Magnetic Flux and Gauss law for Magnetism Questions in Hindi

(C) $Weber$ $(Wb)$ चुंबकीय फ्लक्स की $SI$ इकाई है। यह चुंबकीय फ्लक्स की वह मात्रा है जो एक फेरे वाले परिपथ के साथ जुड़ी होने पर,यदि इसे $1 \ s$ में समान दर से घटाकर शून्य कर दिया जाए,तो $1 \ V$ का विद्युत वाहक बल उत्पन्न करती है।

(B) विद्युत क्षेत्र का $SI$ मात्रक $Newton/Coulomb$ $(N/C)$ या $Volt/meter$ $(V/m)$ होता है।
चुंबकीय फ्लक्स का $SI$ मात्रक $Weber$ $(Wb)$ होता है।
शक्ति का $SI$ मात्रक $Watt$ $(W)$ होता है।
धारिता (Capacitance) का $SI$ मात्रक $Farad$ $(F)$ होता है।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,चुंबकीय फ्लक्स $Weber$ के साथ सही सुमेलित है।

(A) चुंबकीय फ्लक्स $\phi$ को चुंबकीय क्षेत्र $B$ और क्षेत्रफल $A$ के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है,अर्थात $\phi = B \cdot A$.
लोरेंत्ज़ बल के सूत्र $F = B I L$ से,हम लिख सकते हैं $B = \frac{F}{I L}$.
बल $[F] = [M L T^{-2}]$,धारा $[I] = [A]$,और लंबाई $[L] = [L]$ की विमाओं को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $B$ की विमाएँ $[B] = \frac{[M L T^{-2}]}{[A] [L]} = [M T^{-2} A^{-1}]$ प्राप्त होती हैं।
अब,चुंबकीय फ्लक्स $\phi$ की विमाएँ $[B] \times [A] = [M T^{-2} A^{-1}] \times [L^2] = [M L^2 T^{-2} A^{-1}]$ होंगी।

(A) चुंबकीय फ्लक्स $\Phi$ को चुंबकीय प्रेरण $B$ और चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत क्षेत्रफल $A$ के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है,जिसका सूत्र है: $\Phi = B \times A$.
इससे,हम चुंबकीय प्रेरण $B$ को इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं: $B = \frac{\Phi}{A}$.
चूंकि चुंबकीय फ्लक्स $\Phi$ का मात्रक $Weber$ $(Wb)$ है और क्षेत्रफल $A$ का मात्रक $m^2$ है,इसलिए चुंबकीय प्रेरण $B$ का मात्रक $Weber/m^2$ होगा।

(A) किसी सतह से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\phi$ सूत्र $\phi = B \cdot A \cdot \cos(\theta)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $B$ चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता है,$A$ कुंडली का क्षेत्रफल है,और $\theta$ चुंबकीय क्षेत्र सदिश और क्षेत्रफल सदिश के बीच का कोण है।
चूंकि कुंडली को चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत रखा गया है,इसलिए क्षेत्रफल सदिश (जो सतह के लंबवत होता है) चुंबकीय क्षेत्र सदिश के समानांतर होता है। अतः,$\theta = 0^\circ$ और $\cos(0^\circ) = 1$ होगा।
दिया गया है: $B = 10^3 \ Wb/m^2$ और $A = 10^{-2} \ m^2$.
फ्लक्स की गणना: $\phi = (10^3) \times (10^{-2}) \times \cos(0^\circ) = 10^1 = 10 \ Wb$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) किसी सतह से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\Phi_B$ चुंबकीय क्षेत्र $B$ और उसके लंबवत क्षेत्रफल $A$ के गुणनफल के रूप में परिभाषित होता है,जिसे $\Phi_B = B \cdot A$ द्वारा दिया जाता है।
चुंबकीय क्षेत्र का $SI$ मात्रक टेस्ला $(T)$ है और क्षेत्रफल का $SI$ मात्रक वर्ग मीटर $(m^2)$ है।
अतः,चुंबकीय फ्लक्स का मात्रक $Tesla \cdot m^2$ होता है,जिसे वेबर $(Wb)$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
इसलिए,सही विकल्प $(b)$ है।

(D) चुंबकीय फ्लक्स को $\phi = B \cdot A$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
लोरेंत्ज़ बल के नियम से,$F = B I l$,हम लिख सकते हैं $B = \frac{F}{I l}$।
बल $F$ की विमाएँ $[M L T^{-2}]$ हैं,धारा $I$ की $[A]$ हैं,और लंबाई $l$ की $[L]$ हैं।
अतः,चुंबकीय क्षेत्र $B$ की विमाएँ $\frac{[M L T^{-2}]}{[A][L]} = [M T^{-2} A^{-1}]$ होती हैं।
अब,इस मान को चुंबकीय फ्लक्स के सूत्र में रखने पर:
$\phi = [M T^{-2} A^{-1}] \cdot [L^2] = [M L^2 T^{-2} A^{-1}]$।

(A) $N$ फेरों वाली कुंडली से संबद्ध चुंबकीय फ्लक्स $\phi$ का सूत्र है: $\phi = N B A \cos \theta$,जहाँ $\theta$ कुंडली के अभिलंब और चुंबकीय क्षेत्र की दिशा के बीच का कोण है।
दिया गया है:
$N = 100$
$B = 0.2 \text{ T}$
$A = 5 \text{ cm}^2 = 5 \times 10^{-4} \text{ m}^2$
$\theta = 60^o$
मान रखने पर:
$\phi = 100 \times 0.2 \times (5 \times 10^{-4}) \times \cos(60^o)$
$\phi = 20 \times 5 \times 10^{-4} \times 0.5$
$\phi = 100 \times 10^{-4} \times 0.5$
$\phi = 0.5 \times 10^{-2} \text{ Wb} = 5 \times 10^{-3} \text{ Wb}$.

