Circuit Solving for current and Voltage Questions in Hindi

(C) मान लीजिए कि प्रत्येक समान बल्ब का प्रतिरोध $R$ है और बैटरी का $EMF$ $E$ है, जिसका आंतरिक प्रतिरोध $r$ है。
जब कुंजी $K$ बंद होती है, तो बल्ब $B_{2}$ और $B_{3}$ समानांतर क्रम में होते हैं, और यह संयोजन $B_{1}$ के साथ श्रेणी क्रम में होता है। तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = R + (R/2) = 1.5R$ है। कुल धारा $I = E / (1.5R + r)$ है। $B_{1}$ के सिरों पर वोल्टेज $V_{1} = I \cdot R = E \cdot R / (1.5R + r)$ है。
जब कुंजी $K$ को खोला जाता है, तो बल्ब $B_{3}$ परिपथ से हट जाता है। अब परिपथ में $B_{1}$ और $B_{2}$ श्रेणी क्रम में हैं। नया तुल्य प्रतिरोध $R'_{eq} = 2R$ है। नई कुल धारा $I' = E / (2R + r)$ है。
धाराओं की तुलना करने पर: चूंकि $2R > 1.5R$, कुल धारा $I'$, $I$ से कम है। इसलिए, $B_{1}$ से गुजरने वाली धारा घट जाती है, जिससे इसकी चमक कम हो जाती है。
$B_{2}$ के सिरों पर वोल्टेज $V'_{2} = I' \cdot R = E \cdot R / (2R + r)$ है। $V'_{2}$ की तुलना $B_{2}$ के पिछले वोल्टेज $(V_{2} = I \cdot (R/2) = E \cdot R / (3R + 2r))$ से करने पर, हम पाते हैं कि $V'_{2} > V_{2}$। इसलिए, $B_{2}$ की चमक बढ़ जाती है।

(B) बल्ब का प्रतिरोध $R = \frac{V^2}{P}$ द्वारा दिया जाता है।
पहले बल्ब के लिए: $R_1 = \frac{220^2}{25} = 1936 \ \Omega$.
दूसरे बल्ब के लिए: $R_2 = \frac{220^2}{100} = 484 \ \Omega$.
चूंकि बल्ब श्रेणीक्रम में जुड़े हैं,कुल प्रतिरोध $R_{net} = R_1 + R_2 = 1936 + 484 = 2420 \ \Omega$ है।
परिपथ में प्रवाहित धारा $I = \frac{V_{supply}}{R_{net}} = \frac{440}{2420} = \frac{2}{11} \ A$ है।
$25 \ W$ बल्ब के सिरों पर विभवांतर $V_1 = I \times R_1 = \frac{2}{11} \times 1936 = 352 \ V$ है।
$100 \ W$ बल्ब के सिरों पर विभवांतर $V_2 = I \times R_2 = \frac{2}{11} \times 484 = 88 \ V$ है।
चूंकि $25 \ W$ बल्ब पर विभवांतर $(352 \ V)$ उसके रेटेड वोल्टेज $(220 \ V)$ से अधिक है,इसलिए $25 \ W$ का बल्ब फ्यूज हो जाएगा।

(A) आइए परिपथ में विभिन्न बिंदुओं पर विभव का विश्लेषण करें।
सबसे बाईं ओर के तार से शुरू करते हुए,मान लें कि विभव $0 \text{ V}$ है।
ऊपरी शाखा में आगे बढ़ते हुए,प्रत्येक बैटरी पर विभव $2 \text{ V}$ बदलता है। इसी प्रकार,निचली शाखा के लिए,प्रत्येक बैटरी पर विभव $2 \text{ V}$ बदलता है।
पहले $1 \Omega$ के ऊर्ध्वाधर प्रतिरोध के लिए,ऊपरी नोड पर विभव $0 \text{ V} - 2 \text{ V} = -2 \text{ V}$ है और निचले नोड पर विभव $0 \text{ V} - 2 \text{ V} = -2 \text{ V}$ है।
इस प्रतिरोध पर विभवांतर $(-2 \text{ V}) - (-2 \text{ V}) = 0 \text{ V}$ है।
इसी प्रकार,दूसरे ऊर्ध्वाधर प्रतिरोध के लिए,ऊपरी नोड पर विभव $-2 \text{ V} - 2 \text{ V} = -4 \text{ V}$ है और निचले नोड पर विभव $-2 \text{ V} - 2 \text{ V} = -4 \text{ V}$ है।
विभवांतर $(-4 \text{ V}) - (-4 \text{ V}) = 0 \text{ V}$ है।
तीसरे प्रतिरोध के लिए,ऊपरी नोड पर विभव $-4 \text{ V} - 2 \text{ V} = -6 \text{ V}$ है और निचले नोड पर विभव $-4 \text{ V} - 2 \text{ V} = -6 \text{ V}$ है।
विभवांतर $(-6 \text{ V}) - (-6 \text{ V}) = 0 \text{ V}$ है।
चूंकि प्रत्येक प्रतिरोध पर विभवांतर $0 \text{ V}$ है,इसलिए प्रत्येक प्रतिरोध से प्रवाहित धारा $I = V/R = 0 \text{ V} / 1 \Omega = 0 \text{ A}$ होगी।

