$ द्वारा दी जाती है:
$E = 0.005311 \times 931.5 \ MeV \approx 4.947 \ MeV \approx 4.95 \ MeV$.

(B) मुक्त हुई ऊर्जा आइंस्टीन के द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता सूत्र द्वारा दी जाती है: $E = \Delta m c^2$.
दी गई द्रव्यमान क्षति $\Delta m = 0.4 \,g = 0.4 \times 10^{-3} \,kg$ और प्रकाश की गति $c = 3 \times 10^8 \,m/s$ है।
मान रखने पर: $E = (0.4 \times 10^{-3} \,kg) \times (3 \times 10^8 \,m/s)^2$.
$E = 0.4 \times 10^{-3} \times 9 \times 10^{16} \,J = 3.6 \times 10^{13} \,J$.
हम जानते हैं कि $1 \,kWh = 3.6 \times 10^6 \,J$,इसलिए $1 \,J = \frac{1}{3.6 \times 10^6} \,kWh$.
$E = \frac{3.6 \times 10^{13}}{3.6 \times 10^6} \,kWh = 10^7 \,kWh$.
इसकी तुलना $n \times 10^7 \,kWh$ से करने पर,हमें $n = 1$ प्राप्त होता है।

(D) द्रव्यमान क्षति $\Delta m$ और बंधन ऊर्जा $BE$ के बीच का संबंध आइंस्टीन के द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता संबंध द्वारा दिया जाता है: $BE = \Delta m c^2$.
यहाँ $BE = 18 \times 10^8 \ J$ और प्रकाश की गति $c = 3 \times 10^8 \ m/s$ दी गई है।
मान रखने पर: $18 \times 10^8 = \Delta m \times (3 \times 10^8)^2$.
$18 \times 10^8 = \Delta m \times 9 \times 10^{16}$.
$\Delta m = \frac{18 \times 10^8}{9 \times 10^{16}} = 2 \times 10^{-8} \ kg$.
माइक्रोग्राम में बदलने पर: $2 \times 10^{-8} \ kg = 2 \times 10^{-8} \times 10^9 \ \mu g = 20 \ \mu g$.

(A) नाभिकीय बंधन ऊर्जा $(B.E.)$ को द्रव्यमान क्षति $(\Delta m)$ के ऊर्जा समतुल्य के रूप में परिभाषित किया जाता है।
समस्थानिक ${ }_{5}^{12} B$ में $Z = 5$ प्रोटॉन और $A - Z = 12 - 5 = 7$ न्यूट्रॉन होते हैं।
द्रव्यमान क्षति $\Delta m$ व्यक्तिगत न्यूक्लियॉन के द्रव्यमान के योग और नाभिक के वास्तविक द्रव्यमान $(M_0)$ के बीच के अंतर द्वारा दी जाती है:
$\Delta m = (Z M_p + (A - Z) M_n) - M_0$
$\Delta m = (5 M_p + 7 M_n - M_0)$
आइंस्टीन के द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता संबंध का उपयोग करते हुए,$B.E. = \Delta m C^2$:
$B.E. = (5 M_p + 7 M_n - M_0) C^2$.

(D) $\text{आइंस्टीन के द्रव्यमान-ऊर्जा समतुल्यता सूत्र का उपयोग करते हुए: } E = mc^2$.
$\text{दिया गया द्रव्यमान } m = 1 \,g = 10^{-3} \,kg$.
$\text{प्रकाश की गति } c = 3 \times 10^8 \,m/s$.
$E = (10^{-3} \,kg) \times (3 \times 10^8 \,m/s)^2 = 9 \times 10^{13} \,J$.
$\text{जूल को } MeV \text{ में बदलने के लिए, हम रूपांतरण कारक } 1 \,eV = 1.602 \times 10^{-19} \,J \text{ का उपयोग करते हैं, इसलिए } 1 \,MeV = 1.602 \times 10^{-13} \,J$.
$E = \frac{9 \times 10^{13} \,J}{1.602 \times 10^{-13} \,J/MeV} \approx 5.618 \times 10^{26} \,MeV$.
$\text{अतः, ऊर्जा समतुल्यता लगभग } 5.6 \times 10^{26} \,MeV \text{ है.}$

(A) यदि किसी नाभिकीय अभिक्रिया में उत्पादों की कुल बंधन ऊर्जा अभिकारकों की कुल बंधन ऊर्जा से अधिक है,तो ऊर्जा मुक्त होती है। अर्थात,$\Delta E = (BE)_{\text{final}} - (BE)_{\text{initial}} > 0$.
ग्राफ से:
$1 < A < 100$ के लिए,$B/A = 2 \text{ MeV}$.
$100 < A < 200$ के लिए,$B/A = 8 \text{ MeV}$.
$200 < A < 260$ के लिए,$B/A = 4 \text{ MeV}$.
$(A)$ $A \approx 50$ (प्रत्येक के लिए $B/A = 2$) वाले दो नाभिकों का संलयन $A \approx 100$ $(B/A = 8)$ वाला नाभिक बनाता है। अंतिम $B/A$ अधिक होने के कारण ऊर्जा मुक्त होती है। सही।
$(B)$ $A \approx 75$ (प्रत्येक के लिए $B/A = 2$) वाले दो नाभिकों का संलयन $A \approx 150$ $(B/A = 8)$ वाला नाभिक बनाता है। अंतिम $B/A$ अधिक होने के कारण ऊर्जा मुक्त होती है। सही।
$(C)$ $A \approx 150$ $(B/A = 8)$ वाले नाभिक का $A \approx 75$ $(B/A = 2)$ के दो टुकड़ों में विखंडन। अंतिम $B/A$ कम होने के कारण ऊर्जा अवशोषित होती है। गलत।
$(D)$ $A \approx 240$ $(B/A = 4)$ वाले नाभिक का $A \approx 120$ $(B/A = 8)$ के दो टुकड़ों में विखंडन। अंतिम $B/A$ अधिक होने के कारण ऊर्जा मुक्त होती है। सही।
अतः,$(A)$,$(B)$ और $(D)$ सही हैं। दिए गए विकल्पों में से $(A)$ और $(D)$ सबसे उपयुक्त विकल्प है।

