Properties of Electromagnetic Waves Questions in Gujarati

(D) સુવાહકમાં વાહકતા $\sigma$ ખૂબ જ વધારે હોય છે. માધ્યમમાં વિદ્યુતચુંબકીય તરંગનો વેગ $v = \frac{1}{\sqrt{\mu \epsilon}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. સુવાહક માટે,મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન સાથેની આંતરક્રિયાને કારણે તરંગમાં નોંધપાત્ર ઘટાડો (attenuation) થાય છે. સારા સુવાહકમાં વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોનો વેગ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $(c = 3 \times 10^{8} \ m/s)$ કરતા ઘણો ઓછો હોય છે. તેથી,વેગ ઘણો ઓછો હોય છે.

(B) $2\,\text{MHz}$ થી $30\,\text{MHz}$ ની આવૃત્તિના ગાળાને હાઈ ફ્રીક્વન્સી $(HF)$ બેન્ડ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
આ તરંગો આયનોસ્ફિયર (ionosphere) દ્વારા પરાવર્તિત થઈને પૃથ્વી પર પાછા ફરે છે.
પ્રસારણની આ પદ્ધતિને સ્કાય વેવ પ્રસારણ કહેવામાં આવે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) અવકાશમાં,માહિતી (વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો) પ્રકાશની ઝડપે ગતિ કરે છે,$c = 3 \times 10^8 \, m/s$.
આપેલ અંતર,$d = 30 \, km = 30,000 \, m = 3 \times 10^4 \, m$.
લાગતો સમય $t$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $t = \frac{d}{c}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $t = \frac{3 \times 10^4 \, m}{3 \times 10^8 \, m/s} = 1 \times 10^{-4} \, s$.
મિલીસેકન્ડમાં રૂપાંતર કરતા: $1 \times 10^{-4} \, s = 0.1 \times 10^{-3} \, s = 0.1 \, ms$.

(D) મુક્ત અવકાશમાં પ્રસરતા વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ માટે,તરંગની તીવ્રતા $I$ એ વિદ્યુતક્ષેત્રના કંપવિસ્તાર $E$ ના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(I \propto E^2)$.
જેમ તરંગ આગળ વધે છે,તેમ તેની ઊર્જા $A = 4\pi r^2$ જેટલા ગોલીય તરંગ અગ્ર પર ફેલાય છે.
તીવ્રતા $I = \frac{P}{A} = \frac{P}{4\pi r^2}$ હોવાથી,$I \propto \frac{1}{r^2}$ મળે છે.
આ બંને સંબંધોને સરખાવતા: $E^2 \propto \frac{1}{r^2}$,જેનો અર્થ છે કે $E \propto \frac{1}{r}$.
તેથી,વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા એ તરંગે કાપેલા અંતર $r$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.

(C) અવકાશ તરંગો એ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો છે જે ટ્રાન્સમિટિંગ એન્ટેનાથી રિસીવિંગ એન્ટેના સુધી સીધી રેખામાં મુસાફરી કરે છે. આ તરંગો સામાન્ય રીતે $VHF$ (વેરી હાઈ ફ્રીક્વન્સી) અને તેનાથી ઉપરની (એટલે કે $UHF$ અને માઇક્રોવેવ) આવૃત્તિ શ્રેણીમાં હોય છે. કારણ કે આ તરંગો ટ્રોપોસ્ફિયર (ક્ષોભમંડળ) માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેઓ તાપમાન,ભેજ અને દબાણ જેવી વાતાવરણીય પરિસ્થિતિઓથી નોંધપાત્ર રીતે પ્રભાવિત થાય છે,જે વક્રીભવન અથવા સ્કેટરિંગનું કારણ બની શકે છે. તેથી,આપેલા વિકલ્પોમાંથી $VHF$ તરંગો સૌથી યોગ્ય જવાબ છે કારણ કે તે મુખ્યત્વે અવકાશ તરંગો છે.

(D) લાંબા અંતરનું રેડિયો પ્રસારણ આયનોસ્ફિયર દ્વારા રેડિયો તરંગોના પરાવર્તન દ્વારા પ્રાપ્ત થાય છે. આ તરંગોને આકાશ તરંગો (Sky waves) તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
આકાશ તરંગો $3 \ MHz$ થી $30 \ MHz$ ની આવૃત્તિ શ્રેણીમાં રહેલા વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો છે.
જ્યારે આ તરંગોને આકાશ તરફ પ્રસારિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેઓ આયનોસ્ફિયરના સ્તરો દ્વારા પૃથ્વી પર પાછા પરાવર્તિત થાય છે,જે ખૂબ લાંબા અંતર સુધી સંદેશાવ્યવહાર શક્ય બનાવે છે.