(B) मान लीजिए कि अनंत परिपथ का तुल्य प्रतिरोध $x$ है। चूंकि परिपथ अनंत है,इसलिए श्रेणी और समांतर क्रम में $2 \Omega$ प्रतिरोधों का एक और खंड जोड़ने से कुल तुल्य प्रतिरोध $x$ नहीं बदलता है।
इस परिपथ को ऊपरी शाखा में $2 \Omega$ प्रतिरोध,निचली शाखा में $2 \Omega$ प्रतिरोध और ऊर्ध्वाधर $2 \Omega$ प्रतिरोध के साथ समांतर क्रम में तुल्य प्रतिरोध $x$ के रूप में देखा जा सकता है।
अतः,तुल्य प्रतिरोध $x$ इस प्रकार है:
$x = 2 + 2 + \frac{2x}{2+x}$
$x - 4 = \frac{2x}{2+x}$
$(x - 4)(x + 2) = 2x$
$x^2 + 2x - 4x - 8 = 2x$
$x^2 - 4x - 8 = 0$
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-8)}}{2(1)}$
$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 32}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{48}}{2}$
$x = \frac{4 \pm 4\sqrt{3}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{3}$
चूंकि प्रतिरोध धनात्मक होना चाहिए,इसलिए हम $x = 2 + 2\sqrt{3} \approx 2 + 2(1.732) = 5.464 \Omega$ लेते हैं।
निकटतम विकल्प के अनुसार,हमें $5.5 \Omega$ प्राप्त होता है।

(A) माना $R_{1} = R_{2} = R$ है। $R_{2}$ से प्रवाहित धारा $(I - 1.5) \ A$ है।
$E, R_{1}$,और $R_{2}$ वाले लूप में किरचॉफ का वोल्टेज नियम $(KVL)$ लागू करने पर:
$E - I R_{1} - (I - 1.5) R_{2} = 0$
चूंकि $R_{1} = R_{2} = R$,इसलिए $E = I R + (I - 1.5) R = R(2I - 1.5) \quad ... (i)$
बाहरी लूप जिसमें $E, R_{1}$,और $R'$ हैं,में $KVL$ लागू करने पर:
$E - I R_{1} - 1.5 R' = 0$
$E = I R + 1.5 R' \quad ... (ii)$
दिए गए परिपथ आरेख के अनुसार,$R_{2}$ के सिरों पर वोल्टेज और $R'$ के सिरों पर वोल्टेज समान है,इसलिए $V_{R_{2}} = V_{R'}$.
$(I - 1.5) R = 1.5 R'$
$R' = \frac{(I - 1.5) R}{1.5}$
$R'$ का मान समीकरण $(ii)$ में रखने पर:
$E = I R + 1.5 \left[ \frac{(I - 1.5) R}{1.5} \right] = I R + (I - 1.5) R = R(2I - 1.5)$
यह सुसंगतता की पुष्टि करता है। दिए गए विकल्पों में से,$R = 60 \ \Omega$ और $E = 180 \ V$ का परीक्षण करने पर:
$180 = 60(2I - 1.5) \Rightarrow 3 = 2I - 1.5 \Rightarrow 2I = 4.5 \Rightarrow I = 2.25 \ A$.
तब $I - 1.5 = 2.25 - 1.5 = 0.75 \ A$.
$R_{2}$ पर वोल्टेज $= 0.75 \times 60 = 45 \ V$.
$R'$ पर वोल्टेज $= 1.5 \times R' = 45 \ V \Rightarrow R' = 30 \ \Omega$.
यह एक वैध भौतिक परिपथ है। अतः,$E = 180 \ V$ और $R_{1} = 60 \ \Omega$ सही युग्म है।