(C) $Z > 20$ वाले स्थायी नाभिकों के लिए,$N/Z$ अनुपात $1$ से अधिक होता है। $1$ से कम $N/Z$ अनुपात वाले अस्थिर नाभिक में प्रोटॉन की अधिकता होती है।
$N/Z$ अनुपात को बढ़ाने और स्थिरता रेखा की ओर बढ़ने के लिए,नाभिक को प्रोटॉन की संख्या कम करनी होगी या न्यूट्रॉन की संख्या बढ़ानी होगी।
$1$. $\beta^{+}$-क्षय (पॉज़िट्रॉन उत्सर्जन): $^A_Z X \rightarrow ^A_{Z-1} Y + ^0_{+1} e + \nu_e$. यहाँ,एक प्रोटॉन न्यूट्रॉन में परिवर्तित हो जाता है,जिससे $N/Z$ अनुपात बढ़ जाता है।
$2$. $K$-इलेक्ट्रॉन कैप्चर: $^A_Z X + ^0_{-1} e \rightarrow ^A_{Z-1} Y +
u_e$. यहाँ,नाभिक द्वारा एक कक्षीय इलेक्ट्रॉन को पकड़ लिया जाता है,जो एक प्रोटॉन को न्यूट्रॉन में बदल देता है,जिससे $N/Z$ अनुपात भी बढ़ जाता है।
दोनों प्रक्रियाएं प्रभावी रूप से $N/Z$ अनुपात को $1$ की ओर बढ़ाती हैं,जिससे नाभिक स्थिर हो जाता है। अतः,सही विकल्प $B$ और $D$ हैं।

(C) ${ }_8^{15} O$ $(Z=8)$ और ${ }_7^{15} N$ $(Z=7)$ के बीच स्थिर-विद्युत ऊर्जा का अंतर $\Delta E_c = E_O - E_N = \frac{3}{5} \frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0 R} [8(7) - 7(6)] = \frac{3}{5} \frac{1.44}{R} [56 - 42] = \frac{3}{5} \times \frac{1.44 \times 14}{R} = \frac{12.096}{R} \ MeV$ है।
नाभिक की बंधन ऊर्जा $B = [Z m_H + (A-Z) m_n - M_{atom}] c^2$ द्वारा दी जाती है।
${ }_7^{15} N$ के लिए: $B_N = [7(1.007825) + 8(1.008665) - 15.000109] \times 931.5 \ MeV = 0.123986 \times 931.5 \ MeV$.
${ }_8^{15} O$ के लिए: $B_O = [8(1.007825) + 7(1.008665) - 15.003065] \times 931.5 \ MeV = 0.120190 \times 931.5 \ MeV$.
बंधन ऊर्जा में अंतर $\Delta B = B_N - B_O = (0.123986 - 0.120190) \times 931.5 = 3.536 \ MeV$ है।
$\Delta E_c = \Delta B$ रखने पर: $\frac{12.096}{R} = 3.536 \implies R = \frac{12.096}{3.536} \approx 3.42 \ fm$.

(C) नाभिकीय बल आवेश-स्वतंत्र होता है, इसलिए नाभिकीय बंधन ऊर्जा का योगदान प्रोटॉन और न्यूट्रॉन दोनों के लिए समान होता है। बंधन ऊर्जा में अंतर मुख्य रूप से प्रोटॉन द्वारा अनुभव की जाने वाली इलेक्ट्रोस्टैटिक स्थितिज ऊर्जा (कूलम्ब प्रतिकर्षण) के कारण उत्पन्न होता है।
$E_b^p - E_b^n = \text{नाभिक में प्रोटॉन की इलेक्ट्रोस्टैटिक स्थितिज ऊर्जा}$.
चूंकि प्रत्येक $Z$ प्रोटॉन अन्य $(Z-1)$ प्रोटॉन से प्रतिकर्षण का अनुभव करता है, इसलिए कुल इलेक्ट्रोस्टैटिक ऊर्जा $U = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Z(Z-1)e^2}{2R}$ है। प्रति प्रोटॉन औसत स्थितिज ऊर्जा $U/Z = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{(Z-1)e^2}{2R}$ है।
चूंकि $R = R_0 A^{1/3}$ दिया गया है, हमारे पास $E_b^p - E_b^n \propto \frac{Z-1}{A^{1/3}}$ है।
कथन $(A)$ सही है क्योंकि यह $Z(Z-1)$ के समानुपाती है यदि हम कुल ऊर्जा परिवर्तन पर विचार करें, लेकिन विशेष रूप से, प्रति प्रोटॉन अंतर $(Z-1)$ के समानुपाती होता है। हालाँकि, इस प्रकार के मानक भौतिकी प्रश्नों के संदर्भ में, अंतर को अक्सर $E_b^p - E_b^n \propto \frac{Z-1}{A^{1/3}}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।
कथन $(C)$ गलत है क्योंकि प्रोटॉन प्रतिकारक कूलम्ब बलों का अनुभव करते हैं, जिससे वे न्यूट्रॉन की तुलना में कम मजबूती से बंधे होते हैं $(E_b^p < E_b^n)$। अतः, $E_b^p - E_b^n$ ऋणात्मक है।
सही विकल्प $(A)$ और $(B)$ हैं।

