Faraday's and Lenz's Law Questions in Gujarati

(A) આપેલ છે: ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = 2t^2 - 5t + 1$ અને અવરોધ $R = 10 \ \Omega$.
ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ (emf) $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\phi$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{d\phi}{dt} = \frac{d}{dt}(2t^2 - 5t + 1) = 4t - 5$.
તેથી,$\varepsilon = -(4t - 5) = 5 - 4t$.
$t = 0.25 \ s$ સમયે,પ્રેરિત emf $\varepsilon = 5 - 4(0.25) = 5 - 1 = 4 \ V$ થાય.
પ્રેરિત પ્રવાહ $I$ નું મૂલ્ય $I = \frac{|\varepsilon|}{R}$ દ્વારા મળે છે.
$I = \frac{4 \ V}{10 \ \Omega} = 0.4 \ A$.

(A) લેન્ઝના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત પ્રવાહની દિશા એવી હોય છે કે તે ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતા ફેરફારનો વિરોધ કરે છે જે તેને ઉત્પન્ન કરે છે.
$(i)$ લંબચોરસ લૂપ $abcd$ ચુંબકીય ક્ષેત્રના વિસ્તારમાં અંદરની તરફ ગતિ કરી રહ્યું છે. લૂપમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ વધે છે. આ વધારાનો વિરોધ કરવા માટે,પ્રેરિત પ્રવાહે પાનાની બહારની દિશામાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરવું જોઈએ. જમણા હાથના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત પ્રવાહ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં એટલે કે $adcba$ માર્ગે વહે છે.
(ii) ત્રિકોણાકાર લૂપ $abc$ ચુંબકીય ક્ષેત્રના વિસ્તારમાંથી બહારની તરફ ગતિ કરી રહ્યું છે. લૂપમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ ઘટે છે. આ ઘટાડાનો વિરોધ કરવા માટે,પ્રેરિત પ્રવાહે પાનાની અંદરની દિશામાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરવું જોઈએ. જમણા હાથના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત પ્રવાહ ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં એટલે કે $abc$ માર્ગે વહે છે.
(iii) અનિયમિત આકારનું લૂપ $abcd$ ચુંબકીય ક્ષેત્રના વિસ્તારમાંથી બહારની તરફ ગતિ કરી રહ્યું છે. લૂપમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ ઘટે છે. આ ઘટાડાનો વિરોધ કરવા માટે,પ્રેરિત પ્રવાહે પાનાની અંદરની દિશામાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરવું જોઈએ. જમણા હાથના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત પ્રવાહ ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં એટલે કે $abcda$ માર્ગે વહે છે.

(A) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,ઉદ્ભવતું પ્રેરિત $EMF$ $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રેરિત $EMF$ નું મૂલ્ય લેતા:
$|\varepsilon| = \left| \frac{d}{dt}(3t^2 + 2t + 5) \right|$
$|\varepsilon| = 6t + 2$
$t = 2 \text{ s}$ સમયે,પ્રેરિત $EMF$:
$|\varepsilon| = 6(2) + 2 = 14 \text{ V}$
ઓમના નિયમ મુજબ પ્રેરિત પ્રવાહ $I = \frac{|\varepsilon|}{R}$ છે.
અહીં $R = 14 \ \Omega$ આપેલ છે,તેથી:
$I = \frac{14 \text{ V}}{14 \ \Omega} = 1 \text{ A}$.

(B) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ (emf) $\varepsilon$ એ ચુંબકીય ફ્લક્સના ફેરફારના દર જેટલું હોય છે: $\varepsilon = |\frac{d\phi}{dt}|$.
આપેલ છે કે $\phi(t) = 2t^2 + 2t + 1$,તેથી $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\varepsilon = |\frac{d}{dt}(2t^2 + 2t + 1)| = |4t + 2|$.
$t = 2 \ s$ સમયે,પ્રેરિત emf:
$\varepsilon = 4(2) + 2 = 10 \ V$.
ઓમના નિયમ મુજબ,પ્રવાહ $i = \frac{\varepsilon}{R}$.
અવરોધ $R = 10 \ \Omega$ આપેલ હોવાથી,પ્રવાહ:
$i = \frac{10 \ V}{10 \ \Omega} = 1 \ A$.

$(A)$ આપેલ છે: આંટાની સંખ્યા $n = 100$, ક્ષેત્રફળ $A = 0.1 \,m \times 0.05 \,m = 0.005 \,m^{2}$.
પ્રારંભિક ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{1} = 0.1 \,T$, અંતિમ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{2} = 0.05 \,T$, અને સમયગાળો $dt = 0.05 \,s$.
ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ નું સૂત્ર $\phi = nBA \cos \theta$ છે। કોઈલ ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ હોવાથી, ખૂણો $\theta = 0^{\circ}$ થશે, તેથી $\cos 0^{\circ} = 1$.
ફેરાડેના નિયમ મુજબ પ્રેરિત e.m.f. $e = \left| -\frac{d\phi}{dt} \right| = nA \frac{|dB|}{dt}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $e = 100 \times 0.005 \times \frac{(0.1 - 0.05)}{0.05}$.
$e = 0.5 \times \frac{0.05}{0.05} = 0.5 \,V$.

(A) લેન્ઝના નિયમ અનુસાર,કોઈલમાં પ્રેરિત પ્રવાહ હંમેશા ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતા ફેરફારનો વિરોધ કરે છે જે તેને ઉત્પન્ન કરે છે.
જ્યારે ચુંબકનો ઉત્તર ધ્રુવ કોઈલ તરફ ધકેલવામાં આવે છે,ત્યારે કોઈલમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ વધે છે,અને પ્રેરિત પ્રવાહ આ વધારાનો વિરોધ કરવા માટે વહે છે.
જ્યારે ચુંબકને કોઈલથી દૂર ખેંચવામાં આવે છે,ત્યારે કોઈલમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ ઘટે છે. આ ઘટાડાનો વિરોધ કરવા માટે,પ્રેરિત પ્રવાહ પ્રથમ કિસ્સાની વિરુદ્ધ દિશામાં વહે છે.
તેથી,જ્યારે ચુંબકને અંદર ધકેલવામાં આવ્યો ત્યારે ગેલ્વેનોમીટરની સોય $X$ તરફ કોણાવર્તન પામી હતી,તેથી જ્યારે ચુંબકને દૂર ખેંચવામાં આવે ત્યારે તે વિરુદ્ધ દિશામાં એટલે કે $X^1$ તરફ કોણાવર્તન પામશે.

