Magnetic Moment of Current Carrying Coil Questions in Hindi

(C) एक वृत्ताकार लूप का चुंबकीय आघूर्ण $M$ सूत्र $M = I A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ धारा है और $A$ लूप का क्षेत्रफल है।
$R$ त्रिज्या वाले वृत्ताकार लूप के लिए,क्षेत्रफल $A = \pi R^2$ होता है।
अतः,$M = I (\pi R^2)$.
तार की लंबाई $L$ लूप की परिधि बनाती है,इसलिए $L = 2 \pi R$,जिसका अर्थ है $R = \frac{L}{2 \pi}$.
$R$ का मान चुंबकीय आघूर्ण के समीकरण में रखने पर:
$M = I \pi \left( \frac{L}{2 \pi} \right)^2$
$M = I \pi \left( \frac{L^2}{4 \pi^2} \right)$
$M = \frac{I L^2}{4 \pi}$
$L$ के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर:
$L^2 = \frac{4 M \pi}{I}$
$L = \sqrt{\frac{4 M \pi}{I}}$ या $\left[ \frac{4 M \pi}{I} \right]^{\frac{1}{2}}$.

(A) माना वृत्ताकार लूप की त्रिज्या $r$ है।
चूंकि क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है,इसलिए $r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$ होगा।
वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।
$r$ का मान रखने पर,$B = \frac{\mu_0 I}{2 \sqrt{A/\pi}}$ प्राप्त होता है।
धारा $I$ के लिए हल करने पर,$I = \frac{2B}{\mu_0} \sqrt{\frac{A}{\pi}}$ मिलता है।
लूप का चुंबकीय आघूर्ण $M$ को $M = I A$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$I$ का व्यंजक रखने पर,$M = \left( \frac{2B}{\mu_0} \sqrt{\frac{A}{\pi}} \right) A = \frac{2 B A^{3/2}}{\mu_0 \sqrt{\pi}}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) मान लीजिए कि तार की लंबाई $l$ है। वर्गाकार लूप के लिए,वर्ग की भुजा $a = l/4$ है।
अतः,इसका चुंबकीय आघूर्ण $M_{sq} = i A = i (l/4)^2 = i l^2 / 16$ है।
वृत्ताकार लूप के लिए,परिधि $2 \pi r = l$ है,इसलिए त्रिज्या $r = l / (2 \pi)$ है।
अतः,इसका चुंबकीय आघूर्ण $M_{cir} = i A = i \pi r^2 = i \pi (l / (2 \pi))^2 = i \pi (l^2 / 4 \pi^2) = i l^2 / (4 \pi)$ है।
वृत्त के चुंबकीय आघूर्ण और वर्ग के चुंबकीय आघूर्ण का अनुपात:
$\frac{M_{cir}}{M_{sq}} = \frac{i l^2 / (4 \pi)}{i l^2 / 16} = \frac{16}{4 \pi} = \frac{4}{\pi}$.

(A) वृत्ताकार कुंडली का क्षेत्रफल $A = \pi R^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R$ कुंडली की त्रिज्या है।
इससे,त्रिज्या $R = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$ प्राप्त होती है।
$I$ धारा वाली वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 R}$ होता है।
धारा $I$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$I = \frac{2 B R}{\mu_0}$ प्राप्त होता है।
कुंडली का चुंबकीय आघूर्ण $M$ को $M = I A$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$I$ और $R$ के व्यंजकों को $M$ के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$M = \left( \frac{2 B R}{\mu_0} \right) A = \frac{2 B A}{\mu_0} \sqrt{\frac{A}{\pi}}$.
इसे सरल करने पर,$M = \frac{2 B A^{3/2}}{\mu_0 \sqrt{\pi}}$ प्राप्त होता है।

(D) चालक की लंबाई $L$ वृत्ताकार लूप की परिधि बनाती है।
$L = 2 \pi r$,जहाँ $r$ लूप की त्रिज्या है।
इसलिए,$r = \frac{L}{2 \pi}$।
वृत्ताकार लूप का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ द्वारा दिया जाता है।
$r$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $A = \pi \left( \frac{L}{2 \pi} \right)^2 = \pi \left( \frac{L^2}{4 \pi^2} \right) = \frac{L^2}{4 \pi}$।
धारावाही लूप का चुंबकीय आघूर्ण $M = I \times A$ द्वारा दिया जाता है।
$A$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $M = I \left( \frac{L^2}{4 \pi} \right) = \frac{IL^2}{4 \pi}$।