(B) સંપૂર્ણ ડાઇઇલેક્ટ્રીક માધ્યમમાં,વાહકતા $\sigma = 0$ હોય છે.
માધ્યમમાં ક્ષીણતા (attenuation) એ તરંગના પ્રસરણ દરમિયાન ઉર્જાના વ્યયને કારણે થાય છે,જે માધ્યમની વાહકતા સાથે સીધો સંબંધ ધરાવે છે.
કારણ કે સંપૂર્ણ ડાઇઇલેક્ટ્રીક માધ્યમમાં કોઈ વાહકતા હોતી નથી,તેથી તેમાં કોઈ ઓહ્મિક વ્યય (ohmic losses) થતો નથી,અને પરિણામે,વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ કોઈપણ ક્ષીણતા વિના પ્રસરણ પામે છે.

(B) બે વાયરની ટ્રાન્સમિશન લાઈનમાં,વિદ્યુતચુંબકીય ઉર્જા (પાવર) વાહકોની આસપાસની જગ્યામાં રહેલા વિદ્યુતચુંબકીય ક્ષેત્ર દ્વારા વહન પામે છે. વાહકો પોતે મુખ્યત્વે વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોને માર્ગદર્શન આપવાનું કાર્ય કરે છે. તેથી,પાવર વાહકોની બહારના ડાયલેક્ટ્રિક માધ્યમ (જગ્યા) માંથી વહે છે.

(C) આયનોસ્ફિયરનો વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો માટેનો વક્રીભવનાંક $n$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $n = \sqrt{1 - \frac{f_p^2}{f^2}}$,જ્યાં $f_p$ એ પ્લાઝ્મા આવૃત્તિ છે અને $f$ એ તરંગની આવૃત્તિ છે.
અહીં પદ $\frac{f_p^2}{f^2}$ ધન હોવાથી,વર્ગમૂળની અંદરની કિંમત $1$ કરતા ઓછી થાય છે.
તેથી,આયનોસ્ફિયરનો વક્રીભવનાંક $n$ હંમેશા $1$ કરતા ઓછો હોય છે.

(D) આયનોસ્ફિયર એ પૃથ્વીના વાતાવરણનો ઉપરનો ભાગ છે જે સૂર્ય અને કોસ્મિક વિકિરણો દ્વારા આયનીકૃત થાય છે.
આ આયનીકરણ પ્રક્રિયા મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન અને ધન આયનો ધરાવતું પ્લાઝ્મા બનાવે છે.
આ મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનની હાજરીને કારણે,આયનોસ્ફિયર રેડિયો તરંગોને પૃથ્વી પર પાછા પરાવર્તિત કરે છે,જે $Mirror$ તરીકે કાર્ય કરે છે.
જોકે,આયનીકરણ પોતે સૂર્ય અને કોસ્મિક સ્ત્રોતોમાંથી આવતા ઉચ્ચ-ઊર્જા વિકિરણો (અલ્ટ્રાવાયોલેટ,એક્સ-રે) દ્વારા થાય છે,રેડિયો તરંગો દ્વારા નહીં.
તેથી,રેડિયો તરંગો દ્વારા આયનીકરણ થાય છે તે વિધાન ખોટું છે.

(B) આયોનાઇઝડ માધ્યમ (જેમ કે આયનોસ્ફિયર) ની સાપેક્ષ પરમિટીવિટી $\epsilon_r$ એ સંબંધ $\epsilon_r = 1 - \frac{\omega_p^2}{\omega^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega_p$ એ પ્લાઝ્મા ફ્રીક્વન્સી છે અને $\omega$ એ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની ફ્રીક્વન્સી છે.
આયનોસ્ફિયરમાં મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન હોવાથી,પ્લાઝ્મા ફ્રીક્વન્સી $\omega_p$ શૂન્ય હોતી નથી.
જેમ તરંગ આયોનાઇઝડ સ્તરમાં દાખલ થાય છે,તેમ આ મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનની હાજરીને કારણે અસરકારક સાપેક્ષ પરમિટીવિટી $1$ કરતા ઓછી થાય છે.
મુક્ત અવકાશ (જ્યાં $\epsilon_r = 1$) ની સરખામણીમાં,આયોનાઇઝડ સ્તરની સાપેક્ષ પરમિટીવિટી ઘટે છે.

(B) માધ્યમમાં વિદ્યુતચુંબકીય તરંગનો વેગ $v = \frac{c}{\sqrt{\mu_r \epsilon_r}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો માધ્યમ અ-ચુંબકીય હોય,તો $\mu_r \approx 1$ લેતા.
તેથી,$v = \frac{c}{\sqrt{\epsilon_r}}$,જ્યાં $\epsilon_r$ એ ડાય-ઇલેક્ટ્રિક અચળાંક $(K)$ છે.
$K$ માટે સૂત્ર બનાવતા,$\sqrt{K} = \frac{c}{v}$,તેથી $K = \left(\frac{c}{v}\right)^2$.
અહીં $c = 3 \times 10^{8} \ m/s$ અને $v = 2.5 \times 10^{8} \ m/s$ આપેલ છે.
$K = \left(\frac{3 \times 10^{8}}{2.5 \times 10^{8}}\right)^2 = \left(\frac{3}{2.5}\right)^2 = (1.2)^2 = 1.44$.