(C) લાંબા સીધા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત વાહક દ્વારા $r$ અંતરે ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ રીંગ વાહક તરફ નીચે પડે છે,તેમ અંતર $r$ ઘટે છે,જેના કારણે રીંગમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ વધે છે.
જમણા હાથના નિયમ મુજબ,વાહકમાંથી નીકળતી ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ તે વિસ્તારમાં કાગળના સમતલની બહારની તરફ હોય છે જ્યાં રીંગ આવેલી છે.
રીંગ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ બહારની દિશામાં વધી રહ્યું હોવાથી,લેન્ઝના નિયમ મુજબ,રીંગમાં પ્રેરિત વિદ્યુતપ્રવાહ કાગળના સમતલની અંદરની તરફ ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરશે જેથી આ વધારાનો વિરોધ કરી શકાય.
જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,કાગળના સમતલની અંદરની તરફ નિર્દેશિત ચુંબકીય ક્ષેત્ર રીંગમાં સમઘડી (clockwise) પ્રેરિત વિદ્યુતપ્રવાહ સૂચવે છે.

(B) આપેલ છે: પ્રેરિત પ્રવાહ $I = 2 \text{ A}$,અવરોધ $R = 10 \text{ } \Omega$,સમયગાળો $\Delta t = 1 \text{ ms} = 10^{-3} \text{ s}$.
ફેરાડેના પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત emf નું મૂલ્ય $|\varepsilon| = \frac{\Delta \phi}{\Delta t}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\varepsilon| = I R$,તેથી $I R = \frac{\Delta \phi}{\Delta t}$.
આથી,ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતો ફેરફાર $\Delta \phi = I R \Delta t$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta \phi = 2 \times 10 \times 10^{-3} \text{ Wb}$.
$\Delta \phi = 20 \times 10^{-3} \text{ Wb} = 2 \times 10^{-2} \text{ Wb}$.

(D) આપેલ છે: ચુંબકીય ફ્લક્સ ઘનતા, $B = 1.0 \,Wb \,m^{-2}$
આંટાની સંખ્યા, $N = 80$
કોઈલનું ક્ષેત્રફળ, $A = 0.01 \,m^2$
સમયગાળો, $\Delta t = 0.2 \,s$
ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ, પ્રેરિત emf નું મૂલ્ય નીચે મુજબ છે:
$|e| = N \frac{|\Delta \phi|}{\Delta t}$
કોઈલને ક્ષેત્રમાંથી દૂર કરવામાં આવતી હોવાથી, અંતિમ ફ્લક્સ $0$ થાય છે।
ફ્લક્સમાં ફેરફાર, $\Delta \phi = B \cdot A - 0 = 1.0 \times 0.01 = 0.01 \,Wb$
કિંમતો મૂકતા:
$|e| = \frac{80 \times 0.01}{0.2} = \frac{0.8}{0.2} = 4 \,V$

(B) આપેલ છે,ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = 3t^{2} + 4t + 9$.
ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત emf નું મૂલ્ય $\varepsilon = \left| \frac{d\phi}{dt} \right|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સૌ પ્રથમ,ફ્લક્સના સમીકરણનું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d\phi}{dt} = \frac{d}{dt}(3t^{2} + 4t + 9) = 6t + 4$.
હવે,$t = 2 \text{ s}$ કિંમત વિકલનમાં મૂકતા:
$\varepsilon = |6(2) + 4| = |12 + 4| = 16 \text{ V}$.
આમ,$t = 2 \text{ s}$ સમયે પ્રેરિત emf નું મૂલ્ય $16 \text{ V}$ છે.

(C) લેન્ઝના નિયમ મુજબ,ગૂંચળા $B$ માં પ્રેરિત વિદ્યુતપ્રવાહ તેને ઉત્પન્ન કરનાર કારણનો વિરોધ કરશે.
જેમ ગૂંચળા $A$ માં વિદ્યુતપ્રવાહ વધે છે,તેમ ગૂંચળા $B$ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં વધારો થાય છે.
આ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતા વધારાનો વિરોધ કરવા માટે,ગૂંચળા $B$ માં પ્રેરિત વિદ્યુતપ્રવાહ ગૂંચળા $A$ ના વિદ્યુતપ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં વહે છે.
બે ગૂંચળાઓની નજીકની બાજુઓમાં વિદ્યુતપ્રવાહ વિરુદ્ધ દિશામાં વહેતો હોવાથી,તેઓ એકબીજા પર અપાકર્ષણ બળ લગાડે છે.
તેથી,ગૂંચળું $B$ અપાકર્ષાય છે.

(A) આપેલ પરિમિતિ માટે,તમામ સમતલ આકારોમાં વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ મહત્તમ હોય છે. જેમ અનિયમિત લૂપ વર્તુળાકાર લૂપમાં બદલાય છે,તેમ તેનું ક્ષેત્રફળ $A$ વધે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ સમાન છે અને કાગળના સમતલની અંદરની તરફ છે,તેથી ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A$ વધે છે.
લેન્ઝના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત પ્રવાહ ફ્લક્સમાં થતા આ વધારાનો વિરોધ કરવા માટે ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરશે.
તેથી,પ્રેરિત ચુંબકીય ક્ષેત્ર કાગળના સમતલની બહારની તરફ હોવું જોઈએ.
જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,કાગળના સમતલની બહારની તરફનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર વિષમઘડી પ્રેરિત પ્રવાહ સૂચવે છે.

(C) જ્યારે ગજિયો ચુંબક તાંબાના ગૂંચળામાંથી નીચે પડે છે, ત્યારે ગૂંચળા સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં ફેરફાર થાય છે.
ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ, ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતો આ ફેરફાર ગૂંચળામાં વિદ્યુતચાલક બળ (emf) અને પરિણામે પ્રેરિત પ્રવાહ ઉત્પન્ન કરે છે.
લેન્ઝના નિયમ મુજબ, આ પ્રેરિત પ્રવાહની દિશા એવી હોય છે કે તે તેને ઉત્પન્ન કરનાર કારણનો વિરોધ કરે છે, જે પડતા ચુંબકની ગતિ છે.
આ પ્રેરિત પ્રવાહ એક ચુંબકીય ક્ષેત્ર બનાવે છે જે પડતા ચુંબક પર ઉપરની તરફ અપાકર્ષી બળ લગાડે છે.
તેથી, ચુંબક પર લાગતું ચોખ્ખું નીચેની તરફનું બળ $F_{net} = mg - F_{repulsive}$ છે.
ગુરુત્વાકર્ષણનો વિરોધ કરતું ઉપરની તરફનું બળ હોવાથી, ચુંબકનો ચોખ્ખો પ્રવેગ $a$ એ $a = \frac{F_{net}}{m} = g - \frac{F_{repulsive}}{m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ, ચુંબકનો ચોખ્ખો પ્રવેગ $g$ કરતા ઓછો હોય છે.