(D) धारा लूप का चुंबकीय आघूर्ण $M$ सूत्र $M = I \times A$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ, परिक्रमा करने वाले इलेक्ट्रॉन के कारण धारा $I = qf = ef$ है, जहाँ $f$ परिक्रमा की आवृत्ति है।
वृत्ताकार कक्षा का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर, हमें $M = (ef)(\pi r^2)$ प्राप्त होता है।
दिया गया है: $r = 0.05 \,nm = 0.05 \times 10^{-9} \,m = 5 \times 10^{-11} \,m$, $f = 10^{16} \,Hz$, और $e = 1.6 \times 10^{-19} \,C$.
$M = (1.6 \times 10^{-19} \,C) \times (10^{16} \,s^{-1}) \times (3.14) \times (5 \times 10^{-11} \,m)^2$.
$M = 1.6 \times 10^{-3} \times 3.14 \times 25 \times 10^{-22}$.
$M = 1.6 \times 3.14 \times 25 \times 10^{-25}$.
$M = 125.6 \times 10^{-25} = 1.256 \times 10^{-23} \,A-m^2 \approx 1.26 \times 10^{-23} \,A-m^2$.

(B) मान लीजिए कि वृत्ताकार लूप की त्रिज्या $r$ है। लूप का क्षेत्रफल $A = \pi r^{2}$ है।
इसलिए,$r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$.
वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_{0} I}{2 r}$ द्वारा दिया जाता है।
$r$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $B = \frac{\mu_{0} I}{2 \sqrt{\frac{A}{\pi}}}$.
धारा $I$ के लिए हल करने पर,हमें प्राप्त होता है $I = \frac{2 B}{\mu_{0}} \sqrt{\frac{A}{\pi}}$.
चुंबकीय आघूर्ण $M = I A$ द्वारा दिया जाता है।
$I$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $M = \left( \frac{2 B}{\mu_{0}} \sqrt{\frac{A}{\pi}} \right) A$.
$M = \frac{2 B}{\mu_{0}} \cdot \frac{A^{1/2}}{\pi^{1/2}} \cdot A = \frac{2 B A^{3/2}}{\mu_{0} \pi^{1/2}}$.

(B) वृत्ताकार कक्षा में घूम रहे इलेक्ट्रॉन का कक्षीय चुंबकीय आघूर्ण $M = iA$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $i$ धारा है और $A$ कक्षा का क्षेत्रफल है।
धारा $i$ का मान $i = ef$ होता है,जहाँ $e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है और $f$ परिक्रमण की आवृत्ति है।
वृत्ताकार कक्षा का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है।
अतः,$M = (ef)(\pi r^2)$।
चूँकि $e$,$\pi$ और $r$ स्थिरांक हैं,इसलिए $M \propto f$ है।
यदि आवृत्ति $f$ को दोगुना $(f' = 2f)$ कर दिया जाए,तो नया चुंबकीय आघूर्ण $M'$ का मान $M' = e(2f)(\pi r^2) = 2(ef\pi r^2) = 2M$ होगा।

(C) चुंबकीय आघूर्ण विद्युत आवेशों की गति से उत्पन्न होता है,जो एक धारा लूप या चुंबकीय क्षेत्र बनाता है।
$1$. एक स्थिर आवेश केवल विद्युत क्षेत्र उत्पन्न करता है और यह चुंबकीय क्षेत्र या चुंबकीय आघूर्ण उत्पन्न नहीं करता है।
$2$. नियत वेग से गतिमान आवेश विद्युत क्षेत्र और चुंबकीय क्षेत्र (और इस प्रकार चुंबकीय आघूर्ण) दोनों उत्पन्न करता है।
$3$. त्वरित या मंदित आवेश समय के साथ बदलते विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र बनाते हैं,जिसमें चुंबकीय प्रभाव भी शामिल होते हैं।
इसलिए,स्थिर आवेश ही एकमात्र विकल्प है जो चुंबकीय आघूर्ण उत्पन्न नहीं करता है।

(A) विद्युत धारा $I$ को आवेश के प्रवाह की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो $I = \frac{q}{t}$ द्वारा दी जाती है।
कक्षा में घूमते हुए इलेक्ट्रॉन के मामले में,आवेश $q$ प्राथमिक आवेश $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$ है,और समय $t$ आवर्तकाल $T = 1.5 \times 10^{-16} \ s$ है।
मान रखने पर:
$I = \frac{1.6 \times 10^{-19} \ C}{1.5 \times 10^{-16} \ s}$
$I = 1.066 \times 10^{-3} \ A$.

