Magnetic Moment of Current Carrying Coil Questions in Hindi

(A) माना गोलीय कोश पर घूर्णन अक्ष के साथ $\theta$ कोण पर $Rd\theta$ चौड़ाई वाली एक पतली वलय (ring) है।
इस वलय की त्रिज्या $r = R \sin \theta$ है।
इस वलय का क्षेत्रफल $dA = (2\pi r)(Rd\theta) = 2\pi R^2 \sin \theta d\theta$ है।
कोश का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 4\pi R^2$ है।
इस वलय पर आवेश $dq = Q \cdot \frac{dA}{A} = \frac{Q}{2} \sin \theta d\theta$ है।
इस घूमती हुई वलय द्वारा उत्पन्न धारा $dI = \frac{dq \cdot \omega}{2\pi} = \frac{Q \omega}{4\pi} \sin \theta d\theta$ है।
इस वलय का चुंबकीय आघूर्ण $d\mu = dI \cdot (\pi r^2) = \frac{Q \omega R^2}{4} \sin^3 \theta d\theta$ है।
कुल चुंबकीय आघूर्ण $\mu$ प्राप्त करने के लिए $\theta = 0$ से $\pi$ तक समाकलन करने पर:
$\mu = \int_0^{\pi} \frac{Q \omega R^2}{4} \sin^3 \theta d\theta = \frac{Q \omega R^2}{4} \cdot \frac{4}{3} = \frac{1}{3} Q \omega R^2$.

(B) $R$ त्रिज्या और $I$ धारा वाले एक वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$ द्वारा दिया जाता है।
इससे,हम धारा $I$ को $I = \frac{2BR}{\mu_0}$ के रूप में व्यक्त कर सकते हैं।
धारा लूप का चुंबकीय आघूर्ण $M$,$M = I A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A = \pi R^2$ लूप का क्षेत्रफल है।
$M$ के सूत्र में $I$ का मान रखने पर,हमें $M = \left( \frac{2BR}{\mu_0} \right) \times (\pi R^2)$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर,हमें $M = \frac{2 \pi B R^3}{\mu_0}$ प्राप्त होता है।

(B) चित्र में दिखाए गए लूप को दो वर्गाकार धारा लूपों से बना माना जा सकता है: एक $x-z$ तल में और दूसरा $x-y$ तल में।
प्रत्येक लूप के चुंबकीय आघूर्ण का परिमाण $M = I \times \text{Area} = Il^2$ है।
$x-z$ तल में स्थित लूप के लिए चुंबकीय आघूर्ण सदिश $y$-अक्ष की दिशा में है और $x-y$ तल में स्थित लूप के लिए चुंबकीय आघूर्ण सदिश $z$-अक्ष की दिशा में है।
चूंकि ये दोनों चुंबकीय आघूर्ण सदिश एक-दूसरे के लंबवत हैं, इसलिए उनका परिणामी परिमाण इस प्रकार है:
$M_{\text{net}} = \sqrt{M_1^2 + M_2^2} = \sqrt{(Il^2)^2 + (Il^2)^2} = \sqrt{2} Il^2$.

(N/A) परिनालिका में फेरों की संख्या,$n = 800$।
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल,$A = 2.5 \times 10^{-4} \; m^2$।
परिनालिका में धारा,$I = 3.0 \; A$।
एक धारावाही परिनालिका एक छड़ चुंबक की तरह व्यवहार करती है क्योंकि इसकी अक्ष के अनुदिश एक चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न होता है,जो एक छड़ चुंबक की चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं के समान होता है।
परिनालिका से संबद्ध चुंबकीय आघूर्ण $(M)$ का सूत्र है: $M = nIA$।
मान रखने पर: $M = 800 \times 3.0 \times 2.5 \times 10^{-4}$।
$M = 2400 \times 2.5 \times 10^{-4} = 6000 \times 10^{-4} = 0.6 \; J \cdot T^{-1}$।

(B) संबंध $\vec{\mu}_{l} = -(e/2m)\vec{L}$ शास्त्रीय परिणाम के अनुरूप है।
व्युत्पत्ति:
मान लीजिए कि $m$ द्रव्यमान और $-e$ आवेश वाला एक इलेक्ट्रॉन $r$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में $v$ गति से $T$ समय अवधि में घूम रहा है।
कक्षीय चुंबकीय आघूर्ण $\mu_{l} = iA$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $i = -e/T$ धारा है और $A = \pi r^2$ कक्षा का क्षेत्रफल है।
अतः,$\mu_{l} = (-e/T)(\pi r^2)$।
कक्षीय कोणीय संवेग $L = mvr$ द्वारा दिया जाता है। चूँकि $v = 2\pi r/T$,इसलिए $L = m(2\pi r/T)r = 2\pi mr^2/T$।
अनुपात लेने पर,$\mu_{l}/L = [(-e/T)(\pi r^2)] / [2\pi mr^2/T] = -e/2m$।
इसलिए,$\vec{\mu}_{l} = -(e/2m)\vec{L}$।
यह दर्शाता है कि $\vec{\mu}_{l}$ और $\vec{L}$ प्रति-समानांतर (antiparallel) हैं। स्पिन के लिए संबंध $\mu_{s} = -(e/m)S$ पूरी तरह से क्वांटम यांत्रिक है और इसका कोई शास्त्रीय अनुरूप नहीं है।

(N/A) एक वृत्ताकार धारावाही लूप के कारण चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं बंद लूप बनाती हैं, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।
चुंबकीय क्षेत्र की दिशा दाएं हाथ के अंगूठे के नियम द्वारा निर्धारित की जाती है:
"अपने दाएं हाथ की उंगलियों को वृत्ताकार तार के चारों ओर इस प्रकार मोड़ें कि उंगलियां धारा की दिशा में हों। तब दाएं हाथ का फैला हुआ अंगूठा लूप के केंद्र में चुंबकीय क्षेत्र की दिशा को दर्शाता है।"