(A) લૂપમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = \vec{B} \cdot \vec{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે, ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A} = (10 \times 10^{-4} \,m^2) \hat{k}$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B} = B \hat{n}$, જ્યાં $\hat{n}$ એ $\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ ની દિશામાં એકમ સદિશ છે.
તેથી, $\vec{B} = 1.73 \times \frac{\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}}{\sqrt{3}} \,T$.
પ્રારંભિક ફ્લક્સ $\phi_i = \vec{B} \cdot \vec{A} = \left( \frac{1.73}{\sqrt{3}} (\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) \right) \cdot (10^{-3} \hat{k}) = \frac{1.73}{\sqrt{3}} \times 10^{-3} \,Wb$.
કારણ કે $\sqrt{3} \approx 1.732$, તેથી $\phi_i \approx 10^{-3} \,Wb$.
અંતિમ ફ્લક્સ $\phi_f = 0$ કારણ કે ક્ષેત્ર ઘટીને શૂન્ય થાય છે.
પ્રેરિત emf $|e| = \left| -\frac{\Delta \phi}{\Delta t} \right| = \frac{\phi_i - \phi_f}{\Delta t} = \frac{10^{-3} \,Wb - 0}{10 \,s} = 10^{-4} \,V = 0.1 \,mV$.

(C) કોઈલ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi_B$ એ $\phi_B = \vec{B} \cdot \vec{A} = BA \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}$ અને ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
જ્યારે કોઈલનું સમતલ ચુંબકીય ક્ષેત્રને સમાંતર હોય,ત્યારે ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ (જે સમતલને લંબ હોય છે) તે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ને લંબ હોય છે. આમ,$\theta = 90^\circ$ અને $\phi_B = BA \cos 90^\circ = 0$ થાય.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર સમાન હોવાથી અને કોઈલ ક્ષેત્રને સમાંતર સમતલમાં રહીને ત્રિજ્યાવર્તી રીતે વિસ્તરે છે,તેથી ફ્લક્સ હંમેશા શૂન્ય રહે છે. તેથી,પ્રેરિત emf $\varepsilon = -\frac{d\phi_B}{dt} = 0$ થાય.
આમ,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
કારણ $(R)$ જણાવે છે કે કોઈલના સમતલને લંબ દિશામાં અચળ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે. જો આ સાચું હોત,તો ફ્લક્સ $\phi_B = BA$ હોત,અને કોઈલના વિસ્તરણથી ક્ષેત્રફળ $A$ બદલાત,જેનાથી emf પ્રેરિત થાત. પ્રશ્ન મુજબ સમતલ ક્ષેત્રને સમાંતર હોવાથી,કારણ $(R)$ ખોટું છે.

(B) જ્યારે તાંબાના સળિયાને ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરાવવામાં આવે છે,ત્યારે ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(emf)$ પ્રેરિત થાય છે.
ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત $emf$ $(e)$ એ $e = -\frac{d\phi}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સળિયાનો અવરોધ $(R)$ હોવાથી,પ્રેરિત પ્રવાહ $(i)$ એ $i = \frac{e}{R} = -\frac{1}{R} \frac{d\phi}{dt}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રવાહ એ વિદ્યુતભારના વહનનો દર છે,તેથી $i = \frac{dQ}{dt}$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\frac{dQ}{dt} = -\frac{1}{R} \frac{d\phi}{dt}$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ એ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતા ફેરફાર $\Delta\phi$ ના પ્રમાણમાં હોય છે.
આમ,વિદ્યુતભારના વહનનો તત્કાલીન દર એ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતા ફેરફારના દર,$\frac{d\phi}{dt}$ ના પ્રમાણમાં હોય છે.

(D) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત emf $e$ નું મૂલ્ય $e = \frac{\Delta \phi}{\Delta t}$ છે.
પરિપથનો અવરોધ $R$ હોવાથી,પ્રેરિત પ્રવાહ $i = \frac{e}{R} = \frac{\Delta \phi}{R \Delta t}$ થાય.
$\Delta t$ સમયમાં પરિપથમાંથી પસાર થતો કુલ વિદ્યુતભાર $Q = i \Delta t$ છે.
$i$ ની કિંમત મૂકતા,$Q = \left( \frac{\Delta \phi}{R \Delta t} \right) \Delta t = \frac{\Delta \phi}{R}$ મળે છે.

(C) આપેલ છે:
આંટાની સંખ્યા $N = 45$
ત્રિજ્યા $r = 4 \ cm = 0.04 \ m$
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi \times (0.04)^2 = 16\pi \times 10^{-4} \ m^2$
પ્રારંભિક ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = 0 \ T$
અંતિમ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = 0.70 \ T$
સમયગાળો $\Delta t = 220 \ s$
ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A \cdot \cos(\theta)$. ગૂંચળાનું સમતલ ક્ષેત્રને લંબ હોવાથી,ખૂણો $\theta = 0^\circ$ થશે,તેથી $\cos(0^\circ) = 1$.
ફ્લક્સમાં ફેરફાર $\Delta \phi = A(B_2 - B_1) = 16\pi \times 10^{-4} \times (0.70 - 0) = 11.2\pi \times 10^{-4} \ Wb$.
ફેરાડેના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત emf $\varepsilon = -N \frac{\Delta \phi}{\Delta t}$.
emf નું મૂલ્ય $|\varepsilon| = \frac{45 \times 11.2\pi \times 10^{-4}}{220}$.
$|\varepsilon| = \frac{504\pi \times 10^{-4}}{220} \approx \frac{1583.36 \times 10^{-4}}{220} \approx 7.2 \times 10^{-4} \ V = 0.72 \ mV$.