(A) सबसे पहले, हम परिपथ की संरचना को समझते हैं। $ 3 \ \Omega $ और $ 6 \ \Omega $ के प्रतिरोधक समानांतर क्रम में हैं। उनका समतुल्य प्रतिरोध $ R_p = \frac{3 \times 6}{3 + 6} = 2 \ \Omega $ है।
यह $ R_p $, $ 2 \ \Omega $ के प्रतिरोधक के साथ श्रेणी क्रम में है। अतः, इस शाखा का कुल प्रतिरोध $ R_{branch} = 2 + 2 = 4 \ \Omega $ है।
यह शाखा $ 4 \ \Omega $ के प्रतिरोधक के साथ समानांतर क्रम में है। बाहरी परिपथ का कुल समतुल्य प्रतिरोध $ R_{eq} = \frac{4 \times 4}{4 + 4} = 2 \ \Omega $ है।
आंतरिक प्रतिरोध $ r = 1 \ \Omega $ को जोड़ने पर, परिपथ का कुल प्रतिरोध $ R_{total} = 2 + 1 = 3 \ \Omega $ है।
बैटरी से प्रवाहित कुल धारा $ I = \frac{4.5}{3} = 1.5 \ A $ है।
समानांतर संयोजन पर वोल्टेज $ V_{parallel} = 1.5 \times 2 = 3 \ V $ है।
इस शाखा से प्रवाहित धारा $ I_{branch} = \frac{3 \ V}{4 \ \Omega} = 0.75 \ A $ है।
$ 3 \ \Omega $ के प्रतिरोधक से प्रवाहित धारा $ I_3 = 0.75 \times \frac{6}{3+6} = 0.5 \ A $ है।
अतः, व्यय होने वाली शक्ति $ P = I_3^2 \times R = (0.5)^2 \times 3 = 0.75 \ W $ है।

(B) स्थायी अवस्था में,संधारित्र एक खुले परिपथ (open circuit) की तरह कार्य करता है। परिपथ को सरल करने पर,$2 \ \Omega$ और $3 \ \Omega$ के प्रतिरोध समांतर क्रम में हैं,जो $2.8 \ \Omega$ के प्रतिरोध और $6 \ V$ की बैटरी के साथ श्रेणी क्रम में हैं।
सबसे पहले,$2 \ \Omega$ और $3 \ \Omega$ के समांतर संयोजन का तुल्य प्रतिरोध ज्ञात करें:
$R_p = \frac{2 \times 3}{2 + 3} = \frac{6}{5} = 1.2 \ \Omega$
अब,परिपथ का कुल प्रतिरोध है:
$R_{eq} = R_p + 2.8 \ \Omega = 1.2 \ \Omega + 2.8 \ \Omega = 4 \ \Omega$
बैटरी से प्रवाहित होने वाली कुल धारा $I$ है:
$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{6 \ V}{4 \ \Omega} = 1.5 \ A$
यह धारा $I$,$2 \ \Omega$ और $3 \ \Omega$ प्रतिरोध वाली दो शाखाओं में विभाजित हो जाती है। धारा विभाजक नियम (current divider rule) का उपयोग करते हुए,$2 \ \Omega$ प्रतिरोध से होकर बहने वाली धारा $I_2$ है:
$I_2 = I \times \frac{3}{2 + 3} = 1.5 \times \frac{3}{5} = 0.3 \times 3 = 0.9 \ A$

(B) परिपथ में $9 \text{ V}$ की बैटरी प्रतिरोधों के एक नेटवर्क से जुड़ी है।
चित्र को देखने पर,एमीटर के बाईं ओर $4$ प्रतिरोध समानांतर में जुड़े हैं और एमीटर के दाईं ओर $5$ प्रतिरोध समानांतर में जुड़े हैं।
एमीटर दाईं ओर के $5$ प्रतिरोधों के समूह के साथ श्रेणीक्रम में है।
चूंकि बैटरी पूरे समानांतर नेटवर्क के आर-पार जुड़ी है,इसलिए दाईं ओर के $5$ प्रतिरोधों पर वोल्टेज $9 \text{ V}$ है।
प्रत्येक प्रतिरोध से प्रवाहित धारा $I_r = \frac{9 \text{ V}}{9 \Omega} = 1 \text{ A}$ है।
चूंकि दाईं ओर $5$ प्रतिरोध समानांतर में हैं,इसलिए एमीटर से प्रवाहित कुल धारा $I = 5 \times 1 \text{ A} = 5 \text{ A}$ होगी।