(N/A) मान लीजिए कि $a$ चौड़ाई और $b$ लंबाई वाली एक आयताकार कुंडली $ABCD$ है, जिसमें $I$ धारा प्रवाहित हो रही है। इसे एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $\overrightarrow{B}$ में इस प्रकार लटकाया गया है कि इसकी अक्ष चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत हो।
कुंडली का क्षेत्रफल $A = a b$ है।
धारावाही चालक पर लगने वाला चुंबकीय बल $\vec{F} = I(\vec{L} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
भुजाओं $AD$ और $BC$ के लिए, धारा चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के समानांतर या प्रति-समानांतर है। अतः, इन भुजाओं पर बल $F = I L B \sin(0^{\circ}) = 0$ है।
भुजाओं $AB$ और $CD$ के लिए, धारा चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के लंबवत है।
भुजा $AB$ पर बल $\vec{F_1} = I b B \sin(90^{\circ}) = I b B$ (कागज के तल के अंदर की ओर)।
भुजा $CD$ पर बल $\vec{F_2} = I b B \sin(90^{\circ}) = I b B$ (कागज के तल के बाहर की ओर)।
ये दो समान और विपरीत बल $\vec{F_1}$ और $\vec{F_2}$ एक बल-युग्म बनाते हैं जो लूप पर टॉर्क $\tau$ लगाता है।
टॉर्क का सूत्र $\tau = \text{बल} \times \text{लंबवत दूरी}$ है।
$\tau = (I b B) \times (a) = I (ab) B = I A B$.
यदि कुंडली में $N$ फेरे हैं, तो कुल टॉर्क $\tau = N I A B$ होगा।

(A) धारावाही कुंडली का चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण,कुंडली से प्रवाहित धारा और उसके क्षेत्रफल सदिश का गुणनफल होता है।
यदि $A$ क्षेत्रफल वाली कुंडली से $I$ धारा प्रवाहित हो रही है,तो चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $\vec{m} = I\vec{A}$ द्वारा दिया जाता है।
यदि कुंडली में फेरों की संख्या $N$ है,तो द्विध्रुव आघूर्ण $\vec{m} = NI\vec{A}$ होता है।
चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण का $SI$ मात्रक $A \cdot m^2$ (एम्पियर-मीटर वर्ग) है।
इसका विमीय सूत्र $[M^0 L^2 T^0 A^1]$ है।
बाह्य चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ में रखे चुंबकीय द्विध्रुव पर कार्य करने वाला बल आघूर्ण (टॉर्क) $\vec{\tau} = \vec{m} \times \vec{B}$ होता है,जिसका परिमाण $\tau = mB \sin \theta$ है।
स्थायी संतुलन: जब चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $\vec{m}$,चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के समांतर होता है $(\theta = 0^\circ)$,तो टॉर्क शून्य होता है। इस स्थिति में स्थितिज ऊर्जा न्यूनतम $(U = -mB)$ होती है,जो स्थायी संतुलन को दर्शाती है।
अस्थायी संतुलन: जब चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $\vec{m}$,चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के प्रति-समांतर होता है $(\theta = 180^\circ)$,तो टॉर्क शून्य होता है। इस स्थिति में स्थितिज ऊर्जा अधिकतम $(U = +mB)$ होती है,जो अस्थायी संतुलन को दर्शाती है।

(N/A) $R$ त्रिज्या वाले वृत्ताकार धारावाही लूप के केंद्र से $x$ दूरी पर उसकी अक्ष पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I R^2}{2(x^2 + R^2)^{3/2}}$ द्वारा दिया जाता है।
जब बिंदु लूप से बहुत दूर हो $(x \gg R)$,तो सूत्र सरल होकर $B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2m}{x^3}$ हो जाता है,जहाँ $m = IA$ चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण है।
विद्युत द्विध्रुव के लिए उसकी अक्षीय स्थिति पर $(x \gg a)$ विद्युत क्षेत्र $E = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{2p}{x^3}$ होता है,जहाँ $p$ विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण है।
इन दोनों की तुलना करने पर हम पाते हैं कि चुंबकीय द्विध्रुव का चुंबकीय क्षेत्र,विद्युत द्विध्रुव के विद्युत क्षेत्र के अनुरूप है,जहाँ $\frac{1}{4\pi \epsilon_0}$ के स्थान पर $\frac{\mu_0}{4\pi}$ और विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण $p$ के स्थान पर चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $m$ का उपयोग होता है।

(N/A) धारावाही लूप के चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $(M)$ को लूप से प्रवाहित होने वाली धारा $(I)$ और लूप द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल $(A)$ के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
इसका सूत्र है: $M = I \times A$
जहाँ:
$I$ एम्पीयर $(A)$ में धारा है।
$A$ वर्ग मीटर $(m^2)$ में लूप का क्षेत्रफल है।
चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण का $SI$ मात्रक एम्पीयर-मीटर स्क्वायर $(A \cdot m^2)$ है।

(A) धारा लूप का चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $m$,लूप से प्रवाहित होने वाली विद्युत धारा $I$ और लूप द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल $A$ के गुणनफल के बराबर होता है।
गणितीय रूप से,इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:
$m = I A$
जहाँ:
$m$ चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण है,
$I$ विद्युत धारा है,
$A$ लूप का क्षेत्रफल सदिश है।

(N/A) $R$ त्रिज्या के धारावाही चाप द्वारा केंद्र पर $\theta$ कोण बनाने पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I \theta}{4 \pi R}$ द्वारा दिया जाता है।
चौथाई वृत्त के लिए,$\theta = \frac{\pi}{2}$,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण $B = \frac{\mu_0 I}{8 R}$ है।
$1$. $xy$-समतल में स्थित चौथाई वृत्त के लिए,मूल बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}_1 = \frac{\mu_0 I}{8 R} \hat{k}$ है।
$2$. $yz$-समतल में स्थित चौथाई वृत्त के लिए,मूल बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}_2 = \frac{\mu_0 I}{8 R} \hat{i}$ है।
$3$. $zx$-समतल में स्थित चौथाई वृत्त के लिए,मूल बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}_3 = \frac{\mu_0 I}{8 R} \hat{j}$ है।
मूल बिंदु पर कुल चुंबकीय क्षेत्र सदिश योग है: $\vec{B} = \vec{B}_1 + \vec{B}_2 + \vec{B}_3 = \frac{\mu_0 I}{8 R} (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$।
इसका परिमाण $|\vec{B}| = \frac{\mu_0 I}{8 R} \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \frac{\sqrt{3} \mu_0 I}{8 R}$ है।