(C) चुंबकीय फ्लक्स को किसी दिए गए सतह क्षेत्र से गुजरने वाले कुल चुंबकीय क्षेत्र के माप के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,एक समान चुंबकीय क्षेत्र $\overrightarrow{B}$ के लिए जो क्षेत्रफल सदिश $\overrightarrow{A}$ वाली सतह से गुजरता है,चुंबकीय फ्लक्स $\Phi$ को चुंबकीय क्षेत्र सदिश और क्षेत्रफल सदिश के अदिश गुणनफल (डॉट प्रोडक्ट) के रूप में परिभाषित किया जाता है।
इसलिए,$\Phi = \overrightarrow{B} \cdot \overrightarrow{A} = BA \cos \theta$,जहाँ $\theta$ चुंबकीय क्षेत्र सदिश और सतह के क्षेत्रफल के अभिलंब के बीच का कोण है।
अतः,सही व्यंजक $\overrightarrow{B} \cdot \overrightarrow{A}$ है।

(D) $I$ धारा ले जाने वाला एक वृत्ताकार लूप एक चुंबकीय द्विध्रुव के रूप में कार्य करता है।
चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं उत्तरी ध्रुव से निकलती हैं और दक्षिणी ध्रुव में प्रवेश करती हैं।
चूंकि लूप $x-y$ तल में स्थित है,चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं लूप से गुजरती हैं और बंद लूप बनाने के लिए वापस मुड़ती हैं।
प्रत्येक चुंबकीय क्षेत्र रेखा जो $x-y$ तल से एक दिशा में (जैसे ऊपर की ओर) गुजरती है,उतनी ही संख्या में क्षेत्र रेखाओं को बंद लूप को पूरा करने के लिए $x-y$ तल से विपरीत दिशा में (जैसे नीचे की ओर) गुजरना होगा।
इसलिए,पूरे $x-y$ तल से गुजरने वाला कुल चुंबकीय फ्लक्स शून्य है।

(C) चुंबकीय फ्लक्स $\phi$ का सूत्र $\phi = \vec{B} \cdot \vec{A} = BA \cos \theta$ है,जहाँ $\theta$ चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\vec{B}$ और क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$ (जो सतह के लंबवत होता है) के बीच का कोण है।
दिया गया है,त्रिज्या $R = 0.2 \; m$,इसलिए क्षेत्रफल $A = \pi R^2 = \pi (0.2)^2 = 0.04\pi \; m^2$.
चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{1}{\pi} \; Wb/m^2$.
डिस्क की अक्ष $\vec{B}$ के साथ $60^{\circ}$ का कोण बनाती है। चूंकि क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$ डिस्क की अक्ष के अनुदिश होता है,इसलिए $\vec{B}$ और $\vec{A}$ के बीच का कोण $\theta = 60^{\circ}$ है।
अतः,$\phi = B A \cos 60^{\circ} = \left(\frac{1}{\pi}\right) \times (0.04\pi) \times \cos 60^{\circ}$.
$\phi = 0.04 \times \frac{1}{2} = 0.02 \; Wb$.

(A) एक समान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में सतह क्षेत्र $A$ के माध्यम से चुंबकीय फ्लक्स $\Phi = B \cdot A \cdot \cos(\theta)$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि चुंबकीय क्षेत्र लूप के तल के लंबवत है,$\theta = 0^\circ$ और $\cos(0^\circ) = 1$,इसलिए $\Phi = B \cdot A$ होगा।
स्थिति $I$ में,तार के फ्रेम द्वारा घिरा कुल क्षेत्रफल दो वर्गों के क्षेत्रफलों का योग है: $A_I = L^2 + l^2$। अतः,$\Phi_I = (L^2 + l^2)B$।
स्थिति $II$ में,छोटा वर्ग बड़े वर्ग के अंदर है। तार के फ्रेम द्वारा घिरा प्रभावी क्षेत्रफल बड़े वर्ग के क्षेत्रफल में से छोटे वर्ग के क्षेत्रफल को घटाने पर प्राप्त होता है: $A_{II} = L^2 - l^2$। अतः,$\Phi_{II} = (L^2 - l^2)B$।
इसलिए,सही विकल्प $A$ है।

(A) जैसे-जैसे कुंडली चुंबक के ऊपर से केंद्र की ओर बढ़ती है,चुंबकीय फ्लक्स बढ़ता है,केंद्र पर अधिकतम हो जाता है और फिर नीचे की ओर बढ़ते हुए घटता है। नीचे से ऊपर वापस आते समय,फ्लक्स विपरीत दिशा में बदलता है। चुंबकीय फ्लक्स $\Phi$ को $\int \vec{B} \cdot d\vec{A}$ के रूप में परिभाषित किया गया है। जैसे ही कुंडली चुंबक से गुजरती है,क्षेत्र रेखाएं पहले एक दिशा में और फिर कुंडली के क्षेत्रफल सदिश के सापेक्ष विपरीत दिशा में होती हैं। ग्राफ $A$ दिखाता है कि फ्लक्स एक धनात्मक अधिकतम तक बढ़ता है,शून्य से गुजरता है (चुंबक के केंद्र में जहां क्षेत्र रेखाएं कुंडली के तल के समानांतर होती हैं),और फिर दूसरी तरफ जाने पर एक ऋणात्मक न्यूनतम तक पहुंच जाता है। यह एक छड़ चुंबक के चुंबकीय क्षेत्र से गुजरने वाली कुंडली के लिए फ्लक्स में परिवर्तन को सही ढंग से दर्शाता है।

(A) धारा $i$ ले जाने वाले एक लंबे सीधे तार से $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i}{2 \pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
$r_1$ और $r_2$ के बीच $B-r$ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल $A = \int_{r_1}^{r_2} B \, dr = \int_{r_1}^{r_2} \frac{\mu_0 i}{2 \pi r} \, dr = \frac{\mu_0 i}{2 \pi} \ln\left(\frac{r_2}{r_1}\right)$ है।
$l$ लंबाई के आयताकार लूप से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\phi = \int B \, dA_{loop}$ द्वारा दिया जाता है।
तार से $r$ दूरी पर $dr$ चौड़ाई की एक पट्टी पर विचार करने पर,पट्टी का क्षेत्रफल $dA_{loop} = l \, dr$ होता है।
अतः,फ्लक्स $\phi = \int_{r_1}^{r_2} B \, l \, dr = l \int_{r_1}^{r_2} B \, dr$ है।
चूंकि $A = \int_{r_1}^{r_2} B \, dr$ है,इसलिए इसे फ्लक्स समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\phi = l \cdot A = Al$.

(B) चुंबकीय फ्लक्स $\phi$ को सूत्र $\phi = \vec{B} \cdot \vec{A} = BA \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\vec{B}$ और क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$ (जो सतह के लंबवत होता है) के बीच का कोण है।
चित्र से,सतह और ऊर्ध्वाधर के बीच का कोण $60^\circ$ है। क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$ सतह के लंबवत है,इसलिए क्षैतिज चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ और क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$ के बीच का कोण $\theta = 60^\circ$ होगा।
दिया गया है: $\phi = 2 \times 10^{-3} \ Wb$,$A = 10 \ cm^2 = 10 \times 10^{-4} \ m^2 = 10^{-3} \ m^2$,और $\theta = 60^\circ$.
$\phi = BA \cos \theta$ का उपयोग करने पर,$B = \frac{\phi}{A \cos \theta}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $B = \frac{2 \times 10^{-3}}{(10^{-3}) \cos 60^\circ} = \frac{2 \times 10^{-3}}{(10^{-3}) \times (1/2)} = \frac{2}{1/2} = 4 \ Wb/m^2$.