(B) प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा का वक्र दर्शाता है कि $30$ और $170$ के बीच द्रव्यमान संख्या वाले नाभिकों के लिए,प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा लगभग स्थिर (प्रति न्यूक्लियॉन लगभग $8 \text{ MeV}$) रहती है। ऐसा इसलिए है क्योंकि नाभिकीय बल कम दूरी का होता है और संतृप्त होता है,जिसका अर्थ है कि प्रत्येक न्यूक्लियॉन केवल अपने निकटतम पड़ोसियों के साथ ही परस्पर क्रिया करता है। इसलिए,अभिकथन $(A)$ सही है। कारण $(R)$ कहता है कि नाभिकीय बल लंबी दूरी का बल है,जो गलत है; नाभिकीय बल एक कम दूरी का बल है। अतः,$(A)$ सही है लेकिन $(R)$ गलत है।

(D) नाभिकीय अभिक्रिया में मुक्त ऊर्जा उत्पादों की कुल बंधन ऊर्जा और अभिकारकों की कुल बंधन ऊर्जा के अंतर के बराबर होती है।
उत्पाद ${ }_2^4 He$ की कुल बंधन ऊर्जा $= \text{न्यूक्लियॉन की संख्या} \times \text{प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा} = 4 \times 7.0 \ MeV = 28.0 \ MeV$.
अभिकारकों $2 \times ({ }_1^2 H)$ की कुल बंधन ऊर्जा $= 2 \times (2 \times 1.1 \ MeV) = 2 \times 2.2 \ MeV = 4.4 \ MeV$.
मुक्त ऊर्जा $\Delta E = (28.0 \ MeV) - (4.4 \ MeV) = 23.6 \ MeV$.

(C) यदि उत्पादों की कुल बंधन ऊर्जा अभिकारकों की कुल बंधन ऊर्जा से अधिक है,तो नाभिकीय अभिक्रिया में ऊर्जा मुक्त होती है। इसका अर्थ यह है कि उत्पाद नाभिक की प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा अभिकारक नाभिक की तुलना में अधिक होनी चाहिए।
आइए दिए गए विकल्पों का विश्लेषण करें:
$A$) $y \longrightarrow 2 z$: $y$ की प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा $8.5 \text{ MeV}$ है और $z$ की $5 \text{ MeV}$ है। चूंकि $5 < 8.5$,यह प्रक्रिया ऊर्जा का अवशोषण करती है।
$B$) $w \rightarrow x+z$: $w$ की प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा $7.5 \text{ MeV}$,$x$ की $8 \text{ MeV}$ और $z$ की $5 \text{ MeV}$ है। उत्पादों $(x+z)$ की औसत प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा $\frac{90 \times 8 + 30 \times 5}{120} = \frac{720 + 150}{120} = \frac{870}{120} = 7.25 \text{ MeV}$ है। चूंकि $7.25 < 7.5$,यह प्रक्रिया ऊर्जा का अवशोषण करती है।
$C$) $w \rightarrow 2 y$: $w$ की प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा $7.5 \text{ MeV}$ है और $y$ की $8.5 \text{ MeV}$ है। चूंकि $8.5 > 7.5$,प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा बढ़ती है,इसलिए ऊर्जा मुक्त होती है।
$D$) $x \rightarrow y+z$: $x$ की प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा $8 \text{ MeV}$,$y$ की $8.5 \text{ MeV}$ और $z$ की $5 \text{ MeV}$ है। उत्पादों की औसत प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा $\frac{60 \times 8.5 + 30 \times 5}{90} = \frac{510 + 150}{90} = \frac{660}{90} \approx 7.33 \text{ MeV}$ है। चूंकि $7.33 < 8$,यह प्रक्रिया ऊर्जा का अवशोषण करती है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) एक नाभिक की बंधन ऊर्जा $(BE)$, न्यूक्लियॉन की संख्या $(A)$ और प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा $(BE/A)$ के गुणनफल द्वारा दी जाती है।
$^{17}O$ के लिए, कुल बंधन ऊर्जा $BE(^{17}O) = 17 \times 7.75 \ \text{MeV} = 131.75 \ \text{MeV}$ है।
$^{16}O$ के लिए, कुल बंधन ऊर्जा $BE(^{16}O) = 16 \times 7.97 \ \text{MeV} = 127.52 \ \text{MeV}$ है।
$^{17}O$ से एक न्यूट्रॉन को हटाने के लिए आवश्यक ऊर्जा बंधन ऊर्जाओं का अंतर है: $E = BE(^{17}O) - BE(^{16}O)$.
$E = 131.75 \ \text{MeV} - 127.52 \ \text{MeV} = 4.23 \ \text{MeV}$.

