Magnetic Flux and Gauss law for Magnetism Questions in Hindi

(A) चुंबकत्व के लिए गॉस का नियम बताता है कि किसी भी बंद सतह से गुजरने वाला कुल चुंबकीय फ्लक्स हमेशा शून्य होता है।
इसका कारण यह है कि चुंबकीय मोनोपोल (एकल ध्रुव) का अस्तित्व नहीं होता है; चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं हमेशा निरंतर बंद लूप बनाती हैं।
गणितीय रूप से,इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:
$\oint \vec{B} \cdot d\vec{s} = 0$
जहाँ $\vec{B}$ चुंबकीय क्षेत्र है और $d\vec{s}$ क्षेत्रफल सदिश है।

(D) कुंडली से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $\phi$,$\phi = \vec{B} \cdot \vec{A} = BA \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\vec{B}$ और क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$ के बीच का कोण है।
जब कुंडली का तल चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत होता है,तो क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$,चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के समानांतर होता है,जिसका अर्थ है $\theta = 0^{\circ}$।
$\theta = 0^{\circ}$ पर,$\cos 0^{\circ} = 1$ होता है,इसलिए फ्लक्स $\phi = BA$ अधिकतम होता है,न्यूनतम नहीं।
चूंकि कथन में कहा गया है कि तल लंबवत होने पर फ्लक्स न्यूनतम होता है,इसलिए कथन $(A)$ असत्य है।
कारण $(R)$ में फ्लक्स और प्रेरित emf के लिए सही सूत्र दिए गए हैं,इसलिए $(R)$ सत्य है।
अतः,कथन $(A)$ असत्य है और कारण $(R)$ सत्य है।

(D) चुंबकीय फ्लक्स $(\Phi_B)$ को चुंबकीय क्षेत्र सदिश $(\vec{B})$ और क्षेत्रफल सदिश $(\vec{A})$ के अदिश गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो $\Phi_B = \vec{B} \cdot \vec{A} = BA \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि यह दो सदिशों का अदिश गुणनफल है, इसलिए चुंबकीय फ्लक्स एक अदिश राशि है। अतः, कथन $(A)$ असत्य है।
चुंबकीय फ्लक्स का मान चुंबकीय क्षेत्र और क्षेत्रफल सदिश के बीच के कोण $\theta$ पर निर्भर करता है। चूंकि $\cos \theta$ धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य हो सकता है, इसलिए चुंबकीय फ्लक्स भी धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य हो सकता है। अतः, कारण $(R)$ सत्य है।

(B) चुंबकीय फ्लक्स $\phi(t) = at^2 + bt + c$ द्वारा दिया गया है।
यह पता लगाने के लिए कि फ्लक्स किस समय अधिकतम है, हम $t$ के सापेक्ष $\phi$ का अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{d\phi}{dt} = 2at + b = 0$.
$t$ के लिए हल करने पर, हमें $t = -\frac{b}{2a}$ प्राप्त होता है।
प्रश्न के अनुसार, फ्लक्स $t = 2 \,s$ पर अपना अधिकतम मान प्राप्त करता है।
इसलिए, $2 = -\frac{b}{2a}$.
इस समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें $4a = -b$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है कि $a = -\frac{b}{4}$।

(D) $\text{I धारा वाले r त्रिज्या के छोटे वृत्ताकार लूप की अक्ष पर x दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र } B_1 = \frac{\mu_0 I r^2}{2 x^3} \text{ द्वारा दिया जाता है।}
\text{दिया गया है: } r = 0.3 \,cm = 0.3 \times 10^{-2} \,m, I = 2 \,A, x = 15 \,cm = 0.15 \,m.
B_1 = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 2 \times (0.3 \times 10^{-2})^2}{2 \times (0.15)^3} = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 2 \times 0.09 \times 10^{-4}}{2 \times 0.003375} \approx 6.7 \times 10^{-9} \,T.
R = 20 \,cm = 0.2 \,m \text{ त्रिज्या वाले बड़े लूप से जुड़ा फ्लक्स } \phi_2 = B_1 \times A_2 = B_1 \times \pi R^2 \text{ है।}
\phi_2 = (6.7 \times 10^{-9}) \times \pi \times (0.2)^2 \approx 0.84 \times 10^{-9} \,Wb.
\text{गणना के अनुसार, सही विकल्प D है।}$