(B) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ માટે,વિદ્યુત ક્ષેત્રના પીક મૂલ્ય $(E_0)$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્રના પીક મૂલ્ય $(B_0)$ વચ્ચેનો સંબંધ $E_0 = c \times B_0$ છે,જ્યાં $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે $(c \approx 3 \times 10^8 \, m/s)$.
આપેલ છે: $B_0 = 20 \, nT = 20 \times 10^{-9} \, T$.
કિંમતો મૂકતા:
$E_0 = (3 \times 10^8 \, m/s) \times (20 \times 10^{-9} \, T)$
$E_0 = 60 \times 10^{-1} \, V/m$
$E_0 = 6 \, V/m$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) માધ્યમમાં વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની ઝડપ $v = \frac{1}{\sqrt{\mu \epsilon}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\mu = \mu_0 \mu_r$ અને $\epsilon = \epsilon_0 \epsilon_r$ છે.
શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}$ છે.
વક્રીભવનાંક $n$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ અને માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપનો ગુણોત્તર છે:
$n = \frac{c}{v} = \frac{1/\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}{1/\sqrt{\mu \epsilon}} = \sqrt{\frac{\mu \epsilon}{\mu_0 \epsilon_0}} = \sqrt{\mu_r \epsilon_r}$.
તેથી,વક્રીભવનાંક $\sqrt{\mu_r \epsilon_r}$ છે.

(A) પ્રકાશ (અને સામાન્ય રીતે વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો) નો લંબગત સ્વભાવ ધ્રુવીભવનની ઘટના દ્વારા સાબિત થાય છે. ધ્રુવીભવનમાં વિદ્યુત ક્ષેત્ર સદિશના કંપનોને એક જ સમતલમાં મર્યાદિત કરવામાં આવે છે,જે ફક્ત ત્યારે જ શક્ય છે જો તરંગ લંબગત હોય. સંગત તરંગો,જેમ કે ધ્વનિ તરંગો,ધ્રુવીભૂત થઈ શકતા નથી.

(B) વિદ્યુતચુંબકીય $(EM)$ તરંગો એ વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રોના દોલનો છે.
તેઓ ઊર્જા (દા.ત.,પ્રકાશ),વેગમાન (જેમ કે રેડિયેશન પ્રેશર અને ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર દ્વારા સાબિત થાય છે) અને માહિતી (દા.ત.,રેડિયો તરંગો) નું વહન કરે છે.
જોકે,તેઓ વિદ્યુતભારનું વહન કરતા નથી,કારણ કે તે અવકાશમાં ગતિ કરતા તટસ્થ એકમો છે.

(B) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં,વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}$ હંમેશા એકબીજાને લંબ હોય છે.
તેઓ તરંગના પ્રસરણની દિશાને પણ લંબ હોય છે.
આ ક્ષેત્રો સમાન કળામાં દોલન કરે છે,જેનો અર્થ છે કે તેઓ એક જ સમયે તેમના મહત્તમ અને ન્યૂનતમ મૂલ્યો પ્રાપ્ત કરે છે.
તેથી,સાચો સંબંધ એ છે કે તેઓ એકબીજાને લંબ છે અને સમાન કળામાં છે.

(A) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં,વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}$ એકબીજા સાથે સમાન કળામાં દોલન કરે છે.
આનો અર્થ એ છે કે બંને ક્ષેત્રો અવકાશમાં એક જ સમયે અને એક જ બિંદુએ તેમના મહત્તમ અને ન્યૂનતમ મૂલ્યો પ્રાપ્ત કરે છે.
જોકે તેઓ એકબીજાને અને તરંગના પ્રસરણની દિશાને લંબ હોય છે,પરંતુ તેમના દોલનો વચ્ચે કોઈ સમયનો તફાવત હોતો નથી.
તેથી,$\vec{E}$ અને $\vec{B}$ સદિશો વચ્ચે કળાનો તફાવત $0$ છે.

(B) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં,દોલન કરતા વિદ્યુતક્ષેત્રનો સદિશ $\vec{E}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સદિશ $\vec{B}$ હંમેશા એકબીજાને લંબ હોય છે.
વધુમાં,તેઓ તરંગના પ્રસરણની દિશાને પણ લંબ હોય છે.
આ ક્ષેત્રો સમાન કળામાં દોલન કરે છે,જેનો અર્થ છે કે તેઓ એકસાથે તેમના મહત્તમ અને ન્યૂનતમ મૂલ્યો પ્રાપ્ત કરે છે.
તેથી,સાચી ગોઠવણી એ છે કે તેઓ પરસ્પર લંબ હોય છે અને સમાન કળામાં હોય છે.