(D) $(P)$ हाइड्रोजन जैसे परमाणु की ऊर्जा $E = -13.6 \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$ द्वारा दी जाती है। अतः, $E \propto Z^2$। इसलिए, $P \rightarrow 5$।
$(Q)$ मोजले के नियम के अनुसार, अभिलक्षणिक $x-$किरणों की ऊर्जा $E = 13.6(Z-1)^2 \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$ द्वारा दी जाती है। अतः, $E \propto (Z-1)^2$। इसलिए, $Q \rightarrow 1$।
$(R)$ नाभिकीय बंधन ऊर्जा का स्थिर-वैद्युत (कूलम्ब) भाग प्रोटॉन युग्मों की संख्या के समानुपाती होता है, जो $\frac{Z(Z-1)}{2}$ है। अतः, $E \propto Z(Z-1)$। इसलिए, $R \rightarrow 2$।
$(S)$ $30$ से $170$ की सीमा में द्रव्यमान संख्या वाले स्थिर नाभिकों के लिए, प्रति न्यूक्लियॉन औसत बंधन ऊर्जा लगभग स्थिर (प्रति न्यूक्लियॉन लगभग $8 \text{ MeV}$) होती है। इसलिए, $S \rightarrow 4$।
सही मिलान $P \rightarrow 5, Q \rightarrow 1, R \rightarrow 2, S \rightarrow 4$ है।

(D) ऑक्सीजन समस्थानिक ${ }_{8}^{17}O$ में प्रोटॉन की संख्या $Z = 8$ है।
न्यूट्रॉन की संख्या $A - Z = 17 - 8 = 9$ है।
घटक न्यूक्लियॉन का कुल द्रव्यमान $8 M_{p} + 9 M_{N}$ है।
द्रव्यमान क्षति $\Delta m$ घटक न्यूक्लियॉन के द्रव्यमान और नाभिक के द्रव्यमान के बीच का अंतर है: $\Delta m = (8 M_{p} + 9 M_{N}) - M_{O}$।
बंधन ऊर्जा द्रव्यमान क्षति के समतुल्य ऊर्जा है,जिसका सूत्र $BE = [Z M_{p} + (A-Z) M_{N} - M_{O}] C^2$ है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,बंधन ऊर्जा को दर्शाने वाला सही व्यंजक $(M_{O} - 8 M_{p} - 9 M_{N}) C^2$ है,इसलिए विकल्प $D$ सही है।

(B) नाभिकीय बंधन ऊर्जा $(BE)$ को द्रव्यमान क्षति $(\Delta m)$ के ऊर्जा समतुल्य के रूप में परिभाषित किया गया है।
द्रव्यमान क्षति व्यक्तिगत न्यूक्लियॉन के द्रव्यमान के योग और नाभिक के वास्तविक द्रव्यमान के बीच का अंतर है।
ऑक्सीजन समस्थानिक ${ }_{8}^{17}O$ के लिए, प्रोटॉन की संख्या $(Z)$ $8$ है और न्यूट्रॉन की संख्या $(N)$ $A - Z = 17 - 8 = 9$ है।
न्यूक्लियॉन का कुल द्रव्यमान $(8 M_{p} + 9 M_{n})$ है।
द्रव्यमान क्षति $\Delta m = (8 M_{p} + 9 M_{n} - M_{O})$ है।
बंधन ऊर्जा $BE = (8 M_{p} + 9 M_{n} - M_{O}) c^{2}$ द्वारा दी जाती है। दिए गए विकल्पों के अनुसार, सही विकल्प $B$ है।

(C) एक स्थिर नाभिक का द्रव्यमान हमेशा उसके घटक प्रोटॉन और न्यूट्रॉन के द्रव्यमान के योग से कम पाया जाता है। द्रव्यमान में इस अंतर को द्रव्यमान क्षति $(\Delta m)$ के रूप में जाना जाता है।
द्रव्यमान क्षति $\Delta m = (Z m_{p} + N m_{n}) - M$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि स्थिर नाभिक के लिए द्रव्यमान क्षति धनात्मक होती है, इसका अर्थ है कि $M < (Z m_{p} + N m_{n})$।
यह लुप्त द्रव्यमान बंधन ऊर्जा में परिवर्तित हो जाता है, जो नाभिक को एक साथ बांधे रखता है।

(B) द्रव्यमान $m$ की ऊर्जा समतुल्यता आइंस्टीन के द्रव्यमान-ऊर्जा समतुल्यता संबंध द्वारा दी जाती है: $E = mc^2$।
दिया गया द्रव्यमान $m = 1 \ g = 10^{-3} \ kg$।
प्रकाश की गति $c = 3 \times 10^8 \ m/s$।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$E = 10^{-3} \ kg \times (3 \times 10^8 \ m/s)^2$।
$E = 10^{-3} \times 9 \times 10^{16} \ J$।
$E = 9 \times 10^{13} \ J$।

(C) ${ }_{8}^{17}O$ से एक न्यूट्रॉन को हटाने की अभिक्रिया इस प्रकार है: ${ }_{8}^{17}O \rightarrow { }_{8}^{16}O + { }_{0}^{1}n$.
आवश्यक ऊर्जा ज्ञात करने के लिए,हम उत्पादों और अभिकारक की कुल बंधन ऊर्जा के बीच का अंतर निकालते हैं।
${ }_{8}^{17}O$ की कुल बंधन ऊर्जा = $17 \times 7.75 \text{ MeV} = 131.75 \text{ MeV}$.
${ }_{8}^{16}O$ की कुल बंधन ऊर्जा = $16 \times 7.97 \text{ MeV} = 127.52 \text{ MeV}$.
न्यूट्रॉन को हटाने के लिए आवश्यक ऊर्जा कुल बंधन ऊर्जाओं का अंतर है:
$E = 131.75 \text{ MeV} - 127.52 \text{ MeV} = 4.23 \text{ MeV}$.

