Particle Nature of Light : Photon Questions in Gujarati

(B) ફોટોન ઊર્જા ધરાવે છે તે ખ્યાલ પદાર્થ સાથે વિકિરણની આંતરક્રિયા સાથે મૂળભૂત રીતે જોડાયેલો છે. જોકે $Bohr$ નો સિદ્ધાંત પરમાણુઓમાં ઊર્જા સ્તરોનું વર્ણન કરે છે,પરંતુ ફોટોન ઊર્જા અને વેગમાન ધરાવે છે અને આ ઊર્જા ઇલેક્ટ્રોનને સ્થાનાંતરિત કરી શકે છે તે પ્રાયોગિક પુરાવા $Compton$ અસર દ્વારા ચોક્કસપણે સ્થાપિત કરવામાં આવ્યા હતા. $Compton$ અસરમાં,એક $X$-ray ફોટોન ઇલેક્ટ્રોન સાથે અથડાય છે,જે તેની ઊર્જા અને વેગમાનનો અમુક ભાગ ઇલેક્ટ્રોનને સ્થાનાંતરિત કરે છે,જે પ્રકાશની કણ જેવી પ્રકૃતિ અને ફોટોનની ઊર્જા વહન કરવાની ક્ષમતાની પુષ્ટિ કરે છે.

(B) પોઝિટ્રોન એ ઇલેક્ટ્રોનનો એન્ટિપાર્ટિકલ (પ્રતિકણ) છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,એન્ટિપાર્ટિકલનું દળ તેના અનુરૂપ કણ જેટલું જ હોય છે.
તેથી,પોઝિટ્રોનનું દળ ઇલેક્ટ્રોનના દળ જેટલું જ હોય છે,જે આશરે $9.11 \times 10^{-31} \; kg$ અથવા $0.000548 \; a.m.u.$ છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(b)$ છે.

(A) કણની સ્થિર દળ ઉર્જા આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઉર્જા સમતુલ્યતાના સૂત્ર $E = m_e c^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,ઇલેક્ટ્રોનનું સ્થિર દળ $m_e = 9.109 \times 10^{-31} \, kg$ છે અને પ્રકાશની ગતિ $c \approx 3 \times 10^8 \, m/s$ છે.
જૂલમાં ઉર્જાની ગણતરી:
$E = (9.109 \times 10^{-31} \, kg) \times (3 \times 10^8 \, m/s)^2 \approx 8.198 \times 10^{-14} \, J$.
આ ઉર્જાને ઇલેક્ટ્રોન-વોલ્ટ $(eV)$ માં રૂપાંતરિત કરવા માટે,આપણે તેને ઇલેક્ટ્રોનના વિદ્યુતભાર $(1.602 \times 10^{-19} \, C)$ વડે ભાગીએ છીએ:
$E = \frac{8.198 \times 10^{-14} \, J}{1.602 \times 10^{-19} \, J/eV} \approx 511,735 \, eV \approx 0.511 \, MeV = 511 \, keV$.
પ્રમાણિત મૂલ્ય મુજબ,ઇલેક્ટ્રોનની સ્થિર ઉર્જા આશરે $510 \, keV$ છે.

(C) ઇલેક્ટ્રોન,જેને $_{-1}e^{0}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,તેનો એન્ટિપાર્ટિકલ પોઝિટ્રોન છે,જેને $_{+1}e^{0}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
બંને કણોનું દળ સમાન હોય છે,પરંતુ પોઝિટ્રોન ધન પ્રાથમિક વિદ્યુતભાર ધરાવે છે,જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન ઋણ પ્રાથમિક વિદ્યુતભાર ધરાવે છે.

(B) પેર પ્રોડક્શનની પ્રક્રિયામાં ગેમા કિરણ ફોટોન ન્યુક્લિયસ સાથે આંતરક્રિયા કરીને એક ઇલેક્ટ્રોન અને એક પોઝિટ્રોન ઉત્પન્ન કરે છે.
ગેમા કિરણ ફોટોનની ઉર્જા $(E_{\gamma})$ ઇલેક્ટ્રોનની સ્થિર દળ ઉર્જા $(m_e c^2)$,પોઝિટ્રોનની સ્થિર દળ ઉર્જા $(m_p c^2)$ અને જોડીની કુલ ગતિ ઉર્જા $(K.E.)$ પૂરી પાડવા માટે વપરાય છે.
આપેલ છે:
ઇલેક્ટ્રોનની સ્થિર દળ ઉર્જા $(m_e c^2)$ = $0.5\, MeV$.
પોઝિટ્રોનની સ્થિર દળ ઉર્જા $(m_p c^2)$ = $0.5\, MeV$ (કારણ કે તે ઇલેક્ટ્રોનનો એન્ટિપાર્ટિકલ છે).
કુલ ગતિ ઉર્જા $(K.E.)$ = $0.78\, MeV$.
તેથી,ગેમા કિરણ ફોટોનની ઉર્જા:
$E_{\gamma} = m_e c^2 + m_p c^2 + K.E.$
$E_{\gamma} = 0.5\, MeV + 0.5\, MeV + 0.78\, MeV = 1.78\, MeV$.