(B) સમતલ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગનું સામાન્ય સમીકરણ $E = E_0 \cos(\omega t + kx)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $E_z = 100 \cos(6 \times 10^8 t + 4x)$ સાથે સરખાવતા:
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 6 \times 10^8 \text{ rad/s}$.
તરંગ સંખ્યા $k = 4 \text{ rad/m}$.
માધ્યમમાં તરંગની ઝડપ $v = \frac{\omega}{k} = \frac{6 \times 10^8}{4} = 1.5 \times 10^8 \text{ m/s}$ મળે છે.
માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $n = \frac{c}{v}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે.
$n = \frac{3 \times 10^8}{1.5 \times 10^8} = 2$.
તેથી,માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $2$ છે.

(B) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં,વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ચુંબકીયક્ષેત્ર પ્રકાશની ઝડપ $(c)$ સાથે નીચેના સમીકરણ દ્વારા સંબંધિત છે:
$c = \frac{E_0}{B_0}$
વિદ્યુતક્ષેત્રના કંપવિસ્તાર $(E_0)$ માટે આ સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$E_0 = cB_0$
તેથી,સાચો સંબંધ $E_0 = cB_0$ છે.

(A) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો સ્વભાવે લંબગત તરંગો છે.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં,દોલિત વિદ્યુતક્ષેત્ર $(E)$ અને દોલિત ચુંબકીયક્ષેત્ર $(B)$ હંમેશા સમાન કળામાં હોય છે.
આ ક્ષેત્રો એકબીજાને પરસ્પર લંબ હોય છે અને તરંગના પ્રસરણની દિશાને પણ લંબ હોય છે.
તેથી,વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ચુંબકીયક્ષેત્ર સમાન કળામાં અને એકબીજાને લંબરૂપે હોય છે.

(D) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં,વિદ્યુતક્ષેત્ર $(E)$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B)$ સમય અને અવકાશ સાથે સાઇનસૉઇડલ (sinusoidal) રીતે દોલન કરે છે.
ગાણિતિક રીતે,આ ક્ષેત્રોને $E = E_0 \sin(kx - \omega t)$ અને $B = B_0 \sin(kx - \omega t)$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
સંપૂર્ણ ચક્ર પર સાઇન અથવા કોસાઇન વિધેયનું સરેરાશ મૂલ્ય શૂન્ય હોય છે.
તેથી,સંપૂર્ણ ચક્ર પર વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર બંનેનું સરેરાશ મૂલ્ય શૂન્ય હોય છે.

(A) માઇક્રોવેવ ઑવન $2.45\,GHz$ ની આવૃત્તિ પર કાર્ય કરે છે. આ પાણીના અણુની અનુનાદિત (resonant) આવૃત્તિ $\text{નથી}$.
જો $2.45\,GHz$ એ પાણીના અણુઓની અનુનાદિત આવૃત્તિ હોત, તો તમામ માઇક્રોવેવ ખોરાકની સપાટીના સ્તરમાં જ શોષાઈ જાત અને ખોરાકની અંદરનો ભાગ રાંધવામાં આવત નહીં।
તેથી, ગરમ કરવાની કાર્યક્ષમતા અનુનાદને કારણે નથી, પરંતુ માઇક્રોવેવના દોલિત વિદ્યુત ક્ષેત્રમાં ધ્રુવીય પાણીના અણુઓના પરિભ્રમણને કારણે છે।
આપેલા વિકલ્પોમાંથી, વિકલ્પ $A$ એ આવૃત્તિઓ વચ્ચેના સંબંધ વિશે સૌથી વધુ વૈજ્ઞાનિક રીતે સચોટ વિધાન છે.

(D) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો એ વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેના કંપનોને પરિણામે ઉત્પન્ન થતા તરંગો છે.
તેના મુખ્ય ગુણધર્મો નીચે મુજબ છે:
$1$. તેઓ સ્વભાવે લંબગત (transverse) હોય છે,જેનો અર્થ છે કે વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રના દોલનો તરંગના પ્રસરણની દિશાને લંબ હોય છે.
$2$. તેમને પ્રસરણ માટે કોઈ માધ્યમની જરૂર હોતી નથી અને તેઓ શૂન્યાવકાશમાં પ્રસરણ પામી શકે છે.
$3$. પ્રકાશ એ વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણનું એક સ્વરૂપ છે.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો લંબગત હોવાથી,તેઓ સંગત (longitudinal) તરંગો છે તેવું વિધાન ખોટું છે.

(C) પગલું $1$: આપેલી માહિતી:
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની આવૃત્તિ $f = 1 \, \text{kHz} = 10^3 \, \text{Hz}$.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગનો વેગ $c = 3 \times 10^8 \, \text{m/s}$.
પગલું $2$: તરંગલંબાઈની ગણતરી:
તરંગલંબાઈ $\lambda$, વેગ $c$ અને આવૃત્તિ $f$ વચ્ચેનો સંબંધ $\lambda = \frac{c}{f}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{3 \times 10^8 \, \text{m/s}}{10^3 \, \text{Hz}}$
$\lambda = 3 \times 10^5 \, \text{m}$.
પગલું $3$: $km$ માં રૂપાંતર:
$1 \, \text{km} = 10^3 \, \text{m}$ હોવાથી:
$\lambda = \frac{3 \times 10^5}{10^3} \, \text{km} = 300 \, \text{km}$.