(B) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = 50t^2 + 4$ આપેલ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં $\phi$ નું વિકલન કરતા:
$\frac{d\phi}{dt} = \frac{d}{dt}(50t^2 + 4) = 100t$.
પ્રેરિત $EMF$ નું મૂલ્ય $|\varepsilon| = |-\frac{d\phi}{dt}| = 100t$ થાય.
$t = 2 \ s$ સમયે,પ્રેરિત $EMF$ $|\varepsilon| = 100(2) = 200 \ V$ મળે.
ઓહ્મના નિયમ મુજબ પ્રેરિત પ્રવાહ $I = \frac{|\varepsilon|}{R}$ છે.
અવરોધ $R = 200 \ \Omega$ આપેલ છે.
તેથી,$I = \frac{200 \ V}{200 \ \Omega} = 1 \ A$.

(C) એક લૂપમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A \cdot \cos(\theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોઈલનું સમતલ ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ હોવાથી,ક્ષેત્રફળ સદિશ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 0^\circ$ છે,તેથી $\cos(0^\circ) = 1$.
આમ,$\phi = B \cdot A$.
$N$ આંટા ધરાવતી કોઈલમાં પ્રેરિત emf $\epsilon$ ફેરાડેના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\epsilon = -N \frac{d\phi}{dt}$.
અહીં,$N = 100$,ક્ષેત્રફળ $A = (10 \ cm)^2 = (0.1 \ m)^2 = 0.01 \ m^2$,અને ચુંબકીય ક્ષેત્રના બદલાવાનો દર $\frac{dB}{dt} = 0.7 \ T \ s^{-1}$.
આ કિંમતો મૂકતા: $\epsilon = N \cdot A \cdot \frac{dB}{dt} = 100 \times 0.01 \times 0.7$.
$\epsilon = 1 \times 0.7 = 0.7 \ V$.

(B) જ્યારે સમાન દિશામાં પ્રવાહ વહેવડાવતા બે સહ-અક્ષીય ગૂંચળાઓને એકબીજાની નજીક લાવવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ગૂંચળા સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં વધારો થાય છે.
લેન્ઝના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત $EMF$ આ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતા ફેરફારનો વિરોધ કરશે.
ફ્લક્સમાં થતા વધારાનો વિરોધ કરવા માટે,પ્રેરિત પ્રવાહ દરેક ગૂંચળામાં મૂળ પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં વહે છે.
પરિણામે,બંને ગૂંચળાઓમાં ચોખ્ખો પ્રવાહ ઘટે છે.

(D) લેન્ઝનો નિયમ જણાવે છે કે પ્રેરિત પ્રવાહની દિશા એવી હોય છે કે તે તેને ઉત્પન્ન કરતા ચુંબકીય ફ્લક્સના ફેરફારનો વિરોધ કરે છે.
આ નિયમ ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનું સીધું પરિણામ છે.
જો પ્રેરિત પ્રવાહ ચુંબકીય ફ્લક્સના ફેરફારમાં મદદ કરતો હોત,તો તે શાશ્વત ગતિના યંત્ર તરફ દોરી જાત,જે ઉર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંતનું ઉલ્લંઘન કરે છે.
તેથી,પ્રેરિત ચુંબકીય બળની વિરુદ્ધ ચુંબકને ખસેડવામાં કરવામાં આવેલ કાર્યનું વિદ્યુત ઉર્જામાં રૂપાંતર થાય છે,જે ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનું પાલન કરે છે.

(A) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ અનુસાર,એક આંટામાં પ્રેરિત emf $\varepsilon = -\frac{d \phi_{B}}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$N$ આંટા ધરાવતા ગૂંચળા માટે,ગૂંચળા સાથે સંકળાયેલ કુલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $N \phi_{B}$ થાય છે.
તેથી,કુલ પ્રેરિત emf $\varepsilon$ એ કુલ ફ્લક્સ સાંકળણના ફેરફારના દર દ્વારા મળે છે:
$\varepsilon = -\frac{d}{dt} (N \phi_{B}) = -N \frac{d \phi_{B}}{dt}$.

(A) લાંબા સોલેનોઇડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 n i$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે અને $i$ એ પ્રવાહ છે.
અહીં,$n = 200 \ \text{turns/cm} = 20000 \ \text{turns/m}$.
વર્તુળાકાર ગૂંચળા સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = N B A$ છે,જ્યાં $N = 100$ એ ગૂંચળાના આંટાની સંખ્યા છે અને $A = \pi r^2$ એ ગૂંચળાનું ક્ષેત્રફળ છે,જેમાં $r = 0.03 \ m$ છે.
તેથી,$\phi = N (\mu_0 n i) (\pi r^2)$.
ફેરાડેના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત $EMF$ $\varepsilon = -\frac{\Delta \phi}{\Delta t}$ છે.
પ્રેરિત પ્રવાહ $I_{ind} = \frac{|\varepsilon|}{R} = \frac{N \mu_0 n \pi r^2}{R} \times \frac{\Delta i}{\Delta t}$.
કિંમતો મૂકતા: $I_{ind} = \frac{100 \times (4 \pi \times 10^{-7}) \times 20000 \times \pi \times (0.03)^2}{4} \times \frac{2 - 0}{0.04}$.
$I_{ind} = \frac{100 \times 4 \pi \times 10^{-7} \times 20000 \times \pi \times 0.0009}{4} \times 50$.
$I_{ind} = 9 \pi^2 \times 10^{-3} \ A = 9 \pi^2 \ mA$.

(B) આપેલ છે: વર્તુળાકાર લૂપની ત્રિજ્યા $r = 14 \ cm = 0.14 \ m$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રના બદલાવાનો દર $\frac{dB}{dt} = 0.05 \ Ts^{-1}$.
ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત emf નું મૂલ્ય $|e| = \frac{d\phi}{dt}$ દ્વારા મળે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર લૂપના સમતલને લંબ હોવાથી,ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A$ થાય.
તેથી,$|e| = \frac{d}{dt}(BA) = A \frac{dB}{dt}$.
લૂપનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \frac{22}{7} \times (0.14)^2 = \frac{22}{7} \times 0.0196 = 0.0616 \ m^2$.
કિંમતો મૂકતા: $|e| = 0.0616 \times 0.05 = 0.00308 \ V$.
મિલીવોલ્ટમાં રૂપાંતર કરતા: $|e| = 3.08 \times 10^{-3} \ V = 3.08 \ mV$.