(D) धारा लूप का चुंबकीय आघूर्ण $M$,$M = I \cdot A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ धारा है और $A$ क्षेत्रफल है। इसका $SI$ मात्रक $A \cdot m^2$ है।
वैकल्पिक रूप से,बाह्य चुंबकीय क्षेत्र $B$ में स्थित चुंबकीय द्विध्रुव के लिए,स्थितिज ऊर्जा $U$,$U = -M \cdot B$ द्वारा दी जाती है।
अतः,$M = U / B$।
ऊर्जा $U$ का मात्रक जूल $(J)$ है और चुंबकीय क्षेत्र $B$ का मात्रक टेस्ला $(T)$ है।
इसलिए,चुंबकीय आघूर्ण का मात्रक $J \cdot T^{-1}$ है।

(A) धारावाही लूप का चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $m = NIA$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $N$ फेरों की संख्या है,$I$ धारा है और $A$ लूप का क्षेत्रफल है।
पहले मामले के लिए,$N_1 = 1$,$R_1 = R$,और $A_1 = \pi R^2$. अतः,$m = I \pi R^2$.
जब $L$ लंबाई के तार को $N_2 = 2$ फेरों वाली रिंग में बदला जाता है,तो नई रिंग की परिधि $2 \times (2 \pi R_2) = L$ होती है। चूंकि $L = 2 \pi R$,हमारे पास $4 \pi R_2 = 2 \pi R$ है,जिससे $R_2 = \frac{R}{2}$ प्राप्त होता है।
नया क्षेत्रफल $A_2 = \pi R_2^2 = \pi (\frac{R}{2})^2 = \frac{\pi R^2}{4}$ है।
नया चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $m'$ है $m' = N_2 I A_2 = 2 \times I \times \frac{\pi R^2}{4} = \frac{I \pi R^2}{2}$.
चूंकि $m = I \pi R^2$,हमें $m' = \frac{m}{2}$ प्राप्त होता है।

(A) धारा लूप का चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $M$ सूत्र $M = I A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ धारा है और $A$ लूप का क्षेत्रफल है।
$r$ त्रिज्या वाले वृत्ताकार लूप के लिए,क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है।
अतः,$M = I (\pi r^2) \quad \dots(1)$
$I$ धारा ले जाने वाले वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ होता है।
इस सूत्र को $I$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $I = \frac{2rB}{\mu_0}$ प्राप्त होता है।
$I$ का मान समीकरण $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$M = \left( \frac{2rB}{\mu_0} \right) (\pi r^2)$
$M = \frac{2 \pi B r^3}{\mu_0}$.

(C) मान लीजिए तार की कुल लंबाई $L$ है।
एकल-टर्न कुंडली $(n_1 = 1)$ के लिए,परिधि $L = 2\pi R_1$ है,इसलिए $R_1 = \frac{L}{2\pi}$।
केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 I}{2R_1} = \frac{\mu_0 I}{2(L/2\pi)} = \frac{\mu_0 I \pi}{L} = B$ है।
दो-टर्न कुंडली $(n_2 = 2)$ के लिए,कुल लंबाई $L = n_2(2\pi R_2) = 2(2\pi R_2) = 4\pi R_2$ है।
अतः,नई त्रिज्या $R_2 = \frac{L}{4\pi} = \frac{R_1}{2}$ है।
$n$ टर्न के लिए केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_n = \frac{n \mu_0 I}{2R_n}$ होता है।
$n=2$ के लिए,$B_2 = \frac{2 \mu_0 I}{2R_2} = \frac{\mu_0 I}{R_2}$।
$R_2 = \frac{R_1}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर,$B_2 = \frac{\mu_0 I}{R_1/2} = \frac{2 \mu_0 I}{R_1}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $B = \frac{\mu_0 I}{2R_1}$,इसलिए $\frac{\mu_0 I}{R_1} = 2B$ है।
अतः,$B_2 = 2(2B) = 4B$ होगा।