(D) શૂન્યાવકાશમાં,વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોનો વેગ $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે આશરે $3 \times 10^8 \ m/s$ જેટલું અચળ મૂલ્ય છે. આ વેગ શૂન્યાવકાશમાં તરંગની આવૃત્તિ,તરંગલંબાઈ કે તીવ્રતા પર આધારિત નથી. તેથી,તમામ આવૃત્તિના વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો શૂન્યાવકાશમાં સમાન વેગથી ગતિ કરે છે.

(B) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં,વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}$ એકબીજાને લંબ રૂપે દોલન કરે છે અને તે તરંગના પ્રસરણની દિશાને પણ લંબ હોય છે.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોના ગુણધર્મો અનુસાર,તરંગના પ્રસરણની દિશા પોઈન્ટિંગ સદિશ $\vec{S}$ ની દિશા દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે $\vec{S} = \frac{1}{\mu_0} (\vec{E} \times \vec{B})$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
જેহেতু વિદ્યુતચુંબકીય તરંગનો વેગ સદિશ $\vec{v}$ એ ઉર્જાના પ્રવાહ (પોઈન્ટિંગ સદિશ) ની દિશામાં જ હોય છે,તેથી વેગ એ $\vec{E} \times \vec{B}$ ના ક્રોસ પ્રોડક્ટને સમાંતર હોય છે.

(B) મુક્ત અવકાશમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ સાથે સંકળાયેલી ઊર્જા ઘનતા $u_B$ નું સૂત્ર $u_B = \frac{B^2}{2 \mu_0}$ છે.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં,ઊર્જા વિદ્યુત ક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાયેલી હોય છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રના ઘટક સાથે સંકળાયેલી સરેરાશ ઊર્જા ઘનતા $\langle u_B \rangle = \frac{\langle B^2 \rangle}{2 \mu_0}$ છે.
આમ,ચુંબકીય ક્ષેત્રના સંદર્ભમાં ઊર્જા ઘનતાનું પદ $\frac{B^2}{2 \mu_0}$ છે.

(C) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો એ દોલિત વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રોના બનેલા હોય છે જે એકબીજાને લંબ હોય છે અને તરંગના પ્રસરણની દિશાને પણ લંબ હોય છે.
ક્ષેત્રોના દોલનો ઉર્જાના વહનની દિશાને લંબ રૂપે થતા હોવાથી,વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોને લંબગત તરંગો તરીકે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે.

(C) શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપના સંબંધ $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$ પરથી.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $c^2 = \frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0}$ મળે છે.
ઝડપ $c$ નું પરિમાણ $[L T^{-1}]$ છે.
તેથી,$c^2$ નું પરિમાણ $[L T^{-1}]^2 = [L^2 T^{-2}] = \frac{L^2}{T^2}$ થાય.

(A) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં વિદ્યુતક્ષેત્રના કંપવિસ્તાર $(E_0)$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્રના કંપવિસ્તાર $(B_0)$ વચ્ચેનો સંબંધ $E_0 = c \times B_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે.
આપેલ છે:
$B_0 = 3 \times 10^{-10} \, T$
$c = 3 \times 10^8 \, m/s$
કિંમતો મૂકતા:
$E_0 = (3 \times 10^8 \, m/s) \times (3 \times 10^{-10} \, T)$
$E_0 = 9 \times 10^{-2} \, V/m$