(A) પ્રેરિત પ્રવાહ $i = \frac{e}{R} = \frac{1}{R} \frac{d\phi}{dt} = \frac{A}{R} \frac{dB}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં, $A$ એ લૂપનું ક્ષેત્રફળ છે: $A = \pi r^2 = \pi \times (0.05 \text{ m})^2 = 25\pi \times 10^{-4} \text{ m}^2$.
તારનો અવરોધ $R = \frac{\rho l}{a}$ છે, જ્યાં $l = 2\pi r$ અને $a = \pi (r_{wire})^2$.
$l = 2 \times \pi \times 0.05 = 0.1\pi \text{ m}$.
$a = \pi \times (10^{-3} \text{ m})^2 = \pi \times 10^{-6} \text{ m}^2$.
$R = \frac{2 \times 10^{-8} \times 0.1\pi}{\pi \times 10^{-6}} = 2 \times 10^{-3} \Omega$.
હવે, $\frac{dB}{dt} = \frac{iR}{A} = \frac{11 \times 2 \times 10^{-3}}{25\pi \times 10^{-4}} = \frac{22 \times 10^{-3}}{25 \times 3.14 \times 10^{-4}} \approx 2.8 \text{ T s}^{-1}$.

(D) ફેરાડેનો નિયમ જણાવે છે કે જ્યારે પણ પરિપથ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ સમય સાથે બદલાય છે ત્યારે પ્રેરિત $emf$ ઉત્પન્ન થાય છે.
$1$. પરિપથની નજીક ચુંબકને ગતિ કરાવવાથી ચુંબકીય ફ્લક્સ બદલાય છે,આમ $emf$ પ્રેરિત થાય છે.
$2$. ચુંબકની નજીક પરિપથને ગતિ કરાવવાથી પણ ચુંબકીય ફ્લક્સ બદલાય છે,આમ $emf$ પ્રેરિત થાય છે.
$3$. બીજા પરિપથની નજીક રાખેલા એક પરિપથમાં પ્રવાહ બદલવાથી ચુંબકીય ક્ષેત્ર બદલાય છે અને તેથી બીજા પરિપથમાં ચુંબકીય ફ્લક્સ બદલાય છે,જેનાથી $emf$ પ્રેરિત થાય છે.
$4$. પરિપથમાં મોટો પરંતુ અચળ પ્રવાહ જાળવી રાખવાથી અચળ ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન થાય છે. ચુંબકીય ફ્લક્સ સમય સાથે અચળ રહેતું હોવાથી,કોઈ પ્રેરિત $emf$ ઉત્પન્ન થતું નથી.
તેથી,સાચો જવાબ વિકલ્પ $D$ છે.

(D) આપેલ છે કે,લૂપ્સની સંખ્યા,$N = 500$.
ચોરસની બાજુ,$a = 10 \ cm = 0.1 \ m$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં વધારાનો દર,$\frac{dB}{dt} = 1 \ T/s$.
કોઈલને ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ રૂપે મૂકવામાં આવી હોવાથી,ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A$ થશે.
ફેરાડેના નિયમ મુજબ પ્રેરિત emf: $\varepsilon = -N \frac{d\phi}{dt} = -N \frac{d}{dt}(BA)$.
ક્ષેત્રફળ $A$ અચળ હોવાથી,$\varepsilon = -NA \frac{dB}{dt} = -N a^2 \frac{dB}{dt}$.
કિંમતો મૂકતા: $\varepsilon = -500 \times (0.1)^2 \times 1 = -5 \ V$.
પ્રેરિત emf નું મૂલ્ય $|\varepsilon| = 5 \ V$ થાય.

(A) લેન્ઝનો નિયમ જણાવે છે કે પ્રેરિત પ્રવાહ હંમેશા એવી દિશામાં વહે છે જે તેને ઉત્પન્ન કરતા ચુંબકીય ફ્લક્સના ફેરફારનો વિરોધ કરે છે.
આ વિરોધી બળને દૂર કરવા માટે,બાહ્ય યાંત્રિક કાર્ય કરવું પડે છે.
આ યાંત્રિક કાર્ય પરિપથમાં વિદ્યુત ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
ઉર્જાનું સર્જન કે વિનાશ થઈ શકતો નથી,પરંતુ તેનું એક સ્વરૂપમાંથી બીજા સ્વરૂપમાં રૂપાંતર થાય છે,તેથી લેન્ઝનો નિયમ એ ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનું સીધું પરિણામ છે.

(C) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ અનુસાર,સર્કિટમાં ઉત્પન્ન થતા ઇન્ડ્યુસ્ડ ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(emf)$ નું મૂલ્ય સર્કિટમાંથી પસાર થતા ચુંબકીય ફ્લક્સના સમય સાથેના ફેરફારના દર જેટલું હોય છે. ગાણિતિક રીતે,તેને $|\varepsilon| = |\frac{d\Phi_B}{dt}|$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે. તેથી,આપેલ વિધાન ફેરાડેના નિયમ સાથે સુસંગત છે.

(A) લેન્ઝના નિયમ અનુસાર,પ્રેરિત પ્રવાહની દિશા એવી હોય છે કે તે જે કારણથી ઉત્પન્ન થાય છે તેનો વિરોધ કરે છે.
તેથી,લેન્ઝનો નિયમ પ્રેરિત પ્રવાહની દિશા આપે છે.

(D) લેન્ઝનો નિયમ જણાવે છે કે પ્રેરિત પ્રવાહની દિશા એવી હોય છે કે તે તેને ઉત્પન્ન કરતા ચુંબકીય ફ્લક્સના ફેરફારનો વિરોધ કરે છે. જો પ્રેરિત પ્રવાહ ફેરફારને મદદ કરતો હોત,તો તે શૂન્યમાંથી ઊર્જા ઉત્પન્ન કરીને ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમનું ઉલ્લંઘન કરત. તેથી,લેન્ઝનો નિયમ એ ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમનું સીધું પરિણામ છે.

(B) ધારો કે લૂપની ત્રિજ્યા $r$ છે અને તારનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A_w$ છે.
લૂપનું દળ $m = (2 \pi r) A_w d$ છે,તેથી $A_w = \frac{m}{2 \pi r d}$.
લૂપનો અવરોધ $R = \rho \frac{l}{A_w} = \rho \frac{2 \pi r}{A_w} = \rho \frac{2 \pi r}{m / (2 \pi r d)} = \frac{4 \pi^2 r^2 \rho d}{m}$ થાય.
લૂપમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot \pi r^2$ છે.
પ્રેરિત ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt} = -\pi r^2 \frac{dB}{dt}$ છે.
પ્રેરિત પ્રવાહ $I = \frac{|\varepsilon|}{R} = \frac{\pi r^2 (dB/dt)}{4 \pi^2 r^2 \rho d / m} = \frac{m}{4 \pi \rho d} \left(\frac{dB}{dt}\right)$ મળે.

