Particle Nature of Light : Photon Questions in Gujarati

(A) ફોટોન દ્વારા ઇલેક્ટ્રૉન-પોઝીટ્રૉન જોડકાંના નિર્માણની પ્રક્રિયાને $pair \ production$ કહેવામાં આવે છે. આ પ્રક્રિયા દરમિયાન,ફોટોનની ઊર્જા ઇલેક્ટ્રૉન અને પોઝીટ્રૉનની સ્થિર દ્રવ્યમાન ઊર્જા અને તેમની ગતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
ફોટોનની ઊર્જા $(E)$ નીચે મુજબ ગણી શકાય:
$E = (m_e c^2 + K_e) + (m_p c^2 + K_p)$
જ્યાં $m_e c^2 = m_p c^2 = 0.51 \ MeV$ એ ઇલેક્ટ્રૉન/પોઝીટ્રૉનની સ્થિર દ્રવ્યમાન ઊર્જા છે,અને $K_e = K_p = 0.29 \ MeV$ એ દરેક કણની ગતિઊર્જા છે.
$E = (0.51 \ MeV + 0.29 \ MeV) + (0.51 \ MeV + 0.29 \ MeV)$
$E = 0.80 \ MeV + 0.80 \ MeV = 1.60 \ MeV$.

(B) આપેલ છે: તરંગલંબાઈ $\lambda = 300 \ m$,પાવર $P = 10 \ kW = 10^4 \ W$.
એક ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$.
પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત થતા ફોટોનની સંખ્યા $n = \frac{P}{E} = \frac{P \lambda}{hc}$.
કિંમતો મૂકતા: $n = \frac{10^4 \times 300}{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}$.
$n = \frac{3 \times 10^6}{19.89 \times 10^{-26}} \approx 0.1508 \times 10^{32} = 1.508 \times 10^{31}$.
આમ,પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત થતા ફોટોનની સંખ્યા આશરે $1.5 \times 10^{31}$ છે.

(C) પ્રકાશના સ્ત્રોતનો પાવર $P = n \cdot E$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત ફોટોનની સંખ્યા છે અને $E = \frac{hc}{\lambda}$ એ એક ફોટોનની ઉર્જા છે.
બંને બલ્બ માટે પાવર $P$ સમાન હોવાથી,$n_r E_r = n_b E_b$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $n_r \left( \frac{hc}{\lambda_r} \right) = n_b \left( \frac{hc}{\lambda_b} \right)$,જેનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{n_r}{\lambda_r} = \frac{n_b}{\lambda_b}$ મળે.
લાલ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ ભૂરા પ્રકાશની તરંગલંબાઈ કરતા વધારે હોવાથી $(\lambda_r > \lambda_b)$,પાવરની સમાનતા જાળવવા માટે $n_r > n_b$ હોવું જરૂરી છે.
તેથી,લાલ બલ્બ દ્વારા ઉત્સર્જિત ફોટોનની સંખ્યા ભૂરા બલ્બ કરતા વધારે છે.

(A) તીવ્રતા $I = 10^{-10} \ W/m^2$ અને ક્ષેત્રફળ $A = 10^{-6} \ m^2$ આપેલ છે.
આંખમાં પ્રવેશતો પાવર $P = I \times A = 10^{-10} \times 10^{-6} = 10^{-16} \ W$ થાય.
એક ફોટોનની ઊર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ છે.
અહીં $\lambda = 560 \ nm = 560 \times 10^{-9} \ m$,$h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,અને $c = 3 \times 10^8 \ m/s$ છે:
$E = \frac{6.6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{560 \times 10^{-9}} = \frac{19.8 \times 10^{-26}}{560 \times 10^{-9}} \approx 3.54 \times 10^{-19} \ J$.
પ્રતિ સેકન્ડ ફોટોનની સંખ્યા $n = \frac{P}{E}$ દ્વારા મળે છે.
$n = \frac{10^{-16}}{3.54 \times 10^{-19}} = \frac{1000}{3.54} \approx 282 \approx 3 \times 10^2$ ફોટોન.

(A) શૂન્યાવકાશમાં,ફોટોન સહિતના તમામ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો અચળ ઝડપ $c$ થી ગતિ કરે છે,જ્યાં $c \approx 3 \times 10^8 \ m/s$ છે.
આવૃત્તિ $f$ ગમે તે હોય,વેગ $v = c$ અચળ રહેતો હોવાથી,વેગ વિરુદ્ધ આવૃત્તિનો આલેખ એક આડી રેખા મળે છે.
આ રેખા આવૃત્તિની અક્ષને સમાંતર હોય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) ઇલેક્ટ્રોન માટે,ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{p}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $p = \frac{h}{\lambda}$.
ફોટોન માટે,ઊર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે $p/E$ નો ગુણોત્તર શોધવાનો છે.
$p$ અને $E$ ના સૂત્રો મૂકતા:
$\frac{p}{E} = \frac{h/\lambda}{hc/\lambda} = \frac{h}{\lambda} \times \frac{\lambda}{hc} = \frac{1}{c}$.
પ્રકાશની ગતિ $c = 3 \times 10^8 \ m/s$ લેતા:
$\frac{p}{E} = \frac{1}{3 \times 10^8} = 0.333 \times 10^{-8} = 3.33 \times 10^{-9} \ s/m$.

(C) ટ્રાન્સમીટરનો પાવર $P$ એ પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત થતી કુલ ઉર્જા છે.
એક ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત થતા ફોટોનની સંખ્યા $n = \frac{P}{E} = \frac{P\lambda}{hc}$ છે.
આપેલ છે: $P = 100 \ W$,$\lambda = 540 \times 10^{-9} \ m$,$h = 6 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,$c = 3 \times 10^8 \ m/s$.
કિંમતો મૂકતા: $n = \frac{100 \times 540 \times 10^{-9}}{6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}$.
$n = \frac{54000 \times 10^{-9}}{18 \times 10^{-26}} = \frac{5.4 \times 10^4 \times 10^{-9}}{1.8 \times 10^{-25}} = 3 \times 10^{20}$.
આમ,પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત થતા ફોટોનની સંખ્યા $3 \times 10^{20}$ છે.