(C) જ્યારે વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ એક માધ્યમમાંથી બીજા માધ્યમમાં જાય છે,ત્યારે તેની આવૃત્તિ $(f)$ અચળ રહે છે કારણ કે તે તરંગના ઉદગમ પર આધાર રાખે છે.
જોકે,માધ્યમના વક્રીભવનાંક $(n)$ મુજબ તરંગની ઝડપ $(v)$ બદલાય છે,જ્યાં $v = c/n$ થાય છે.
તરંગની ઝડપનું સૂત્ર $v = f \lambda$ છે,અને $f$ અચળ હોવાથી,તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ બદલાય છે: $\lambda' = v/f = (c/n)/f = \lambda/n$.
અહીં $n = 4$ આપેલ છે,તેથી નવી તરંગલંબાઈ $\lambda' = \lambda/4$ થાય,જેનો અર્થ છે કે તરંગલંબાઈ તેના મૂળ મૂલ્યના ચોથા ભાગની થાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) આપેલ છે: ચુંબકીયક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર $B_m = 510 \, nT = 510 \times 10^{-9} \, T$.
શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $c = 3 \times 10^8 \, m/s$.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર $(E_m)$ અને ચુંબકીયક્ષેત્ર $(B_m)$ ના કંપવિસ્તાર વચ્ચેનો સંબંધ $E_m = c B_m$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$E_m = (3 \times 10^8 \, m/s) \times (510 \times 10^{-9} \, T)$
$E_m = 1530 \times 10^{-1} \, V/m$
$E_m = 153 \, V/m = 1.53 \times 10^2 \, V/m$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો લંબગત તરંગો છે અને તેમને પ્રસરણ માટે કોઈ ભૌતિક માધ્યમની જરૂર હોતી નથી.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપે $(c \approx 3 \times 10^8 \ m/s)$ ગતિ કરે છે.
પ્રવેગિત વિદ્યુતભારો વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોના સ્ત્રોત છે.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોની ઝડપ તે જે માધ્યમમાંથી પસાર થાય છે તેના પર આધાર રાખે છે,જે $v = c/n$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે. તેથી,તેઓ બધા માધ્યમોમાં સમાન ઝડપે ગતિ કરતા નથી.
આમ,તેઓ બધા માધ્યમોમાં સમાન ઝડપે ગતિ કરે છે તે વિધાન ખોટું છે.

(C) સમતલ ઈલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગો દોલિત વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્રના બનેલા હોય છે. વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = E_0 \sin(kx - \omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
એક સંપૂર્ણ ચક્ર પર વિદ્યુતક્ષેત્રની સરેરાશ કિંમત શોધવા માટે,આપણે સંકલન કરીએ છીએ: $\langle E \rangle = \frac{1}{T} \int_0^T E_0 \sin(kx - \omega t) dt$.
સંપૂર્ણ આવર્તકાળ પર સાઈન અથવા કોસાઈન વિધેયનું સંકલન શૂન્ય થાય છે.
તેથી,વિદ્યુતક્ષેત્રની સરેરાશ કિંમત $\langle E \rangle$ એ $0$ છે.
તે જ રીતે,ચુંબકીય ક્ષેત્રની સરેરાશ કિંમત $\langle B \rangle$ પણ $0$ છે.
વિદ્યુત ઊર્જા ઘનતા $(u_E = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2)$ અને ચુંબકીય ઊર્જા ઘનતા $(u_B = \frac{1}{2\mu_0} B^2)$ એ ક્ષેત્રોના વર્ગના પ્રમાણમાં હોય છે,જે હંમેશા અ-ઋણ હોય છે અને તેની સરેરાશ કિંમત શૂન્ય હોતી નથી.

(C) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની આવૃત્તિ એ તેને ઉત્પન્ન કરતા ઉદગમનો ગુણધર્મ છે.
જ્યારે વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ એક માધ્યમમાંથી બીજા માધ્યમમાં જાય છે,ત્યારે તેની ઝડપ અને તરંગલંબાઈ બદલાય છે,પરંતુ તેની આવૃત્તિ અચળ રહે છે.
તેથી,માધ્યમમાં તરંગની આવૃત્તિ $3 \text{ MHz}$ જ રહેશે.

(C) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર એકબીજાને લંબ હોય છે.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગના પ્રસરણની દિશા હંમેશા વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}$ બંનેને લંબ હોય છે.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોના ગુણધર્મો અનુસાર,પ્રસરણની દિશા પોઈન્ટિંગ સદિશની દિશા દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે $\vec{E} \times \vec{B}$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,પ્રસરણની દિશા $\vec{E} \times \vec{B}$ ની દિશામાં હોય છે.

(A) જ્યારે વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ એક માધ્યમમાંથી બીજા માધ્યમમાં ગતિ કરે છે,ત્યારે તેની આવૃત્તિ બદલાતી નથી કારણ કે તે ઉદગમનો ગુણધર્મ છે.
જોકે,માધ્યમના વક્રીભવનાંકને આધારે તરંગનો વેગ અને તરંગલંબાઈ બદલાય છે.
ડાઈઈલેક્ટ્રિક માધ્યમની સપાટી પર પરાવર્તન,શોષણ અથવા પ્રકીર્ણનને કારણે તરંગનો કંપવિસ્તાર બદલાઈ શકે છે.
તેથી,આવૃત્તિ સમાન રહે છે,પરંતુ કંપવિસ્તાર બદલાય છે.

(C) શૂન્યાવકાશમાં વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોની ઝડપ અચળ $(c \approx 3 \times 10^8 \ m/s)$ હોય છે.
કોઈ આપેલ માધ્યમમાં,ઝડપ તે માધ્યમના વક્રીભવનાંક $(n)$ દ્વારા નક્કી થાય છે,જે $v = c/n$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોઈપણ માધ્યમમાં વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોની ઝડપ તેની તીવ્રતા પર આધાર રાખતી નથી,તેથી તમામ તીવ્રતા માટે ઝડપ સમાન રહે છે.
જોકે,જો માધ્યમ વિક્ષેપક (dispersive) હોય,તો આવૃત્તિ અથવા તરંગલંબાઈ સાથે ઝડપ બદલાઈ શકે છે.
તેથી,વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની ઝડપ તેની તીવ્રતાથી સ્વતંત્ર છે.