(D) दिया गया है:
फेरों की संख्या,$N = 1000$
अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल,$A = 2 \times 10^{-4} \ m^2$
धारा,$I = 5.0 \ A$
परिनालिका का चुंबकीय आघूर्ण $\mu$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\mu = N \cdot I \cdot A$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\mu = 1000 \times 5.0 \times (2 \times 10^{-4})$
$\mu = 5000 \times 2 \times 10^{-4}$
$\mu = 10000 \times 10^{-4}$
$\mu = 1 \ A \ m^2$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) दिया गया है: कुंडली की त्रिज्या $r = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$.
फेरों की संख्या $N = 100$.
धारा $I = 1 \text{ A}$.
धारावाही कुंडली का चुंबकीय आघूर्ण $M$ सूत्र $M = N I A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ कुंडली का क्षेत्रफल है।
क्षेत्रफल $A = \pi r^{2} = \pi \times (0.1 \text{ m})^{2} = 0.01 \pi \text{ m}^{2}$.
सूत्र में मान रखने पर:
$M = 100 \times 1 \times (0.01 \times 3.142) \text{ A m}^{2}$.
$M = 100 \times 0.03142 \text{ A m}^{2} = 3.142 \text{ A m}^{2}$.
अतः,कुंडली का चुंबकीय आघूर्ण $3.142 \text{ A m}^{2}$ है।

(A) एक धारा लूप का चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $M$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$M = NIA$
जहाँ:
$N$ लूप में फेरों की संख्या है,
$I$ लूप में प्रवाहित धारा है,
$A$ लूप का क्षेत्रफल है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण केवल लूप के गुणों $(N, I, A)$ पर निर्भर करता है और उस बाहरी चुंबकीय क्षेत्र से स्वतंत्र है जिसमें लूप स्थित है।

(D) वृत्ताकार धारावाही लूप के लिए दाहिने हाथ के अंगूठे के नियम के अनुसार,यदि दाहिने हाथ की उंगलियों को धारा की दिशा में मोड़ा जाता है,तो अंगूठा लूप के अंदर चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं की दिशा को दर्शाता है।
यदि ऊपर से देखने पर धारा वामावर्त (anticlockwise) दिशा में बहती है,तो चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं ऊपर की ओर (प्रेक्षक की ओर) इंगित करती हैं।
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं उत्तरी ध्रुव से निकलती हैं,इसलिए लूप का वह फलक जहां धारा वामावर्त दिखाई देती है,उत्तरी ध्रुव के रूप में कार्य करता है।
इसके विपरीत,यदि धारा दक्षिणावर्त (clockwise) दिशा में बहती है,तो वह फलक दक्षिणी ध्रुव के रूप में कार्य करता है।
इसलिए,यदि धारा वामावर्त है तो लूप का ऊपरी हिस्सा उत्तरी ध्रुव के रूप में कार्य करता है।

(C) वृत्ताकार धारावाही छल्ले के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि तीनों छल्ले एक-दूसरे के लंबवत हैं और मूल बिंदु पर केंद्रित हैं,इसलिए उनके चुंबकीय क्षेत्र सदिश क्रमशः $x$,$y$ और $z$ अक्षों की दिशा में होंगे।
अतः,चुंबकीय क्षेत्र सदिश हैं:
$\vec{B_1} = \frac{\mu_0 I}{2r} \hat{i}$
$\vec{B_2} = \frac{\mu_0 I}{2r} \hat{j}$
$\vec{B_3} = \frac{\mu_0 I}{2r} \hat{k}$
मूल बिंदु पर परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B_0}$ इन क्षेत्रों का सदिश योग है:
$\vec{B_0} = \vec{B_1} + \vec{B_2} + \vec{B_3} = \frac{\mu_0 I}{2r} (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$
परिणामी चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण है:
$B_0 = |\vec{B_0}| = \frac{\mu_0 I}{2r} \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}$
$B_0 = \frac{\mu_0 I}{2r} \sqrt{3} = \sqrt{3} \frac{\mu_0 I}{2r}$

(C) धारा लूप का चुंबकीय आघूर्ण $M = I A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ धारा है और $A$ लूप का क्षेत्रफल है।
$R$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में $T$ आवर्तकाल के साथ गति कर रहे इलेक्ट्रॉन के लिए,समतुल्य धारा $I$ प्रति इकाई समय $T$ में प्रवाहित आवेश $e$ है,इसलिए $I = \frac{e}{T}$।
वृत्ताकार कक्षा का क्षेत्रफल $A = \pi R^2$ है।
इन मानों को चुंबकीय आघूर्ण के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $M = I A = \left( \frac{e}{T} \right) (\pi R^2) = \frac{\pi e R^2}{T}$।

