मूल बिंदु पर $\vec{m}$ द्विध्रुव आघूर्ण वाले बिंदु द्विध्रुव के चुंबकीय क्षेत्र के लिए,$R$ त्रिज्या वाले गोलाकार पृष्ठ के लिए गॉस के नियम का सत्यापन कीजिए।

(N/A) चुंबकत्व के लिए गॉस का नियम बताता है कि किसी भी बंद पृष्ठ से गुजरने वाला कुल चुंबकीय फ्लक्स शून्य होता है: $\oint \vec{B} \cdot d\vec{S} = 0$.
मान लीजिए कि मूल बिंदु $O$ पर $\vec{m} = m \hat{k}$ आघूर्ण वाला एक चुंबकीय द्विध्रुव स्थित है। $R$ त्रिज्या वाले गोले की सतह पर बिंदु $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ (जहाँ $OP$,$z$-अक्ष के साथ $\theta$ कोण बनाता है) इस प्रकार है:
$\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{m}{r^3} (2 \cos \theta \hat{r} + \sin \theta \hat{\theta})$.
गोलाकार सतह पर क्षेत्रफल अवयव $d\vec{S} = R^2 \sin \theta d\theta d\phi \hat{r}$ है।
अब,फ्लक्स $\Phi_B = \oint \vec{B} \cdot d\vec{S}$ की गणना करते हैं:
$\Phi_B = \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} \left( \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{m}{R^3} (2 \cos \theta \hat{r} + \sin \theta \hat{\theta}) \right) \cdot (R^2 \sin \theta d\theta d\phi \hat{r})$.
चूंकि $\hat{r} \cdot \hat{r} = 1$ और $\hat{\theta} \cdot \hat{r} = 0$:
$\Phi_B = \frac{\mu_0 m}{4\pi R} \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^{\pi} 2 \cos \theta \sin \theta d\theta$.
$\Phi_B = \frac{\mu_0 m}{4\pi R} (2\pi) \int_0^{\pi} \sin(2\theta) d\theta$.
$\Phi_B = \frac{\mu_0 m}{2R} \left[ -\frac{\cos(2\theta)}{2} \right]_0^{\pi} = \frac{\mu_0 m}{4R} [-\cos(2\pi) + \cos(0)] = \frac{\mu_0 m}{4R} [-1 + 1] = 0$.
इस प्रकार,चुंबकत्व के लिए गॉस का नियम सत्यापित होता है।