(N/A) कुंडली का चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $m = nIA$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ फेरों की संख्या है,$I$ धारा है,और $A$ लूप का क्षेत्रफल है। धारा $I = V_{0}/R$ है।
$(i)$ $a$ भुजा वाले समबाहु त्रिभुज के लिए:
एक फेरे की परिधि $= 3a$.
फेरों की संख्या $n = 12a / 3a = 4$.
क्षेत्रफल $A = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$.
चुंबकीय आघूर्ण $m_1 = nIA = 4 \left( \frac{V_0}{R} \right) \left( \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \right) = \frac{\sqrt{3} V_0 a^2}{R}$.
$(ii)$ $a$ भुजा वाले वर्ग के लिए:
एक फेरे की परिधि $= 4a$.
फेरों की संख्या $n = 12a / 4a = 3$.
क्षेत्रफल $A = a^2$.
चुंबकीय आघूर्ण $m_2 = nIA = 3 \left( \frac{V_0}{R} \right) a^2 = \frac{3 V_0 a^2}{R}$.
$(iii)$ $a$ भुजा वाले नियमित षट्भुज के लिए:
एक फेरे की परिधि $= 6a$.
फेरों की संख्या $n = 12a / 6a = 2$.
क्षेत्रफल $A = 6 \times \left( \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \right) = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2$.
चुंबकीय आघूर्ण $m_3 = nIA = 2 \left( \frac{V_0}{R} \right) \left( \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2 \right) = \frac{3\sqrt{3} V_0 a^2}{R}$.

(A) धारा लूप का चुंबकीय आघूर्ण $\vec{M} = I\vec{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\vec{A}$ क्षेत्रफल सदिश है।
लूप $A, B, C, D, E, F, A$ के लिए,हम इसे दो लूप $ABCD$ और $DEFA$ के रूप में मान सकते हैं।
लूप $ABCD$ ($XY$-तल) का चुंबकीय आघूर्ण $\vec{M}_1 = I(ab)\hat{k} = abI\hat{k}$ है।
लूप $DEFA$ ($XZ$-तल) का चुंबकीय आघूर्ण $\vec{M}_2 = I(ab)\hat{j} = abI\hat{j}$ है।
कुल चुंबकीय आघूर्ण $\vec{M} = \vec{M}_1 + \vec{M}_2 = abI(\hat{j} + \hat{k})$ है।
इसका परिमाण $|\vec{M}| = abI\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}abI$ है।
दिशा इकाई सदिश $\frac{\vec{M}}{|\vec{M}|} = \frac{abI(\hat{j} + \hat{k})}{\sqrt{2}abI} = \left(\frac{\hat{j}}{\sqrt{2}} + \frac{\hat{k}}{\sqrt{2}}\right)$ द्वारा दी जाती है।
अतः,चुंबकीय आघूर्ण $\sqrt{2}abI$ है और इसकी दिशा $\left(\frac{\hat{j}}{\sqrt{2}} + \frac{\hat{k}}{\sqrt{2}}\right)$ है।

(D) धारा लूप का चुंबकीय आघूर्ण $M = iA$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $i$ धारा है और $A$ लूप का क्षेत्रफल है।
$r$ त्रिज्या के वृत्त में $v$ गति से घूमने वाले $q$ आवेश के कण के लिए,आवर्तकाल $T = \frac{2 \pi r}{v}$ है।
तुल्य धारा $i = \frac{q}{T} = \frac{qv}{2 \pi r}$ है।
लूप का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है।
अतः,चुंबकीय आघूर्ण का परिमाण $M = iA = \left( \frac{qv}{2 \pi r} \right) \times (\pi r^2) = \frac{qvr}{2}$ है।
चुंबकीय क्षेत्र में गति करने वाले आवेशित कण के लिए,वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r = \frac{mv}{qB}$ होती है।
$M$ के व्यंजक में $r$ का मान रखने पर,हमें $M = \frac{qv}{2} \times \left( \frac{mv}{qB} \right) = \frac{mv^2}{2B}$ प्राप्त होता है।
दाएं हाथ के नियम के अनुसार,एक वृत्त में घूमने वाले धनावेशित कण के लिए चुंबकीय आघूर्ण की दिशा चुंबकीय क्षेत्र की दिशा के विपरीत होती है। इसलिए,सदिश रूप में,$\overrightarrow{M} = -\frac{mv^2}{2B} \hat{B}$ होगा।
चूंकि $\hat{B} = \frac{\vec{B}}{B}$,इसलिए $\overrightarrow{M} = -\frac{mv^2}{2B} \left( \frac{\vec{B}}{B} \right) = -\frac{mv^2 \vec{B}}{2B^2}$ प्राप्त होता है।

(A) तार की लंबाई $L$ है,जो वृत्ताकार लूप की परिधि बनाती है।
इसलिए,$L = 2 \pi R$,जहाँ $R$ वृत्त की त्रिज्या है।
इससे,त्रिज्या $R = \frac{L}{2 \pi}$ प्राप्त होती है।
वृत्ताकार लूप का क्षेत्रफल $A = \pi R^{2}$ द्वारा दिया जाता है।
$R$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $A = \pi \left( \frac{L}{2 \pi} \right)^{2} = \pi \left( \frac{L^{2}}{4 \pi^{2}} \right) = \frac{L^{2}}{4 \pi}$ प्राप्त होता है।
धारावाही लूप का चुंबकीय आघूर्ण $M = I A$ द्वारा दिया जाता है।
$A$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $M = I \left( \frac{L^{2}}{4 \pi} \right) = \frac{I L^{2}}{4 \pi} \; A \cdot m^{2}$ प्राप्त होता है।

(B) चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $M$ को धारा $i$ और लूप के क्षेत्रफल $A$ के गुणनफल द्वारा ज्ञात किया जाता है।
$M = i A$
$f$ आवृत्ति के साथ गति करने वाले $q$ आवेश के लिए,समतुल्य धारा $i = qf$ होती है।
$\alpha$ कण के लिए,आवेश $q = 2e$ है।
आवृत्ति $f$,वेग $v$ और त्रिज्या $r$ के साथ $f = \frac{v}{2 \pi r}$ द्वारा संबंधित है।
अतः,धारा $i = (2e) \times \left( \frac{v}{2 \pi r} \right) = \frac{ev}{\pi r}$ है।
वृत्ताकार पथ का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है।
इन मानों को $M$ के सूत्र में रखने पर:
$M = \left( \frac{ev}{\pi r} \right) \times (\pi r^2) = evr$.