(C) आइंस्टीन के द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता संबंध के अनुसार,ऊर्जा $E = mc^2$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया द्रव्यमान $m = 1 \mu g = 1 \times 10^{-6} \ kg$ है।
प्रकाश की गति $c = 3 \times 10^{8} \ m/s$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$E = (1 \times 10^{-6} \ kg) \times (3 \times 10^{8} \ m/s)^2$
$E = 1 \times 10^{-6} \times 9 \times 10^{16} \ J$
$E = 9 \times 10^{10} \ J$ है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) सही उत्तर $D$. आयरन $(Fe)$ है।
प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा का वक्र यह दर्शाता है कि हल्के नाभिकों के लिए द्रव्यमान संख्या $A$ के साथ बंधन ऊर्जा बढ़ती है और $40$ से $120$ के बीच की द्रव्यमान संख्या वाले नाभिकों के लिए यह अधिकतम मान प्राप्त करती है।
आयरन $(^{56}Fe)$ के लिए,प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा लगभग $8.75 \text{ MeV}$ है,जो दिए गए विकल्पों में सबसे अधिक है।
इसलिए,दिए गए विकल्पों में आयरन सबसे स्थिर नाभिक है।

(D) द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता संबंध के अनुसार:
$E = mc^{2}$
अतः,$m = \frac{E}{c^{2}}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$m = \frac{9 \times 10^{13}}{(3 \times 10^{8})^{2}}$
$m = \frac{9 \times 10^{13}}{9 \times 10^{16}}$
$m = 10^{-3} \text{ kg}$
चूंकि $1 \text{ kg} = 1000 \text{ g}$,इसलिए:
$m = 10^{-3} \times 10^{3} \text{ g} = 1 \text{ g}$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा,नाभिक की कुल बंधन ऊर्जा को द्रव्यमान संख्या $ A $ से विभाजित करने पर प्राप्त होती है।
बंधन ऊर्जा $ B.E. = (\Delta m \times 931) \ MeV $.
दी गई द्रव्यमान क्षति $ \Delta m = 0.03 \ u $ है।
कुल बंधन ऊर्जा $ = 0.03 \times 931 = 27.93 \ MeV $.
हीलियम $ { }_{2}^{4} He $ के लिए,द्रव्यमान संख्या $ A = 4 $ है।
प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा $ = \frac{B.E.}{A} = \frac{27.93}{4} = 6.9825 \ MeV $.

(D) नाइट्रोजन नाभिक $\left[{ }_7^{14} N\right]$ में $Z = 7$ प्रोटॉन और $N = (14 - 7) = 7$ न्यूट्रॉन होते हैं।
$7$ प्रोटॉन का द्रव्यमान $= 7 \times 1.00783 \ u = 7.05481 \ u$.
$7$ न्यूट्रॉन का द्रव्यमान $= 7 \times 1.00867 \ u = 7.06069 \ u$.
न्यूक्लियॉन का कुल द्रव्यमान $= 7.05481 \ u + 7.06069 \ u = 14.11550 \ u$.
द्रव्यमान क्षति $\Delta m = (\text{न्यूक्लियॉन का कुल द्रव्यमान}) - (\text{नाभिक का द्रव्यमान})$.
$\Delta m = 14.11550 \ u - 14.00307 \ u = 0.11243 \ u$.
बंधन ऊर्जा $BE = \Delta m \times 931.5 \ MeV/u$.
$BE = 0.11243 \times 931.5 \approx 104.73 \ MeV$.
निकटतम विकल्प के अनुसार,बंधन ऊर्जा $104.7 \ MeV$ है।

(B) $\text{आइंस्टीन के द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता सिद्धांत के अनुसार, } m \text{ द्रव्यमान के समतुल्य ऊर्जा } E \text{ का सूत्र } E = mc^2 \text{ है, जहाँ } c \text{ निर्वात में प्रकाश की गति है।}$
$\text{दिया गया द्रव्यमान } m = 1 \,g = 1 \times 10^{-3} \,kg \text{ है।}$
$\text{प्रकाश की गति } c = 3 \times 10^8 \,m/s \text{ है।}$
$\text{इन मानों को समीकरण में रखने पर:}$
$E = (1 \times 10^{-3} \,kg) \times (3 \times 10^8 \,m/s)^2$
$E = 1 \times 10^{-3} \times 9 \times 10^{16} \,J$
$E = 9 \times 10^{13} \,J$.
$\text{अतः, } 1 \,g \text{ द्रव्यमान वाले पदार्थ के समतुल्य ऊर्जा } 9 \times 10^{13} \,J \text{ है।}$

(B) नाभिकीय अभिक्रिया में मुक्त ऊर्जा $\Delta E = E_{\text{final}} - E_{\text{initial}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $E = \text{द्रव्यमान संख्या} \times \text{विशिष्ट बंधन ऊर्जा}$ है।
अभिक्रिया $(1): D \rightarrow 2B$ के लिए
$\Delta E = (2 \times 60 \times 8.5) - (120 \times 7) = 1020 - 840 = +180 \text{ MeV}$। (ऊर्जा मुक्त होती है)
अभिक्रिया $(2): C \rightarrow B + A$ के लिए
$\Delta E = (60 \times 8.5 + 30 \times 5) - (90 \times 8) = (510 + 150) - 720 = 660 - 720 = -60 \text{ MeV}$। (ऊर्जा अवशोषित होती है)
अभिक्रिया $(3): B \rightarrow 2A$ के लिए
$\Delta E = (2 \times 30 \times 5) - (60 \times 8.5) = 300 - 510 = -210 \text{ MeV}$। (ऊर्जा अवशोषित होती है)
अतः,केवल अभिक्रिया $(1)$ में ऊर्जा मुक्त होती है।