(C) તીવ્રતા $I = \frac{P}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $P$ એ પાવર છે અને $A$ એ ક્ષેત્રફળ છે.
પાવર $P = I \times A = \frac{nhc}{t\lambda}$,જ્યાં $n$ એ ફોટોનની સંખ્યા છે,$h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$c$ એ પ્રકાશની ગતિ છે અને $t$ એ સમય છે.
પ્રતિ સેકન્ડ ફોટોનની સંખ્યા $(n/t)$ માટે સૂત્ર:
$\frac{n}{t} = \frac{IA\lambda}{hc}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{n}{t} = \frac{10^{-10} \times 10^{-6} \times 5.6 \times 10^{-7}}{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}$
$\frac{n}{t} \approx \frac{5.6 \times 10^{-23}}{19.89 \times 10^{-26}} \approx 0.2815 \times 10^3 \approx 281.5$
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $300$ છે.

(A) ફોટોનની ઊર્જા $E = 1 \, MeV = 1 \times 10^6 \, eV$ આપેલ છે.
ઊર્જાને જૂલમાં ફેરવતા: $E = 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19} \, J = 1.6 \times 10^{-13} \, J$.
ફોટોનનું વેગમાન $p$ અને ઊર્જા $E$ વચ્ચેનો સંબંધ $p = E/c$ છે,જ્યાં $c$ એ પ્રકાશની ઝડપ છે $(c \approx 3 \times 10^8 \, m/s)$.
કિંમતો મૂકતા: $p = \frac{1.6 \times 10^{-13} \, J}{3 \times 10^8 \, m/s}$.
$p \approx 0.533 \times 10^{-21} \, kg \, m/s$.
$p \approx 5.33 \times 10^{-22} \, kg \, m/s$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $5 \times 10^{-22} \, kg \, m/s$ છે.

(C) $r$ અંતરે રહેલા બિંદુવત ઉદ્ગમની તીવ્રતા $I$ એ વ્યસ્ત વર્ગના નિયમ મુજબ $I \propto \frac{1}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ફોટોસેલ પર આપાત થતા ફોટોનની સંખ્યા $N$ એ તીવ્રતાના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
ધારો કે $r_1 = 0.5 \ m$ અંતરે ફોટોનની સંખ્યા $N_1$ છે અને $r_2 = 1 \ m$ અંતરે ફોટોનની સંખ્યા $N_2$ છે.
તેથી,$\frac{N_1}{N_2} = \frac{r_2^2}{r_1^2}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{N_1}{N_2} = \frac{1^2}{(0.5)^2} = \frac{1}{0.25} = 4$.
આમ,$0.5 \ m$ અંતરે ફોટોનની સંખ્યા $1 \ m$ અંતરે રહેલા ફોટોનની સંખ્યા કરતા $4$ ગણી હોય છે.

(D) એકવર્ણી પ્રકાશ કિરણનો પાવર $P = N h \nu$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N$ એ પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત ફોટોનની સંખ્યા છે,$h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $\nu$ એ આવૃત્તિ છે.
આપેલ છે:
પાવર $P = 2 \times 10^{-3} \text{ W}$
આવૃત્તિ $\nu = 6.0 \times 10^{14} \text{ Hz}$
પ્લાન્કનો અચળાંક $h \approx 6.63 \times 10^{-34} \text{ J s}$
એક ફોટોનની ઉર્જા $E = h \nu = (6.63 \times 10^{-34}) \times (6.0 \times 10^{14}) \text{ J} \approx 3.978 \times 10^{-19} \text{ J}$.
પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત ફોટોનની સંખ્યા $N = P / E$:
$N = \frac{2 \times 10^{-3}}{3.978 \times 10^{-19}} \approx 0.5027 \times 10^{16} \approx 5 \times 10^{15}$ ફોટોન પ્રતિ સેકન્ડ.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આપેલ છે: તરંગલંબાઈ $\lambda = 667 \, nm = 667 \times 10^{-9} \, m$. પાવર $P = 9 \, mW = 9 \times 10^{-3} \, W$.
એક ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$.
$h = 6.63 \times 10^{-34} \, J \cdot s$ અને $c = 3 \times 10^8 \, m/s$ લેતા:
$E = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{667 \times 10^{-9}} \approx 2.98 \times 10^{-19} \, J$.
દર સેકન્ડે ફોટોનની સંખ્યા $n = \frac{P}{E}$.
$n = \frac{9 \times 10^{-3}}{2.98 \times 10^{-19}} \approx 3.02 \times 10^{16} \approx 3 \times 10^{16}$ ફોટોન/સેકન્ડ.

(A) સ્ત્રોત $S_1$ માટે:
તરંગલંબાઈ $\lambda_1 = 5000 \; \mathring{A}$,પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત ફોટોનની સંખ્યા $N_1 = 10^{15}$.
પાવર $P_1 = N_1 \times E_1 = N_1 \times \frac{hc}{\lambda_1}$.
સ્ત્રોત $S_2$ માટે:
તરંગલંબાઈ $\lambda_2 = 5100 \; \mathring{A}$,પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત ફોટોનની સંખ્યા $N_2 = 1.02 \times 10^{15}$.
પાવર $P_2 = N_2 \times E_2 = N_2 \times \frac{hc}{\lambda_2}$.
ગુણોત્તર $\frac{P_2}{P_1} = \frac{N_2 \cdot hc / \lambda_2}{N_1 \cdot hc / \lambda_1} = \frac{N_2}{N_1} \times \frac{\lambda_1}{\lambda_2}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{P_2}{P_1} = \frac{1.02 \times 10^{15}}{10^{15}} \times \frac{5000}{5100} = 1.02 \times \frac{50}{51} = \frac{1.02}{51} \times 50 = 0.02 \times 50 = 1$.
આમ,ગુણોત્તર $1$ છે.

(C) વિશિષ્ટ વીજભાર (specific charge) એ વીજભાર અને દળના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જેને $\frac{q}{m}$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે.
ઇલેક્ટ્રોન માટે,$q = e$ અને $m = m_e$.
પ્રોટોન માટે,$q = e$ અને $m = 1836 m_e$.
$\alpha$-કણ માટે,$q = 2e$ અને $m = 4 m_p \approx 7344 m_e$.
$\beta$-કણ એ ઇલેક્ટ્રોન જ છે,તેથી $q = e$ અને $m = m_e$.
ગુણોત્તરની સરખામણી કરતા:
ઇલેક્ટ્રોન: $\frac{e}{m_e}$
પ્રોટોન: $\frac{e}{1836 m_e}$
$\alpha$-કણ: $\frac{2e}{7344 m_e} = \frac{e}{3672 m_e}$
$\beta$-કણ: $\frac{e}{m_e}$
$\alpha$-કણ માટે છેદ સૌથી મોટો હોવાથી,$\frac{q}{m}$ નું મૂલ્ય $\alpha$-કણ માટે સૌથી ઓછું છે.