(D) स्थिति $1$: जब कुंजी $(K)$ खुली है,तो परिपथ में $12 \ V$ का सेल और $40 \ \Omega$ का एक प्रतिरोध एमीटर के साथ श्रेणीक्रम में होता है। ओम के नियम से धारा $i_1 = V / R = 12 / 40 = 0.3 \ A$ है।
स्थिति $2$: जब कुंजी $(K)$ बंद है,तो दो $40 \ \Omega$ के प्रतिरोध समांतर क्रम में जुड़े होते हैं। तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = (40 \times 40) / (40 + 40) = 1600 / 80 = 20 \ \Omega$ है।
अब धारा $i_2 = V / R_{eq} = 12 / 20 = 0.6 \ A$ है।
अतः,अनुपात $i_1: i_2 = 0.3: 0.6 = 1: 2$ है।

(D) $6 \ A$ की विद्युत धारा बिंदु $P$ पर प्रवेश करती है और बिंदु $R$ पर बाहर निकलती है।
बिंदु $P$ पर,धारा दो रास्तों में विभाजित हो जाती है:
रास्ता $1$: शाखा $PQ$ और $QR$ के माध्यम से श्रेणीक्रम में। इस रास्ते का प्रतिरोध $R_1 = 2 \ \Omega + 2 \ \Omega = 4 \ \Omega$ है।
रास्ता $2$: सीधे शाखा $PR$ के माध्यम से। इस रास्ते का प्रतिरोध $R_2 = 2 \ \Omega$ है।
ये दोनों रास्ते बिंदु $P$ और $R$ के बीच समानांतर हैं।
करंट डिवाइडर नियम का उपयोग करते हुए:
$I_1 = I \times \left(\frac{R_2}{R_1 + R_2}\right) = 6 \times \left(\frac{2}{4 + 2}\right) = 6 \times \frac{2}{6} = 2 \ A$.
$I_2 = I \times \left(\frac{R_1}{R_1 + R_2}\right) = 6 \times \left(\frac{4}{4 + 2}\right) = 6 \times \frac{4}{6} = 4 \ A$.
अतः,$I_1 = 2 \ A$ और $I_2 = 4 \ A$ है।

(A) $1$. $10 \Omega$ और $10 \Omega$ के प्रतिरोध समांतर क्रम में हैं,इसलिए उनका तुल्य प्रतिरोध $R_1 = (10 \times 10) / (10 + 10) = 5 \Omega$ है।
$2$. यह $5 \Omega$,$3 \Omega$ के प्रतिरोध के साथ श्रेणी क्रम में है,इसलिए $R_2 = 5 + 3 = 8 \Omega$ है।
$3$. यह $8 \Omega$ की शाखा $8 \Omega$ के प्रतिरोध के साथ समांतर क्रम में है,इसलिए $R_3 = (8 \times 8) / (8 + 8) = 4 \Omega$ है।
$4$. $6 \Omega$ और $6 \Omega$ के प्रतिरोध समांतर क्रम में हैं,इसलिए $R_4 = (6 \times 6) / (6 + 6) = 3 \Omega$ है।
$5$. बाहरी परिपथ का कुल तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = R_3 + R_4 = 4 + 3 = 7 \Omega$ है।
$6$. $5 \Omega$ के प्रतिरोध पर वोल्टेज $V = I \times R = 0.5 \text{ A} \times 5 \Omega = 2.5 \text{ V}$ है। यह बैटरी का टर्मिनल वोल्टेज है।
$7$. बैटरी से प्रवाहित होने वाली कुल धारा $I_{total} = V / R_{eq} = 2.5 / 7 \approx 0.357 \text{ A}$ है।
$8$. $E = V + I_{total} \times r$ सूत्र का उपयोग करने पर,$E = 2.5 + (0.357 \times 2) = 2.5 + 0.714 = 3.214 \text{ V}$ प्राप्त होता है।
$9$. परिपथ का पुनर्मूल्यांकन करने पर,$5 \Omega$ का प्रतिरोध शेष नेटवर्क के साथ समांतर में है। कुल धारा $I = 0.5 + 0.357 = 0.857 \text{ A}$ है। अतः $E = 2.5 + 0.857 \times 2 = 2.5 + 1.714 = 4.214 \text{ V}$। सबसे निकटतम विकल्प $4 \text{ V}$ है।