(C) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો ઊર્જા અને વેગમાન બંને ધરાવે છે.
જ્યારે કોઈ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ સપાટી પર આપાત થાય છે,ત્યારે તે વિકિરણ દબાણ ઉત્પન્ન કરે છે,જે વેગમાન $P$ ના સ્થાનાંતરને સૂચવે છે.
વધુમાં,તરંગ ઊર્જા $U$ વહન કરે છે જે શોષણ અથવા પરાવર્તન દરમિયાન સપાટીને સ્થાનાંતરિત થાય છે.
સપાટી દ્વારા સંપૂર્ણપણે શોષાયેલા તરંગ માટે ઊર્જા $U$ અને વેગમાન $P$ વચ્ચેનો સંબંધ $P = U/c$ છે,જ્યાં $c$ એ પ્રકાશની ગતિ છે.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ માટે $U$ અને $P$ બંને શૂન્યતર હોવાથી,સાચી સ્થિતિ $P \neq 0$ અને $U \neq 0$ છે.

(C) વિદ્યુત ક્ષેત્રને કારણે ઉદ્ભવતી ઊર્જા ઘનતા $u_E = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રને કારણે ઉદ્ભવતી ઊર્જા ઘનતા $u_B = \frac{1}{2} \frac{B^2}{\mu_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં,વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = cB$ છે,જ્યાં $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}$ છે.
ઊર્જા ઘનતાના સમીકરણોમાં $c^2 = \frac{1}{\mu_0 \epsilon_0}$ મૂકતા,આપણે જાણી શકીએ છીએ કે વિદ્યુત ક્ષેત્ર દ્વારા આપવામાં આવતી સરેરાશ ઊર્જા ઘનતા એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર દ્વારા આપવામાં આવતી સરેરાશ ઊર્જા ઘનતા જેટલી જ હોય છે.
તેથી,કુલ સરેરાશ ઊર્જા ઘનતા વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રો વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાયેલી હોય છે.

(B) સમતલ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં,વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E}$,ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}$ અને તરંગના પ્રસરણની દિશા $\vec{k}$ એકબીજાને લંબ હોય છે.
ચોક્કસ રીતે,પ્રસરણની દિશા પોઈન્ટિંગ સદિશ $\vec{S} = \frac{1}{\mu_0} (\vec{E} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોઈ ચોક્કસ અક્ષ (દા.ત.,$x$-અક્ષ) પર ગતિ કરતા સમતલ તરંગ માટે,વિદ્યુતક્ષેત્ર $y$-દિશામાં $(E_y)$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $z$-દિશામાં $(B_z)$ હોવું જોઈએ,અથવા તેનાથી ઉલટું.
જો તરંગ $x$-અક્ષ પર ગતિ કરતું હોય,તો $\vec{E} = E_y\hat{j}$ અને $\vec{B} = B_z\hat{k}$ થાય.
આમ,$(E_y, B_z)$ ની જોડી $x$-અક્ષ પર ગતિ કરતા વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ માટે માન્ય સંયોજન છે.

(D) વિદ્યુતચુંબકીય $(EM)$ તરંગો એ દોલિત વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રોના બનેલા હોય છે જે એકબીજાને લંબ અને તરંગના પ્રસરણની દિશાને પણ લંબ હોય છે.
કારણ કે $EM$ તરંગો તટસ્થ હોય છે (તેઓ કોઈ ચોખ્ખો વિદ્યુતભાર ધરાવતા નથી),તેથી જ્યારે તેઓ વિદ્યુતક્ષેત્ર $(F = qE)$ અથવા ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(F = q(v \times B))$ માંથી પસાર થાય છે ત્યારે તેઓ લોરેન્ઝ બળનો અનુભવ કરતા નથી.
તેથી,$EM$ તરંગો વિદ્યુત કે ચુંબકીય કોઈ પણ ક્ષેત્ર દ્વારા વિચલિત થતા નથી.