(B) ફોટોન આપાત થવાનો દર નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $\frac{n}{t} = \frac{I \cdot A \cdot \lambda}{hc}$.
આપેલ છે:
તીવ્રતા $I = 150 \, mW/m^2 = 0.15 \, W/m^2$.
ક્ષેત્રફળ $A = 4 \, cm^2 = 4 \times 10^{-4} \, m^2$.
તરંગલંબાઈ $\lambda = 3000 \, \mathring{A} = 3 \times 10^{-7} \, m$.
પ્લાન્કનો અચળાંક $h = 6.63 \times 10^{-34} \, J \cdot s$.
પ્રકાશની ઝડપ $c = 3 \times 10^8 \, m/s$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{n}{t} = \frac{0.15 \times 4 \times 10^{-4} \times 3 \times 10^{-7}}{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8} = 9.05 \times 10^{13} \, s^{-1}$.
તેથી, સાચો વિકલ્પ $9 \times 10^{13} \, s^{-1}$ છે.

(B) જ્યારે એક સ્થિર ઇલેક્ટ્રોન અને એક સ્થિર પોઝિટ્રોન એકબીજાનો વિનાશ કરે છે,ત્યારે ઉર્જા અને વેગમાન બંનેનું સંરક્ષણ કરવા માટે તેઓ બે ફોટોન ઉત્પન્ન કરે છે.
ધારો કે દરેક ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$E_1 + E_2 = E_{electron} + E_{positron}$
$\frac{hc}{\lambda} + \frac{hc}{\lambda} = m_0 c^2 + m_0 c^2$
$\frac{2hc}{\lambda} = 2 m_0 c^2$
$\frac{hc}{\lambda} = m_0 c^2$
$\lambda$ માટે ઉકેલતા:
$\lambda = \frac{h}{m_0 c}$.

(C) બલ્બનો પાવર $P$ એ એકમ સમયમાં ઉત્સર્જિત કુલ ઉર્જા દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે $P = n \cdot E_{photon} = n \cdot \frac{hc}{\lambda}$ છે.
બંને બલ્બ સમાન પાવર $P$ ધરાવે છે અને સમાન સમય માટે કાર્ય કરે છે,તેથી ઉત્સર્જિત કુલ ઉર્જા સમાન છે.
તેથી,$n_r \cdot \frac{hc}{\lambda_r} = n_b \cdot \frac{hc}{\lambda_b}$.
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા $n_r \cdot \frac{1}{\lambda_r} = n_b \cdot \frac{1}{\lambda_b}$,અથવા $n_r = n_b \cdot \frac{\lambda_r}{\lambda_b}$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે લાલ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ વાદળી પ્રકાશની તરંગલંબાઇ કરતા વધારે હોય છે,એટલે કે $\lambda_r > \lambda_b$.
કારણ કે $\frac{\lambda_r}{\lambda_b} > 1$,તેથી સાબિત થાય છે કે $n_r > n_b$.

(D) ફોટોનનું વેગમાન $p$ તેની તરંગલંબાઈ $\lambda$ સાથે ડી-બ્રોગ્લી સંબંધ દ્વારા જોડાયેલું છે: $p = \frac{h}{\lambda}$.
આપેલ તરંગલંબાઈ $\lambda = 0.01 \, \mathring{A} = 0.01 \times 10^{-10} \, m = 10^{-12} \, m$ છે.
વેગમાનના સૂત્રમાં $\lambda$ ની કિંમત મૂકતા:
$p = \frac{h}{10^{-12} \, m} = 10^{12} \, h \, kg \cdot m/s$.
તેથી,ફોટોનનું વેગમાન $10^{12} \, h$ થાય છે.

(A) $f$ આવૃત્તિ ધરાવતા ફોટોનની ઉર્જા $E$ એ પ્લાન્ક-આઈન્સ્ટાઈન સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $E = hf$.
આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઉર્જા સમતુલ્યતાના સિદ્ધાંત મુજબ,ફોટોનની ઉર્જા $E = mc^2$ દ્વારા પણ આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ ફોટોનનું સાપેક્ષ દળ છે.
ઉર્જા માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $mc^2 = hf$.
આપણે જાણીએ છીએ કે કણનું વેગમાન $p$ એ $p = mc$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉર્જાના સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા: $mc = \frac{hf}{c}$.
તેથી,ફોટોનનું વેગમાન $p = \frac{hf}{c}$ થાય.

(A) ફોટોન એ વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણના ક્વોન્ટા છે.
શૂન્યાવકાશમાં,તમામ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો,જેમાં ફોટોનનો પણ સમાવેશ થાય છે,તે પ્રકાશની ઝડપ $c = 3 \times 10^8 \ m/s$ થી ગતિ કરે છે.
શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ એ એક સાર્વત્રિક અચળાંક છે અને તે વિકિરણની આવૃત્તિ $\nu$ અથવા તરંગલંબાઇ $\lambda$ થી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,ફોટોનનો વેગ આવૃત્તિ $\nu$ થી સ્વતંત્ર છે.

(D) વિદ્યુતભારના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, અલગ કરેલી સિસ્ટમનો કુલ વિદ્યુતભાર અચળ રહેવો જોઈએ। ઇલેક્ટ્રોન પર $-e$ જેટલો વિદ્યુતભાર હોય છે। જો તે સંપૂર્ણપણે ઊર્જા (ફોટોન) માં રૂપાંતરિત થાય, તો અંતિમ વિદ્યુતભાર $0$ થઈ જશે। આ વિદ્યુતભાર સંરક્ષણના નિયમનું ઉલ્લંઘન કરશે। ઇલેક્ટ્રોનને ઊર્જામાં રૂપાંતરિત કરવા માટે, તેણે તેના એન્ટિ-પાર્ટિકલ, પોઝિટ્રોન (જેનો વિદ્યુતભાર $+e$ છે) સાથે વિનાશ (annihilation) પામવું પડે। પ્રક્રિયા આ મુજબ છે: $e^- + e^+ \rightarrow \text{energy}$। તેથી, આ દાવો અશક્ય છે કારણ કે તે વિદ્યુતભાર સંરક્ષણનું ઉલ્લંઘન કરે છે।