(C) परिनालिका का चुंबकीय आघूर्ण $M$ सूत्र $M = N \cdot I \cdot A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $N$ फेरों की संख्या है,$I$ धारा है,और $A$ परिनालिका का अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
दिया गया है:
फेरों की संख्या $N = 500$
धारा $I = 15 \,A$
त्रिज्या $r = 2 \,cm = 0.02 \,m$
क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi (0.02)^2 = 0.0004 \pi \,m^2$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$M = 500 \times 15 \times 0.0004 \pi$
$M = 7500 \times 0.0004 \pi$
$M = 3 \pi \,J \,T^{-1}$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) धारा लूप का चुंबकीय आघूर्ण $M$,लूप में प्रवाहित धारा $I$ और लूप के क्षेत्रफल $A$ के गुणनफल द्वारा दिया जाता है,$M = I A$।
जब $L$ लंबाई के तार को एक वृत्त के रूप में मोड़ा जाता है,तो इसकी परिधि $2 \pi r = L$ होती है,जिसका अर्थ है कि त्रिज्या $r = \frac{L}{2 \pi}$ है।
इस वृत्ताकार लूप का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi \left( \frac{L}{2 \pi} \right)^2 = \frac{L^2}{4 \pi}$ है।
क्षेत्रफल को चुंबकीय आघूर्ण के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $M = I \times \frac{L^2}{4 \pi} = \frac{L^2 I}{4 \pi}$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए तार की लंबाई $l$ है।
जब तार को $r$ त्रिज्या के वृत्ताकार लूप में मोड़ा जाता है,तो परिधि तार की लंबाई के बराबर होती है:
$l = 2 \pi r \Rightarrow r = \frac{l}{2 \pi}$
धारा लूप का चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $M$ इस प्रकार दिया जाता है:
$M = i A$
क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$M = i \cdot \pi r^2 = i \pi \left( \frac{l}{2 \pi} \right)^2$
$M = i \pi \cdot \frac{l^2}{4 \pi^2} = \frac{i l^2}{4 \pi}$
$l$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$l^2 = \frac{4 \pi M}{i}$
$l = \sqrt{\frac{4 \pi M}{i}}$

(D) $R$ त्रिज्या वाले और $i$ धारा प्रवाहित करने वाले वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ इस प्रकार है:
$B = \frac{\mu_0 i}{2 R}$ ...$(i)$
लूप का चुंबकीय आघूर्ण $M$ इस प्रकार है:
$M = i A$ ...(ii)
समीकरण $(i)$ से,धारा $i$ को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$i = \frac{2 B R}{\mu_0}$
इस मान को समीकरण (ii) में रखने पर:
$M = \left( \frac{2 B R}{\mu_0} \right) A$
चूंकि लूप का क्षेत्रफल $A = \pi R^2$ है,इसलिए $R = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$ प्राप्त होता है।
$R$ का मान $M$ के सूत्र में रखने पर:
$M = \frac{2 B A}{\mu_0} \sqrt{\frac{A}{\pi}}$
$M = \frac{2 B A \sqrt{A}}{\mu_0 \sqrt{\pi}}$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $M$ का सूत्र $M = i A$ है,जहाँ $i$ धारा है और $A$ वलय का क्षेत्रफल है।
चूंकि आवेश $q$ कोणीय वेग $\omega$ से घूम रहा है,इसलिए एक चक्कर का आवर्तकाल $T = \frac{2 \pi}{\omega}$ है।
तुल्य धारा $i = \frac{q}{T} = \frac{q \omega}{2 \pi}$ प्राप्त होती है।
वलय का क्षेत्रफल $A = \pi R^2$ है।
इन मानों को $M$ के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$M = \left( \frac{q \omega}{2 \pi} \right) (\pi R^2) = \frac{1}{2} q \omega R^2$.

(D) मान लीजिए तार की लंबाई $L$ है।
वृत्ताकार लूप के लिए,परिधि $2 \pi r = L$,इसलिए $r = \frac{L}{2 \pi}$। क्षेत्रफल $A_1 = \pi r^2 = \pi (\frac{L}{2 \pi})^2 = \frac{L^2}{4 \pi}$ है।
वर्गाकार लूप के लिए,परिमाप $4a = L$,इसलिए $a = \frac{L}{4}$। क्षेत्रफल $A_2 = a^2 = (\frac{L}{4})^2 = \frac{L^2}{16}$ है।
चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $M = iA$ होता है।
चूंकि धारा $i$ समान है,इसलिए द्विध्रुव आघूर्णों का अनुपात $\frac{M_1}{M_2} = \frac{i A_1}{i A_2} = \frac{A_1}{A_2}$ होगा।
क्षेत्रफलों का मान रखने पर: $\frac{M_1}{M_2} = \frac{L^2 / 4 \pi}{L^2 / 16} = \frac{16}{4 \pi} = \frac{4}{\pi}$।