(A) यह परिपथ बिंदुओं $A$ और $C$ के बीच जुड़ी दो समानांतर शाखाओं से बना है। कुल धारा $I = 4 \, A$ बिंदु $A$ पर प्रवेश करती है।
शाखा $1$ (ऊपरी) में $2 \, \Omega$ और $3 \, \Omega$ के प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में हैं, इसलिए $R_1 = 2 + 3 = 5 \, \Omega$ है।
शाखा $2$ (निचली) में $5 \, \Omega$ और $20 \, \Omega$ के प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में हैं, इसलिए $R_2 = 5 + 20 = 25 \, \Omega$ है।
ऊपरी शाखा में धारा $I_1 = I \cdot \frac{R_2}{R_1 + R_2} = 4 \cdot \frac{25}{5 + 25} = 4 \cdot \frac{25}{30} = \frac{10}{3} \, A$ है।
निचली शाखा में धारा $I_2 = I \cdot \frac{R_1}{R_1 + R_2} = 4 \cdot \frac{5}{5 + 25} = 4 \cdot \frac{5}{30} = \frac{2}{3} \, A$ है।
मान लीजिए $V_A = 0 \, V$ है। तब $V_B = V_A - I_1 \cdot 2 = 0 - (\frac{10}{3}) \cdot 2 = -\frac{20}{3} \, V$ होगा।
$V_D = V_A - I_2 \cdot 5 = 0 - (\frac{2}{3}) \cdot 5 = -\frac{10}{3} \, V$ होगा।
विभवांतर $V_B - V_D = -\frac{20}{3} - (-\frac{10}{3}) = -\frac{10}{3} \, V$ है।

(C) चार्जिंग के दौरान,परिपथ में धारा $I$ का मान सूत्र $I = \frac{V_{supply} - E}{R + r}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$V_{supply} = 160 \ V$,$E = 10 \ V$,$R = 24 \ \Omega$,और $r = 1 \ \Omega$ है।
मान रखने पर: $I = \frac{160 - 10}{24 + 1} = \frac{150}{25} = 6 \ A$.
चार्जिंग के दौरान बैटरी का टर्मिनल वोल्टेज $V$,$V = E + Ir$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $V = 10 + (6 \times 1) = 10 + 6 = 16 \ V$.

(A) परिपथ में धारा $I$ का मान निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$I = \frac{V_{supply} - E}{R + r}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$I = \frac{120 - 8}{15.5 + 0.5} = \frac{112}{16} = 7 \ A$
चार्जिंग के दौरान,बैटरी का टर्मिनल वोल्टेज $V$ इस प्रकार होगा:
$V = E + Ir$
$V = 8 + (7 \times 0.5)$
$V = 8 + 3.5 = 11.5 \ V$

(D) मान लीजिए $E$ सेल का विद्युत वाहक बल $(EMF)$ है और $r$ इसका आंतरिक प्रतिरोध है।
जब प्रतिरोध $R_1$ जोड़ा जाता है,तो धारा $I_1 = \frac{E}{R_1 + r}$ होती है।
जब प्रतिरोध $R_2$ जोड़ा जाता है,तो धारा $I_2 = \frac{E}{R_2 + r}$ होती है।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{I_1}{I_2} = \frac{R_2 + r}{R_1 + r}$ प्राप्त होता है।
तिर्यक गुणा करने पर: $I_1(R_1 + r) = I_2(R_2 + r)$।
पदों का विस्तार करने पर: $I_1 R_1 + I_1 r = I_2 R_2 + I_2 r$।
$r$ के लिए हल करने पर: $I_1 r - I_2 r = I_2 R_2 - I_1 R_1$।
$r(I_1 - I_2) = I_2 R_2 - I_1 R_1$।
अतः,$r = \frac{I_2 R_2 - I_1 R_1}{I_1 - I_2}$।