(A) કુલ ઇનપુટ વિદ્યુત પાવર $P_{in} = 200\, W$ છે。
આપેલ કાર્યક્ષમતા $25\%$ હોવાથી, પ્રકાશ તરીકેનો અસરકારક પાવર આઉટપુટ $P_{out} = 0.25 \times 200\, W = 50\, W$ છે。
એક ફોટોનની ઊર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે。
જો $n$ એ પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત ફોટોનની સંખ્યા હોય, તો કુલ પાવર $P_{out} = nE = n \frac{hc}{\lambda}$ થાય。
$n$ માટે સૂત્ર બનાવતા, $n = \frac{P_{out} \lambda}{hc}$ મળે。
કિંમતો મૂકતા: $n = \frac{50 \times 0.6 \times 10^{-6}}{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}$.
$n = \frac{30 \times 10^{-6}}{19.89 \times 10^{-26}} \approx 1.5 \times 10^{20}$ ફોટોન પ્રતિ સેકન્ડ。

(A) આપેલ છે: તરંગલંબાઈ $\lambda = 660\,nm = 660 \times 10^{-9}\,m$,પાવર $P = 0.5\,kW = 0.5 \times 10^3\,W$,પલ્સની પહોળાઈ $t = 60\,ms = 60 \times 10^{-3}\,s$,પ્લાન્કનો અચળાંક $h = 6.62 \times 10^{-34}\,Js$,પ્રકાશની ઝડપ $c = 3 \times 10^8\,m/s$.
પલ્સની કુલ ઉર્જા $E = P \times t$ દ્વારા મળે છે.
એક ફોટોનની ઉર્જા $E_{photon} = \frac{hc}{\lambda}$ છે.
ફોટોનની સંખ્યા $n = \frac{E}{E_{photon}} = \frac{P \times t \times \lambda}{h \times c}$.
કિંમતો મૂકતા:
$n = \frac{0.5 \times 10^3 \times 60 \times 10^{-3} \times 660 \times 10^{-9}}{6.62 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}$.
$6.62 \approx 6.6$ લેતા:
$n = \frac{0.5 \times 60 \times 660 \times 10^{-9}}{6.6 \times 3 \times 10^{-26}} \approx 10^{20}$.
આમ,ફોટોનની સંખ્યા $10^{20}$ છે.

(B) ફોટોનનું પ્રારંભિક વેગમાન $P_i = \frac{h}{\lambda}$ છે.
અંતિમ તરંગલંબાઈ $\lambda' = \lambda + \Delta \lambda = \lambda + 3\lambda = 4\lambda$.
ફોટોનનું અંતિમ વેગમાન $P_f = \frac{h}{4\lambda} = \frac{P_i}{4}$ છે. ધારો કે $P = P_f = \frac{h}{4\lambda}$,તો $P_i = 4P$.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $\vec{P}_i = \vec{P}_f + \vec{P}_e$,જ્યાં $\vec{P}_e$ એ ઈલેક્ટ્રોનનું વેગમાન છે.
$\vec{P}_e = \vec{P}_i - \vec{P}_f$.
આપાત ફોટોનની દિશાને $x$-અક્ષ તરીકે લેતા:
$\vec{P}_i = 4P \hat{i}$.
$\vec{P}_f = P \cos 60^o \hat{i} + P \sin 60^o \hat{j} = P(\frac{1}{2}) \hat{i} + P(\frac{\sqrt{3}}{2}) \hat{j}$.
$\vec{P}_e = (4P - \frac{P}{2}) \hat{i} - \frac{\sqrt{3}P}{2} \hat{j} = \frac{7P}{2} \hat{i} - \frac{\sqrt{3}P}{2} \hat{j}$.
ઈલેક્ટ્રોનનો પ્રકીર્ણન કોણ $\phi$ માટે $\tan \phi = |\frac{P_{ey}}{P_{ex}}| = \frac{\sqrt{3}P/2}{7P/2} = \frac{\sqrt{3}}{7}$.
$\tan \phi = \frac{1.732}{7} \approx 0.247 \approx 0.25$.

(B) ટ્રાન્સમીટરનો પાવર $P$ એ $P = n \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત ફોટોનની સંખ્યા છે.
આપેલ છે:
પાવર $P = 10\, kW = 10^4\, W$
તરંગલંબાઈ $\lambda = 500\, m$
પ્લાન્કનો અચળાંક $h \approx 6.63 \times 10^{-34}\, J\cdot s$
પ્રકાશની ઝડપ $c = 3 \times 10^8\, m/s$
$n$ માટે સૂત્રને ગોઠવતા:
$n = \frac{P \lambda}{hc}$
કિંમતો મૂકતા:
$n = \frac{10^4 \times 500}{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}$
$n = \frac{5 \times 10^6}{19.89 \times 10^{-26}}$
$n \approx 0.251 \times 10^{32} \approx 2.51 \times 10^{31}$
તેથી,સંખ્યાનો ક્રમ $10^{31}$ છે.

(D) લેસરનો પાવર $P = n \cdot E_{photon}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત ફોટોનની સંખ્યા છે અને $E_{photon} = \frac{hc}{\lambda}.$
અહીં $P = 2\,mW = 2 \times 10^{-3}\,W,$ $\lambda = 500\,nm = 500 \times 10^{-9}\,m,$ $h = 6.6 \times 10^{-34}\,Js,$ અને $c = 3.0 \times 10^8\,m/s$ છે.
$n$ માટે સૂત્ર: $n = \frac{P \cdot \lambda}{h \cdot c}$
કિંમતો મૂકતા:
$n = \frac{2 \times 10^{-3} \times 500 \times 10^{-9}}{6.6 \times 10^{-34} \times 3.0 \times 10^8}$
$n = \frac{1000 \times 10^{-12}}{19.8 \times 10^{-26}}$
$n = \frac{10^{-9}}{19.8 \times 10^{-26}} \approx 5 \times 10^{15}.$
આમ,પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત ફોટોનની સંખ્યા $5 \times 10^{15}$ છે.