(D) एक वृत्ताकार कुंडली का चुंबकीय आघूर्ण $M$ सूत्र $M = NIA$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $N$ फेरों की संख्या है,$I$ धारा है,और $A$ कुंडली का क्षेत्रफल है।
चूंकि कुंडली वृत्ताकार है,क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है,जहाँ $r$ कुंडली की त्रिज्या है।
अतः,$M = NI(\pi r^2)$.
कुंडली $A$ के लिए: $N_A = 300$,$M_A = M_1$,$r_A = r_1$.
कुंडली $B$ के लिए: $N_B = 200$,$M_B = M_2$,$r_B = r_2$.
हमें $M_A / M_B = 1/2$ और $I_A = I_B = I$ दिया गया है।
चुंबकीय आघूर्णों का अनुपात लेने पर:
$\frac{M_A}{M_B} = \frac{N_A I_A \pi r_A^2}{N_B I_B \pi r_B^2} = \frac{N_A}{N_B} \cdot \left(\frac{r_A}{r_B}\right)^2$.
ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{2} = \frac{300}{200} \cdot \left(\frac{r_A}{r_B}\right)^2$.
$\frac{1}{2} = \frac{3}{2} \cdot \left(\frac{r_A}{r_B}\right)^2$.
$\left(\frac{r_A}{r_B}\right)^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
इसलिए,$\frac{r_A}{r_B} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(B) दिया गया है:
कुंडली का क्षेत्रफल, $A = 2 \,cm^2 = 2 \times 10^{-4} \,m^2$
फेरों की संख्या, $n = 1000$
धारा, $I = 1 \,A$
धारावाही कुंडली का चुंबकीय आघूर्ण $M$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$M = nIA$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$M = (1000) \times (1) \times (2 \times 10^{-4})$
$M = 10^3 \times 2 \times 10^{-4}$
$M = 2 \times 10^{-1} \,Am^2$
$M = 0.2 \,Am^2$
अतः, चुंबकीय आघूर्ण $0.2 \,Am^2$ है।

(A) तार की लंबाई $L$ वृत्ताकार लूप की परिधि बनाती है,इसलिए $L = 2 \pi r$,जहाँ $r$ लूप की त्रिज्या है।
इससे,त्रिज्या $r = \frac{L}{2 \pi}$ प्राप्त होती है।
धारावाही लूप का चुंबकीय आघूर्ण $M = iA$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ लूप का क्षेत्रफल है।
क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi \left( \frac{L}{2 \pi} \right)^2 = \pi \left( \frac{L^2}{4 \pi^2} \right) = \frac{L^2}{4 \pi}$ होता है।
चुंबकीय आघूर्ण के सूत्र में इस मान को रखने पर,हमें $M = i \times \frac{L^2}{4 \pi} = \frac{i L^2}{4 \pi}$ प्राप्त होता है।

(D) $R$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ पर $v$ चाल से गति करने वाले $Q$ आवेश के कण का चुंबकीय आघूर्ण $\mu$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\mu = I A$
जहाँ $I$ समतुल्य धारा है,$I = \frac{Q}{T} = \frac{Q v}{2 \pi R}$,और $A$ वृत्ताकार पथ का क्षेत्रफल है,$A = \pi R^2$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\mu = \left( \frac{Q v}{2 \pi R} \right) (\pi R^2) = \frac{Q v R}{2}$
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि चुंबकीय आघूर्ण $\mu$ केवल आवेश $Q$,चाल $v$ और त्रिज्या $R$ पर निर्भर करता है।
चूंकि चुंबकीय आघूर्ण के सूत्र में कण का द्रव्यमान $m$ नहीं आता है,इसलिए $Q$,$v$ और $R$ को स्थिर रखते हुए द्रव्यमान बदलने से चुंबकीय आघूर्ण पर कोई प्रभाव नहीं पड़ेगा।
अतः,चुंबकीय आघूर्ण अपरिवर्तित रहेगा।