(C) ઇલેક્ટ્રોન અને પોઝિટ્રોન એકબીજાના એન્ટિ-પાર્ટિકલ્સ (પ્રતિકણો) છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,એક કણ અને તેનો અનુરૂપ એન્ટિ-પાર્ટિકલ સમાન દળ અને સ્પિન ધરાવે છે,પરંતુ તેમના વીજભાર વિરુદ્ધ હોય છે.
તેથી,પોઝિટ્રોનનું દળ ઇલેક્ટ્રોનના દળ જેટલું જ હોય છે,જે આશરે $9.11 \times 10^{-31} \ kg$ છે.

(C) ઇલેક્ટ્રોનની સ્થિર ઉર્જા $E_0 = m_0 c^2 = 0.511 \, MeV$ છે.
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોનને $v = 0.5 \, c$ વેગ સુધી પ્રવેગિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેની કુલ ઉર્જા $E$ સાપેક્ષવાદના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$E = \frac{m_0 c^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$
$v = 0.5 \, c$ મૂકતા:
$E = \frac{0.511}{\sqrt{1 - (0.5)^2}} = \frac{0.511}{\sqrt{1 - 0.25}} = \frac{0.511}{\sqrt{0.75}}$
$E = \frac{0.511}{0.866} \approx 0.590 \, MeV$
ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta E$ એ કુલ ઉર્જા અને સ્થિર ઉર્જા વચ્ચેનો તફાવત છે:
$\Delta E = E - E_0 = 0.590 \, MeV - 0.511 \, MeV = 0.079 \, MeV$.

(A) આપેલ છે કે,સ્થિર દળ ઉર્જા $E_0 = m_0 c^2 = 0.54 \, MeV$.
ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $v = 0.8 \, c$.
સાપેક્ષવાદ મુજબ દળ $m$ નીચે મુજબ મળે: $m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$.
$v = 0.8 \, c$ મૂકતા:
$m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - (0.8)^2}} = \frac{m_0}{\sqrt{1 - 0.64}} = \frac{m_0}{\sqrt{0.36}} = \frac{m_0}{0.6}$.
કુલ ઉર્જા $E = mc^2 = \frac{m_0 c^2}{0.6}$.
$m_0 c^2 = 0.54 \, MeV$ મૂકતા:
$E = \frac{0.54}{0.6} = 0.9 \, MeV$.
ગતિ ઉર્જા $K.E. = E - E_0$.
$K.E. = 0.9 \, MeV - 0.54 \, MeV = 0.36 \, MeV$.

(C) આઇઝેક ન્યૂટન દ્વારા પ્રસ્તાવિત પ્રકાશના કણવાદ મુજબ,પ્રકાશ એ 'કોર્પસલ્સ' (corpuscles) નામના નાના,દળરહિત કણોનો બનેલો છે.
ન્યૂટને એવી ધારણા કરી હતી કે પ્રકાશના વિવિધ રંગો આ કણોના અલગ-અલગ કદને કારણે હોય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) પ્રકાશના ક્વોન્ટમ સ્વરૂપનો વિચાર,જે મેક્સ પ્લાન્ક દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યો હતો,તે કૃષ્ણ પદાર્થ (black body) ના વિકિરણ વર્ણપટને સમજાવવા માટે રજૂ કરવામાં આવ્યો હતો. શાસ્ત્રીય ભૌતિકવિજ્ઞાન (તરંગ સિદ્ધાંત) ટૂંકી તરંગલંબાઇ પર કૃષ્ણ પદાર્થના વિકિરણના ઉર્જા વિતરણને સમજાવવામાં નિષ્ફળ ગયું હતું (જેને અલ્ટ્રાવાયોલેટ કેટાસ્ટ્રોફ કહેવાય છે). પ્લાન્કે એવી ધારણા કરી હતી કે ઉર્જા ક્વોન્ટા અથવા ફોટોન નામના નાના પેકેટોમાં ઉત્સર્જિત અથવા શોષાય છે,જેણે અવલોકન કરેલા વર્ણપટને સફળતાપૂર્વક સમજાવ્યું.

(B) જ્યારે $X$-રે ફોટોન પ્રોટોન સાથે અથડાય છે,ત્યારે તે કોમ્પ્ટન સ્કેટરિંગ (Compton scattering) અનુભવે છે.
આ પ્રક્રિયામાં,ફોટોન તેની કેટલીક ઉર્જા પ્રોટોનને આપે છે (રિકોઇલ).
ફોટોનની ઉર્જા $E = h\nu$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $\nu$ એ આવૃત્તિ છે,તેથી ઉર્જામાં ઘટાડો થવાથી આવૃત્તિમાં પણ ઘટાડો થાય છે.
તેથી,સ્કેટર થયેલા ફોટોનની આવૃત્તિ ઘટે છે.

(D) ફોટોન એ વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણનો એક ક્વોન્ટમ છે. તે એક પ્રાથમિક કણ છે જે ઉર્જા અને વેગમાન ધરાવે છે,પરંતુ તેનું સ્થિર દળ શૂન્ય છે અને વિદ્યુતભાર પણ શૂન્ય છે. તેની પાસે કોઈ વિદ્યુતભાર ન હોવાથી,તે આંતરિક ચુંબકીય ચાકમાત્રા ધરાવતું નથી. તેથી,ફોટોન વિદ્યુતભાર કે ચુંબકીય ચાકમાત્રા બંનેમાંથી કોઈની સાથે સંકળાયેલ નથી.