(A) બલ્બ દ્વારા ઉત્સર્જિત કુલ ઉર્જા $E = P \times t$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $P = 10\,W$ અને $t = 10\,s$ છે.
$E = 10 \times 10 = 100\,J.$
એક ફોટોનની ઉર્જા $E_{ph} = \frac{hc}{\lambda}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં $h = 6.63 \times 10^{-34}\,J\cdot s,$ $c = 3 \times 10^8\,m/s,$ અને $\lambda = 1000 \times 10^{-10}\,m = 10^{-7}\,m$ છે.
$E_{ph} = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{10^{-7}} = 19.89 \times 10^{-19}\,J.$
ફોટોનની સંખ્યા $n = \frac{E}{E_{ph}}$ દ્વારા મળે છે.
$n = \frac{100}{19.89 \times 10^{-19}} \approx 5.027 \times 10^{20}.$
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $5.05 \times 10^{20}$ છે.

(B) પ્લાન્ક અચળાંક $(h)$ એ ફોટોનની ઉર્જા અને તેની આવૃત્તિ વચ્ચેનો સંબંધ $E = h \nu$ સમીકરણ દ્વારા દર્શાવે છે.
ઉર્જા $E$ નો એકમ જુલ $(J)$ છે અને આવૃત્તિ $\nu$ નો એકમ $s^{-1}$ છે,તેથી $h$ નો એકમ $J \cdot s$ થાય છે.
વૈકલ્પિક રીતે,$E = \text{બળ} \times \text{અંતર} = (kg \cdot m/s^2) \times m = kg \cdot m^2/s^2$ હોવાથી,$h = E/\nu = (kg \cdot m^2/s^2) / (1/s) = kg \cdot m^2/s$ થાય છે.
પ્લાન્ક અચળાંકનું આંકડાકીય મૂલ્ય આશરે $6.63 \times 10^{-34} \; J \cdot s$ અથવા $6.63 \times 10^{-34} \; kg \cdot m^2/s$ છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $B$ સાચું મૂલ્ય અને એકમ દર્શાવે છે.

(B) પ્રકાશ સ્ત્રોતનો પાવર $P$ એ $P = n \cdot E_{photon}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત ફોટોનની સંખ્યા છે અને $E_{photon} = \frac{hc}{\lambda}$.
તેથી,$n = \frac{P \cdot \lambda}{hc}$.
આપેલ છે: $P = 100\,W$,$\lambda = 5000 \times 10^{-10}\,m$,$h = 6.63 \times 10^{-34}\,J\cdot s$,અને $c = 3 \times 10^8\,m/s$.
કિંમતો મૂકતા:
$n = \frac{100 \times 5000 \times 10^{-10}}{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}$
$n = \frac{5 \times 10^{-5}}{19.89 \times 10^{-26}} \approx 0.25 \times 10^{21} = 2.5 \times 10^{20}$.
તેથી,ફોટોન ઉત્સર્જનનો દર $10^{20}$ ના ક્રમનો છે.

(D) ફોટોનની ઊર્જા શોધવાનું સૂત્ર $E = \frac{hc}{\lambda}$ છે.
અહીં,$h = 6.6 \times 10^{-34} \, J \cdot s$,$c = 3 \times 10^{8} \, m/s$,અને $\lambda = 2 \, cm = 2 \times 10^{-2} \, m$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$E = \frac{6.6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^{8}}{2 \times 10^{-2}} = 9.9 \times 10^{-24} \, J$.
આ ઊર્જાને $eV$ માં ફેરવવા માટે,તેને ઇલેક્ટ્રોનના વિદ્યુતભાર $(1.6 \times 10^{-19} \, C)$ વડે ભાગતા:
$E = \frac{9.9 \times 10^{-24}}{1.6 \times 10^{-19}} \, eV = 6.1875 \times 10^{-5} \, eV \approx 6.2 \times 10^{-5} \, eV$.

(B) એક ફોટોનની ઉર્જા $E_p = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $h = 6.63 \times 10^{-34} \, \text{J s}$,$c = 3 \times 10^8 \, \text{m/s}$,અને $\lambda = 5000 \, \mathring{A} = 5000 \times 10^{-10} \, \text{m} = 5 \times 10^{-7} \, \text{m}$.
$E_p = \frac{(6.63 \times 10^{-34}) \times (3 \times 10^8)}{5 \times 10^{-7}} \approx 3.978 \times 10^{-19} \, \text{J} \approx 4 \times 10^{-19} \, \text{J}$.
ધારો કે $n$ એ ફોટોનની સંખ્યા છે. કુલ ઉર્જા $E_{total} = n \times E_p$.
આપેલ છે $E_{total} = 10^{-7} \, \text{J}$.
$n = \frac{E_{total}}{E_p} = \frac{10^{-7}}{4 \times 10^{-19}} = 0.25 \times 10^{12} = 2.5 \times 10^{11}$.
આમ,ફોટોનની સંખ્યા $2.5 \times 10^{11}$ છે.

(A) બલ્બને આપવામાં આવતી પાવર $P = 100 \, W = 100 \, J/s$ છે.
દ્રશ્ય પ્રકાશ તરીકે પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત ઉર્જા $E = 5\% \text{ of } 100 \, J/s = \frac{5}{100} \times 100 = 5 \, J/s$ છે.
એક ફોટોનની ઉર્જા $E_{photon} = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\lambda = 5.6 \times 10^{-5} \, cm = 5.6 \times 10^{-7} \, m$,$h = 6.6 \times 10^{-34} \, J \cdot s$,અને $c = 3 \times 10^8 \, m/s$ છે.
ધારો કે $n$ એ પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત ફોટોનની સંખ્યા છે.
તેથી $n \times E_{photon} = 5 \, J/s$.
$n = \frac{5 \times \lambda}{hc} = \frac{5 \times 5.6 \times 10^{-7}}{(6.6 \times 10^{-34}) \times (3 \times 10^8)}$.
$n = \frac{28 \times 10^{-7}}{19.8 \times 10^{-26}} \approx 1.414 \times 10^{19} \approx 1.4 \times 10^{19}$ ફોટોન પ્રતિ સેકન્ડ.

(A) $t$ સમયમાં લેમ્પ દ્વારા ઉત્સર્જિત કુલ ઉર્જા $E_{total} = P \times t$ છે.
લેમ્પ બધી દિશાઓમાં સમાન રીતે પ્રકાશનું ઉત્સર્જન કરે છે,તેથી $l$ અંતરે તીવ્રતા $I = \frac{P}{4\pi l^2}$ છે.
સેન્સર પાસે $4d$ વ્યાસનું વર્તુળાકાર મુખ છે,તેથી તેની ત્રિજ્યા $r = 2d$ છે.
વર્તુળાકાર મુખનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi (2d)^2 = 4\pi d^2$ છે.
સેન્સર પર આપાત થતી ઉર્જા $E = I \times A \times t = \left( \frac{P}{4\pi l^2} \right) \times (4\pi d^2) \times t = \frac{P d^2 t}{l^2}$ છે.
જો $n$ એ ફોટોનની સંખ્યા હોય,તો $E = n \times \frac{hc}{\lambda}$ થાય.
ઉર્જા માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $n \frac{hc}{\lambda} = \frac{P d^2 t}{l^2}$.
$n$ માટે ઉકેલતા: $n = \frac{P \lambda d^2 t}{hc l^2}$.

