Faraday's and Lenz's Law Questions in Gujarati

(B) આપેલ છે,$B = 2t + 4t^{2}$.
$t = 0 \ s$ સમયે,$B_{1} = 2(0) + 4(0)^{2} = 0 \ T$.
$t = 2 \ s$ સમયે,$B_{2} = 2(2) + 4(2)^{2} = 4 + 16 = 20 \ T$.
ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A = B \cdot \pi r^{2}$ છે.
ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતો ફેરફાર $\Delta \phi = \phi_{2} - \phi_{1} = \pi r^{2} (B_{2} - B_{1})$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\Delta \phi = \pi r^{2} (20 - 0) = 20 \pi r^{2} \ Wb$.
પ્રેરિત વિદ્યુતભાર $Q = \frac{\Delta \phi}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$Q = \frac{20 \pi r^{2}}{R} \ C$.

(D) જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમ મુજબ,જો વાયરમાં પ્રવાહ ઉપરની તરફ વહેતો હોય,તો ગૂંચળાના વિસ્તારમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ કાગળના સમતલની અંદરની તરફ હોય છે.
જો વાયરમાં પ્રવાહ નીચેની તરફ વહેતો હોય,તો ગૂંચળાના વિસ્તારમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ કાગળના સમતલની બહારની તરફ હોય છે.
લૂપમાં ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં પ્રેરિત પ્રવાહ માટે,પ્રેરિત ચુંબકીય ક્ષેત્ર કાગળના સમતલની અંદરની તરફ હોવું જોઈએ (જમણા હાથના પકડના નિયમ દ્વારા).
લેન્ઝના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત પ્રવાહ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતા ફેરફારનો વિરોધ કરે છે.
કિસ્સો $1$: જો પ્રવાહ ઉપરની તરફ વહેતો હોય અને વધતો હોય,તો સમતલની અંદરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર વધે છે,તેથી તેનો વિરોધ કરવા માટે પ્રેરિત પ્રવાહ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં હશે. આ મેળ ખાતું નથી.
કિસ્સો $2$: જો પ્રવાહ ઉપરની તરફ વહેતો હોય અને ઘટતો હોય,તો સમતલની અંદરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઘટે છે,તેથી તેને ટેકો આપવા માટે પ્રેરિત પ્રવાહ ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં હશે.
કિસ્સો $3$: જો પ્રવાહ નીચેની તરફ વહેતો હોય અને વધતો હોય,તો સમતલની બહારનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર વધે છે,તેથી તેનો વિરોધ કરવા માટે પ્રેરિત પ્રવાહ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં હશે.
કિસ્સો $4$: જો પ્રવાહ નીચેની તરફ વહેતો હોય અને ઘટતો હોય,તો સમતલની બહારનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઘટે છે,તેથી તેને ટેકો આપવા માટે પ્રેરિત પ્રવાહ ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં હશે.
કારણ કે પ્રેરિત પ્રવાહ ઉત્પન્ન કરવા માટે પ્રવાહ સમય પર આધારિત હોવો જોઈએ,અને ઘટતો ઉપરનો પ્રવાહ તેમજ ઘટતો નીચેનો પ્રવાહ બંને ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં પ્રેરિત પ્રવાહ ઉત્પન્ન કરી શકે છે,તેથી સૌથી યોગ્ય સામાન્ય વર્ણન એ છે કે પ્રવાહ સમય પર આધારિત છે.

(A) આપેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = 4t^2 + 6t + 9 \text{ Wb}$ છે।
ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ, ઉદ્ભવતું emf $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
તેનું મૂલ્ય લેતા, $\varepsilon = \left| \frac{d\phi}{dt} \right|$.
$\phi$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d\phi}{dt} = \frac{d}{dt}(4t^2 + 6t + 9) = 8t + 6$.
$t = 2 \text{ s}$ સમયે, ઉદ્ભવતું emf:
$\varepsilon = 8(2) + 6 = 16 + 6 = 22 \text{ V}$.

(B) આપેલ છે: ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = 5t^2 - 4t + 1 \text{ Wb}$ અને અવરોધ $R = 10 \Omega$.
ફેરાડેના પ્રેરણના નિયમ મુજબ, પ્રેરિત ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ $e = -\frac{d\phi}{dt}$ છે.
$\phi$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{d\phi}{dt} = \frac{d}{dt}(5t^2 - 4t + 1) = 10t - 4$.
પ્રેરિત પ્રવાહ $I = \frac{|e|}{R} = \frac{|-d\phi/dt|}{R} = \frac{|-(10t - 4)|}{10} = \frac{|4 - 10t|}{10}$ મળે.
$t = 0.2 \text{ s}$ સમયે, પ્રવાહ $I = \frac{|4 - 10(0.2)|}{10} = \frac{|4 - 2|}{10} = \frac{2}{10} = 0.2 \text{ A}$ થાય.