(D) ઈલેક્ટ્રોન $(e^-)$ ની રેસ્ટ માસ ઊર્જા $0.51 \, MeV$ છે.
પોઝિટ્રોન $(e^+)$ નું દળ ઈલેક્ટ્રોન જેટલું જ હોવાથી,તેની રેસ્ટ માસ ઊર્જા પણ $0.51 \, MeV$ થાય.
જોડકાના સર્જન (pair production) માટે,ફોટોને ઈલેક્ટ્રોન અને પોઝિટ્રોનની રેસ્ટ માસ ઊર્જાના સરવાળા જેટલી ઊર્જા પૂરી પાડવી પડે.
ન્યૂનત્તમ ઊર્જા $E = m_e c^2 + m_p c^2 = 0.51 \, MeV + 0.51 \, MeV = 1.02 \, MeV$.

(D) ફોટોનનું વેગમાન $p$ એ ડી-બ્રોગ્લી સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $p = \frac{h}{\lambda}$.
આપેલ છે:
પ્લાન્કનો અચળાંક $h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s$.
તરંગલંબાઈ $\lambda = 0.010 \ \mathring A = 0.010 \times 10^{-10} \ m = 10^{-12} \ m$.
કિંમતો મૂકતા:
$p = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{10^{-12}} \ kg \cdot m/s$.
$p = 6.626 \times 10^{-22} \ kg \cdot m/s$.

(A) સ્ત્રોતની પાવર $P$ એ $P = n \cdot E_{photon} = n \cdot \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ પ્રતિ સેકન્ડે ઉત્સર્જાતા ફોટોનની સંખ્યા છે.
તેથી,પ્રતિ સેકન્ડે ઉત્સર્જાતા ફોટોનની સંખ્યા $n = \frac{P \lambda}{hc}$ છે.
અહીં $P_{UV} = P_{IR} = 130 \ W$,$\lambda_{UV} = 400 \ nm$,અને $\lambda_{IR} = 700 \ nm$ આપેલ છે.
પ્રતિ સેકન્ડે ઉત્સર્જાતા ફોટોનની સંખ્યાનો ગુણોત્તર:
$\frac{n_{UV}}{n_{IR}} = \frac{P_{UV} \lambda_{UV} / hc}{P_{IR} \lambda_{IR} / hc} = \frac{\lambda_{UV}}{\lambda_{IR}}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{n_{UV}}{n_{IR}} = \frac{400 \ nm}{700 \ nm} = \frac{4}{7} \approx 0.57$.

(C) ઉદ્દગમનો પાવર $P$ એ $P = n \cdot E_{photon}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જાતા ફોટોનની સંખ્યા છે અને $E_{photon} = \frac{hc}{\lambda}$ છે.
તેથી,પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જાતા ફોટોનની સંખ્યા $n = \frac{P \cdot \lambda}{hc}$ થાય.
અહીં પાવર $P$ અને અચળાંકો $h$ તથા $c$ ત્રણેય ઉદ્દગમો માટે સમાન હોવાથી,ફોટોનની સંખ્યા $n$ એ તરંગલંબાઈ $\lambda$ ના સમપ્રમાણમાં છે $(n \propto \lambda)$.
તરંગલંબાઈની સરખામણી કરતા: $\lambda_{UV} \approx 400 \ nm$,$\lambda_{Visible} \approx 550 \ nm$ અને $\lambda_{IR} \approx 700 \ nm$.
જેમ કે $\lambda_{IR} > \lambda_{Visible} > \lambda_{UV}$,તેથી ઈન્ફ્રારેડ ઉદ્દગમ માટે પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જાતા ફોટોનની સંખ્યા સૌથી વધારે હશે.

(C) બલ્બનો પાવર $P$ એ પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત કુલ ઉર્જા દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે $P = \frac{nE}{\Delta t}$ છે,જ્યાં $n$ એ પ્રતિ સેકન્ડ ફોટોનની સંખ્યા છે અને $E = \frac{hc}{\lambda}$ એ એક ફોટોનની ઉર્જા છે.
આપેલ છે:
પાવર $P = 100 \ W = 100 \ J/s$
તરંગલંબાઈ $\lambda = 540 \ nm = 540 \times 10^{-9} \ m$
પ્લાન્કનો અચળાંક $h = 6 \times 10^{-34} \ J \cdot s$
પ્રકાશની ગતિ $c = 3 \times 10^8 \ m/s$
આ કિંમતોને સૂત્ર $P = \frac{n \cdot hc}{\lambda \cdot t}$ માં મૂકતા:
$100 = \frac{n \times (6 \times 10^{-34}) \times (3 \times 10^8)}{540 \times 10^{-9}}$
$n$ માટે ઉકેલતા:
$n = \frac{100 \times 540 \times 10^{-9}}{6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}$
$n = \frac{54000 \times 10^{-9}}{18 \times 10^{-26}}$
$n = 3000 \times 10^{17} = 3 \times 10^{20}$
આમ,પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત ફોટોનની સંખ્યા $3 \times 10^{20}$ છે.