(C) ફોટોનની ઉર્જા શોધવાનું સૂત્ર $E = \frac{hc}{\lambda}$ છે.
ટૂંકી રીત મુજબ $E(\text{eV}) = \frac{12400}{\lambda(\mathring{A})}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = \frac{12400}{1000} \, \text{eV} = 12.4 \, \text{eV}$.
આ ઉર્જાને જૂલમાં ફેરવવા માટે,આપણે તેને ઇલેક્ટ્રોનના વિદ્યુતભાર $(1.6 \times 10^{-19} \, \text{C})$ વડે ગુણીશું:
$E = 12.4 \times 1.6 \times 10^{-19} \, \text{J}$.
$E = 19.84 \times 10^{-19} \, \text{J}$.

(B) ફોટોનની ઉર્જા $E = pc$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $p$ એ વેગમાન છે અને $c$ એ પ્રકાશની ગતિ છે.
તેથી,વેગમાન $p = E/c$.
અહીં $E = 20 \, eV = 20 \times 1.6 \times 10^{-19} \, J = 3.2 \times 10^{-18} \, J$ આપેલ છે.
પ્રકાશની ગતિ $c = 3 \times 10^8 \, m/s$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$p = \frac{3.2 \times 10^{-18}}{3 \times 10^8} \, kg \cdot m/s$.
$p = 1.066 \times 10^{-26} \, kg \cdot m/s = 10.66 \times 10^{-27} \, kg \cdot m/s$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) ફોટોનની ઉર્જા $E$ એ $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$c$ એ પ્રકાશની ગતિ છે અને $\lambda$ એ તરંગલંબાઈ છે.
ફોટોનનું વેગમાન $P$ એ $P = \frac{h}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સંબંધો પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $E$ અને $P$ બંને તરંગલંબાઈ $\lambda$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે ($E \propto \frac{1}{\lambda}$ અને $P \propto \frac{1}{\lambda}$).
તેથી,જો તરંગલંબાઈ $\lambda$ ઘટાડવામાં આવે,તો ઉર્જા $E$ અને વેગમાન $P$ બંને વધશે.

(B) ફોટોનનું વેગમાન $p = \frac{h}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે। કારણ કે $p = mc$ (જ્યાં $m$ એ ફોટોનનું સાપેક્ષ દળ છે અને $c$ એ પ્રકાશની ઝડપ છે), તેથી $mc = \frac{h}{\lambda}$, જે સૂચવે છે કે $m = \frac{h}{c\lambda}$। આમ, ગતિશીલ ફોટોનનું દળ $m$ તેની તરંગલંબાઈ $\lambda$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે। તેથી વિધાન સાચું છે.
કારણ જણાવે છે કે $E = mc^2$। જોકે આ આઈન્સ્ટાઈનનો દળ-ઉર્જા સમતુલ્યતાનો સંબંધ છે, તે સ્થિર કણની ઉર્જા અથવા દળના ઉર્જા સમતુલ્યને દર્શાવે છે। તે ફોટોનના દળ અને તેની તરંગલંબાઈ વચ્ચેના સંબંધને સમજાવતું નથી। તેથી, કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી નથી।

(A) સાપેક્ષવાદના સિદ્ધાંત મુજબ,કણની ઉર્જા $E^2 = (pc)^2 + (m_0c^2)^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ફોટોન માટે,સ્થિર દળ $m_0$ એ $0$ છે.
તેથી,$E^2 = (pc)^2$,જેનું સાદું રૂપ $E = pc$ અથવા $p = E/c$ થાય છે.
આ સંબંધ ખાસ કરીને ફોટોનના કણ સ્વભાવ પરથી તારવવામાં આવ્યો છે,જે તેને સ્થિર દળ ન હોવા છતાં વેગમાન ધરાવવાની ક્ષમતા આપે છે.
આમ,વિધાન સાચું છે અને કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી છે.

(A) ફોટોનની ઊર્જા શોધવાનું સૂત્ર $E = \frac{hc}{\lambda}$ છે.
આપેલ છે:
$h = 6.63 \times 10^{-34} \, J \cdot s$
$c = 3 \times 10^8 \, m/s$
$\lambda = 6840 \times 10^{-10} \, m$
$E(eV) = \frac{12400}{\lambda(\mathring{A})}$ સંબંધનો ઉપયોગ કરતા:
$E = \frac{12400}{6840} \, eV$
$E \approx 1.81 \, eV$.

(N/A) ઇલેક્ટ્રોન વધુ ઝડપી છે. તેમની ઝડપનો ગુણોત્તર $13.54:1$ છે.
આપેલ છે:
ઇલેક્ટ્રોનનું દળ,$m_e = 9.11 \times 10^{-31} \; kg$
પ્રોટોનનું દળ,$m_p = 1.67 \times 10^{-27} \; kg$
ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા,$E_{Ke} = 10 \; keV = 10^4 \; eV = 1.60 \times 10^{-15} \; J$
પ્રોટોનની ગતિઊર્જા,$E_{Kp} = 100 \; keV = 10^5 \; eV = 1.60 \times 10^{-14} \; J$
ગતિઊર્જાના સૂત્ર $E_K = \frac{1}{2}mv^2$ નો ઉપયોગ કરતા,વેગ $v = \sqrt{\frac{2E_K}{m}}$ મળે છે.
ઇલેક્ટ્રોન માટે:
$v_e = \sqrt{\frac{2 \times 1.60 \times 10^{-15}}{9.11 \times 10^{-31}}} \approx 5.93 \times 10^7 \; m/s$
પ્રોટોન માટે:
$v_p = \sqrt{\frac{2 \times 1.60 \times 10^{-14}}{1.67 \times 10^{-27}}} \approx 4.38 \times 10^6 \; m/s$
વેગની સરખામણી કરતા,$v_e > v_p$,તેથી ઇલેક્ટ્રોન વધુ ઝડપી છે.
તેમની ઝડપનો ગુણોત્તર $\frac{v_e}{v_p} = \frac{5.93 \times 10^7}{4.38 \times 10^6} \approx 13.54$ છે.