(B) $n$ फेरों और $r$ त्रिज्या वाले वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय प्रेरण $B$ इस प्रकार है:
$B = \frac{\mu_0 n i}{2r}$
इससे, धारा $i$ को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:
$i = \frac{2 B r}{\mu_0 n}$
लूप का चुंबकीय आघूर्ण $M$ इस प्रकार परिभाषित है:
$M = n i A$
$i$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$M = n \left( \frac{2 B r}{\mu_0 n} \right) A = \frac{2 B r A}{\mu_0}$
दिया गया क्षेत्रफल $A = \pi \ m^2$, हम जानते हैं कि $A = \pi r^2$, इसलिए $\pi r^2 = \pi$, जिसका अर्थ है $r = 1 \ m$।
मान $B = 0.1 \ T$, $r = 1 \ m$, और $A = \pi \ m^2$ रखने पर:
$M = \frac{2 \times 0.1 \times 1 \times \pi}{\mu_0} = \frac{0.2 \pi}{\mu_0}$

(A) धारा लूप का चुंबकीय आघूर्ण $(\mu)$ का सूत्र $\mu = iA$ है,जहाँ $i$ धारा है और $A$ लूप का क्षेत्रफल है।
$q$ आवेश वाला कण जो $R$ त्रिज्या के वृत्त में $V$ चाल से गति कर रहा है,उसका आवर्तकाल $T = \frac{2\pi R}{V}$ होता है।
तुल्य धारा $i = \frac{q}{T} = \frac{qV}{2\pi R}$ है।
वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi R^2$ है।
अतः,$\mu = iA = \left(\frac{qV}{2\pi R}\right) \times (\pi R^2) = \frac{qVR}{2}$.
वृत्त के केंद्र के परितः कण का कोणीय संवेग $(L) = mVR$ होता है।
चुंबकीय आघूर्ण और कोणीय संवेग का अनुपात लेने पर:
$\frac{\mu}{L} = \frac{qVR / 2}{mVR} = \frac{q}{2m}$.

(D) दिया गया है: टॉर्क $\tau = 0.016 \ Nm$,कोण $\theta = 30^{\circ}$,और चुंबकीय क्षेत्र $B = 0.04 \ T$ है।
चुंबकीय द्विध्रुव पर लगने वाला टॉर्क $\tau = mB \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $0.016 = m \times 0.04 \times \sin 30^{\circ}$।
चूंकि $\sin 30^{\circ} = 0.5$,इसलिए $0.016 = m \times 0.04 \times 0.5 = m \times 0.02$।
अतः,चुंबकीय आघूर्ण $m = \frac{0.016}{0.02} = 0.8 \ Am^2$ है।
परिनालिका के लिए,चुंबकीय आघूर्ण $m = NIA$ होता है।
दिया गया है: क्षेत्रफल $A = 1 \ cm^2 = 10^{-4} \ m^2$ और फेरों की संख्या $N = 1000$ है।
चुंबकीय आघूर्णों की तुलना करने पर: $0.8 = 1000 \times I \times 10^{-4}$।
$0.8 = 0.1 \times I$।
इसलिए,धारा $I = \frac{0.8}{0.1} = 8 \ A$ है।

(A) $I$ धारा वाले $a$ त्रिज्या के वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2a}$ होता है।
लूप का चुंबकीय आघूर्ण $M = I A = I(\pi a^2)$ होता है।
अनुपात $x = \frac{B}{M} = \frac{\mu_0 I}{2a} \times \frac{1}{I \pi a^2} = \frac{\mu_0}{2 \pi a^3}$ है।
जब धारा $I$ को दोगुना $(I' = 2I)$ और त्रिज्या $a$ को दोगुना $(a' = 2a)$ किया जाता है,तो नया अनुपात $x'$ होगा:
$x' = \frac{\mu_0}{2 \pi (a')^3} = \frac{\mu_0}{2 \pi (2a)^3} = \frac{\mu_0}{2 \pi (8a^3)} = \frac{1}{8} \left( \frac{\mu_0}{2 \pi a^3} \right) = \frac{x}{8}$।