(A) લીલા પ્રકાશના એક ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{12400 \ eV \cdot \mathring{A}}{5000 \ \mathring{A}} = 2.48 \ eV$ છે.
આને જૂલમાં ફેરવતા: $E \approx 2.48 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J \approx 4 \times 10^{-19} \ J$.
આંખ દ્વારા પારખી શકાતી લઘુત્તમ તીવ્રતા $I_{Eye} = (5 \times 10^4 \ photons/m^2 \cdot s) \times (4 \times 10^{-19} \ J/photon) = 2 \times 10^{-14} \ W/m^2$ છે.
સંવેદનશીલતાનો ગુણોત્તર તીવ્રતાના ગુણોત્તર દ્વારા મળે છે: $\frac{S_{Eye}}{S_{Ear}} = \frac{I_{Ear}}{I_{Eye}} = \frac{10^{-13} \ W/m^2}{2 \times 10^{-14} \ W/m^2} = 5$.
આમ,આંખ કાન કરતા $5$ ગણી વધારે સંવેદી છે.

(C) ફોટોનનું વેગમાન $p$ શોધવાનું સૂત્ર $p = \frac{h}{\lambda}$ છે.
પ્રકાશની ઝડપ $c = \nu \lambda$ હોવાથી,$\lambda = \frac{c}{\nu}$ થાય.
આ કિંમત વેગમાનના સૂત્રમાં મૂકતા,$p = \frac{h\nu}{c}$ મળે.
અહીં આવૃત્તિ $\nu = 10^9 \ Hz$,પ્લાન્કનો અચળાંક $h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \cdot s$ અને પ્રકાશની ઝડપ $c = 3 \times 10^8 \ m/s$ આપેલ છે.
$p = \frac{(6.6 \times 10^{-34} \ J \cdot s) \times (10^9 \ Hz)}{3 \times 10^8 \ m/s}$.
$p = \frac{6.6}{3} \times 10^{-34 + 9 - 8} \ kg \ m/s$.
$p = 2.2 \times 10^{-33} \ kg \ m/s$.

(A) આપેલ છે: આવૃત્તિ $f = 880 \ kHz = 880 \times 10^3 \ Hz$, પાવર $P = 10 \ kW = 10^4 \ J/s$.
એક ફોટોનની ઊર્જા $E_{photon} = hf$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s$ છે।
ધારો કે $n$ એ દર સેકંડે ઉત્સર્જાતા ફોટોન્સની સંખ્યા છે. કુલ પાવર $P$ એ દર સેકંડે ઉત્સર્જાતી ઊર્જા બરાબર છે, તેથી $P = n \times E_{photon} = n \times hf$.
$n$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $n = \frac{P}{hf} = \frac{10^4}{(6.626 \times 10^{-34}) \times (880 \times 10^3)}$.
$n = \frac{10^4}{5.83 \times 10^{-28}} \approx 1.715 \times 10^{31} \approx 1.72 \times 10^{31}$ ફોટોન્સ/સેકન્ડ.

(C) બલ્બનો પાવર $P = 60 \ W$ છે,જેનો અર્થ છે કે દર સેકંડે $60 \ J$ ઊર્જા ઉત્સર્જિત થાય છે.
ધારો કે દર સેકંડે ઉત્સર્જિત થતા ફોટોન્સની સંખ્યા $n$ છે.
એક ફોટોનની ઊર્જા $E_{photon} = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દર સેકંડે ઉત્સર્જિત કુલ ઊર્જા $E = n \times E_{photon} = n \frac{hc}{\lambda}$ છે.
$n$ માટે સૂત્ર બનાવતા,$n = \frac{E \lambda}{hc}$ મળે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $E = 60 \ J$,$\lambda = 660 \times 10^{-9} \ m$,$h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,અને $c = 3 \times 10^8 \ m/s$.
$n = \frac{60 \times 660 \times 10^{-9}}{6.6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}$.
$n = \frac{39600 \times 10^{-9}}{19.8 \times 10^{-26}} = 2000 \times 10^{17} = 2 \times 10^{20}$ ફોટોન્સ/સેકન્ડ.

(B) ફોટોનની ઊર્જા $E$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $E = \frac{hc}{\lambda}$ છે.
ટૂંકી રીત મુજબ $E \approx \frac{12400 \ \text{eV} \cdot \mathring{A}}{\lambda (\mathring{A} \text{ માં})}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$E = \frac{12400 \ \text{eV} \cdot \mathring{A}}{4000 \ \mathring{A}}$
$E = 3.1 \ \text{eV}$.

(C) એક ફોટોનની ઉર્જા $E = h\nu$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$ અને $\nu = 6 \times 10^{14} \ Hz$ છે.
$E = (6.63 \times 10^{-34}) \times (6 \times 10^{14}) \approx 3.98 \times 10^{-19} \ J$.
આંખમાં પ્રવેશતી પાવર $P = I \times A$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $I = 10^{-10} \ W/m^2$ અને $A = 0.4 \ cm^2 = 0.4 \times 10^{-4} \ m^2 = 4 \times 10^{-5} \ m^2$ છે.
$P = 10^{-10} \times 4 \times 10^{-5} = 4 \times 10^{-15} \ W$.
પ્રતિ સેકન્ડે ફોટોનની સંખ્યા $n = P / E$ દ્વારા મળે છે.
$n = (4 \times 10^{-15}) / (3.98 \times 10^{-19}) \approx 1.005 \times 10^4 \approx 10^4$ ફોટોન પ્રતિ સેકન્ડ.