(D) यह लूप $xy$-समतल में स्थित है जिसके कोने $(L, L, 0)$,$(-L, L, 0)$,$(-L, -L, 0)$ और $(L, -L, 0)$ हैं।
वर्गाकार लूप की भुजा की लंबाई $2L$ है।
इसलिए,लूप का क्षेत्रफल $A = (2L) \times (2L) = 4L^2$ है।
क्षेत्रफल सदिश $\vec A$,$xy$-समतल के लंबवत है,इसलिए $\vec A = 4L^2 \hat k$ है।
चुंबकीय क्षेत्र $\vec B = B_0(\hat i + \hat k)$ दिया गया है।
चुंबकीय फ्लक्स $\phi$,चुंबकीय क्षेत्र और क्षेत्रफल सदिश के डॉट गुणनफल द्वारा प्राप्त होता है:
$\phi = \vec B \cdot \vec A$
$\phi = B_0(\hat i + \hat k) \cdot (4L^2 \hat k)$
$\phi = 4B_0L^2 (\hat i \cdot \hat k + \hat k \cdot \hat k)$
चूंकि $\hat i \cdot \hat k = 0$ और $\hat k \cdot \hat k = 1$,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$\phi = 4B_0L^2 (0 + 1) = 4B_0L^2 \text{ Wb}$.

(D) कुंडली से संबद्ध चुंबकीय फ्लक्स $\phi$ का सूत्र $\phi = NBA \cos \theta$ है,जहाँ $\theta$ चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\vec{B}$ और क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$ (जो कुंडली के तल के लंबवत होता है) के बीच का कोण है।
चूंकि कुंडली का तल चुंबकीय क्षेत्र $B$ के समांतर है,इसलिए कुंडली के अभिलंब और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण $\theta = 90^{\circ}$ होगा।
इस मान को सूत्र में रखने पर: $\phi = NBA \cos(90^{\circ})$.
चूंकि $\cos(90^{\circ}) = 0$ होता है,इसलिए चुंबकीय फ्लक्स $\phi = 0$ होगा।

(A) $x$ भुजा वाले वर्ग का क्षेत्रफल सदिश $\vec A$ जो $x-y$ तल में स्थित है,$\vec A = x^2 \hat k \, m^2$ द्वारा दिया जाता है।
चुंबकीय क्षेत्र $\vec B = B_0 (3\hat i + 4\hat j + 5\hat k) \, T$ के रूप में दिया गया है।
चुंबकीय फ्लक्स $\phi$ को चुंबकीय क्षेत्र सदिश और क्षेत्रफल सदिश के अदिश गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है: $\phi = \vec B \cdot \vec A$.
मान रखने पर: $\phi = [B_0 (3\hat i + 4\hat j + 5\hat k)] \cdot [x^2 \hat k]$.
अदिश गुणनफल के गुणों का उपयोग करते हुए $(\hat i \cdot \hat k = 0, \hat j \cdot \hat k = 0, \hat k \cdot \hat k = 1)$:
$\phi = B_0 x^2 (3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + 5 \cdot 1) = 5 B_0 x^2 \, Wb$.

(C) चुंबकीय फ्लक्स $\phi$ का सूत्र $\phi = \vec{B} \cdot \vec{A} = B A \cos \theta$ है,जहाँ $\theta$ चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\vec{B}$ और क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$ (सतह के लंबवत) के बीच का कोण है।
दिया गया है: चुंबकीय क्षेत्र $B = 0.2 \, T$ जो धनात्मक $x-$अक्ष की दिशा में है।
ऊपरी सतह $10 \, cm \times 10 \, cm = 0.1 \, m \times 0.1 \, m = 0.01 \, m^2$ आयामों वाला एक आयत है।
आकृति के अनुसार,सतह का अभिलंब $x-$अक्ष के साथ $60^{\circ}$ का कोण बनाता है।
अतः,$\theta = 60^{\circ}$ लेने पर:
$\phi = B A \cos 60^{\circ} = 0.2 \times 0.01 \times \cos 60^{\circ} = 0.2 \times 0.01 \times 0.5 = 0.001 \, Wb$.
$m-Wb$ में बदलने पर: $0.001 \, Wb = 1 \, m-Wb$.

(B) चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं छड़ चुंबक के उत्तरी ध्रुव से निकलती हैं और दक्षिणी ध्रुव पर समाप्त होती हैं।
दिए गए चित्र में,छड़ चुंबक का दक्षिणी ध्रुव बेलन के खुले सिरे के सामने है।
इसलिए,चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं दक्षिणी ध्रुव की ओर निर्देशित हैं,जिसका अर्थ है कि वे खुले सिरे से बेलन में प्रवेश करती हैं।
परंपरा के अनुसार,एक बंद सतह के लिए क्षेत्रफल सदिश $d\vec A$ को बाहर की ओर निर्देशित माना जाता है।
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र $\vec B$ सतह में प्रवेश कर रहा है और क्षेत्रफल सदिश $d\vec A$ बाहर की ओर निर्देशित है,इसलिए उनके बीच का कोण अधिक कोण ($90^{\circ}$ से अधिक) है।
परिणामस्वरूप,डॉट प्रोडक्ट $\vec B \cdot d\vec A = B \, dA \cos \theta$ ऋणात्मक होगा क्योंकि $\theta > 90^{\circ}$ के लिए $\cos \theta < 0$ होता है।

(B) समीकरण $\oint \vec{B} \cdot d\vec{A} = 0$ चुंबकत्व के लिए गॉस के नियम को दर्शाता है।
यह बताता है कि किसी भी बंद सतह से गुजरने वाला कुल चुंबकीय फ्लक्स हमेशा शून्य होता है।
इसका तात्पर्य यह है कि प्रकृति में कोई पृथक चुंबकीय आवेश (चुंबकीय मोनोपोल) मौजूद नहीं है।
चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं हमेशा बंद लूप बनाती हैं,जिसका अर्थ है कि प्रत्येक उत्तरी ध्रुव के साथ एक दक्षिणी ध्रुव का होना आवश्यक है।

(C) चुंबकीय फ्लक्स $\phi$ का सूत्र $\phi = B A \cos \theta$ है,जहाँ $\theta$ चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\vec{B}$ और क्षेत्रफल सदिश $\vec{n}$ (सतह के लंबवत) के बीच का कोण है।
चूंकि क्षेत्रफल चुंबकीय क्षेत्र के साथ $60^o$ का कोण बनाता है,इसलिए क्षेत्रफल के लंबवत और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण $\theta = 90^o - 60^o = 30^o$ होगा।
मान रखने पर: $\phi = 2.0 \times 0.5 \times \cos(30^o)$.
$\phi = 1.0 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \, Wb$.