(B, D) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ, જ્યારે લૂપ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\Phi = B \cdot A \cos \theta$ સમય સાથે બદલાય ત્યારે લૂપમાં emf પ્રેરિત થાય છે.
$1$. જો લૂપને $B$ ની દિશામાં ખસેડવામાં આવે, તો ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$, ક્ષેત્રફળ $A$ અને ખૂણો $\theta$ અચળ રહે છે। તેથી, ફ્લક્સ અચળ રહે છે અને કોઈ emf પ્રેરિત થતું નથી.
$2$. જો લૂપને નાના ક્ષેત્રફળમાં સંકોચવામાં આવે, તો ક્ષેત્રફળ $A$ સમય સાથે બદલાય છે। તેથી, ચુંબકીય ફ્લક્સ $\Phi$ બદલાય છે અને emf પ્રેરિત થાય છે.
$3$. જો લૂપને તેની ધરી પર ફેરવવામાં આવે, તો ચુંબકીય ક્ષેત્રની સાપેક્ષમાં ક્ષેત્રફળ સદિશનું અભિવિન્યાસ અચળ રહે છે $(\theta = 0^\circ)$। તેથી, ફ્લક્સ અચળ રહે છે અને કોઈ emf પ્રેરિત થતું નથી.
$4$. જો લૂપને તેના કોઈ એક વ્યાસ પર ફેરવવામાં આવે, તો ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ અને ક્ષેત્રફળ સદિશ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ સમય સાથે બદલાય છે। તેથી, ચુંબકીય ફ્લક્સ $\Phi$ બદલાય છે અને emf પ્રેરિત થાય છે.
આમ, $(b)$ અને $(d)$ બંને સ્થિતિમાં ચુંબકીય ફ્લક્સમાં ફેરફાર થાય છે, તેથી બંને કિસ્સામાં emf પ્રેરિત થશે.

(B) અનંત લંબાઈના વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ ધારિત તારથી $x$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે તારમાં વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ અચાનક અડધો કરવામાં આવે છે, ત્યારે ચોરસ લૂપ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ ઘટે છે.
લેન્ઝના નિયમ મુજબ, લૂપમાં પ્રેરિત વિદ્યુતપ્રવાહ એવી દિશામાં વહેશે જે ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતા આ ઘટાડાનો વિરોધ કરે. આનો અર્થ એ છે કે પ્રેરિત વિદ્યુતપ્રવાહ મૂળ ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશામાં જ ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરશે.
આ માટે, લૂપમાં પ્રેરિત વિદ્યુતપ્રવાહ ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં (clockwise) વહેવો જોઈએ.
હવે, લૂપની બાજુઓ પર લાગતા બળોને ધ્યાનમાં લો:
$1$. તારની નજીકની બાજુ (ધારો કે $CD$) માં વિદ્યુતપ્રવાહ મુખ્ય તારની દિશામાં જ વહે છે. તેથી, તે તાર તરફ આકર્ષણ બળ $F_{CD}$ અનુભવે છે.
$2$. તારથી દૂરની બાજુ (ધારો કે $AB$) માં વિદ્યુતપ્રવાહ મુખ્ય તારની વિરુદ્ધ દિશામાં વહે છે. તેથી, તે તારથી દૂર અપાકર્ષણ બળ $F_{AB}$ અનુભવે છે.
તારની નજીક ચુંબકીય ક્ષેત્ર વધુ હોવાથી, નજીકની બાજુ પર લાગતું આકર્ષણ બળ દૂરની બાજુ પર લાગતા અપાકર્ષણ બળ કરતા વધારે હોય છે $(F_{CD} > F_{AB})$.
તેથી, લૂપ પરનું પરિણામી બળ તારની દિશામાં હોય છે, અને લૂપ તાર તરફ ગતિ કરશે.

(A) લાંબા સોલેનોઈડની અંદરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 n I$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = 500 \ turns/cm = 50000 \ turns/m$ છે.
આપેલ છે કે $I = 10 \sin(\omega t)$,તેથી $B = \mu_0 n (10 \sin(\omega t))$.
$r = 1 \ cm = 0.01 \ m$ ત્રિજ્યા ધરાવતા લૂપમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A = \mu_0 n (10 \sin(\omega t)) \cdot (\pi r^2)$ છે.
પ્રેરિત $EMF$ $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt} = -\mu_0 n \pi r^2 (10 \omega \cos(\omega t))$ છે.
પ્રેરિત પ્રવાહનું મૂલ્ય $i = \frac{|\varepsilon|}{R} = \frac{\mu_0 n \pi r^2 (10 \omega \cos(\omega t))}{R}$ છે.
મહત્તમ પ્રવાહ $i_0 = \frac{\mu_0 n \pi r^2 (10 \omega)}{R}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \ T\cdot m/A$,$n = 5 \times 10^4 \ m^{-1}$,$r = 10^{-2} \ m$,$\omega = 10^3 \ rad/s$,$R = 10 \ \Omega$.
$i_0 = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times (5 \times 10^4) \times \pi \times (10^{-2})^2 \times 10 \times 10^3}{10} = 20 \pi^2 \times 10^{-6} \ A$.
$i_0 = 20 \times (9.8696) \times 10^{-6} \ A \approx 197.39 \ \mu A$.
r.m.s. પ્રવાહ $i_{rms} = \frac{i_0}{\sqrt{2}} = \frac{197.39}{\sqrt{2}} \ \mu A$ છે.
આમ,$\alpha \approx 197$.