(A) આપેલ છે: પાવર $P = 100 \ W$,કાર્યક્ષમતા $\eta = 5\% = 0.05$,તરંગલંબાઈ $\lambda = 5.6 \times 10^{-5} \ cm = 5.6 \times 10^{-7} \ m$.
દ્રશ્ય પ્રકાશ તરીકે ઉત્સર્જિત પાવર $P' = P \times \eta = 100 \times 0.05 = 5 \ W$ છે.
એક ફોટોનની ઊર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ છે.
પ્રતિ સેકન્ડે ઉત્સર્જાતા ફોટોનની સંખ્યા (કવોન્ટમ) $n = \frac{P'}{E} = \frac{P' \lambda}{hc}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $n = \frac{5 \times 5.6 \times 10^{-7}}{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}$.
$n = \frac{28 \times 10^{-7}}{19.89 \times 10^{-26}} \approx 1.407 \times 10^{19} \text{ કવોન્ટમ/સેકન્ડ}$.

(A) ટ્રાન્સમીટરનો પાવર $P = nE$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ પ્રતિ સેકન્ડે ઉત્સર્જાતા ફોટોનની સંખ્યા છે અને $E$ એ એક ફોટોનની ઉર્જા છે.
એક ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ છે.
તેથી,$P = n \frac{hc}{\lambda}$,જેનો અર્થ છે કે $n = \frac{P\lambda}{hc}$.
આપેલ છે: $P = 10 \ kW = 10^4 \ W$,$\lambda = 500 \ m$,$h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,અને $c = 3 \times 10^8 \ m/s$.
કિંમતો મૂકતા:
$n = \frac{10^4 \times 500}{6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}$
$n = \frac{5 \times 10^6}{19.878 \times 10^{-26}}$
$n \approx 0.2515 \times 10^{32} \ s^{-1} = 2.515 \times 10^{31} \ s^{-1}$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,આપણને $2.5 \times 10^{31} \ s^{-1}$ મળે છે.

(C) આપેલ તરંગલંબાઈ $\lambda = 6.20 \times 10^{-5} \ cm = 6.20 \times 10^{-7} \ m = 620 \ nm$ છે.
ફોટોનની ઊર્જા શોધવાનું સૂત્ર $E = \frac{hc}{\lambda}$ છે.
અહીં $hc \approx 1240 \ eV \cdot nm$ લેતા:
$E = \frac{1240 \ eV \cdot nm}{620 \ nm} = 2.0 \ eV$.
આમ,ફોટોનની ઊર્જા $2 \ eV$ છે.

(B) ફોટોનની ઊર્જા $E = hv$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઊર્જા સમતુલ્યતાના સિદ્ધાંત અને ફોટોન માટે ઊર્જા અને વેગમાન વચ્ચેના સંબંધ મુજબ,$E = pc$,જ્યાં $p$ એ વેગમાન છે અને $c$ એ પ્રકાશની ગતિ છે.
તેથી,વેગમાન $p = E/c$ થાય.
$E$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $p = hv/c$ મળે છે.

(A) ફોટોનની ઊર્જાનું સૂત્ર $E = \frac{hc}{\lambda}$ છે.
અહીં $h$ (પ્લાન્કનો અચળાંક) અને $c$ (પ્રકાશની ઝડપ) અચળ હોવાથી,ઊર્જા $E$ એ તરંગલંબાઈ $\lambda$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $E \propto \frac{1}{\lambda}$.
તેથી,ઊર્જાઓનો ગુણોત્તર $\frac{E_1}{E_2} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1}$ થશે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{E_1}{E_2} = \frac{300 \ nm}{150 \ nm} = 2$.
આમ,ઊર્જાઓનો ગુણોત્તર $2$ છે.

(C) વિશિષ્ટ સાપેક્ષતાના સિદ્ધાંત મુજબ,$v$ વેગથી ગતિ કરતા પદાર્થનું સાપેક્ષ દળ $m$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$
અહીં ઝડપ $v = 0.8 c$ આપેલ છે,તેથી આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{(0.8c)^2}{c^2}}}$
$m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - 0.64}}$
$m = \frac{m_0}{\sqrt{0.36}}$
$m = \frac{m_0}{0.6}$
$m = \frac{m_0}{6/10} = \frac{10}{6} m_0 = \frac{5}{3} m_0$
તેથી,આ ઝડપે ઇલેક્ટ્રોનનું દળ $\frac{5}{3} m_0$ થશે.

(B) ફોટોનનું વેગમાન $p = E/c$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ફોટોનની ઊર્જા $E = h\nu$ છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $\nu$ એ આવૃત્તિ છે.
વેગમાનના સમીકરણમાં $E$ ની કિંમત મૂકતા: $p = (h\nu)/c$.
આવૃત્તિ $\nu$ ને કર્તા બનાવતા: $\nu = (pc)/h$.