(A) धारावाही वृत्ताकार कुंडली के लिए,चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं कुंडली से उत्पन्न होती हैं और बंद लूप बनाती हैं।
चुंबकत्व के लिए गॉस के नियम के अनुसार,किसी भी बंद सतह से गुजरने वाला कुल चुंबकीय फ्लक्स शून्य होता है,अर्थात $\oint \vec{B} \cdot d\vec{A} = 0$।
कुंडली वाले अनंत तल पर विचार करें। कुंडली के क्षेत्रफल से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $(\phi_{0})$ एक दिशा में (जैसे ऊपर की ओर) होता है।
अनंत तल के शेष भाग से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $(\phi_{i})$ विपरीत दिशा में (नीचे की ओर) होना चाहिए ताकि पूरे अनंत तल से गुजरने वाला कुल फ्लक्स शून्य हो सके।
अतः,$\phi_{0} + \phi_{i} = 0$,जिसका अर्थ है $\phi_{i} = -\phi_{0}$।

(D) लूप $ABCDEFA$ दो समतलीय सतहों से बना है: $xy$-तल में आयत $ABCD$ और $yz$-तल में आयत $ADEF$।
$xy$-तल में स्थित आयत $ABCD$ के लिए क्षेत्रफल सदिश $\overrightarrow{A}_{ABCD} = (5 \times 5) \hat{k} = 25 \hat{k} \; \text{m}^2$ है।
$yz$-तल में स्थित आयत $ADEF$ के लिए क्षेत्रफल सदिश $\overrightarrow{A}_{ADEF} = (5 \times 5) \hat{i} = 25 \hat{i} \; \text{m}^2$ है।
कुल क्षेत्रफल सदिश $\overrightarrow{A}_{net} = \overrightarrow{A}_{ABCD} + \overrightarrow{A}_{ADEF} = 25 \hat{i} + 25 \hat{k} \; \text{m}^2$ है।
चुंबकीय क्षेत्र $\overrightarrow{B} = 3 \hat{i} + 4 \hat{k} \; \text{T}$ दिया गया है।
चुंबकीय फ्लक्स $\phi$ की गणना डॉट प्रोडक्ट द्वारा की जाती है: $\phi = \overrightarrow{B} \cdot \overrightarrow{A}_{net}$।
$\phi = (3 \hat{i} + 4 \hat{k}) \cdot (25 \hat{i} + 25 \hat{k})$
$\phi = (3 \times 25) + (4 \times 25) = 75 + 100 = 175 \; \text{Wb}$।
अतः,लूप से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $175 \; \text{Wb}$ है।

(N/A) नहीं। चुंबकीय बल हमेशा $B$ के लंबवत होता है (याद रखें चुंबकीय बल $= q(v \times B)$)। चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं को बल की रेखाएं कहना भ्रामक है।
$(b)$ यदि क्षेत्र रेखाएं एक सीधे सोलेनोइड के दो सिरों के बीच पूरी तरह से सीमित होतीं,तो प्रत्येक सिरे पर अनुप्रस्थ काट से गुजरने वाला फ्लक्स शून्य नहीं होता। लेकिन किसी भी बंद सतह से गुजरने वाला $B$ क्षेत्र का फ्लक्स हमेशा शून्य होना चाहिए। टोरोइड के लिए,यह कठिनाई नहीं होती क्योंकि इसके कोई 'सिरे' नहीं होते हैं।
$(c)$ चुंबकत्व का गॉस का नियम बताता है कि किसी भी बंद सतह से गुजरने वाला $B$ का फ्लक्स हमेशा शून्य होता है,$\int_{S} B \cdot dS = 0$। यदि मोनोपोल मौजूद होते,तो दाईं ओर का मान $S$ द्वारा परिबद्ध मोनोपोल (चुंबकीय आवेश) $q_m$ के बराबर होता। इलेक्ट्रोस्टैटिक्स के गॉस के नियम के अनुरूप,$\int_{S} B \cdot dS = \mu_0 q_m$,जहां $q_m$ $S$ द्वारा परिबद्ध चुंबकीय आवेश है।
$(d)$ नहीं। उस तत्व द्वारा उत्पन्न क्षेत्र के कारण उस तत्व पर कोई बल या टॉर्क नहीं लगता है। हालाँकि,एक ही तार के एक तत्व पर दूसरे तत्व के कारण बल (या टॉर्क) लगता है (हालाँकि एक सीधे तार के लिए,यह कुल बल शून्य होता है)।
$(e)$ हाँ। प्रणाली में कुल आवेश शून्य हो सकता है,फिर भी विभिन्न धारा लूपों के कारण चुंबकीय आघूर्ण शून्य नहीं हो सकते हैं। हम पैरामैग्नेटिक पदार्थों के संबंध में ऐसे उदाहरण देखते हैं जहां परमाणुओं का कुल द्विध्रुव आघूर्ण होता है,भले ही उनका कुल आवेश शून्य हो।

(N/A) चित्र में दिखाए अनुसार एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में रखे $A$ क्षेत्रफल वाले तल से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\Phi_{B} = \vec{B} \cdot \vec{A} = BA \cos \theta$ के रूप में लिखा जा सकता है।
जहाँ $\theta$ चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\vec{B}$ और क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$ के बीच का कोण है। इस समीकरण को वक्र सतहों और असमान चुंबकीय क्षेत्रों के लिए भी विस्तारित किया जा सकता है।
यदि किसी सतह के विभिन्न भागों पर चुंबकीय क्षेत्र का मान और दिशा अलग-अलग है,तो सतह से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स छोटे क्षेत्रफल अवयवों $d\vec{A}_i$ से गुजरने वाले फ्लक्स के योग द्वारा दिया जाता है:
$\Phi_{B} = \sum_{i} \vec{B}_{i} \cdot d \vec{A}_{i}$
उस सीमा में जहाँ क्षेत्रफल अवयव अत्यंत सूक्ष्म हो जाते हैं,यह योग समाकलन में बदल जाता है:
$\Phi_{B} = \int_{S} \vec{B} \cdot d\vec{A}$
चुंबकीय फ्लक्स एक अदिश राशि है। इसका $SI$ मात्रक वेबर $(Wb)$ है,जो टेस्ला मीटर स्क्वायर $(T \cdot m^2)$ या वोल्ट-सेकंड $(V \cdot s)$ के बराबर है। इसका विमीय सूत्र $[M^1 L^2 T^{-2} A^{-1}]$ है।
$1 \ Wb$ की परिभाषा: यदि $1 \ m^2$ क्षेत्रफल वाली सतह पर $1 \ T$ का चुंबकीय क्षेत्र लंबवत रूप से लगाया जाता है,तो सतह से संबद्ध चुंबकीय फ्लक्स $1 \ Wb$ कहलाता है। अतः,$1 \ Wb = 1 \ T \cdot m^2$।