(A) तार की कुल लंबाई $L = 24a$ है।
समबाहु त्रिभुज के लिए, फेरों की संख्या $N_{t} = \frac{L}{3a} = \frac{24a}{3a} = 8$ है।
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $A_{t} = \frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}$ है।
चुंबकीय आघूर्ण $M_{t} = N_{t} I A_{t} = 8 \times I \times \frac{\sqrt{3}}{4}a^{2} = 2\sqrt{3} I a^{2}$ है।
वर्ग के लिए, फेरों की संख्या $N_{s} = \frac{L}{4a} = \frac{24a}{4a} = 6$ है।
वर्ग का क्षेत्रफल $A_{s} = a^{2}$ है।
चुंबकीय आघूर्ण $M_{s} = N_{s} I A_{s} = 6 \times I \times a^{2} = 6 I a^{2}$ है।
अनुपात $\frac{M_{t}}{M_{s}} = \frac{2\sqrt{3} I a^{2}}{6 I a^{2}} = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
इसे $1 : \sqrt{y}$ के साथ तुलना करने पर, हमें $y = 3$ प्राप्त होता है।

(A) तार की कुल लंबाई $L = 12 a$ है।
स्थिति $(i)$: $a$ भुजा वाला समबाहु त्रिभुज।
एक फेरे की परिधि $= 3 a$ है।
फेरों की संख्या $N_{1} = \frac{12 a}{3 a} = 4$ है।
एक त्रिभुज का क्षेत्रफल $A_{1} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^{2}$ है।
चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $\mu_{1} = N_{1} I A_{1} = 4 \times I \times \frac{\sqrt{3}}{4} a^{2} = \sqrt{3} I a^{2}$ है।
स्थिति $(ii)$: $a$ भुजा वाला वर्ग।
एक फेरे की परिधि $= 4 a$ है।
फेरों की संख्या $N_{2} = \frac{12 a}{4 a} = 3$ है।
एक वर्ग का क्षेत्रफल $A_{2} = a^{2}$ है।
चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $\mu_{2} = N_{2} I A_{2} = 3 \times I \times a^{2} = 3 I a^{2}$ है।
अतः,चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $\sqrt{3} I a^{2}$ और $3 I a^{2}$ हैं।

(B) धारावाही लूप का चुंबकीय आघूर्ण $\vec{M} = I \vec{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\vec{A}$ दाहिने हाथ के नियम के अनुसार निर्देशित क्षेत्रफल सदिश है।
आंतरिक लूप के लिए (त्रिज्या $r_{1} = 0.3 \, m$),धारा वामावर्त (counter-clockwise) दिशा में बहती है,इसलिए $\vec{M}_{1} = I \pi r_{1}^{2} \hat{k} = 7 \times \pi \times (0.3)^{2} \hat{k} = 0.63 \pi \hat{k} \, A \cdot m^{2}$।
बाहरी लूप के लिए (त्रिज्या $r_{2} = 0.5 \, m$),धारा दक्षिणावर्त (clockwise) दिशा में बहती है,इसलिए $\vec{M}_{2} = -I \pi r_{2}^{2} \hat{k} = -7 \times \pi \times (0.5)^{2} \hat{k} = -1.75 \pi \hat{k} \, A \cdot m^{2}$।
कुल चुंबकीय आघूर्ण $\vec{M}_{net} = \vec{M}_{1} + \vec{M}_{2} = (0.63 \pi - 1.75 \pi) \hat{k} = -1.12 \pi \hat{k} \, A \cdot m^{2}$ है।
$\pi \approx \frac{22}{7}$ का उपयोग करने पर,$\vec{M}_{net} = -1.12 \times \frac{22}{7} \hat{k} = -0.16 \times 22 \hat{k} = -3.52 \hat{k} \, A \cdot m^{2}$।
यह लगभग $-\frac{7}{2} \hat{k} \, A \cdot m^{2}$ के बराबर है।

(B) तार की लंबाई $L = 314 \, cm = 3.14 \, m$ है।
जब तार को $R$ त्रिज्या के वृत्त में मोड़ा जाता है,तो परिधि $2 \pi R = L$ होती है।
$2 \times 3.14 \times R = 3.14 \implies R = 0.5 \, m$।
कुंडली का क्षेत्रफल $A = \pi R^2 = 3.14 \times (0.5)^2 = 3.14 \times 0.25 = 0.785 \, m^2$ है।
चुंबकीय आघूर्ण $M = I \times A$ द्वारा दिया जाता है।
$M = 14 \, A \times 0.785 \, m^2 = 10.99 \, A \cdot m^2$।
निकटतम पूर्णांक में लेने पर,हमें $M \approx 11 \, A \cdot m^2$ प्राप्त होता है।

(A) डिस्क पर $r$ त्रिज्या और $dr$ मोटाई वाली एक छोटी वलय (ring) पर विचार करें।
इस वलय का क्षेत्रफल $dA = 2\pi r dr$ है।
इस वलय पर आवेश $dq = \sigma dA = \frac{q}{\pi R^2} (2\pi r dr) = \frac{2q}{R^2} r dr$ है,जहाँ $\sigma$ पृष्ठीय आवेश घनत्व है।
इस घूमती हुई वलय द्वारा उत्पन्न धारा $dI = \frac{dq}{T} = \frac{dq \omega}{2\pi} = \frac{q \omega}{\pi R^2} r dr$ है।
इस वलय का चुंबकीय आघूर्ण $d\mu = dI \cdot A = (\frac{q \omega}{\pi R^2} r dr) (\pi r^2) = \frac{q \omega}{R^2} r^3 dr$ है।
$0$ से $R$ तक समाकलन करने पर,कुल चुंबकीय आघूर्ण $\mu = \int_0^R \frac{q \omega}{R^2} r^3 dr = \frac{q \omega}{R^2} [\frac{r^4}{4}]_0^R = \frac{1}{4} q \omega R^2$ प्राप्त होता है।
डिस्क का कोणीय संवेग $L = I \omega = (\frac{1}{2} M R^2) \omega$ है।
चुंबकीय आघूर्ण और कोणीय संवेग का अनुपात $\frac{\mu}{L} = \frac{\frac{1}{4} q \omega R^2}{\frac{1}{2} M R^2 \omega} = \frac{q}{2M}$ है।