(C) બલ્બનો પાવર $P = 100 \ W$ છે,જેનો અર્થ છે કે તે પ્રતિ સેકન્ડ $100 \ J$ ઊર્જા ઉત્સર્જિત કરે છે.
એક ફોટોનની ઊર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો: $h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,$c = 3 \times 10^8 \ m/s$,અને $\lambda = 410 \times 10^{-9} \ m$.
આ કિંમતો મૂકતા,એક ફોટોનની ઊર્જા $E = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{410 \times 10^{-9}} \approx 4.85 \times 10^{-19} \ J$ મળે છે.
પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત થતા ફોટોનની સંખ્યા $(n)$ $n = \frac{P}{E}$ દ્વારા મળે છે.
$n = \frac{100}{4.85 \times 10^{-19}} \approx 2.06 \times 10^{20}$ ફોટોન પ્રતિ સેકન્ડ.

(C) અહીં,$E = 2 \ cal/cm^2 \cdot min = 2 \times 4.2 \ J/cm^2 \cdot min = 8.4 \ J/cm^2 \cdot min$.
એક ફોટોનની ઊર્જા $\epsilon = \frac{hc}{\lambda}$ છે.
કુલ ઊર્જા $E = n \epsilon = n \frac{hc}{\lambda}$,જ્યાં $n$ એ ફોટોન્સની સંખ્યા છે.
તેથી,$n = \frac{E \lambda}{hc}$.
કિંમતો મૂકતા: $n = \frac{8.4 \times 5500 \times 10^{-10}}{6.6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}$.
$n = \frac{46200 \times 10^{-10}}{19.8 \times 10^{-26}} = 2.33 \times 10^{19}$.
આમ,ફોટોન્સની સંખ્યા $2.3 \times 10^{19} \ photons/cm^2 \cdot min$ છે.

(D) ફોટોનની તરંગલંબાઈ $\lambda = 0.01 \ \mathring A = 0.01 \times 10^{-10} \ m = 10^{-12} \ m$ આપેલ છે.
ડી-બ્રોગ્લી સંબંધ મુજબ,ફોટોનનું વેગમાન $p = \frac{h}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\lambda$ ની કિંમત મૂકતા:
$p = \frac{h}{10^{-12}} = h \times 10^{12} \ kg \ m/s$.

(A) ફોટોનની ઊર્જા શોધવાનું સૂત્ર $E = hf = \frac{hc}{\lambda}$ છે.
આપેલ છે:
પ્લાન્કનો અચળાંક $h = 6.63 \times 10^{-34} \, J \cdot s$
પ્રકાશની ઝડપ $c = 3 \times 10^8 \, m/s$
તરંગલંબાઈ $\lambda = 450 \, nm = 450 \times 10^{-9} \, m$
કિંમતો મૂકતા:
$E = \frac{(6.63 \times 10^{-34}) \times (3 \times 10^8)}{450 \times 10^{-9}}$
$E = \frac{19.89 \times 10^{-26}}{450 \times 10^{-9}}$
$E = 0.0442 \times 10^{-17} \, J = 4.42 \times 10^{-19} \, J$
બે સાર્થક અંકો સુધી લેતા,$E \approx 4.4 \times 10^{-19} \, J$.

(B) ફોટોનની ઊર્જાનું સૂત્ર $E = hf$ છે,જ્યાં $E$ એ ઊર્જા છે,$h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $f$ એ આવૃત્તિ છે.
પ્રથમ,ઊર્જાને $eV$ માંથી જૂલમાં રૂપાંતરિત કરો: $E = 100 \ eV = 100 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J = 1.6 \times 10^{-17} \ J$.
હવે,આવૃત્તિ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવો: $f = \frac{E}{h}$.
કિંમતો મૂકતા: $f = \frac{1.6 \times 10^{-17} \ J}{6.62 \times 10^{-34} \ J \cdot s}$.
$f \approx 0.2417 \times 10^{17} \ Hz$.
$f = 2.417 \times 10^{16} \ Hz$.

$(A)$ બલ્બ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર $P$ એ પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત $n$ ફોટોનની કુલ ઉર્જા છે: $P = n \cdot E = n \cdot \frac{hc}{\lambda}$.
$n$ ને કર્તા બનાવતા, $n = \frac{P \lambda}{hc}$ મળે.
આપેલ કિંમતો: $P = 60 \, mW = 60 \times 10^{-3} \, W$, $\lambda = 6000 \, \mathring{A} = 6000 \times 10^{-10} \, m$, $h = 6.62 \times 10^{-34} \, J \cdot s$, અને $c = 3 \times 10^8 \, m/s$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$n = \frac{(60 \times 10^{-3}) \times (6000 \times 10^{-10})}{(6.62 \times 10^{-34}) \times (3 \times 10^8)}$
$n = \frac{360000 \times 10^{-13}}{19.86 \times 10^{-26}}$
$n \approx 1.812 \times 10^{17} \approx 1.8 \times 10^{17} \, \text{ફોટોન/સેકન્ડ}$.