(B) ફેરાડેના નિયમ મુજબ,કોઈલમાં પ્રેરિત $emf$ $(\varepsilon)$ $\varepsilon = -N \frac{d\phi}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N$ એ આંટાઓની સંખ્યા છે.
જેમ આંટાઓની સંખ્યા $(N)$ વધે છે,તેમ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં ફેરફારના દર માટે પ્રેરિત $emf$ અને પરિણામે પ્રેરિત પ્રવાહ વધે છે.
લેન્ઝના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત પ્રવાહની દિશા એવી હોય છે કે તે તેને ઉત્પન્ન કરનાર કારણનો વિરોધ કરે છે,જે ચુંબકની ગતિ છે.
વધુ $N$ ને કારણે પ્રેરિત પ્રવાહ મજબૂત બને છે,તેથી વિરોધ કરતું ચુંબકીય બળ વધે છે,જેનાથી ચુંબકને કોઈલમાં ધકેલવો વધુ મુશ્કેલ બને છે.
આમ,$A$ અને $R$ બંને સાચા છે,અને $R$ એ $A$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(B) લાંબા સોલેનોઈડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 n I$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે અને $I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે。
આપેલ છે: $n = 100 \text{ turns/cm} = 10^4 \text{ turns/m}$, $I = \frac{4}{\pi} \,A$, અને $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \,T \cdot m/A$.
$B = (4\pi \times 10^{-7}) \times (10^4) \times (\frac{4}{\pi}) = 16 \times 10^{-3} \,T$.
$N$ આંટા અને $A$ ક્ષેત્રફળ ધરાવતી કોઈલ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi_B = N B A$ છે。
આપેલ છે: $N = 200$, $A = 25 \,cm^2 = 25 \times 10^{-4} \,m^2$.
જ્યારે વિદ્યુતપ્રવાહ ઉલટાવવામાં આવે છે, ત્યારે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ થી $-B$ માં બદલાય છે. ફ્લક્સમાં ફેરફાર $\Delta \phi_B = N(B - (-B))A = 2NBA$ છે。
પ્રેરિત emf $e$ ફેરાડેના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $e = \left| \frac{\Delta \phi_B}{\Delta t} \right| = \frac{2NBA}{\Delta t}$.
કિંમતો મૂકતા: $e = \frac{2 \times 200 \times (16 \times 10^{-3}) \times (25 \times 10^{-4})}{0.04} = \frac{400 \times 16 \times 10^{-3} \times 25 \times 10^{-4}}{0.04} = \frac{160000 \times 10^{-7}}{0.04} = \frac{0.016}{0.04} = 0.4 \,V$.

(A) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,કોઈલમાં પ્રેરિત emf $e = -N \frac{d\phi}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$N$ એ કોઈલના આંટાઓની સંખ્યા દર્શાવે છે.
જેમ આંટાઓની સંખ્યા $N$ વધે છે,તેમ પ્રેરિત emf નું મૂલ્ય વધે છે.
લેન્ઝના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત પ્રવાહ એવું ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે જે તેને ઉત્પન્ન કરતા ચુંબકીય ફ્લક્સના ફેરફારનો વિરોધ કરે છે.
જ્યારે ચુંબકને કોઈલમાં દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક લૂપમાં પ્રેરિત emf એવો પ્રવાહ ઉત્પન્ન કરે છે જે ચુંબકની ગતિનો વિરોધ કરે છે.
વધુ આંટાઓ હોવાથી કુલ પ્રેરિત emf મોટું હોય છે,તેથી વિરોધ કરતું બળ પણ મોટું બને છે,જેના કારણે ચુંબકને ખસેડવું વધુ મુશ્કેલ બને છે.
તેથી,$A$ અને $R$ બંને સાચા છે,અને $R$ એ $A$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(A) ઇલેક્ટ્રિક જનરેટર એ એક એવું ઉપકરણ છે જે યાંત્રિક ઉર્જાનું વિદ્યુત ઉર્જામાં રૂપાંતર કરે છે.
જ્યારે કોઈલ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ફરે છે,ત્યારે કોઈલ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં સતત ફેરફાર થાય છે.
ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમો અનુસાર,ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતો આ ફેરફાર કોઈલની આસપાસ વિદ્યુતચાલક બળ $(emf)$ પ્રેરિત કરે છે.
આ પ્રેરિત $emf$ સર્કિટમાં પ્રેરિત પ્રવાહના વહન માટે જવાબદાર છે.
તેથી,ઇલેક્ટ્રિક જનરેટરનો કાર્યકારી સિદ્ધાંત ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમો પર આધારિત છે.

(A) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ, પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ અને પ્રવાહ ત્યારે જ ઉત્પન્ન થાય છે જ્યારે સમય સાથે પરિપથ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $(\Phi_B)$ માં ફેરફાર થાય.
ચુંબકીય ફ્લક્સને $\Phi_B = \int \vec{B} \cdot d\vec{A}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આ કિસ્સામાં, નળાકારને સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ને સમાંતર રાખવામાં આવ્યો છે. ચુંબકીય ક્ષેત્ર સમાન હોવાથી અને નળાકાર સ્થિર હોવાથી, નળાકારના કોઈપણ આડછેદમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ સમય સાથે અચળ રહે છે.
કારણ કે $\frac{d\Phi_B}{dt} = 0$, તેથી કોઈ પ્રેરિત $EMF$ ઉત્પન્ન થતું નથી અને પરિણામે કોઈ પ્રેરિત પ્રવાહ વહેતો નથી.
તેથી, પ્રેરિત પ્રવાહ શૂન્ય છે.

(B) કોઈલમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = NBA \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ એરિયા વેક્ટર અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ છે કે કોઈલનું સમતલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સાથે $\frac{\pi}{6}$ નો ખૂણો બનાવે છે,તેથી એરિયા વેક્ટર અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો $\theta_1 = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} = 60^\circ$ થાય.
પ્રારંભિક ફ્લક્સ $\phi_1 = NBA \cos(60^\circ) = 250 \times 2 \times (120 \times 10^{-4}) \times 0.5 = 3 \ Wb$.
જ્યારે કોઈલનું સમતલ ચુંબકીય ક્ષેત્રને સમાંતર હોય,ત્યારે એરિયા વેક્ટર ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ હોય છે,તેથી $\theta_2 = 90^\circ$.
અંતિમ ફ્લક્સ $\phi_2 = NBA \cos(90^\circ) = 0 \ Wb$.
ફ્લક્સમાં ફેરફાર $\Delta \phi = |\phi_2 - \phi_1| = 3 \ Wb$.
પ્રેરિત $EMF$ $\varepsilon = \frac{\Delta \phi}{\Delta t} = \frac{3}{100 \times 10^{-3}} = 30 \ V$.
પ્રેરિત પ્રવાહ $I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{30}{8} = 3.75 \ A$.