(D) विशिष्ट बंधन ऊर्जा को प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया जाता है।
रेडियोधर्मी नाभिक सामान्यतः अस्थिर होते हैं और अधिक स्थिर संतति नाभिक में क्षय होने की प्रवृत्ति रखते हैं।
चूंकि $\alpha$-कण का उत्सर्जन नाभिक को अधिक स्थिर बनाता है,इसलिए परिणामी नाभिक की प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा मूल नाभिक की तुलना में अधिक होनी चाहिए।
अतः,$E_{2} > E_{1}$.

(B) यदि किसी नाभिकीय अभिक्रिया में उत्पादों की कुल बंधन ऊर्जा अभिकारकों की कुल बंधन ऊर्जा से अधिक होती है,तो ऊर्जा मुक्त होती है। यह विशिष्ट बंधन ऊर्जा (प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा) में वृद्धि के अनुरूप है।
ग्राफ से:
$1$. $1 < A < 100$ के लिए,विशिष्ट बंधन ऊर्जा $2 \text{ MeV/nucleon}$ है।
$2$. $100 < A < 200$ के लिए,विशिष्ट बंधन ऊर्जा $8 \text{ MeV/nucleon}$ है।
$3$. $200 < A < 250$ के लिए,विशिष्ट बंधन ऊर्जा $4 \text{ MeV/nucleon}$ है।
यदि $51 < A < 100$ की सीमा में द्रव्यमान संख्या वाले दो नाभिक (प्रत्येक की विशिष्ट बंधन ऊर्जा $2 \text{ MeV/nucleon}$) संलयित होकर $100 < A < 200$ की सीमा में द्रव्यमान संख्या वाला नाभिक (विशिष्ट बंधन ऊर्जा $8 \text{ MeV/nucleon}$) बनाते हैं,तो अंतिम अवस्था में विशिष्ट बंधन ऊर्जा अधिक होती है। अतः,ऊर्जा मुक्त होती है।

(A) आइंस्टीन के द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता संबंध $E = mc^2$ के अनुसार।
दिया गया द्रव्यमान $m = 1 \mu g = 10^{-6} g = 10^{-9} kg$ है।
प्रकाश की गति $c = 3 \times 10^8 m/s$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$E = 10^{-9} \times (3 \times 10^8)^2 = 10^{-9} \times 9 \times 10^{16} = 9 \times 10^7 J$।
जूल को किलोवाट-घंटा $(kWh)$ में बदलने के लिए,हम $3.6 \times 10^6 J/kWh$ से विभाजित करते हैं:
$E = \frac{9 \times 10^7}{3.6 \times 10^6} kWh = 25 kWh$।

(B) दिया गया है: नाभिक का द्रव्यमान $ M = 20 u = 20 \times 1.6 \times 10^{-27} kg = 3.2 \times 10^{-26} kg $.
फोटॉन की ऊर्जा $ E = 6 MeV = 6 \times 10^6 eV = 6 \times 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19} J = 9.6 \times 10^{-13} J $.
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार, नाभिक का संवेग $ p_n $ फोटॉन के संवेग $ p_p $ के बराबर होना चाहिए।
$ p_p = \frac{E}{c} = \frac{9.6 \times 10^{-13} J}{3 \times 10^8 m/s} = 3.2 \times 10^{-21} kg \cdot m/s $.
चूंकि $ p_n = p_p $, नाभिक की गतिज ऊर्जा $ K_n = \frac{p_n^2}{2M} $ द्वारा दी जाती है।
$ K_n = \frac{(3.2 \times 10^{-21})^2}{2 \times 3.2 \times 10^{-26}} = \frac{10.24 \times 10^{-42}}{6.4 \times 10^{-26}} = 1.6 \times 10^{-16} J $.
$ eV $ में बदलने पर: $ K_n = \frac{1.6 \times 10^{-16} J}{1.6 \times 10^{-19} J/eV} = 10^3 eV = 1 keV $.
अतः, नाभिक की गतिज ऊर्जा $ 1 keV $ है।

(B) प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा नाभिक की स्थिरता का एक माप है।
प्रायोगिक अवलोकन दर्शाते हैं कि $30 < A < 170$ की सीमा में द्रव्यमान संख्या वाले नाभिकों के लिए प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा अधिकतम होती है।
दिए गए विकल्पों में से,${ }_{26}^{56} Fe$ (आयरन-$56$) की द्रव्यमान संख्या $56$ है,जो इस सीमा के भीतर आती है।
यह भली-भांति स्थापित है कि ${ }_{26}^{56} Fe$ में प्रति न्यूक्लियॉन उच्चतम बंधन ऊर्जा होती है,जो लगभग $8.8 \text{ MeV/nucleon}$ है,जो इसे सबसे स्थिर नाभिकों में से एक बनाती है।