(B) धारा लूप का चुंबकीय आघूर्ण $\mu$,धारा $i$ और लूप के क्षेत्रफल $A$ के गुणनफल द्वारा दिया जाता है।
$1$. कक्षा में घूमने वाले इलेक्ट्रॉन द्वारा उत्पन्न धारा $i = q \cdot f$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $f$ परिक्रमण की आवृत्ति है।
$2$. दिया गया है कि इलेक्ट्रॉन प्रति सेकंड $n$ चक्कर लगाता है,इसलिए आवृत्ति $f = n$ है। अतः,$i = e \cdot n$।
$3$. $r$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है।
$4$. चुंबकीय आघूर्ण $\mu = i \cdot A = (e n)(\pi r^2) = \pi n e r^2$ है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) वृत्ताकार कुंडली का चुंबकीय आघूर्ण $M$ सूत्र $M = NIA$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $N$ फेरों की संख्या है,$I$ धारा है,और $A$ कुंडली का क्षेत्रफल है।
यह दिया गया है कि कुंडलियों $A$ और $B$ के चुंबकीय आघूर्ण समान हैं,इसलिए $M_A = M_B$ है।
सूत्र को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $N_A I_A A_A = N_B I_B A_B$ प्राप्त होता है।
वृत्ताकार कुंडली का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ होता है। अतः,$A_A = \pi (r_A)^2$ और $A_B = \pi (r_B)^2$ है।
मान $r_A = 10 \ cm = 0.1 \ m$ और $r_B = 20 \ cm = 0.2 \ m$ रखने पर:
$N_A I_A \pi (0.1)^2 = N_B I_B \pi (0.2)^2$
$N_A I_A (0.01) = N_B I_B (0.04)$
दोनों पक्षों को $0.01$ से विभाजित करने पर,हमें $N_A I_A = 4 N_B I_B$ प्राप्त होता है।

(C) धारा लूप का चुंबकीय आघूर्ण $\vec{\mu} = I \vec{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\vec{A}$ क्षेत्रफल सदिश है।
चित्र से,लूप में $a$ भुजा वाला एक केंद्रीय वर्ग और उसकी भुजाओं से जुड़े $a$ व्यास (त्रिज्या $r = a/2$) वाले चार अर्धवृत्त शामिल हैं।
कुल क्षेत्रफल $A$ वर्ग और चार अर्धवृत्तों के क्षेत्रफल का योग है:
$A = a^2 + 4 \times \left( \frac{1}{2} \pi r^2 \right) = a^2 + 2 \pi \left( \frac{a}{2} \right)^2 = a^2 + 2 \pi \left( \frac{a^2}{4} \right) = a^2 + \frac{\pi a^2}{2} = a^2 \left( 1 + \frac{\pi}{2} \right)$.
चूंकि धारा $I$ $x$-$y$ तल में दक्षिणावर्त (clockwise) दिशा में बहती है,इसलिए दाहिने हाथ के नियम के अनुसार,क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$ तल के अंदर की ओर,यानी $-\hat{k}$ दिशा में इंगित करता है।
अतः,चुंबकीय आघूर्ण $\vec{\mu} = I \vec{A} = -I a^2 \left( 1 + \frac{\pi}{2} \right) \hat{k} = -\left( 1 + \frac{\pi}{2} \right) a^2 I \hat{k}$ है।

(A) धारावाही कुंडली का चुंबकीय आघूर्ण $M$ सूत्र $M = I \cdot A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ धारा है और $A$ कुंडली का क्षेत्रफल है।
चूँकि कुंडली वृत्ताकार है,क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ होता है,जहाँ $r$ त्रिज्या है।
इसलिए,चुंबकीय आघूर्ण $M = I \cdot \pi r^2$ है।
समान धारा $I$ और $r_1$ तथा $r_2$ त्रिज्या वाली दो कुंडलियों के लिए,उनके चुंबकीय आघूर्ण का अनुपात है:
$\frac{M_1}{M_2} = \frac{I \cdot \pi r_1^2}{I \cdot \pi r_2^2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2$.
त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{r_1}{r_2} = \frac{1}{2}$ दिया गया है,इसे समीकरण में रखने पर:
$\frac{M_1}{M_2} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$.
अतः,उनके चुंबकीय आघूर्ण का अनुपात $1:4$ है।

(C) दिया गया धारा वितरण $xy$-तल और $yz$-तल में $a$ भुजा वाले दो वर्गाकार लूप से बना है।
धारा लूप का चुंबकीय आघूर्ण $\vec{M} = I\vec{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\vec{A}$ क्षेत्रफल सदिश है।
$xy$-तल में स्थित लूप के लिए,क्षेत्रफल सदिश $z$-अक्ष की दिशा में होता है,अर्थात $\vec{M}_1 = Ia^2 \hat{k}$।
$yz$-तल में स्थित लूप के लिए,क्षेत्रफल सदिश $x$-अक्ष की दिशा में होता है,अर्थात $\vec{M}_2 = Ia^2 \hat{i}$।
आरेख के अवलोकन से,यदि लूप $xz$ और $yz$ तलों में हैं,तो कुल चुंबकीय आघूर्ण $\vec{M}_{net} = Ia^2(\hat{i} + \hat{j})$ प्राप्त होता है।

(A) चुंबकीय आघूर्ण $M$ को धारा $I$ और लूप के क्षेत्रफल $A$ के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$M = I \times A$
यहाँ,धारा $I$ की विमा $[A^1]$ है और क्षेत्रफल $A$ की विमा $[L^2]$ है।
अतः,चुंबकीय आघूर्ण के लिए विमीय सूत्र $[M^0 L^2 T^0 A^1]$ है।