(N/A) चुंबकीय फ्लक्स $\Phi_B$ को चुंबकीय क्षेत्र $B$ और उसके लंबवत क्षेत्रफल $A$ के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है,जिसे $\Phi_B = B \cdot A$ द्वारा दिया जाता है।
लोरेंत्ज़ बल नियम $F = qvB$ से,हम चुंबकीय क्षेत्र को $B = \frac{F}{qv}$ के रूप में व्यक्त कर सकते हैं।
बल $F$ का विमीय सूत्र $[M^1 L^1 T^{-2}]$ है।
आवेश $q$ का विमीय सूत्र $[I^1 T^1]$ है।
वेग $v$ का विमीय सूत्र $[L^1 T^{-1}]$ है।
इस प्रकार,$B$ की विमाएँ $[B] = \frac{[M^1 L^1 T^{-2}]}{[I^1 T^1][L^1 T^{-1}]} = [M^1 T^{-2} I^{-1}]$ होंगी।
चूंकि चुंबकीय फ्लक्स $\Phi_B = B \cdot A$ है,और क्षेत्रफल $A$ की विमाएँ $[L^2]$ हैं,इसलिए:
$[\Phi_B] = [M^1 T^{-2} I^{-1}] \cdot [L^2] = [M^1 L^2 T^{-2} I^{-1}]$.
अतः,चुंबकीय फ्लक्स का विमीय सूत्र $[M^1 L^2 T^{-2} I^{-1}]$ है।

(C) सतह से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $\Phi$ सूत्र $\Phi = B A \cos(\theta)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $B$ चुंबकीय क्षेत्र है,$A$ सतह का क्षेत्रफल है,और $\theta$ चुंबकीय क्षेत्र वेक्टर और सतह के लंबवत वेक्टर के बीच का कोण है।
जब शीट की सतह चुंबकीय क्षेत्र के समानांतर होती है,तो सतह का लंब चुंबकीय क्षेत्र के साथ $90^{\circ}$ का कोण बनाता है।
इसलिए,$\theta = 90^{\circ}$।
सूत्र में मान रखने पर: $\Phi = B A \cos(90^{\circ})$।
चूंकि $\cos(90^{\circ}) = 0$,इसलिए चुंबकीय फ्लक्स $\Phi = 0$ होता है।

(B) किसी सतह से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\Phi_B$ सूत्र $\Phi_B = \vec{B} \cdot \vec{A} = BA \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\vec{B}$ चुंबकीय क्षेत्र सदिश है,$\vec{A}$ क्षेत्रफल सदिश है और $\theta$ उनके बीच का कोण है।
चुंबकीय फ्लक्स को शून्य होने के लिए,$\cos \theta = 0$ होना चाहिए।
यह तब होता है जब $\theta = 90^{\circ}$ हो।
चुंबकीय क्षेत्र सदिश और क्षेत्रफल सदिश के बीच $90^{\circ}$ का कोण होने का अर्थ है कि चुंबकीय क्षेत्र क्षेत्रफल सदिश के लंबवत है (या सतह के तल के समानांतर है)।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) $VS$ मात्रक वोल्ट-सेकंड $(V \cdot s)$ को दर्शाता है।
फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,प्रेरित विद्युत वाहक बल $(e)$ का सूत्र $e = -\frac{d\Phi_B}{dt}$ है,जहाँ $\Phi_B$ चुंबकीय फ्लक्स है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $d\Phi_B = e \cdot dt$ प्राप्त होता है।
चुंबकीय फ्लक्स $(\Phi_B)$ का मात्रक वेबर $(Wb)$ है।
चूंकि विद्युत वाहक बल $(e)$ का मात्रक वोल्ट $(V)$ है और समय $(t)$ का मात्रक सेकंड $(s)$ है,इसलिए $1 \ Wb = 1 \ V \cdot s$ होता है।
अतः,$VS$ चुंबकीय फ्लक्स का मात्रक है।

(N/A) मान लीजिए कि एक बंद पृष्ठ $S$ एक चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ में रखा गया है। हमें इस पृष्ठ से संबद्ध चुंबकीय फ्लक्स निर्धारित करना है।
कल्पना कीजिए कि पृष्ठ $S$ को छोटे क्षेत्रफल अवयवों में विभाजित किया गया है। ऐसे एक अवयव $\Delta \vec{S}$ के लिए चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ है। इस अवयव के लिए चुंबकीय फ्लक्स $\Delta \phi_{B}$ को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है:
$\Delta \phi_{B} = \vec{B} \cdot \Delta \vec{S}$
बंद पृष्ठ से गुजरने वाला कुल चुंबकीय फ्लक्स $\phi_{B}$ सभी अवयवों से गुजरने वाले फ्लक्स का योग है:
$\phi_{B} = \sum_{\text{all}} \Delta \phi_{B} = \sum_{\text{all}} \vec{B} \cdot \Delta \vec{S} = 0 \quad \dots (1)$
चूंकि बंद पृष्ठ से बाहर निकलने वाली चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं की संख्या उसमें प्रवेश करने वाली रेखाओं की संख्या के बराबर होती है, इसलिए किसी भी बंद पृष्ठ से गुजरने वाला कुल चुंबकीय फ्लक्स हमेशा शून्य होता है।
चुंबकत्व के लिए गॉस का नियम कहता है:
"किसी भी बंद पृष्ठ से गुजरने वाला कुल चुंबकीय फ्लक्स शून्य होता है।"
जब $\Delta S \rightarrow 0$ होता है, तो यह योग एक समाकल (integral) में बदल जाता है:
$\phi_{B} = \oint_{S} \vec{B} \cdot d\vec{S} = 0$
यह समाकल रूप चुंबकत्व के लिए गॉस के नियम का गणितीय निरूपण है।

(N/A) स्थिर वैद्युतिकी के लिए गॉस का नियम:
$\oint \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_{0}}$
जहाँ $\vec{E}$ विद्युत क्षेत्र है और $q_{enclosed}$ गॉसियन सतह द्वारा परिबद्ध कुल आवेश है।
चुंबकत्व के लिए गॉस का नियम:
$\oint \vec{B} \cdot d\vec{S} = 0$
जहाँ $\vec{B}$ चुंबकीय क्षेत्र है।
उनके बीच मुख्य अंतर यह है कि स्थिर वैद्युतिकी में,एक बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स परिबद्ध आवेश के समानुपाती होता है,जो विद्युत मोनोपोल (एकल आवेश) के अस्तित्व को दर्शाता है। चुंबकत्व के लिए,किसी भी बंद सतह से गुजरने वाला कुल चुंबकीय फ्लक्स हमेशा शून्य होता है,जिसका अर्थ है कि पृथक चुंबकीय मोनोपोल मौजूद नहीं होते हैं; चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं हमेशा निरंतर बंद लूप बनाती हैं।