(D) કોમ્પ્ટન અસર એ વિદ્યુતભારિત કણ,સામાન્ય રીતે ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા ફોટોનનું પ્રકીર્ણન છે.
આ પ્રક્રિયામાં ફોટોનની ઊર્જામાં ઘટાડો (તરંગલંબાઈમાં વધારો) થાય છે,જેને કોમ્પ્ટન શિફ્ટ કહેવામાં આવે છે.
આ ઘટનાને પ્રકાશના શાસ્ત્રીય તરંગવાદ દ્વારા સમજાવી શકાતી નથી.
તેને માત્ર પ્રકાશને કણોના પ્રવાહ (ફોટોન) તરીકે ગણીને સમજાવી શકાય છે જે ઇલેક્ટ્રોન સાથે અથડાય છે.
આ અથડામણમાં ઊર્જા અને વેગમાન બંનેનું સંરક્ષણ થાય છે.
તેથી,કોમ્પ્ટન અસર સીધો પુરાવો આપે છે કે ફોટોન વેગમાન ધરાવે છે,જે વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણની કણ પ્રકૃતિની પુષ્ટિ કરે છે.

(C) ફોટોનની ઊર્જાનું સૂત્ર $E = hf = \frac{hc}{\lambda}$ છે.
તેથી, $E \propto \frac{1}{\lambda}$ થાય.
અહીં $\lambda_1 = 6000 \ \mathring{A}$ અને $E_1 = 3.32 \times 10^{-19} \ J$ આપેલ છે.
બીજા ફોટોન માટે $\lambda_2 = 4000 \ \mathring{A}$ છે.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{E_2}{E_1} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{6000}{4000} = 1.5$.
તેથી, $E_2 = 1.5 \times E_1 = 1.5 \times 3.32 \times 10^{-19} \ J = 4.98 \times 10^{-19} \ J$.
ઊર્જાને જૂલમાંથી $eV$ માં ફેરવવા માટે $1.6 \times 10^{-19} \ J/eV$ વડે ભાગતા:
$E_2 (eV \text{ માં}) = \frac{4.98 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} = 3.1125 \ eV \approx 3.1 \ eV$.

(A) આપેલ છે: પાવર $P = 100\, W$,તરંગલંબાઈ $\lambda = 694\, nm = 694 \times 10^{-9}\, m$.
એક ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$.
એક સેકન્ડમાં ઉત્સર્જાતા ફોટોનની સંખ્યા $n = \frac{P}{E} = \frac{P\lambda}{hc}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $h = 6.63 \times 10^{-34}\, J\cdot s$,$c = 3 \times 10^8\, m/s$.
$n = \frac{100 \times 694 \times 10^{-9}}{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}$.
$n = \frac{69400 \times 10^{-9}}{19.89 \times 10^{-26}} \approx 3489.19 \times 10^{17} \approx 3.49 \times 10^{20}$ ફોટોન/સેકન્ડ.

(C) ફોટોનની ઊર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ (જૂલ એકમમાં) દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેને $eV$ માં ફેરવવા માટે,આપણે તેને પ્રાથમિક વિદ્યુતભાર $e$ વડે ભાગીએ છીએ: $E_{(eV)} = \frac{hc}{e\lambda}$.
$h = 6.626 \times 10^{-34} \, J\cdot s$,$c = 3 \times 10^8 \, m/s$,અને $e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$ ની કિંમતો મૂકતા,અને $\lambda$ ને $\mathring{A}$ $(1 \, \mathring{A} = 10^{-10} \, m)$ માં દર્શાવતા:
$E_{(eV)} = \frac{6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{1.6 \times 10^{-19} \times \lambda_{(\mathring{A})} \times 10^{-10}} \approx \frac{12400}{\lambda_{(\mathring{A})}} \, eV$.
કારણ કે $1 \, KeV = 1000 \, eV$,તેથી $E_{(KeV)} = \frac{12400}{1000 \times \lambda_{(\mathring{A})}} = \frac{12.4}{\lambda_{(\mathring{A})}}$.
આમ,$KeV$ માં ઊર્જા $E = \frac{12.4}{\lambda}$ દ્વારા શોધી શકાય છે.

(C) આધુનિક ક્વોન્ટમ સિદ્ધાંત મુજબ,પ્રકાશ દ્વૈત સ્વભાવ ધરાવે છે.
$(1)$ તરંગ પ્રકૃતિ: વ્યતિકરણ,વિવર્તન અને ધ્રુવીભવન જેવી ઘટનાઓમાં પ્રકાશ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ તરીકે વર્તે છે.
$(2)$ કણ પ્રકૃતિ: ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર અને કોમ્પ્ટન સ્કેટરિંગ જેવી ઘટનાઓમાં પ્રકાશ ફોટોન નામના કણોના પ્રવાહ તરીકે વર્તે છે.

(A) ફોટોનની ઊર્જા $E = h\nu$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $\nu$ એ આવૃત્તિ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રકાશની ઝડપ $c$ (અથવા ફોટોનનો વેગ $v$) એ આવૃત્તિ અને તરંગલંબાઇ સાથે $v = \nu\lambda$ સંબંધ ધરાવે છે,તેથી $\nu = v/\lambda$.
આ કિંમતને ઊર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા: $E = h(v/\lambda) = (h/\lambda)v$.
આપણને ફોટોનનું વેગમાન $p = h/\lambda$ આપેલું છે.
$p$ ની કિંમતને ઊર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા: $E = pv$.
તેથી,ફોટોનનો વેગ $v = E/p$ થાય છે.