(A) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ, પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\phi = (5t^2 + 4t + 2) \times 10^{-3} \text{ Wb}$ આપેલ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d\phi}{dt} = (10t + 4) \times 10^{-3} \text{ Wb/s}$.
$t = 6 \text{ s}$ સમયે, પ્રેરિત $EMF$ નું મૂલ્ય:
$|\varepsilon| = |10(6) + 4| \times 10^{-3} = 64 \times 10^{-3} \text{ V}$.
પ્રેરિત પ્રવાહ $I = \frac{|\varepsilon|}{R}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં $R = 16 \Omega$ આપેલ છે, તેથી:
$I = \frac{64 \times 10^{-3}}{16} = 4 \times 10^{-3} \text{ A} = 4 \text{ mA}$.
આમ, સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) લાંબા સોલેનોઇડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 n I$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે.
આપેલ છે $n = 20 \text{ આંટા/સેમી} = 2000 \text{ આંટા/મીટર}$.
$B = (4\pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}) \times (2000 \text{ m}^{-1}) \times I = 8\pi \times 10^{-4} I \text{ T}$.
$A = \frac{4}{\pi} \text{ cm}^2 = \frac{4}{\pi} \times 10^{-4} \text{ m}^2$ ક્ષેત્રફળ ધરાવતા લૂપમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A$ છે.
પ્રેરિત emf $\varepsilon$ ફેરાડેના નિયમ દ્વારા મળે છે: $\varepsilon = \left| \frac{\Delta \phi}{\Delta t} \right| = A \left| \frac{\Delta B}{\Delta t} \right| = A \mu_0 n \left| \frac{\Delta I}{\Delta t} \right|$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta I = 3.0 \text{ A} - 1.0 \text{ A} = 2.0 \text{ A}$,$\Delta t = 0.2 \text{ s}$.
$\varepsilon = \left( \frac{4}{\pi} \times 10^{-4} \text{ m}^2 \right) \times (4\pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}) \times (2000 \text{ m}^{-1}) \times \left( \frac{2.0 \text{ A}}{0.2 \text{ s}} \right)$.
$\varepsilon = (4 \times 10^{-4}) \times (4 \times 10^{-7}) \times (2000) \times (10) \text{ V}$.
$\varepsilon = 32 \times 10^{-7} \text{ V} = 3.2 \times 10^{-6} \text{ V} = 3.2 \mu \text{V}$.

(C) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,ગૂંચળામાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત emf (ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ) એ ચુંબકીય ફ્લક્સના ફેરફારના દર જેટલું હોય છે.
$|\varepsilon| = N \left| \frac{d\phi}{dt} \right| = N A \left| \frac{dB}{dt} \right|$
આપેલ છે:
આંટાની સંખ્યા $N = 100$
ત્રિજ્યા $r = 10 \ cm = 0.1 \ m$
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi \times (0.1)^2 = 0.01 \pi \ m^2$
ચુંબકીય ક્ષેત્રના ફેરફારનો દર $\frac{dB}{dt} = 0.1 \ T \ s^{-1}$
કિંમતો મૂકતા:
$|\varepsilon| = 100 \times (0.01 \pi) \times 0.1$
$|\varepsilon| = 1 \times 0.1 \pi = 0.1 \pi \ V = \frac{\pi}{10} \ V$

(B) આપેલ છે: ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 10^{-12} \sin(5 \times 10^6 t) \text{ T}$,આંટાની સંખ્યા $N = 300$,અને ક્ષેત્રફળ $A = 20 \text{ cm}^2 = 20 \times 10^{-4} \text{ m}^2$.
ફેરાડેના પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત emf $e = -N \frac{d\phi}{dt}$ છે,જ્યાં $\phi = BA$.
કોઈલ ક્ષેત્રને લંબ હોવાથી,$\phi = BA \cos(0^\circ) = BA$.
કિંમતો મૂકતા:
$e = -N \frac{d}{dt}(BA) = -NA \frac{dB}{dt}$
$e = -300 \times (20 \times 10^{-4}) \times \frac{d}{dt} [10^{-12} \sin(5 \times 10^6 t)]$
$e = -300 \times 20 \times 10^{-4} \times 10^{-12} \times \cos(5 \times 10^6 t) \times (5 \times 10^6)$
$e = -6000 \times 10^{-16} \times 5 \times 10^6 \times \cos(5 \times 10^6 t)$
$e = -30000 \times 10^{-10} \times \cos(5 \times 10^6 t)$
$e = -3 \times 10^{-6} \cos(5 \times 10^6 t) \text{ V}$.

(B) આપેલ છે: ગૂંચળાના આંટાની સંખ્યા $= n$. ગૂંચળાનો અવરોધ $= R$. ગેલ્વેનોમીટરનો અવરોધ $= 4R$. પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{total} = R + 4R = 5R$.
ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,ઉદ્ભવતું પ્રેરિત emf $e = -n \frac{\Delta \phi}{\Delta t}$ છે.
અહીં,ફ્લક્સમાં થતો ફેરફાર $\Delta \phi = \phi_2 - \phi_1$ અને લાગતો સમય $\Delta t = t$ છે.
તેથી,$e = -n \frac{(\phi_2 - \phi_1)}{t}$.
પ્રેરિત પ્રવાહ $i = \frac{e}{R_{total}}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $i = \frac{-n(\phi_2 - \phi_1)}{5Rt}$ મળે છે.