(A) પ્રકાશના તરંગોના પ્રસરણ માટે 'ઈથર'ના માધ્યમની કલ્પના કરવામાં આવી હતી. જોકે,માઈકલસન-મોર્લેના પ્રયોગમાં ઈથરનું અસ્તિત્વ સાબિત થઈ શક્યું ન હતું. આલ્બર્ટ આઈન્સ્ટાઈને $1905$ માં પ્રકાશિત તેમના વિશિષ્ટ સાપેક્ષવાદના સિદ્ધાંતમાં ઈથર માધ્યમની જરૂરિયાતને નકારી કાઢી હતી. તેમણે જણાવ્યું હતું કે શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ તમામ જડત્વીય અવલોકનકારો માટે સમાન રહે છે,પછી ભલે તે સ્ત્રોત કે અવલોકનકારની ગતિ ગમે તે હોય.

(N/A) પરાવર્તન અને વક્રીભવન એ દ્રવ્યના પરમાણુ ઘટકો સાથે આપાત પ્રકાશની આંતરક્રિયા દ્વારા ઉદ્ભવે છે. પરમાણુઓ દોલકો તરીકે વર્તે છે જે બાહ્ય એજન્સી (આપાત પ્રકાશ) ની આવૃત્તિ ગ્રહણ કરે છે,જેના પરિણામે બળપૂર્વકના દોલનો થાય છે. ચાર્જ્ડ દોલક દ્વારા ઉત્સર્જિત પ્રકાશની આવૃત્તિ તેના દોલનની આવૃત્તિ જેટલી હોવાથી,પરાવર્તિત અને વક્રીભૂત પ્રકાશની આવૃત્તિ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ જેટલી જ રહે છે.
$(b)$ ના. તરંગ દ્વારા વહન થતી ઊર્જા તરંગના કંપવિસ્તાર પર આધાર રાખે છે,તરંગના પ્રસરણની ઝડપ પર નહીં. તેથી,ઝડપમાં ઘટાડો એ ઊર્જામાં ઘટાડો સૂચવતું નથી.
$(c)$ પ્રકાશના ફોટોનવાદમાં,આપેલ આવૃત્તિ માટે પ્રકાશની તીવ્રતા એકમ સમયમાં એકમ ક્ષેત્રફળમાંથી પસાર થતા ફોટોનની સંખ્યા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.

(N/A) દરેક ફોટોનની ઊર્જા $E = h\nu$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h = 6.63 \times 10^{-34} \;J \cdot s$ અને $\nu = 6.0 \times 10^{14} \;Hz$ છે.
$E = (6.63 \times 10^{-34} \;J \cdot s)(6.0 \times 10^{14} \;Hz) = 3.978 \times 10^{-19} \;J \approx 3.98 \times 10^{-19} \;J$.
$(b)$ જો $N$ એ પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત ફોટોનની સંખ્યા હોય,તો કુલ પાવર $P = N \cdot E$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$N = \frac{P}{E} = \frac{2.0 \times 10^{-3} \;W}{3.978 \times 10^{-19} \;J} \approx 5.03 \times 10^{15} \;\text{ફોટોન/સેકન્ડ}$.

(N/A) આપેલ છે: તરંગલંબાઇ $\lambda = 632.8 \; nm = 632.8 \times 10^{-9} \; m$,પાવર $P = 9.42 \; mW = 9.42 \times 10^{-3} \; W$.
$(a)$ ફોટોનની ઊર્જા $E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{(6.63 \times 10^{-34} \; J \cdot s)(3 \times 10^8 \; m/s)}{632.8 \times 10^{-9} \; m} \approx 3.14 \times 10^{-19} \; J$.
ફોટોનનું વેગમાન $p = \frac{h}{\lambda} = \frac{6.63 \times 10^{-34} \; J \cdot s}{632.8 \times 10^{-9} \; m} \approx 1.05 \times 10^{-27} \; kg \cdot m/s$.
$(b)$ પ્રતિ સેકન્ડ ફોટોનની સંખ્યા $N = \frac{P}{E} = \frac{9.42 \times 10^{-3} \; W}{3.14 \times 10^{-19} \; J} = 3 \times 10^{16} \; \text{ફોટોન/સેકન્ડ}$.
$(c)$ હાઇડ્રોજન પરમાણુનું વેગમાન $p = mv$. આપેલ છે $p = 1.05 \times 10^{-27} \; kg \cdot m/s$ અને હાઇડ્રોજન પરમાણુનું દળ $m \approx 1.67 \times 10^{-27} \; kg$.
$v = \frac{p}{m} = \frac{1.05 \times 10^{-27}}{1.67 \times 10^{-27}} \approx 0.63 \; m/s$.

(D) આપેલ છે: ઉર્જા ફ્લક્સ $I = 1.388 \times 10^{3} \; W/m^{2}$, તરંગલંબાઇ $\lambda = 550 \; nm = 550 \times 10^{-9} \; m$.
એક ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$h = 6.626 \times 10^{-34} \; J \cdot s$ અને $c = 3 \times 10^{8} \; m/s$ લેતા:
$E = \frac{6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^{8}}{550 \times 10^{-9}} \approx 3.614 \times 10^{-19} \; J$.
એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ દર સેકન્ડે આપાત થતા ફોટોનની સંખ્યા $n = \frac{I}{E}$ દ્વારા મળે છે.
$n = \frac{1.388 \times 10^{3}}{3.614 \times 10^{-19}} \approx 3.84 \times 10^{21} \; \text{photons}/m^{2} \cdot s$.
આશરે કિંમત લેતા, $n \approx 4 \times 10^{21} \; \text{photons}/m^{2} \cdot s$ મળે છે.

(N/A) આપેલ છે: પાવર $P = 100 \; W$, તરંગલંબાઇ $\lambda = 589 \; nm = 589 \times 10^{-9} \; m$, પ્લાન્કનો અચળાંક $h = 6.63 \times 10^{-34} \; J \cdot s$, પ્રકાશની ઝડપ $c = 3 \times 10^8 \; m/s$.
$(a)$ ફોટોન દીઠ ઊર્જા $E$ સૂત્ર $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $E = \frac{(6.63 \times 10^{-34} \; J \cdot s) \times (3 \times 10^8 \; m/s)}{589 \times 10^{-9} \; m} \approx 3.376 \times 10^{-19} \; J$.
$(b)$ ફોટોન પહોંચાડવાનો દર $n$ એ $n = \frac{P}{E}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $n = \frac{100 \; W}{3.376 \times 10^{-19} \; J} \approx 2.96 \times 10^{20} \; \text{ફોટોન/સેકન્ડ}$.