(C) बैटरी का टर्मिनल वोल्टेज $V$,संबंध $V = E - Ir$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $E$ विद्युत वाहक बल (emf) है,$I$ धारा है,और $r$ आंतरिक प्रतिरोध है।
दिया गया है:
बाह्य प्रतिरोध $R = 8 \ \Omega$
आंतरिक प्रतिरोध $r = 0.2 \ \Omega$
टर्मिनल वोल्टेज $V = 10 \ V$
परिपथ में बहने वाली धारा $I$,बाह्य प्रतिरोधक के लिए ओम के नियम द्वारा दी जाती है:
$I = \frac{V}{R} = \frac{10 \ V}{8 \ \Omega} = 1.25 \ A$
अब,टर्मिनल वोल्टेज समीकरण में मान रखने पर:
$V = E - Ir$
$10 = E - (1.25 \ A \times 0.2 \ \Omega)$
$10 = E - 0.25 \ V$
$E = 10 + 0.25 = 10.25 \ V$
अतः,बैटरी का विद्युत वाहक बल (emf) $10.25 \ V$ है।

(A) मान लीजिए कि सेल का आंतरिक प्रतिरोध $r$ है। एमीटर सेल के साथ श्रेणीक्रम में जुड़ा है,इसलिए परिपथ का कुल प्रतिरोध $(R + r)$ होगा,जहाँ $R = 0.06 \ \Omega$ एमीटर का प्रतिरोध है।
पूर्ण परिपथ के लिए ओम के नियम के अनुसार,emf $E = I(R + r)$ होता है।
यहाँ $E = 1.8 \ V$,$I = 17 \ A$ और $R = 0.06 \ \Omega$ दिया गया है।
मान रखने पर: $1.8 = 17(0.06 + r)$.
$1.8 = 1.02 + 17r$.
$17r = 1.8 - 1.02 = 0.78$.
$r = \frac{0.78}{17} \approx 0.04588 \ \Omega$.
तीन दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,$r \approx 0.046 \ \Omega$ प्राप्त होता है।

(B) टर्मिनल विभवांतर $V$ को $V = E - Ir$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $E$ emf है और $r$ आंतरिक प्रतिरोध है। साथ ही,$V = IR$,इसलिए $I = V/R$ है।
स्थिति $1$: $V_1 = 1.6 \text{ V}$,$R_1 = 4 \Omega$. धारा $I_1 = 1.6 / 4 = 0.4 \text{ A}$.
$E = V_1 + I_1 r$ का उपयोग करने पर,हमें $E = 1.6 + 0.4r$ प्राप्त होता है (समीकरण $i$)।
स्थिति $2$: एक दूसरा $4 \Omega$ प्रतिरोध समानांतर में जोड़ा जाता है,इसलिए तुल्य प्रतिरोध $R_2 = (4 \times 4) / (4 + 4) = 2 \Omega$ है। नया विभवांतर $V_2 = 1.33 \text{ V}$ है।
नई धारा $I_2 = V_2 / R_2 = 1.33 / 2 = 0.665 \text{ A}$ है।
$E = V_2 + I_2 r$ का उपयोग करने पर,हमें $E = 1.33 + 0.665r$ प्राप्त होता है (समीकरण $ii$)।
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर: $1.6 + 0.4r = 1.33 + 0.665r$.
$1.6 - 1.33 = 0.665r - 0.4r \Rightarrow 0.27 = 0.265r \Rightarrow r \approx 1 \Omega$.
$r = 1 \Omega$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर: $E = 1.6 + 0.4(1) = 2 \text{ V}$.
अतः,emf $2 \text{ V}$ है और आंतरिक प्रतिरोध $1 \Omega$ है।

(A) जब $R$ प्रतिरोध वाले तार को एक वर्ग में मोड़ा जाता है, तो प्रत्येक भुजा का प्रतिरोध $R/4$ होता है।
मान लीजिए वर्ग के कोने $A, B, C,$ और $D$ हैं। सेल को आसन्न कोनों $A$ और $D$ के बीच जोड़ा गया है।
पथ $A-B-C-D$ का कुल प्रतिरोध $R/4 + R/4 + R/4 = 3R/4$ है।
सीधे पथ $A-D$ का प्रतिरोध $R/4$ है।
ये दोनों पथ $12 \text{ V}$ के स्रोत के साथ समानांतर में हैं।
किसी भी विकर्ण (जैसे $A$ से $C$) के सिरों पर विभवांतर, पथ $A-B-C$ पर होने वाला वोल्टेज ड्रॉप है।
शाखा $A-B-C$ से बहने वाली धारा $I_1 = V / R_{branch} = 12 / (3R/4) = 16/R$ है।
विकर्ण $AC$ के सिरों पर विभवांतर, श्रेणीक्रम में जुड़े प्रतिरोधों $AB$ और $BC$ पर वोल्टेज ड्रॉप है:
$V_{AC} = I_1 \times (R/4 + R/4) = (16/R) \times (R/2) = 8 \text{ V}$.