(N/A) चुंबकत्व के लिए गॉस का नियम बताता है कि किसी भी बंद सतह से गुजरने वाला कुल चुंबकीय फ्लक्स हमेशा शून्य होता है।
गणितीय रूप से,इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: $\oint_{S} \vec{B} \cdot d\vec{A} = 0$
यहाँ,$\vec{B}$ चुंबकीय क्षेत्र है और $d\vec{A}$ बंद सतह $S$ का क्षेत्रफल सदिश है।
यह नियम बताता है कि चुंबकीय मोनोपोल (एकल ध्रुव) का अस्तित्व नहीं होता है; चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं हमेशा बंद लूप बनाती हैं,जिसका अर्थ है कि प्रत्येक उत्तरी ध्रुव एक दक्षिणी ध्रुव के साथ होता है।

(N/A) स्थिर वैद्युतकी में गॉस का नियम बताता है कि किसी भी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स उस सतह द्वारा घेरे गए कुल आवेश और मुक्त स्थान की विद्युतशीलता के अनुपात के बराबर होता है: $\oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$। यह इंगित करता है कि विद्युत आवेश अलग मोनोपोल (एकध्रुवीय) के रूप में मौजूद होते हैं।
चुंबकत्व में गॉस का नियम बताता है कि किसी भी बंद सतह से गुजरने वाला कुल चुंबकीय फ्लक्स हमेशा शून्य होता है: $\oint \vec{B} \cdot d\vec{A} = 0$। यह इंगित करता है कि चुंबकीय मोनोपोल मौजूद नहीं होते हैं और चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं हमेशा निरंतर बंद लूप बनाती हैं।

(N/A) चुंबकत्व के लिए गॉस का नियम बताता है कि किसी भी बंद पृष्ठ से गुजरने वाला कुल चुंबकीय फ्लक्स शून्य होता है: $\oint \vec{B} \cdot d\vec{S} = 0$.
मान लीजिए कि मूल बिंदु $O$ पर $\vec{m} = m \hat{k}$ आघूर्ण वाला एक चुंबकीय द्विध्रुव स्थित है। $R$ त्रिज्या वाले गोले की सतह पर बिंदु $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ (जहाँ $OP$,$z$-अक्ष के साथ $\theta$ कोण बनाता है) इस प्रकार है:
$\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{m}{r^3} (2 \cos \theta \hat{r} + \sin \theta \hat{\theta})$.
गोलाकार सतह पर क्षेत्रफल अवयव $d\vec{S} = R^2 \sin \theta d\theta d\phi \hat{r}$ है।
अब,फ्लक्स $\Phi_B = \oint \vec{B} \cdot d\vec{S}$ की गणना करते हैं:
$\Phi_B = \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} \left( \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{m}{R^3} (2 \cos \theta \hat{r} + \sin \theta \hat{\theta}) \right) \cdot (R^2 \sin \theta d\theta d\phi \hat{r})$.
चूंकि $\hat{r} \cdot \hat{r} = 1$ और $\hat{\theta} \cdot \hat{r} = 0$:
$\Phi_B = \frac{\mu_0 m}{4\pi R} \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^{\pi} 2 \cos \theta \sin \theta d\theta$.
$\Phi_B = \frac{\mu_0 m}{4\pi R} (2\pi) \int_0^{\pi} \sin(2\theta) d\theta$.
$\Phi_B = \frac{\mu_0 m}{2R} \left[ -\frac{\cos(2\theta)}{2} \right]_0^{\pi} = \frac{\mu_0 m}{4R} [-\cos(2\pi) + \cos(0)] = \frac{\mu_0 m}{4R} [-1 + 1] = 0$.
इस प्रकार,चुंबकत्व के लिए गॉस का नियम सत्यापित होता है।

(N/A) हाँ,हमें चुंबकीय फ्लक्स के लिए समान उत्तर मिलेगा।
चुंबकत्व के लिए गॉस के नियम के अनुसार,किसी भी बंद सतह से गुजरने वाला कुल चुंबकीय फ्लक्स शून्य होता है $(\oint \vec{B} \cdot d\vec{A} = 0)$।
यदि हम सतहों $S_1$ और $S_2$ के संयोजन से बनी बंद सतह पर विचार करें,तो इस बंद सतह से गुजरने वाला कुल फ्लक्स शून्य है।
मान लीजिए कि $S_1$ से गुजरने वाला फ्लक्स $\phi_1$ है और $S_2$ से गुजरने वाला फ्लक्स $\phi_2$ है। चूंकि चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं एक सतह से प्रवेश करती हैं और दूसरी सतह से बाहर निकलती हैं,इसलिए $S_1$ से गुजरने वाला फ्लक्स परिमाण में $S_2$ से गुजरने वाले फ्लक्स के बराबर होना चाहिए।
इसलिए,समान लूप $C$ द्वारा परिबद्ध किसी भी सतह से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स समान होता है,क्योंकि यह केवल लूप से गुजरने वाली चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं की संख्या पर निर्भर करता है।

(C) चुंबकीय फ्लक्स $\phi$ का सूत्र $\phi = \vec{B} \cdot \vec{A} = B A \cos \theta$ है,जहाँ $\theta$ चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\vec{B}$ और क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$ (सतह के अभिलंब) के बीच का कोण है।
चुंबकीय क्षेत्र धनात्मक $X$-अक्ष की दिशा में है। ऊपरी सतह क्षैतिज के साथ $30^{\circ}$ के कोण पर झुकी हुई है। इस सतह का अभिलंब $X$-अक्ष के साथ $\theta = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$ का कोण बनाता है।
ऊपरी सतह के आयाम $10 \, cm \times 10 \, cm = 0.1 \, m \times 0.1 \, m = 0.01 \, m^2$ हैं।
मान रखने पर:
$\phi = (0.2 \, T) \times (0.01 \, m^2) \times \cos(60^{\circ})$
$\phi = 0.002 \times 0.5 = 0.001 \, Wb$
चूंकि $1 \, Wb = 1000 \, m-Wb$,इसलिए:
$\phi = 0.001 \times 1000 = 1 \, m-Wb$.