(A) एक स्थिर नाभिक का द्रव्यमान हमेशा उसके घटक प्रोटॉन और न्यूट्रॉन के द्रव्यमानों के योग से कम होता है। द्रव्यमान में इस अंतर को द्रव्यमान क्षति $(\Delta m)$ के रूप में जाना जाता है।
आइंस्टीन के द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता सिद्धांत $(E = \Delta m c^2)$ के अनुसार, यह द्रव्यमान क्षति बंधन ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है, जो नाभिक को एक साथ बांधे रखती है।
चूंकि नाभिक के बनने पर ऊर्जा मुक्त होती है, इसलिए प्रणाली एक निचली ऊर्जा अवस्था में पहुंच जाती है, जिसका अर्थ है कि बंधे हुए नाभिक का द्रव्यमान उसके व्यक्तिगत न्यूक्लियॉन के द्रव्यमानों के योग से कम होना चाहिए।
इसलिए, विकल्प $A$ सही कथन है।

(D) बंधन ऊर्जा वह ऊर्जा है जो उस प्रबल बल से जुड़ी होती है जो नाभिक में न्यूक्लियॉन को एक साथ बांधे रखती है।
आइंस्टीन के द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता सिद्धांत के अनुसार,$E = \Delta m c^2$,जहाँ $\Delta m$ द्रव्यमान क्षति है।
नाभिक का द्रव्यमान हमेशा उसके व्यक्तिगत घटक न्यूक्लियॉन के द्रव्यमान के योग से कम होता है।
द्रव्यमान में यह अंतर,जिसे द्रव्यमान क्षति $(\Delta m)$ के रूप में जाना जाता है,ऊर्जा में परिवर्तित हो जाता है,जो बंधन ऊर्जा के रूप में कार्य करती है और नाभिक को एक साथ बांधे रखती है।

(C) $N^{14}$ की कुल बंधन ऊर्जा $BE(N^{14}) = 7.5 \times 14 \text{ MeV} = 105 \text{ MeV}$ है।
$N^{15}$ की कुल बंधन ऊर्जा $BE(N^{15}) = 7.7 \times 15 \text{ MeV} = 115.5 \text{ MeV}$ है।
$N^{15}$ से एक न्यूट्रॉन को हटाने के लिए आवश्यक ऊर्जा $N^{15}$ और $N^{14}$ की कुल बंधन ऊर्जाओं के बीच का अंतर है।
$E = BE(N^{15}) - BE(N^{14})$
$E = 115.5 \text{ MeV} - 105 \text{ MeV} = 10.5 \text{ MeV}$।

(C) नाभिकीय क्षय में मुक्त ऊर्जा उत्पादों की कुल बंधन ऊर्जा और जनक नाभिक की कुल बंधन ऊर्जा के बीच के अंतर के बराबर होती है।
जनक नाभिक की कुल बंधन ऊर्जा = $200 \times 6.5 \text{ MeV} = 1300 \text{ MeV}$.
संतति नाभिकों की कुल बंधन ऊर्जा = $(80 \times 7 \text{ MeV}) + (120 \times 8 \text{ MeV}) = 560 \text{ MeV} + 960 \text{ MeV} = 1520 \text{ MeV}$.
मुक्त ऊर्जा = (उत्पादों की कुल बंधन ऊर्जा) - (जनक की कुल बंधन ऊर्जा) = $1520 \text{ MeV} - 1300 \text{ MeV} = 220 \text{ MeV}$.

(D) दी गई द्रव्यमान क्षति,$\Delta m = 0.3 \,g = 0.3 \times 10^{-3} \,kg = 3 \times 10^{-4} \,kg$.
आइंस्टीन के द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता सिद्धांत का उपयोग करते हुए,$E = \Delta m c^2$.
मान रखने पर,$E = (3 \times 10^{-4} \,kg) \times (3 \times 10^8 \,m/s)^2$.
$E = 3 \times 10^{-4} \times 9 \times 10^{16} = 27 \times 10^{12} \,J$.
जूल को किलोवाट-घंटा $(kWh)$ में बदलने के लिए,हम $3.6 \times 10^6 \,J/kWh$ से विभाजित करते हैं।
$E = \frac{27 \times 10^{12}}{3.6 \times 10^6} \,kWh$.
$E = 7.5 \times 10^6 \,kWh$.

(B) परमाणु (Atomic) ऊर्जा स्तर आमतौर पर $eV$ (इलेक्ट्रॉन-वोल्ट) की सीमा में होते हैं,जो $10^0 \ eV$ से $10^1 \ eV$ तक होते हैं।
नाभिकीय (Nuclear) ऊर्जा स्तर आमतौर पर $MeV$ (मेगा इलेक्ट्रॉन-वोल्ट) की सीमा में होते हैं,जो $10^6 \ eV$ होते हैं।
परमाणु ऊर्जा स्तर का अंतराल $1 \ eV$ के क्रम का होता है।
नाभिकीय ऊर्जा स्तर का अंतराल $1 \ MeV = 10^6 \ eV$ के क्रम का होता है।
अतः,नाभिकीय ऊर्जा स्तरों और परमाणु ऊर्जा स्तरों के अंतरालों का अनुपात $10^6 / 1 = 10^6$ है।

(A) विकल्प $(b)$ गलत है क्योंकि द्रव्यमान क्षति (mass defect) के कारण परमाणु द्रव्यमान उसके घटकों के द्रव्यमान से कम होता है।
विकल्प $(c)$ गलत है क्योंकि समान संख्या में प्रोटॉन वाले न्यूक्लाइड्स को समस्थानिक कहा जाता है।
विकल्प $(d)$ गलत है क्योंकि परमाणु संलयन में,दो या दो से अधिक हल्के नाभिक मिलकर एक भारी नाभिक बनाते हैं।
विकल्प $(a)$ सही है; क्योंकि एक परमाणु प्रतिक्रिया में $Q$-मान $= K.E_{\text{final}} - K.E_{\text{initial}}$ होता है।