(A) घूर्णन अक्ष के साथ $\theta$ कोण पर गोले के एक पतले वलय (ring) तत्व पर विचार करें,जिसकी चौड़ाई $R d\theta$ और त्रिज्या $r = R \sin \theta$ है।
पृष्ठ आवेश घनत्व $\sigma = \frac{Q}{4 \pi R^2}$ है।
इस वलय पर आवेश $dq = \sigma (2 \pi r) (R d\theta) = \sigma (2 \pi R \sin \theta) (R d\theta) = 2 \pi \sigma R^2 \sin \theta d\theta$ है।
इस घूमते हुए वलय द्वारा उत्पन्न धारा $dI = \frac{dq}{T} = \frac{dq \omega}{2 \pi} = \sigma R^2 \omega \sin \theta d\theta$ है।
इस वलय का चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $d\mu = dI \cdot A = (\sigma R^2 \omega \sin \theta d\theta) (\pi r^2) = \sigma R^2 \omega \sin \theta d\theta (\pi R^2 \sin^2 \theta) = \pi \sigma R^4 \omega \sin^3 \theta d\theta$ है।
कुल चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $\mu = \int_0^{\pi} \pi \sigma R^4 \omega \sin^3 \theta d\theta = \pi \sigma R^4 \omega \int_0^{\pi} \sin^3 \theta d\theta$ है।
$\int_0^{\pi} \sin^3 \theta d\theta = \frac{4}{3}$ का उपयोग करते हुए,हमें $\mu = \pi \left( \frac{Q}{4 \pi R^2} \right) R^4 \omega \left( \frac{4}{3} \right) = \frac{Q R^2 \omega}{3}$ प्राप्त होता है।
ठोस गोले का कोणीय संवेग $L = I \omega = (\frac{2}{5} M R^2) \omega$ है।
अनुपात $\frac{\mu}{L} = \frac{Q R^2 \omega / 3}{(2/5) M R^2 \omega} = \frac{Q}{2M} \left( \frac{5}{3} \right)$ है।
अतः,$\alpha = \frac{5}{3} \approx 1.67$।

(C) परिक्रमा करते हुए इलेक्ट्रॉन द्वारा उत्पन्न धारा $I = qf$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $q$ इलेक्ट्रॉन का आवेश $(1.6 \times 10^{-19} \text{ C})$ है और $f$ आवृत्ति $(6.6 \times 10^{15} \text{ rev } s^{-1})$ है।
$I = (1.6 \times 10^{-19} \text{ C}) \times (6.6 \times 10^{15} \text{ s}^{-1}) = 1.056 \times 10^{-3} \text{ A} \approx 1.06 \times 10^{-3} \text{ A}$.
कक्षा का क्षेत्रफल $A = \pi R^2$ है,जहाँ $R = 0.528 \text{ Å} = 0.528 \times 10^{-10} \text{ m}$.
$A = 3.142 \times (0.528 \times 10^{-10} \text{ m})^2 = 3.142 \times 0.2788 \times 10^{-20} \text{ m}^2 \approx 0.876 \times 10^{-20} \text{ m}^2$.
चुंबकीय आघूर्ण $M = I \times A$ द्वारा दिया जाता है।
$M = (1.06 \times 10^{-3} \text{ A}) \times (0.876 \times 10^{-20} \text{ m}^2) \approx 0.928 \times 10^{-23} \text{ A-m}^2$.
निकटतम मान लेने पर,$M \approx 1 \times 10^{-23} \text{ A-m}^2$ प्राप्त होता है।

(D) $r$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में $v$ चाल से गति कर रहे $e$ आवेश वाले इलेक्ट्रॉन से संबंधित धारा $i$ को आवेश के प्रवाह की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$i = \frac{q}{T}$
यहाँ,$q = e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है।
आवर्तकाल $T$,$v$ चाल के साथ $2 \pi r$ परिधि वाली वृत्ताकार कक्षा में एक चक्कर पूरा करने में लगा समय है।
$T = \frac{\text{दूरी}}{\text{चाल}} = \frac{2 \pi r}{v}$
धारा के सूत्र में मान रखने पर:
$i = \frac{e}{(2 \pi r / v)} = \frac{e v}{2 \pi r}$

(C) धारा $I$ को आवेश के प्रवाह की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो $I = \frac{q}{T}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $q$ आवेश है और $T$ परिक्रमण का आवर्तकाल है।
$r$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में $v$ कक्षीय वेग से गति करने वाले इलेक्ट्रॉन के लिए,एक परिक्रमण में तय की गई दूरी परिधि $2 \pi r$ होती है।
अतः,आवर्तकाल $T$ का मान $T = \frac{2 \pi r}{v}$ होता है।
इस मान को धारा के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \frac{e}{T} = \frac{e}{(2 \pi r / v)} = \frac{ev}{2 \pi r}$.
चूँकि $2 \pi$ एक नियतांक है,इसलिए $I \propto e^{1} v^{1} r^{-1}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) जब एक धारावाही कुंडली को चुंबकीय क्षेत्र में रखा जाता है,तो कुंडली पर कार्य करने वाला टॉर्क निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\vec{\tau} = \vec{M} \times \vec{B}$
जहाँ $\vec{M}$ कुंडली का चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण है।
चुंबकीय आघूर्ण को $\vec{M} = n i \vec{A}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $n$ फेरों की संख्या है,$i$ धारा है,और $\vec{A}$ क्षेत्रफल सदिश है।
इस मान को टॉर्क के समीकरण में रखने पर:
$\vec{\tau} = (n i \vec{A}) \times \vec{B}$
$\vec{\tau} = n i (\vec{A} \times \vec{B})$
अतः,टॉर्क का परिमाण और दिशा क्षेत्रफल सदिश और चुंबकीय क्षेत्र सदिश के क्रॉस गुणनफल द्वारा प्राप्त होते हैं।

(B) मान लीजिए कि धातु के तार की लंबाई $l$ है।
जब तार को $r$ त्रिज्या वाली वृत्ताकार कुंडली में मोड़ा जाता है,तो परिधि $2 \pi r = l$ होती है,इसलिए $r = \frac{l}{2 \pi}$।
वृत्ताकार कुंडली का क्षेत्रफल $A_c = \pi r^2 = \pi \left( \frac{l}{2 \pi} \right)^2 = \frac{l^2}{4 \pi}$ है।
वृत्ताकार कुंडली का चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $\mu_c = i A_c = i \frac{l^2}{4 \pi}$ है।
जब उसी तार को वर्गाकार कुंडली में मोड़ा जाता है,तो परिधि $4a = l$ होती है,इसलिए भुजा की लंबाई $a = \frac{l}{4}$ है।
वर्गाकार कुंडली का क्षेत्रफल $A_s = a^2 = \left( \frac{l}{4} \right)^2 = \frac{l^2}{16}$ है।
वर्गाकार कुंडली का चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $\mu_s = i A_s = i \frac{l^2}{16}$ है।
चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण का अनुपात $\frac{\mu_c}{\mu_s} = \frac{i l^2 / 4 \pi}{i l^2 / 16} = \frac{16}{4 \pi} = \frac{4}{\pi}$ है।