(C) चुंबकीय फ्लक्स $(\Phi_B)$ को चुंबकीय क्षेत्र $(B)$ और उस क्षेत्रफल $(A)$ के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है जिससे यह गुजरता है, जिसे $\Phi_B = B \cdot A \cdot \cos(\theta)$ द्वारा दिया जाता है।
चुंबकीय क्षेत्र का $SI$ मात्रक टेस्ला $(T)$ है और क्षेत्रफल का मात्रक वर्ग मीटर $(m^2)$ है।
इसलिए, $1 \text{ Tesla} \cdot m^2 = 1 \text{ Weber}$ $(Wb)$।
अतः, चुंबकीय फ्लक्स का $SI$ मात्रक वेबर है।

(A) दिया गया है:
वर्गाकार लूप की भुजा की लंबाई,$l = 1\,m$।
लूप का क्षेत्रफल,$A = l^2 = (1\,m)^2 = 1\,m^2$।
चुंबकीय क्षेत्र,$B = 0.5\,T$।
लूप का तल चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत है,जिसका अर्थ है कि क्षेत्रफल सदिश $\overrightarrow{A}$,चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\overrightarrow{B}$ के समानांतर है।
इसलिए,$\overrightarrow{B}$ और $\overrightarrow{A}$ के बीच का कोण $\theta = 0^\circ$ है।
चुंबकीय फ्लक्स $\phi$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\phi = B A \cos\theta$
मान रखने पर:
$\phi = 0.5 \times 1 \times \cos(0^\circ)$
चूंकि $\cos(0^\circ) = 1$,
$\phi = 0.5 \times 1 \times 1 = 0.5\,Wb$।

(A) सही विकल्प $A$ है।
$1$. चुंबकत्व के लिए गॉस के नियम के अनुसार,किसी भी बंद सतह से गुजरने वाला कुल चुंबकीय फ्लक्स हमेशा शून्य होता है क्योंकि चुंबकीय मोनोपोल (एकध्रुवीय) का अस्तित्व नहीं होता है। इसका अर्थ है कि एक बंद सतह में प्रवेश करने वाली चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं की संख्या उससे बाहर निकलने वाली रेखाओं की संख्या के बराबर होती है। अतः,कथन $A$ सही है।
$2$. चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं हमेशा चुंबकीय पदार्थ की सतह के उन बिंदुओं पर लंबवत होती हैं जहाँ से वे शुरू होती हैं या समाप्त होती हैं। इसलिए,कथन $B$ गलत है।
$3$. चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं हमेशा चालक से होकर गुजरती हैं (जब तक कि वह सुपरकंडक्टर न हो जो मीस्नर प्रभाव प्रदर्शित करता है)। इसलिए,कथन $C$ गलत है।
$4$. चूंकि केवल कथन $A$ सही है,इसलिए सही विकल्प $A$ है।

(D) कुंडली से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\phi$ सूत्र $\phi = \vec{B} \cdot \vec{A} = BA \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $B$ चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण है,$A$ कुंडली का क्षेत्रफल है,और $\theta$ चुंबकीय क्षेत्र सदिश और क्षेत्रफल सदिश के बीच का कोण है।
$1$. चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण $(B)$ बदलकर,फ्लक्स $\phi$ बदल जाता है। (कथन $A$ सही है)।
$2$. चुंबकीय क्षेत्र के भीतर कुंडली का क्षेत्रफल $(A)$ बदलकर,फ्लक्स $\phi$ बदल जाता है। (कथन $B$ सही है)।
$3$. चुंबकीय क्षेत्र की दिशा और कुंडली के तल के बीच का कोण $(\theta)$ बदलकर,फ्लक्स $\phi$ बदल जाता है। (कथन $C$ सही है)।
$4$. चुंबकीय क्षेत्र की दिशा को अचानक उलटकर,कोण $\theta$ बदल जाता है (उदाहरण के लिए $0^\circ$ से $180^\circ$),जिससे फ्लक्स $\phi$ बदल जाता है। (कथन $D$ सही है)।
अतः,चारों विधियों द्वारा कुंडली से गुजरने वाले चुंबकीय फ्लक्स को बदला जा सकता है।

(B) चुंबकत्व के लिए गॉस के नियम के अनुसार,किसी भी बंद सतह से गुजरने वाला कुल चुंबकीय फ्लक्स उस सतह पर चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के सतह समाकल (surface integral) द्वारा दिया जाता है।
$\oint \vec{B} \cdot d\vec{s} = 0$
यह परिणाम इसलिए प्राप्त होता है क्योंकि चुंबकीय मोनोपोल (एकल ध्रुव) का अस्तित्व नहीं होता है; चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं हमेशा बंद लूप बनाती हैं,जिसका अर्थ है कि एक बंद सतह में प्रवेश करने वाली प्रत्येक क्षेत्र रेखा को उससे बाहर भी निकलना पड़ता है।
इसलिए,किसी भी बंद सतह से गुजरने वाला कुल चुंबकीय फ्लक्स हमेशा $0$ होता है।

(C) अभिकथन $(A)$ सही है क्योंकि, चुंबकत्व के लिए गॉस के नियम के अनुसार, किसी भी बंद सतह से गुजरने वाला कुल चुंबकीय फ्लक्स शून्य होता है $( \oint \vec{B} \cdot d\vec{A} = 0)$। इसका तात्पर्य यह है कि कोई पृथक चुंबकीय आवेश (मोनोपोल) अस्तित्व में नहीं होते हैं।
कारण $(R)$ भी सही है क्योंकि चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं हमेशा निरंतर बंद लूप बनाती हैं, जो चुंबक के बाहर उत्तरी ध्रुव से शुरू होकर दक्षिणी ध्रुव पर समाप्त होती हैं और चुंबक के अंदर दक्षिण से उत्तर की ओर जारी रहती हैं।
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं बंद लूप बनाती हैं, इसलिए उनका कोई प्रारंभिक या अंतिम बिंदु (स्रोत या सिंक) नहीं होता है, जो सीधे तौर पर यह बताता है कि चुंबकीय मोनोपोल अस्तित्व में क्यों नहीं हो सकते हैं। इसलिए, $(R)$, $(A)$ की सही व्याख्या है।

(B) चुंबकीय फ्लक्स $\Phi$ का सूत्र $\Phi = B A \cos(\theta)$ है,जहाँ $\theta$ चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\vec{B}$ और क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$ के बीच का कोण है।
यहाँ पट्टी का तल चुंबकीय क्षेत्र के साथ $60^{\circ}$ का कोण बनाता है,इसलिए क्षेत्रफल सदिश (जो तल के लंबवत होता है) और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण $\theta = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ होगा।
दिए गए मान: $\Phi = 1 \ mWb = 10^{-3} \ Wb$,$A = 0.02 \ m^2$,और $\theta = 30^{\circ}$.
सूत्र में मान रखने पर: $10^{-3} = B \times 0.02 \times \cos(30^{\circ})$.
चूंकि $\cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$,इसलिए $10^{-3} = B \times 0.02 \times 0.866$.
$B = \frac{10^{-3}}{0.02 \times 0.866} = \frac{0.001}{0.01732} \approx 0.0577 \ T$.
इस मान को पूर्णांकित करने पर $B \approx 0.058 \ T$ प्राप्त होता है।