(D) दिया गया है:
त्रिज्या $r = 0.05 \ nm = 0.05 \times 10^{-9} \ m$
आवृत्ति $f = 10^{16} \ Hz$ (प्रति सेकंड चक्कर)
इलेक्ट्रॉन का आवेश $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$
धारा लूप का चुंबकीय आघूर्ण $M = I \times A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ धारा है और $A$ लूप का क्षेत्रफल है।
घूर्णन करते इलेक्ट्रॉन के कारण धारा $I = e \times f$ है।
वृत्ताकार कक्षा का क्षेत्रफल $A = \pi r^{2}$ है।
चुंबकीय आघूर्ण के सूत्र में इन मानों को रखने पर:
$M = (e \times f) \times (\pi r^{2})$
$M = (1.6 \times 10^{-19} \ C) \times (10^{16} \ s^{-1}) \times (3.14) \times (0.05 \times 10^{-9} \ m)^{2}$
$M = 1.6 \times 10^{-19} \times 10^{16} \times 3.14 \times 0.0025 \times 10^{-18}$
$M = 1.6 \times 3.14 \times 0.0025 \times 10^{-21} \ m^{2} \cdot C/s$
$M = 0.01256 \times 10^{-21} \ A \ m^{2}$
$M = 1.26 \times 10^{-23} \ A \ m^{2}$

(B) परिनालिका का चुंबकीय आघूर्ण $m$ ज्ञात करने का सूत्र $m = N \cdot I \cdot A$ है।
यहाँ,फेरों की संख्या $N = 800$,धारा $I = 3.0 \text{ A}$,और अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = 2.5 \times 10^{-4} \text{ m}^2$ दिया गया है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$m = 800 \times 3.0 \times 2.5 \times 10^{-4}$
$m = 2400 \times 2.5 \times 10^{-4}$
$m = 6000 \times 10^{-4}$
$m = 0.6 \text{ JT}^{-1}$.
अतः,परिनालिका से संबद्ध चुंबकीय आघूर्ण $0.60 \text{ JT}^{-1}$ है।

(B) कुंडली का चुंबकीय आघूर्ण $M = N I A$ द्वारा दिया जाता है। एक समतल सर्पिल कुंडली के लिए जहाँ फेरे $r_1$ और $r_2$ त्रिज्याओं के बीच समान रूप से वितरित हैं,प्रभावी क्षेत्रफल $A$ की गणना प्रत्येक फेरे के क्षेत्रफल के समाकलन द्वारा की जाती है: $A = \int_{r_1}^{r_2} \pi r^2 \frac{N}{r_2 - r_1} dr = \frac{N \pi}{r_2 - r_1} [\frac{r^3}{3}]_{r_1}^{r_2} = N \pi \frac{r_2^3 - r_1^3}{3(r_2 - r_1)} = N \pi \frac{r_1^2 + r_1 r_2 + r_2^2}{3}$.
यहाँ $N = 200$,$r_1 = 0.03\text{ m}$,$r_2 = 0.06\text{ m}$,और $I = 20\text{ mA} = 0.02\text{ A}$ दिया गया है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $M = 200 \times 0.02 \times \pi \times \frac{(0.03)^2 + (0.03)(0.06) + (0.06)^2}{3}$.
$M = 4 \times \pi \times \frac{0.0009 + 0.0018 + 0.0036}{3} = 4 \times \pi \times \frac{0.0063}{3} = 4 \times \pi \times 0.0021 = 0.0084 \times 3.14159 \approx 0.02639\text{ A.m}^2$.
इसे $2.639 \times 10^{-2}\text{ A.m}^2$ के रूप में लिखा जा सकता है। दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,$\alpha = 2.64$ प्राप्त होता है।

(C) वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 N I}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: $B = 3.14 \times 10^{-3} \text{ T}$,$N = 100$,$r = 5 \text{ cm} = 0.05 \text{ m}$,$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}$.
मान रखने पर: $3.14 \times 10^{-3} = \frac{4 \times 3.14 \times 10^{-7} \times 100 \times I}{2 \times 0.05}$.
$3.14 \times 10^{-3} = \frac{4 \times 3.14 \times 10^{-5} \times I}{0.1}$.
$10^{-3} = \frac{4 \times 10^{-5} \times I}{0.1} = 4 \times 10^{-4} \times I$.
$I = \frac{10^{-3}}{4 \times 10^{-4}} = \frac{10}{4} = 2.5 \text{ A}$.
चुंबकीय आघूर्ण $M = N I A = N I (\pi r^2)$ द्वारा दिया जाता है।
$M = 100 \times 2.5 \times 3.14 \times (0.05)^2$.
$M = 250 \times 3.14 \times 0.0025 = 1.9625 \approx 2 \text{ A m}^2$.
अतः,धारा $2.5 \text{ A}$ है और चुंबकीय आघूर्ण $2 \text{ A m}^2$ है।