(C) प्रकृति में,विद्युत आवेश अलग-अलग एकलध्रुव (धनात्मक या ऋणात्मक) के रूप में मौजूद हो सकते हैं। हालाँकि,चुंबकीय क्षेत्र धारा लूप या आंतरिक स्पिन द्वारा उत्पन्न होते हैं,जो हमेशा द्विध्रुव बनाते हैं। चुंबकीय एकलध्रुव कभी भी प्रयोगात्मक रूप से नहीं देखे गए हैं,और चुंबकत्व के लिए गॉस का नियम बताता है कि किसी भी बंद सतह से गुजरने वाला कुल चुंबकीय फ्लक्स शून्य होता है,जिसका अर्थ है कि चुंबकीय एकलध्रुव का अस्तित्व नहीं है।

(D) एक कुंडली से संबद्ध चुंबकीय फ्लक्स $\phi$ का सूत्र $\phi = N \vec{B} \cdot \vec{A} = N B A \cos \theta$ है,जहाँ $\theta$ चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\vec{B}$ और क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$ के बीच का कोण है।
क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$ हमेशा कुंडली के तल के लंबवत होता है।
चूंकि कुंडली का तल चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के समानांतर है,इसलिए क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$ और चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के बीच का कोण $90^\circ$ होगा।
अतः,$\theta = 90^\circ$ है।
इस मान को सूत्र में रखने पर: $\phi = N B A \cos(90^\circ) = N B A (0) = 0$.
इस प्रकार,कुंडली से संबद्ध चुंबकीय फ्लक्स शून्य है।

(B) चुंबकीय फ्लक्स $\phi$ का सूत्र $\phi = \vec{B} \cdot \vec{A} = BA \cos \theta$ है।
यहाँ,चुंबकीय क्षेत्र $B = 2 \text{ T}$ क्षेत्रफल के लंबवत है,इसलिए कोण $\theta = 0^{\circ}$ और $\cos 0^{\circ} = 1$ होगा।
समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$ है।
दिया गया है आधार $= 2 \text{ cm} = 2 \times 10^{-2} \text{ m}$ और ऊंचाई $= 1 \text{ cm} = 1 \times 10^{-2} \text{ m}$।
$A = \frac{1}{2} \times (2 \times 10^{-2} \text{ m}) \times (1 \times 10^{-2} \text{ m}) = 1 \times 10^{-4} \text{ m}^2$।
अब,फ्लक्स की गणना करने पर: $\phi = 2 \text{ T} \times (1 \times 10^{-4} \text{ m}^2) \times 1 = 2 \times 10^{-4} \text{ Wb}$।

(D) $I$ धारा ले जाने वाले अनंत लंबाई के सीधे तार के कारण तार से $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
इस प्रश्न में,तार $Y$-अक्ष पर स्थित है। चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं $xz$-तल में $Y$-अक्ष पर केंद्रित वृत्त हैं।
वृत्ताकार लूप $xy$-तल में है। लूप पर किसी भी बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\vec{B}$,$xz$-तल में होता है (विशेष रूप से,यह $Y$-अक्ष और तार से त्रिज्यीय सदिश के लंबवत होता है)।
$xy$-तल में लूप का क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$,$Z$-अक्ष की दिशा में होता है (अर्थात,$\vec{A} = A \hat{k}$)।
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ हमेशा $xz$-तल में होता है और क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$,$Z$-अक्ष के साथ होता है,इसलिए लूप के प्रत्येक बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$,क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$ के लंबवत होता है।
अतः,चुंबकीय फ्लक्स $\phi_B = \int \vec{B} \cdot d\vec{A} = \int B dA \cos(90^\circ) = 0$ होगा।

(A) चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं निरंतर होती हैं और बंद लूप बनाती हैं क्योंकि प्रकृति में कोई पृथक चुंबकीय आवेश (चुंबकीय मोनोपोल) मौजूद नहीं है।
चुंबकत्व के लिए गॉस के नियम के अनुसार,किसी भी बंद सतह से गुजरने वाला कुल चुंबकीय फ्लक्स शून्य होता है,जिसका अर्थ है कि चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं निरंतर होनी चाहिए और उनका कोई आदि या अंत नहीं हो सकता है।
चूंकि चुंबकीय मोनोपोल मौजूद नहीं हैं,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं किसी एक बिंदु से शुरू नहीं हो सकती हैं और न ही किसी एक बिंदु पर समाप्त हो सकती हैं,इस प्रकार वे बंद लूप बनाती हैं।
इसलिए,कारण कथन की सही व्याख्या है।