(A) किसी सतह से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\Phi$,चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\vec{B}$ और क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$ के अदिश गुणनफल (dot product) द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है,$\vec{B} = B_0(2 \hat{i} + 3 \hat{j} + 4 \hat{k})$।
वर्ग $x-y$ तल में स्थित है,इसलिए इसका क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$,$x-y$ तल के लंबवत यानी $z$-अक्ष की दिशा में होगा।
अतः,$\vec{A} = L^2 \hat{k}$।
चुंबकीय फ्लक्स $\Phi$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$\Phi = \vec{B} \cdot \vec{A}$
$\Phi = [B_0(2 \hat{i} + 3 \hat{j} + 4 \hat{k})] \cdot [L^2 \hat{k}]$
$\Phi = B_0 L^2 (2 \hat{i} \cdot \hat{k} + 3 \hat{j} \cdot \hat{k} + 4 \hat{k} \cdot \hat{k})$
चूंकि $\hat{i} \cdot \hat{k} = 0$,$\hat{j} \cdot \hat{k} = 0$,और $\hat{k} \cdot \hat{k} = 1$,हमें प्राप्त होता है:
$\Phi = B_0 L^2 (0 + 0 + 4(1)) = 4 B_0 L^2$।
अतः,फ्लक्स का परिमाण $4 B_0 L^2$ है।

(B) किसी सतह से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\phi$,चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\overrightarrow{B}$ और क्षेत्रफल सदिश $\overrightarrow{A}$ के अदिश गुणनफल (डॉट प्रोडक्ट) द्वारा दिया जाता है।
चूँकि $L$ भुजा वाला वर्ग $x-y$ तल में स्थित है,इसलिए इसका क्षेत्रफल सदिश $\overrightarrow{A}$,$z$-अक्ष की दिशा में होगा।
अतः,$\overrightarrow{A} = L^2 \hat{k}$।
चुंबकीय क्षेत्र $\overrightarrow{B} = B_0(2 \hat{i} + 4 \hat{j} + 3 \hat{k})$ है।
चुंबकीय फ्लक्स की गणना इस प्रकार की जाती है:
$\phi = \overrightarrow{B} \cdot \overrightarrow{A}$
$\phi = [B_0(2 \hat{i} + 4 \hat{j} + 3 \hat{k})] \cdot [L^2 \hat{k}]$
$\phi = B_0 L^2 (2 \hat{i} \cdot \hat{k} + 4 \hat{j} \cdot \hat{k} + 3 \hat{k} \cdot \hat{k})$
हम जानते हैं कि $\hat{i} \cdot \hat{k} = 0$,$\hat{j} \cdot \hat{k} = 0$,और $\hat{k} \cdot \hat{k} = 1$,इसलिए:
$\phi = B_0 L^2 (0 + 0 + 3(1)) = 3 B_0 L^2 \text{ Wb}$।

(C) सही विकल्प $C$ है।
चुंबकीय फ्लक्स $\phi$ को चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता $B$ और क्षेत्र के लंबवत क्षेत्रफल $A$ के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है,जिसका सूत्र $\phi = B \times A$ है।
चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता $B$ का मात्रक ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करते हैं: $B = \frac{\phi}{A}$।
चूंकि चुंबकीय फ्लक्स $\phi$ का मात्रक वेबर $(Wb)$ है और क्षेत्रफल $A$ का मात्रक वर्ग मीटर $(m^2)$ है,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता $B$ का मात्रक $\frac{Wb}{m^2}$ (जिसे टेस्ला के रूप में भी जाना जाता है) होता है।

(A) दिया है,$B = 2 \text{ mT} = 2 \times 10^{-3} \text{ T}$.
त्रिज्या $R = \frac{10}{\sqrt{\pi}} \text{ cm} = \frac{10}{\sqrt{\pi}} \times 10^{-2} \text{ m} = \frac{10^{-1}}{\sqrt{\pi}} \text{ m}$.
वृत्ताकार अनुप्रस्थ काट $S_3$ का क्षेत्रफल $A = \pi R^2 = \pi \times \left(\frac{10^{-1}}{\sqrt{\pi}}\right)^2 = \pi \times \frac{10^{-2}}{\pi} = 10^{-2} \text{ m}^2$.
अर्धगोले $S_1$ के लिए,चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं सतह में प्रवेश करती हैं। क्षेत्रफल सदिश (बाहर की ओर लंब) और चुंबकीय क्षेत्र सदिश के बीच का कोण $180^{\circ}$ है।
फ्लक्स $\Phi_{S_1} = B A \cos(180^{\circ}) = (2 \times 10^{-3} \text{ T}) \times (10^{-2} \text{ m}^2) \times (-1) = -2 \times 10^{-5} \text{ Wb} = -20 \times 10^{-6} \text{ Wb} = -20 \mu \text{ Wb}$.
चूंकि एक बंद सतह से गुजरने वाला कुल चुंबकीय फ्लक्स शून्य होता है (चुंबकत्व के लिए गॉस का नियम),शंकु $S_2$ से बाहर निकलने वाला फ्लक्स अर्धगोले $S_1$ में प्रवेश करने वाले फ्लक्स के परिमाण के बराबर होगा।
इसलिए,$\Phi_{S_1} + \Phi_{S_2} = 0 \implies \Phi_{S_2} = -\Phi_{S_1} = +20 \mu \text{ Wb}$.

(A) $Y-Z$ तल में स्थित $2 \ m$ भुजा वाले वर्गाकार लूप का क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$,$X$-अक्ष की दिशा में होता है।
$\vec{A} = (2 \times 2) \hat{i} = 4 \hat{i} \ m^2$.
चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B} = (5 \hat{i} + 3 \hat{j} - 4 \hat{k}) \ T$ दिया गया है।
चुंबकीय फ्लक्स $\phi$,चुंबकीय क्षेत्र और क्षेत्रफल सदिश का अदिश गुणनफल होता है:
$\phi = \vec{B} \cdot \vec{A}$
$\phi = (5 \hat{i} + 3 \hat{j} - 4 \hat{k}) \cdot (4 \hat{i})$
$\phi = (5 \times 4) + (3 \times 0) + (-4 \times 0)$
$\phi = 20 \ Wb$.
अतः,चुंबकीय फ्लक्स का परिमाण $20 \ Wb$ है।