(C) दिया गया है कि परमाणु द्रव्यमान $= 1 \text{ amu} = 1.66 \times 10^{-27} \text{ kg}$ है।
आइंस्टीन के द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता संबंध $E = mc^2$ का उपयोग करने पर,जहाँ $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$ प्रकाश की गति है।
$E = (1.66 \times 10^{-27} \text{ kg}) \times (3 \times 10^8 \text{ m/s})^2 = 1.494 \times 10^{-11} \text{ J}$।
हम जानते हैं कि $1 \text{ MeV} = 1.602 \times 10^{-13} \text{ J}$ होता है।
अतः,$E = \frac{1.494 \times 10^{-11} \text{ J}}{1.602 \times 10^{-13} \text{ J/MeV}} \approx 931 \text{ MeV}$।
इस प्रकार,$1 \text{ amu}$ ऊर्जा के $931 \text{ MeV}$ के बराबर है।

(D) श्वेत वामन एक तारे के कोर का अवशेष है जो मुख्य रूप से इलेक्ट्रॉन-डिजनरेट पदार्थ से बना होता है। एक स्थिर श्वेत वामन का अधिकतम द्रव्यमान जिसे चंद्रशेखर सीमा के रूप में जाना जाता है।
यदि एक श्वेत वामन का द्रव्यमान इस सीमा से अधिक हो जाता है,तो डिजनरेट इलेक्ट्रॉन दबाव गुरुत्वाकर्षण बल का सामना करने के लिए पर्याप्त नहीं रहता है,जिसके परिणामस्वरूप कोर का पतन हो जाता है।
चंद्रशेखर सीमा सूर्य के द्रव्यमान $(M_{\odot})$ का लगभग $1.4$ गुना है।
इसलिए,$n$ का मान $1.4$ है।

(C) आइंस्टीन के द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता सिद्धांत के अनुसार,$m$ द्रव्यमान के समतुल्य ऊर्जा $E$ को सूत्र $E = mc^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $c$ निर्वात में प्रकाश की गति है।
दिया गया द्रव्यमान $m = 1 \,kg$ और प्रकाश की गति $c = 3 \times 10^8 \,m/s$ है।
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$E = 1 \,kg \times (3 \times 10^8 \,m/s)^2$
$E = 1 \times 9 \times 10^{16} \,J$
$E = 9 \times 10^{16} \,J$.

(A) दिया गया है:
प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा $(BE)$ $= 7.14 \text{ MeV}$
तत्व की कुल $BE$ $= 28.6 \text{ MeV}$
हम जानते हैं कि कुल बंधन ऊर्जा,न्यूक्लियॉनों की संख्या $(A)$ और प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा का गुणनफल होती है।
इसलिए,$\text{न्यूक्लियॉनों की संख्या} (A) = \frac{\text{कुल BE}}{\text{प्रति न्यूक्लियॉन BE}}$
$A = \frac{28.6}{7.14} = 4$
अतः,तत्व में न्यूक्लियॉनों की संख्या $4$ है।

(A) नाभिक के अंदर के न्यूक्लियॉन बहुत मजबूती से बंधे होते हैं और नाभिक से एक न्यूक्लियॉन को अलग करने के लिए कुछ $MeV$ ऊर्जा की आवश्यकता होती है।
अतः,प्रोटॉन और न्यूट्रॉन को अलग करने के लिए न्यूनतम ऊर्जा की आवश्यकता होती है और उस ऊर्जा को नाभिक की बंधन ऊर्जा (binding energy) के रूप में जाना जाता है।
यदि $Z$ प्रोटॉन की संख्या है और $N$ न्यूट्रॉन की संख्या है,और नाभिक का द्रव्यमान $M(A, Z)$ है,तो बंधन ऊर्जा $E_B = [Z m_p + N m_n - M(A, Z)] C^2 > 0$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $m_p$ और $m_n$ क्रमशः प्रोटॉन और न्यूट्रॉन के द्रव्यमान हैं।
चूँकि $E_B > 0$,इसका अर्थ है कि $Z m_p + N m_n > M(A, Z)$।
इसलिए,नाभिक का द्रव्यमान उसके घटक न्यूट्रॉन और प्रोटॉन के द्रव्यमानों के योग से कम होना चाहिए।

(A) दिए गए द्रव्यमान: $m_n = 1.00893 \text{ amu}$,$m_p = 1.00813 \text{ amu}$,$m_d = 2.01473 \text{ amu}$.
ड्यूटेरॉन $({}_1H^2)$ नाभिक एक प्रोटॉन और एक न्यूट्रॉन से बना होता है।
द्रव्यमान क्षति $\Delta m = (m_n + m_p) - m_d$.
$\Delta m = (1.00893 + 1.00813) - 2.01473 = 2.01706 - 2.01473 = 0.00233 \text{ amu}$.
पैकिंग फ्रैक्शन,द्रव्यमान क्षति और द्रव्यमान संख्या $(A)$ का अनुपात होता है।
ड्यूटेरॉन के लिए,$A = 2$.
पैकिंग फ्रैक्शन $= \frac{\Delta m}{A} = \frac{0.00233}{2} = 0.001165 = 11.65 \times 10^{-4}$.