(A) આપેલ છે: આવૃત્તિ $v = 880 \times 10^3 \ Hz$,પાવર $P = 10 \times 10^3 \ W$.
ધારો કે $n$ એ પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જાતા ફોટોનની સંખ્યા છે.
પાવર $P$ એ $P = n \times E$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E = hv$ એ એક ફોટોનની ઉર્જા છે.
$E = (6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s) \times (880 \times 10^3 \ Hz) = 5.8344 \times 10^{-28} \ J$.
હવે,$n = \frac{P}{E} = \frac{10 \times 10^3}{5.8344 \times 10^{-28}}$.
$n \approx 1.71 \times 10^{31} \ \text{ફોટોન/સેકન્ડ}$.

(D) ફોટોનની ઉર્જા $E = hv$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $v$ એ આવૃત્તિ છે.
આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઉર્જા સમતુલ્યતાના સિદ્ધાંત મુજબ,$E = mc^2$.
બંનેને સરખાવતા,આપણને $mc^2 = hv$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $mc = hv/c$.
વેગમાન $p = mc$ હોવાથી,આપણને $p = hv/c$ મળે છે.

(A) ફોટોનનું વેગમાન $p$ એ $p = \frac{h}{\lambda}$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રકાશની ઝડપ $c = f \lambda$ હોવાથી,આપણને $\lambda = \frac{c}{f}$ મળે છે.
આ કિંમતને વેગમાનના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $p = \frac{hf}{c}$ મળે છે.
આપેલ છે: $h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \ s$,$f = 1.5 \times 10^{13} \ Hz$,અને $c = 3 \times 10^8 \ m/s$.
$p = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 1.5 \times 10^{13}}{3 \times 10^8}$.
$p = \frac{9.945 \times 10^{-21}}{3 \times 10^8} \approx 3.315 \times 10^{-29} \ kg \ m/s$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $3.3 \times 10^{-29} \ kg \ m/s$ છે.

(B) ફોટોનની ઊર્જા $E$ અને વેગમાન $p$ તેની તરંગલંબાઈ $\lambda$ સાથે નીચેના સમીકરણો દ્વારા સંબંધિત છે:
$E = \frac{hc}{\lambda}$
$p = \frac{h}{\lambda}$
જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $c$ એ પ્રકાશની ઝડપ છે.
કારણ કે $E$ અને $p$ બંને તરંગલંબાઈ $\lambda$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે ($E \propto \frac{1}{\lambda}$ અને $p \propto \frac{1}{\lambda}$),તેથી જો તરંગલંબાઈ $\lambda$ ઘટાડવામાં આવે,તો ઊર્જા $E$ અને વેગમાન $p$ બંને વધશે.

(C) ફોટોનની ઊર્જા $E$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $E = \frac{hc}{\lambda}$ છે.
અહીં $hc = 12400 \ \text{eV} \cdot \mathring{A}$ અને $\lambda = 4000 \ \mathring{A}$ લેતા:
$E = \frac{12400}{4000} \ \text{eV} = 3.1 \ \text{eV}$.
આ ઊર્જાને જૂલમાં ફેરવવા માટે,તેને ઇલેક્ટ્રોનના વિદ્યુતભાર $(1.6 \times 10^{-19} \ \text{C})$ વડે ગુણતા:
$E = 3.1 \times 1.6 \times 10^{-19} \ \text{J} = 4.96 \times 10^{-19} \ \text{J}$.

(C) કણનું સાપેક્ષવાદી દળ $m$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$,જ્યાં $m_0$ એ સ્થિત દળ છે,$v$ એ વેગ છે અને $c$ એ પ્રકાશની ગતિ છે.
આપેલ છે કે દળ તેના સ્થિત દળ કરતાં બમણું થાય છે,તેથી $m = 2m_0$.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા: $2m_0 = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$.
બંને બાજુ $m_0$ વડે ભાગતા: $2 = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $4 = \frac{1}{1 - \frac{v^2}{c^2}}$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $1 - \frac{v^2}{c^2} = \frac{1}{4}$.
આમ,$\frac{v^2}{c^2} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
વર્ગમૂળ લેતા: $v = \frac{\sqrt{3}}{2}c$.

(A) ફોટોનનું વેગમાન $p = \frac{h}{\lambda}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $p = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{4400 \times 10^{-10}} \approx 1.5 \times 10^{-27} \ kg \ m/s$.
ફોટોનનું અસરકારક દળ $m = \frac{p}{c}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $m = \frac{1.5 \times 10^{-27}}{3 \times 10^8} = 5 \times 10^{-36} \ kg$.

(A) દ્રશ્ય પ્રકાશનો વર્ણપટ આશરે $380 \, nm$ (જાંબલી) થી $750 \, nm$ (લાલ) સુધીનો હોય છે।
દ્રશ્ય પ્રકાશના વર્ણપટમાં મહત્તમ તરંગલંબાઈ $(\lambda_{max})$ $750 \, nm$ છે।
ફોટોનની ઊર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
$hc \approx 1240 \, eV \cdot nm$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને મળે છે:
$E = \frac{1240 \, eV \cdot nm}{750 \, nm} \approx 1.65 \, eV$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $1.6 \, eV$ છે।