(D) વર્તુળાકાર લૂપની ત્રિજ્યા $r = 7 \ cm = 0.07 \ m$ છે. વર્તુળાકાર લૂપનું ક્ષેત્રફળ $A_1 = \pi r^2 = \pi (0.07)^2 = 0.0049 \pi \ m^2$ છે.
લૂપનો પરિઘ $C = 2 \pi r = 2 \pi (0.07) = 0.14 \pi \ m$ છે.
જ્યારે તેને ચોરસ લૂપમાં રૂપાંતરિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે પરિમિતિ સમાન રહે છે. ધારો કે ચોરસની બાજુ $a$ છે. તેથી $4a = 0.14 \pi$,એટલે કે $a = 0.035 \pi \ m$.
ચોરસ લૂપનું ક્ષેત્રફળ $A_2 = a^2 = (0.035 \pi)^2 = 0.001225 \pi^2 \ m^2$ છે.
ચુંબકીય ફ્લક્સમાં ફેરફાર $\Delta \phi = B(A_1 - A_2) = 0.2 \times (0.0049 \pi - 0.001225 \pi^2)$ છે.
$\pi \approx 3.14159$ લેતા,$A_1 \approx 0.01539 \ m^2$ અને $A_2 \approx 0.01208 \ m^2$ મળે છે.
$\Delta \phi = 0.2 \times (0.01539 - 0.01208) = 0.2 \times 0.00331 = 0.000662 \ Wb$.
પ્રેરિત $EMF$ $\epsilon = \frac{|\Delta \phi|}{\Delta t} = \frac{0.000662}{0.5} = 0.001324 \ V$ છે.
$mV$ માં રૂપાંતરિત કરતા,$\epsilon = 1.324 \ mV \approx 1.32 \ mV$ મળે છે.

(B) $C_1$ (વિષમઘડી) ને કારણે $C_2$ ના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર જમણી તરફ હોય છે,અને $C_3$ (સમઘડી) ને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર ડાબી તરફ હોય છે. ગૂંચળા સમાન હોવાથી અને $C_2$ મધ્યમાં હોવાથી,$C_2$ પરનું કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય છે.
જો $C_1$ એ $C_2$ તરફ ગતિ કરે,તો $C_1$ થી $C_2$ પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર વધે છે (જમણી તરફ). આનો વિરોધ કરવા માટે,$C_2$ માં પ્રેરિત પ્રવાહ ડાબી તરફ ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે (સમઘડી).
જો $C_3$ એ $C_2$ થી દૂર જાય,તો $C_3$ થી $C_2$ પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઘટે છે (ડાબી તરફ). આ ઘટાડાનો વિરોધ કરવા માટે,$C_2$ માં પ્રેરિત પ્રવાહ ડાબી તરફ ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે (સમઘડી).
આમ,જો $C_1$ એ $C_2$ તરફ ગતિ કરે અને $C_3$ એ $C_2$ થી દૂર જાય,તો ફ્લક્સમાં થતો ફેરફાર $C_2$ માં સમઘડી પ્રવાહ પ્રેરિત કરે છે.

(B) લેન્ઝના નિયમ અનુસાર,પ્રેરિત પ્રવાહ એવું ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે જે ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતા ફેરફારનો વિરોધ કરે છે.
આકૃતિ $(a)$ માં,ચુંબકીય ક્ષેત્ર પાનાની અંદરની તરફ $(\times)$ છે અને તે વધી રહ્યું છે. આ વધારાનો વિરોધ કરવા માટે,પ્રેરિત પ્રવાહે પાનાની બહારની તરફ $(\bullet)$ ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરવું જોઈએ. જમણા હાથના નિયમ મુજબ,બહારની તરફનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર એન્ટિક્લોકવાઇઝ પ્રવાહને અનુરૂપ છે.
આકૃતિ $(b)$ માં,ચુંબકીય ક્ષેત્ર પાનાની બહારની તરફ $(\bullet)$ છે અને તે ઘટી રહ્યું છે. આ ઘટાડાનો વિરોધ કરવા માટે,પ્રેરિત પ્રવાહે તે જ દિશામાં (પાનાની બહારની તરફ) ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરવું જોઈએ. આ પણ એન્ટિક્લોકવાઇઝ પ્રવાહને અનુરૂપ છે.
તેથી,રીંગ $(a)$ અને રીંગ $(b)$ બંનેમાં પ્રવાહની દિશા એન્ટિક્લોકવાઇઝ છે.