(N/A) ફોટોનનું વેગમાન $p$ એ $p = E / c$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E$ એ ફોટોનની ઉર્જા છે અને $c$ એ પ્રકાશની ગતિ છે.
ફોટોનની ઉર્જા $E = h \nu$ હોવાથી,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $\nu$ એ આવૃત્તિ છે,તેથી આપણને $p = h \nu / c$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રકાશની ગતિ,આવૃત્તિ અને તરંગલંબાઈ વચ્ચેનો સંબંધ $c = \nu \lambda$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\lambda = c / \nu$.
વેગમાનના સમીકરણમાં $c / \nu = \lambda$ મૂકતા,આપણને $p = h / \lambda$ મળે છે.
આને ફરીથી ગોઠવતા દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈનું સૂત્ર મળે છે: $\lambda = h / p$.
આમ,ફોટોનની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ એ વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણની તરંગલંબાઈ જેટલી જ હોય છે,જેનો ફોટોન એ ઉર્જા અને વેગમાનનો ક્વોન્ટમ છે.

(C) ઇલેક્ટ્રોન-પોઝિટ્રોન જોડીની કુલ ઊર્જા $E = 10.2 \; BeV = 10.2 \times 10^9 \; eV$ છે.
આ ઊર્જાને જુલમાં ફેરવતા: $E = 10.2 \times 10^9 \times 1.602 \times 10^{-19} \; J = 1.634 \times 10^{-9} \; J$.
કારણ કે આ જોડી સમાન ઊર્જા ધરાવતા બે $\gamma$-કિરણોમાં રૂપાંતરિત થાય છે,તેથી દરેક $\gamma$-કિરણની ઊર્જા $E' = E / 2 = 0.817 \times 10^{-9} \; J$ થશે.
સંબંધ $E' = \frac{hc}{\lambda}$ નો ઉપયોગ કરતા,તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{hc}{E'}$ મળે છે.
$h = 6.626 \times 10^{-34} \; Js$ અને $c = 3 \times 10^8 \; m/s$ કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{0.817 \times 10^{-9}} \approx 2.433 \times 10^{-16} \; m$.
આપેલ વિકલ્પ મુજબ,સાચી તરંગલંબાઇ $2.436 \times 10^{-16} \; m$ છે.

(N/A) મીડિયમ વેવ ટ્રાન્સમીટરનો પાવર,$P = 10\; kW = 10^4\; W = 10^4\; J/s$.
તેથી,ટ્રાન્સમીટર દ્વારા પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત ઉર્જા,$E = 10^4\; J$.
રેડિયો તરંગની તરંગલંબાઇ,$\lambda = 500\; m$.
એક ફોટોનની ઉર્જા $E_1 = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યાં,$h = 6.6 \times 10^{-34}\; Js$ અને $c = 3 \times 10^8\; m/s$.
$E_1 = \frac{6.6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{500} = 3.96 \times 10^{-28}\; J$.
ધારો કે $n$ એ પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત ફોટોનની સંખ્યા છે.
$n = \frac{E}{E_1} = \frac{10^4}{3.96 \times 10^{-28}} \approx 2.525 \times 10^{31} \approx 3 \times 10^{31}$ ફોટોન/સેકન્ડ.
ફોટોનની સંખ્યા ખૂબ મોટી હોવાથી,ઉર્જાની અસતત પ્રકૃતિને અવગણી શકાય છે અને તરંગને સતત ગણી શકાય છે.
$(b)$ પ્રકાશની તીવ્રતા,$I = 10^{-10}\; W m^{-2}$.
કીકીનું ક્ષેત્રફળ,$A = 0.4\; cm^2 = 0.4 \times 10^{-4}\; m^2$.
સફેદ પ્રકાશની આવૃત્તિ,$\nu = 6 \times 10^{14}\; Hz$.
એક ફોટોનની ઉર્જા,$E_p = h\nu = 6.6 \times 10^{-34} \times 6 \times 10^{14} = 3.96 \times 10^{-19}\; J$.
કીકી પર પ્રતિ સેકન્ડ આપાત થતી કુલ ઉર્જા,$E_{total} = I \times A = 10^{-10} \times 0.4 \times 10^{-4} = 4 \times 10^{-15}\; J/s$.
પ્રતિ સેકન્ડ કીકીમાં પ્રવેશતા ફોટોનની સંખ્યા,$n = \frac{E_{total}}{E_p} = \frac{4 \times 10^{-15}}{3.96 \times 10^{-19}} \approx 1.01 \times 10^4$ ફોટોન/સેકન્ડ.
આ સંખ્યા એટલી મોટી છે કે માનવ આંખ વ્યક્તિગત ફોટોનને જોઈ શકતી નથી.

(N/A) પરમાણુ અને ન્યુક્લિયર ભૌતિકવિજ્ઞાનમાં ઉર્જાનો એકમ ઇલેક્ટ્રોન વોલ્ટ $(eV)$ છે。
વ્યાખ્યા: જ્યારે $1$ ઇલેક્ટ્રોનને $1$ વોલ્ટના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત હેઠળ પ્રવેગિત કરવામાં આવે ત્યારે તેના દ્વારા મેળવેલી ગતિ ઉર્જાને ઇલેક્ટ્રોન વોલ્ટ કહેવામાં આવે છે。
ગાણિતિક રીતે,ઇલેક્ટ્રોન વોલ્ટ અને જુલ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$1 eV = 1.602 \times 10^{-19} J$
$1 J = 6.242 \times 10^{18} eV$
કોષ્ટક $11.1$: કેટલીક ધાતુઓનું કાર્ય વિધેય (Work function)

ધાતુ	કાર્ય વિધેય $\phi_{0} (eV)$
$Cs$	$2.14$
$K$	$2.30$
$Na$	$2.75$
$Ca$	$3.20$
$Mo$	$4.17$
$Pb$	$4.25$
$Al$	$4.28$
$Hg$	$4.49$
$Cu$	$4.65$
$Ag$	$4.70$
$Ni$	$5.15$
$Pt$	$5.65$