(D) मान लीजिए धातु के तार की लंबाई $l$ है।
जब तार को $r$ त्रिज्या की वृत्ताकार कुंडली में मोड़ा जाता है,तो परिधि $2\pi r = l$ होती है,इसलिए $r = \frac{l}{2\pi}$।
वृत्ताकार कुंडली का क्षेत्रफल $A_c = \pi r^2 = \pi \left(\frac{l}{2\pi}\right)^2 = \frac{l^2}{4\pi}$ है।
वृत्ताकार कुंडली के लिए चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $\mu_c = i A_c = \frac{i l^2}{4\pi}$ है।
जब तार को वर्गाकार कुंडली में मोड़ा जाता है,तो परिमाप $4a = l$ होता है,इसलिए भुजा की लंबाई $a = \frac{l}{4}$ है।
वर्गाकार कुंडली का क्षेत्रफल $A_s = a^2 = \left(\frac{l}{4}\right)^2 = \frac{l^2}{16}$ है।
वर्गाकार कुंडली के लिए चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $\mu_s = i A_s = \frac{i l^2}{16}$ है।
चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण का अनुपात $\frac{\mu_c}{\mu_s} = \frac{i l^2 / 4\pi}{i l^2 / 16} = \frac{16}{4\pi} = \frac{4}{\pi}$ है।

(B) मान लीजिए कि तार की लंबाई $l$ है।
वृत्ताकार लूप के लिए,परिधि $2 \pi r = l$ है,इसलिए त्रिज्या $r = \frac{l}{2 \pi}$ है।
वृत्ताकार लूप का चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $M_{1} = i A_{1} = i \pi r^{2}$ है।
$r$ का मान रखने पर,हमें $M_{1} = i \pi \left(\frac{l}{2 \pi}\right)^{2} = \frac{i l^{2}}{4 \pi}$ प्राप्त होता है।
वर्गाकार लूप के लिए,परिमाप $4 a = l$ है,इसलिए भुजा की लंबाई $a = \frac{l}{4}$ है।
वर्गाकार लूप का चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $M_{2} = i A_{2} = i a^{2}$ है।
$a$ का मान रखने पर,हमें $M_{2} = i \left(\frac{l}{4}\right)^{2} = \frac{i l^{2}}{16}$ प्राप्त होता है।
द्विध्रुव आघूर्णों का अनुपात $\frac{M_{1}}{M_{2}} = \frac{i l^{2} / 4 \pi}{i l^{2} / 16} = \frac{16}{4 \pi} = \frac{4}{\pi}$ है।

(B) एक वृत्ताकार धारा लूप की अक्ष पर बड़ी दूरी $r$ पर चुंबकीय क्षेत्र,एक चुंबकीय द्विध्रुव के क्षेत्र के समान होता है।
$n$ फेरों,$A$ क्षेत्रफल और $I$ धारा वाली कुंडली का चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $M = n I A$ होता है।
$r$ दूरी पर द्विध्रुव की अक्ष पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र $B_{\text{axis}} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \cdot \frac{2 M}{r^3}$ है।
इस सूत्र में $M = n I A$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$B_{\text{axis}} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \cdot \frac{2 n I A}{r^3}$.

(B) $I$ धारा वाली $r$ त्रिज्या की वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।
क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ दिया गया है, इसलिए $r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$ होगा।
चुंबकीय क्षेत्र के सूत्र में $r$ का मान रखने पर: $B = \frac{\mu_0 I}{2 \sqrt{A/\pi}} = \frac{\mu_0 I \sqrt{\pi}}{2 \sqrt{A}}$.
धारा $I$ के लिए हल करने पर: $I = \frac{2 B \sqrt{A}}{\mu_0 \sqrt{\pi}}$.
चुंबकीय आघूर्ण $M = I A$ द्वारा दिया जाता है।
$I$ का मान रखने पर: $M = \left( \frac{2 B \sqrt{A}}{\mu_0 \sqrt{\pi}} \right) A = \frac{2 B A^{3/2}}{\mu_0 \sqrt{\pi}}$.

(C) वृत्ताकार कुंडली का चुंबकीय आघूर्ण $(M)$ सूत्र $M = I \cdot A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ धारा है और $A$ कुंडली का क्षेत्रफल है।
$r$ त्रिज्या वाली वृत्ताकार कुंडली के लिए,तार की लंबाई $L$ परिधि के बराबर होती है,इसलिए $L = 2\pi r$,जिसका अर्थ है $r = \frac{L}{2\pi}$।
कुंडली का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi \left(\frac{L}{2\pi}\right)^2 = \frac{L^2}{4\pi}$ होता है।
इस मान को चुंबकीय आघूर्ण के सूत्र में रखने पर: $M = I \cdot \left(\frac{L^2}{4\pi}\right)$।
चूंकि $I$ और $4\pi$ स्थिरांक हैं,इसलिए $M \propto L^2$ प्राप्त होता है।

(B) धारा लूप का चुंबकीय आघूर्ण $\mu$ सूत्र $\mu = IA$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ '$I$' धारा है और '$A$' लूप का क्षेत्रफल है।
'$r$' त्रिज्या की कक्षा में '$v$' चाल से घूम रहे इलेक्ट्रॉन के लिए,आवर्तकाल '$T$' का मान $T = \frac{2\pi r}{v}$ होता है।
तुल्य धारा '$I$' का मान $I = \frac{e}{T} = \frac{ev}{2\pi r}$ है।
कक्षा का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है।
इन मानों को चुंबकीय आघूर्ण के सूत्र में रखने पर:
$\mu = I \times A = \left( \frac{ev}{2\pi r} \right) \times (\pi r^2) = \frac{evr}{2}$.

(C) धारावाही कुंडली का चुंबकीय आघूर्ण $m = N I A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $N$ फेरों की संख्या है,$I$ धारा है,और $A$ कुंडली का क्षेत्रफल है।
दिया गया है कि कुंडलियों $A$ और $B$ के चुंबकीय आघूर्ण समान हैं,$m_A = m_B$.
इसलिए,$N_A I_A A_A = N_B I_B A_B$.
चूंकि कुंडलियां वृत्ताकार हैं,क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ होता है। अतः,$N_A I_A (\pi r_A^2) = N_B I_B (\pi r_B^2)$.
दी गई त्रिज्याओं $r_A = 10 \ cm$ और $r_B = 20 \ cm$ का मान रखने पर:
$N_A I_A (10)^2 = N_B I_B (20)^2$.
$N_A I_A (100) = N_B I_B (400)$.
$N_A I_A = 4 \ N_B I_B$.