(D) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગના પ્રસરણની દિશા વિદ્યુત ક્ષેત્ર સદિશ $\vec E$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec B$ ના સદિશ ગુણાકારની દિશામાં હોય છે,એટલે કે દિશા $\propto \vec E \times \vec B$.
આપેલ છે કે તરંગ $+y$ દિશામાં (એકમ સદિશ $\hat j$) ગતિ કરે છે અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec B$ એ $-x$ દિશામાં (એકમ સદિશ $-\hat i$) છે.
ધારો કે વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\hat n$ દિશામાં છે. તો,$\hat n \times (-\hat i) = \hat j$.
સદિશ ગુણાકારના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા,આપણે જાણીએ છીએ કે $\hat k \times (-\hat i) = -(\hat k \times \hat i) = -\hat j$. આ મેળ ખાતું નથી. પરંતુ,$\hat k \times (-\hat i) = -\hat j$ થાય,તેથી આપણે $\hat k$ દિશા પસંદ કરવી પડે.
આમ,વિદ્યુત ક્ષેત્ર $+z$ દિશામાં $(\hat k)$ હોવું જોઈએ.
$+y$ દિશામાં ગતિ કરતા તરંગ માટેનું તરંગ સમીકરણ $\cos(\omega t - ky)$ છે,જ્યાં $k = \frac{2\pi}{\lambda}$.
તેથી,વિદ્યુત ક્ષેત્ર સદિશ $\vec E = E_0 \cos \left( \omega t - \frac{2\pi}{\lambda} y \right) \hat z$ થશે.

(D) શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશનો વેગ એક સાર્વત્રિક અચળાંક છે જે $c = 2.9979 \times 10^8 \ m/s$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શૂન્યાવકાશમાં $c$ અચળ હોવાથી,તે બદલાતો નથી.
જો પ્રકાશનો વેગ બદલાય,તો તેનો અર્થ એ થાય કે માધ્યમ બદલાય છે અથવા પ્રકૃતિના મૂળભૂત અચળાંકો બદલાય છે.
જોકે,પ્રશ્ન પૂછે છે કે જો શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશનો વેગ બદલાય તો શું થાય,જે એક કાલ્પનિક પરિસ્થિતિ છે.
વાસ્તવમાં,શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશનો વેગ અપરિવર્તિત રહે છે.
તેથી,આપેલી કોઈ પણ રાશિ (આવૃત્તિ,તરંગલંબાઈ અથવા કંપવિસ્તાર) શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ બદલવા માટે જવાબદાર નથી,કારણ કે શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ આ પરિબળોથી સ્વતંત્ર છે.

(B) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગના પ્રસરણની દિશા સદિશ ગુણાકાર $\vec{E} \times \vec{B}$ ની દિશા દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે,પ્રસરણની દિશા $+x$-અક્ષની દિશામાં છે,તેથી $\hat{E} \times \hat{B} = \hat{i}$.
આપણને આપેલ છે કે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ એ $z$-અક્ષની દિશામાં છે,તેથી $\hat{B} = \hat{k}$.
ધારો કે વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ એ $\hat{n}$ દિશામાં છે. તો $\hat{n} \times \hat{k} = \hat{i}$.
એકમ સદિશોના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા,આપણે જાણીએ છીએ કે $\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$.
તેથી,વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ એ ધન $y$-અક્ષની દિશામાં હોવું જોઈએ.

(A) શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ $v = \frac{1}{\sqrt{\mu \varepsilon}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\mu = \mu_0 \mu_r$ અને $\varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_r = \varepsilon_0 K$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $v = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \mu_r \varepsilon_0 K}} = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}} \cdot \frac{1}{\sqrt{\mu_r K}} = \frac{c}{\sqrt{\mu_r K}}$ મળે છે.
વક્રીભવનાંક $n$ ની વ્યાખ્યા $n = \frac{c}{v}$ છે.
તેથી,$n = \frac{c}{c / \sqrt{\mu_r K}} = \sqrt{\mu_r K}$.

(C) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ માટે આપેલ સમીકરણ $E = E_0 \sin(kx - \omega t)$ છે.
અહીં,$k$ એ તરંગ સંખ્યા છે,જે $k = 2\pi / \lambda$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $\lambda$ એ તરંગલંબાઈ છે.
$\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે,જે $\omega = 2\pi f$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $f$ એ આવૃત્તિ છે.
શૂન્યાવકાશમાં તરંગની ઝડપ $c = \omega / k$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તરંગ શૂન્યાવકાશમાં પ્રસરતું હોવાથી,તેની ઝડપ $c$ અચળ છે $(c \approx 3 \times 10^8 \text{ m/s})$.
તેથી,ગુણોત્તર $k/\omega = 1/c$ એ અચળ છે અને તે તરંગલંબાઈ $\lambda$ થી સ્વતંત્ર છે.

(C) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોની તીવ્રતા $I = \frac{P_{av}}{4\pi r^2} = \frac{E_m^2}{2\mu_0 c}$ છે.
પ્રથમ,મહત્તમ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_m$ ની ગણતરી કરીએ:
$E_m = \sqrt{\frac{\mu_0 c P_{av}}{2\pi r^2}} = \sqrt{\frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times (3 \times 10^8) \times 800}{2\pi \times (3.5)^2}} = \sqrt{\frac{48000}{12.25}} \approx 62.6 \ V/m$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રની મહત્તમ કિંમત $B_m = \frac{E_m}{c}$ દ્વારા મળે છે.
$B_m = \frac{62.6}{3 \times 10^8} \approx 2.09 \times 10^{-7} \ T$.