(D) ગૂંચળામાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\Phi = BA \cos(\theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર અને ક્ષેત્રફળ સદિશ વચ્ચેનો ખૂણો છે. શરૂઆતમાં,ક્ષેત્ર સમતલને લંબ છે,તેથી $\theta_0 = 0^{\circ}$.
પગલા $A$ માં,ગૂંચળું $60^{\circ}$ ફરે છે,તેથી અંતિમ ખૂણો $\theta_A = 60^{\circ}$ છે. ફ્લક્સમાં ફેરફાર $\Delta \Phi_A = BA(\cos 60^{\circ} - \cos 0^{\circ}) = BA(0.5 - 1) = -0.5 BA$ છે. પ્રેરિત emf $\varepsilon_A = -\frac{\Delta \Phi_A}{t} = \frac{0.5 BA}{t}$ છે.
પગલા $B$ માં,ગૂંચળું તે જ દિશામાં બીજા $120^{\circ}$ ફરે છે,તેથી અંતિમ ખૂણો $\theta_B = 60^{\circ} + 120^{\circ} = 180^{\circ}$ છે. ફ્લક્સમાં ફેરફાર $\Delta \Phi_B = BA(\cos 180^{\circ} - \cos 60^{\circ}) = BA(-1 - 0.5) = -1.5 BA$ છે. પ્રેરિત emf $\varepsilon_B = -\frac{\Delta \Phi_B}{2t} = \frac{1.5 BA}{2t} = \frac{0.75 BA}{t}$ છે.
પ્રેરિત emf નો ગુણોત્તર $\frac{\varepsilon_A}{\varepsilon_B} = \frac{0.5 BA / t}{0.75 BA / t} = \frac{0.5}{0.75} = \frac{2}{3}$ થાય છે.

(B) પ્રેરિત emf $\varepsilon$ ફેરાડેના પ્રેરણના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $|\varepsilon| = |\frac{d\phi}{dt}| = |\frac{d(B \cdot A)}{dt}|$.
ક્ષેત્રફળ $A$ અચળ હોવાથી,$|\varepsilon| = A \cdot |\frac{dB}{dt}|$.
અહીં $A = 0.2 \, m^2$,પ્રારંભિક $B = 0.25 \, T$,અંતિમ $B = 0 \, T$,અને $\Delta t = 10^{-4} \, s$ આપેલ છે।
$|\varepsilon| = 0.2 \cdot \frac{0.25 - 0}{10^{-4}} = 0.2 \cdot 2500 = 500 \, V$.
પ્રેરિત પ્રવાહ $I$ ઓહ્મના નિયમ દ્વારા મળે છે: $I = \frac{\varepsilon}{R}$.
અહીં $R = 20 \, \Omega$ હોવાથી,$I = \frac{500}{20} = 25 \, A$.

(D) આપેલ છે:
કોઈલનું ક્ષેત્રફળ,$A = 100 \,cm^2 = 100 \times 10^{-4} \,m^2 = 10^{-2} \,m^2$
આંટાની સંખ્યા,$N = 20$
ચુંબકીય ક્ષેત્ર,$B = 2 \,Wb/m^2$
સમયગાળો,$\Delta t = 0.2 \,s$
ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ એ $\phi = N B A \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ ક્ષેત્રફળ સદિશ $\hat{n}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
પ્રારંભિક સ્થિતિ: કોઈલનું સમતલ ક્ષેત્ર સાથે $30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે. તેથી,ક્ષેત્રફળ સદિશ $\hat{n}$ અને ક્ષેત્ર $B$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta_1 = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$ છે.
પ્રારંભિક ફ્લક્સ,$\phi_1 = N B A \cos 60^{\circ} = 20 \times 2 \times 10^{-2} \times 0.5 = 0.2 \,Wb$.
અંતિમ સ્થિતિ: કોઈલ ક્ષેત્રને લંબ છે. તેથી,ક્ષેત્રફળ સદિશ $\hat{n}$ એ ક્ષેત્ર $B$ ને સમાંતર છે,એટલે કે $\theta_2 = 0^{\circ}$.
અંતિમ ફ્લક્સ,$\phi_2 = N B A \cos 0^{\circ} = 20 \times 2 \times 10^{-2} \times 1 = 0.4 \,Wb$.
પ્રેરિત emf,$e = -\frac{\Delta \phi}{\Delta t} = -\frac{\phi_2 - \phi_1}{\Delta t} = -\frac{0.4 - 0.2}{0.2} = -\frac{0.2}{0.2} = -1 \,V$.
પ્રેરિત emf નું મૂલ્ય $|e| = 1 \,V$ છે.

(C) આપેલ છે: કોઈલનો અવરોધ, $R = 10 \Omega$. આંટાની સંખ્યા, $N = 180$. કોઈલનો વ્યાસ, $d = 4 \text{ cm} = 4 \times 10^{-2} \text{ m}$. ત્રિજ્યા, $r = 2 \times 10^{-2} \text{ m}$. ગેલ્વેનોમીટરનો અવરોધ, $R_g = 618 \Omega$. કુલ અવરોધ, $R_{eq} = R + R_g = 10 + 618 = 628 \Omega$. વિદ્યુતભાર, $q = 360 \mu \text{C} = 360 \times 10^{-6} \text{ C}$.
ચુંબકીય ફ્લક્સ મહત્તમ છે, તેથી $\phi = BA$.
પ્રેરિત વિદ્યુતભારનું સૂત્ર $q = \frac{N \Delta \phi}{R_{eq}}$ છે.
ક્ષેત્ર દૂર કરવામાં આવે છે, તેથી $\Delta \phi = BA - 0 = BA$.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi (2 \times 10^{-2})^2 = 4 \pi \times 10^{-4} \text{ m}^2$.
કિંમતો મૂકતા: $360 \times 10^{-6} = \frac{180 \times B \times 4 \pi \times 10^{-4}}{628}$.
$B = \frac{360 \times 10^{-6} \times 628}{180 \times 4 \times 3.14 \times 10^{-4}} = \frac{2 \times 10^{-6} \times 628}{12.56 \times 10^{-4}} = \frac{1256 \times 10^{-6}}{1256 \times 10^{-4}} = 1 \text{ T}$.

(B) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ (Emf) $\epsilon = -\frac{d\phi}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પરિપથનો અવરોધ $R$ હોવાથી,પ્રેરિત પ્રવાહ $i = \frac{\epsilon}{R} = -\frac{1}{R} \frac{d\phi}{dt}$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રવાહ $i = \frac{dq}{dt}$,જ્યાં $dq$ એ $dt$ સમયમાં વહેતો નાનો વિદ્યુતભાર છે.
આ કિંમત મૂકતા,$\frac{dq}{dt} = -\frac{1}{R} \frac{d\phi}{dt}$ મળે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,કુલ વહેતો વિદ્યુતભાર $q$ મળે છે:
$q = \int dq = -\frac{1}{R} \int d\phi = \frac{\Delta\phi}{R}$.
અહીં $\Delta\phi = 5 \text{ Wb}$ અને $R = 100 \Omega$ આપેલ છે,તેથી વિદ્યુતભાર $q = \frac{5}{100} = 0.05 \text{ C}$ થાય.