(C) कुंडली का चुंबकीय आघूर्ण $\mu = n I A = n I \pi R^2$ द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए कि प्रारंभिक फेरों की संख्या $n_1 = n$ और त्रिज्या $R_1 = R$ है।
प्रारंभिक चुंबकीय आघूर्ण $\mu_1 = n I \pi R^2$ है।
जब तार को खोलकर फिर से लपेटा जाता है,तो तार की कुल लंबाई $L = n_1 (2 \pi R_1) = n_2 (2 \pi R_2)$ स्थिर रहती है।
यहाँ $R_2 = \frac{R}{3}$ दिया गया है,इसलिए $n (2 \pi R) = n_2 (2 \pi \frac{R}{3})$,जिससे $n_2 = 3n$ प्राप्त होता है।
नया चुंबकीय आघूर्ण $\mu_2 = n_2 I \pi R_2^2 = (3n) I \pi (\frac{R}{3})^2 = 3n I \pi \frac{R^2}{9} = \frac{n I \pi R^2}{3}$ है।
अतः,अनुपात $\frac{\mu_2}{\mu_1} = \frac{\frac{n I \pi R^2}{3}}{n I \pi R^2} = \frac{1}{3}$ है।

(D) वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र इस प्रकार है:
$B = \frac{\mu_0 I}{2r}$
इससे,हम धारा $I$ को इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं:
$I = \frac{2Br}{\mu_0} \quad ...(i)$
$A$ क्षेत्रफल वाले वृत्ताकार लूप के लिए,त्रिज्या $r$ इस प्रकार है:
$A = \pi r^2 \Rightarrow r = \sqrt{\frac{A}{\pi}} \quad ...(ii)$
लूप का चुंबकीय आघूर्ण $M$,$M = IA$ के रूप में परिभाषित होता है।
समीकरण $(i)$ से $I$ का मान और समीकरण $(ii)$ से $r$ का मान $M$ के व्यंजक में रखने पर:
$M = \left( \frac{2Br}{\mu_0} \right) \times A$
$M = \frac{2B}{\mu_0} \times \sqrt{\frac{A}{\pi}} \times A$
$M = \frac{2B}{\mu_0} \times \frac{A^{1/2}}{\pi^{1/2}} \times A$
$M = \frac{2BA^{3/2}}{\mu_0 \pi^{1/2}}$

(B) धारावाही लूप का चुंबकीय आघूर्ण $m$ का सूत्र $m = nIA$ है,जहाँ $n$ फेरों की संख्या है,$I$ धारा है और $A$ लूप का क्षेत्रफल है।
$R$ त्रिज्या वाले एक वृत्ताकार लूप $(n=1)$ के लिए,केंद्र पर चुंबकीय प्रेरण $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$ होता है।
इससे,धारा $I = \frac{B \times 2R}{\mu_0}$ प्राप्त होती है।
लूप का क्षेत्रफल $A = \pi R^2$ है।
चुंबकीय आघूर्ण के सूत्र में मान रखने पर:
$m = I \times A = \left( \frac{B \times 2R}{\mu_0} \right) \times (\pi R^2) = \frac{2 \pi B R^3}{\mu_0}$.

(C) वृत्ताकार पथ में परिक्रमा कर रहे एक इलेक्ट्रॉन का कक्षीय चुंबकीय आघूर्ण $M_0$ निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया जाता है:
$M_0 = \frac{-e}{2m_e} L$
जहाँ '$e$' इलेक्ट्रॉन का आवेश है,'$m_e$' इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है,और '$L$' कोणीय संवेग है।
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि कक्षीय चुंबकीय आघूर्ण $M_0$,इलेक्ट्रॉन के कोणीय संवेग $L$ के सीधे समानुपाती होता है।

(D) धारावाही कुंडली का चुंबकीय आघूर्ण $(m)$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$m = nIA$
जहाँ $n$ फेरों की संख्या है,$I$ धारा है,और $A$ कुंडली का क्षेत्रफल है।
$r$ त्रिज्या वाली वृत्ताकार कुंडली के लिए,क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ होता है।
इस मान को सूत्र में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$m = nI(\pi r^2)$
अतः,चुंबकीय आघूर्ण फेरों की संख्या $(n)$,धारा $(I)$,और कुंडली की त्रिज्या $(r)$ पर निर्भर करता है।

(B) तार की लंबाई स्थिर रहती है। मान लीजिए $N_1 = n$ और $N_2$ नई कुंडली में फेरों की संख्या है।
चूंकि तार की कुल लंबाई $L = N_1 (2 \pi R) = N_2 (2 \pi R_2)$ है,जहाँ $R_2 = \frac{R}{3}$:
$N_1 (2 \pi R) = N_2 (2 \pi \frac{R}{3})$
$N_1 = \frac{N_2}{3} \implies N_2 = 3 N_1$.
कुंडली का चुंबकीय आघूर्ण $\mu = N I A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A = \pi R^2$ है।
मूल कुंडली के लिए: $\mu_1 = N_1 I (\pi R^2)$.
नई कुंडली के लिए: $\mu_2 = N_2 I (\pi R_2^2) = (3 N_1) I \pi (\frac{R}{3})^2 = 3 N_1 I \pi \frac{R^2}{9} = \frac{1}{3} N_1 I \pi R^2$.
अतः,अनुपात $\frac{\mu_2}{\mu_1} = \frac{\frac{1}{3} N_1 I \pi R^2}{N_1 I \pi R^2} = \frac{1}{3}$.

(D) वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i}{2r}$ है।
लूप का चुंबकीय आघूर्ण $M = i \pi r^2$ है।
अनुपात $x = \frac{B}{M} = \frac{\mu_0 i / 2r}{i \pi r^2} = \frac{\mu_0}{2 \pi r^3}$ है।
जब धारा $i$ दोगुनी $(2i)$ और त्रिज्या $r$ दोगुनी $(2r)$ हो जाती है,तो नया चुंबकीय क्षेत्र $B' = \frac{\mu_0 (2i)}{2(2r)} = \frac{\mu_0 i}{2r} = B$ होता है।
नया चुंबकीय आघूर्ण $M' = (2i) \pi (2r)^2 = (2i) \pi (4r^2) = 8(i \pi r^2) = 8M$ होता है।
नया अनुपात $x' = \frac{B'}{M'} = \frac{B}{8M} = \frac{1}{8} \left( \frac{B}{M} \right) = \frac{x}{8}$ होगा।