(B) दिया गया है: तांबे के तार की त्रिज्या $r = 0.1 \text{ mm} = 1 \times 10^{-4} \text{ m}$।
प्रतिरोध $R = 2 \text{ k}\Omega = 2 \times 10^3 \Omega$।
वोल्टेज $V = 40 \text{ V}$।
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,तार से प्रवाहित धारा $I$ है:
$I = \frac{V}{R} = \frac{40}{2 \times 10^3} = 2 \times 10^{-2} \text{ A}$।
प्रति सेकंड प्रवाहित आवेश $q$,धारा $I$ के बराबर है (क्योंकि $q = I \times t$ और $t = 1 \text{ s}$):
$q = 2 \times 10^{-2} \text{ C}$।
प्रति सेकंड स्थानांतरित इलेक्ट्रॉनों की संख्या $n = \frac{q}{e}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$ प्राथमिक आवेश है:
$n = \frac{2 \times 10^{-2}}{1.6 \times 10^{-19}} = 1.25 \times 10^{17} \text{ इलेक्ट्रॉन}$।

(B) माना एमीटर द्वारा मापी गई कुल धारा $I = 5 \, A$ है।
माना प्रतिरोध $R$ से प्रवाहित होने वाली धारा $I_1$ है और वोल्टमीटर से प्रवाहित होने वाली धारा $I_2$ है।
किरचॉफ के धारा नियम के अनुसार, $I = I_1 + I_2$।
इसलिए, $I_1 = I - I_2 = 5 - I_2$।
चूंकि वोल्टमीटर का प्रतिरोध बहुत अधिक होता है, इसलिए इसमें से बहुत कम धारा $I_2$ प्रवाहित होती है, अतः $I_2 > 0$।
इसका अर्थ है कि $I_1 < 5 \, A$।
प्रतिरोध $R$ के सिरों पर विभवांतर $V = 40 \, V$ है।
ओम के नियम का उपयोग करते हुए, $I_1 = V / R = 40 / R$।
इस मान को असमिका $I_1 < 5$ में रखने पर, हमें $40 / R < 5$ प्राप्त होता है।
$R$ के लिए हल करने पर, हमें $R > 40 / 5$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है कि $R > 8 \, \Omega$।

(D) माना $R_1 = 400 \Omega$ और $R_2 = 800 \Omega$.
$1$. वोल्टमीटर के बिना $400 \Omega$ प्रतिरोध पर विभवांतर $(V_1)$:
$V_1 = \frac{R_1}{R_1 + R_2} \times V = \frac{400}{400 + 800} \times 6 = \frac{400}{1200} \times 6 = 2 \text{ V}$.
$2$. वोल्टमीटर (प्रतिरोध $R_v = 10000 \Omega$) के साथ $400 \Omega$ प्रतिरोध पर विभवांतर $(V_2)$:
$400 \Omega$ और $10000 \Omega$ के समांतर संयोजन का तुल्य प्रतिरोध:
$R_p = \frac{400 \times 10000}{400 + 10000} = \frac{4000000}{10400} = \frac{40000}{104} \approx 384.62 \Omega$.
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{eq} = R_p + R_2 = 384.62 + 800 = 1184.62 \Omega$.
परिपथ में प्रवाहित धारा $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{6}{1184.62} \approx 0.005065 \text{ A}$.
वोल्टमीटर द्वारा मापा गया विभवांतर $V_2 = I \times R_p = 0.005065 \times 384.62 \approx 1.948 \text{ V}$.
$3$. मापन में त्रुटि:
$\text{Error} = V_1 - V_2 = 2 - 1.948 = 0.052 \text{ V}$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,त्रुटि लगभग $0.05 \text{ V}$ है।

(B) तार का कुल प्रतिरोध $R$ है। जब तार को एक वृत्ताकार लूप में मोड़ा जाता है,तो प्रतिरोध परिधि पर समान रूप से वितरित हो जाता है।
परिधि के एक चौथाई भाग से अलग दो बिंदु लूप को दो चापों में विभाजित करते हैं: एक का प्रतिरोध $R_1 = \frac{1}{4}R$ है और दूसरे का प्रतिरोध $R_2 = \frac{3}{4}R$ है।
इन दो खंडों को $E$ emf वाली बैटरी के समानांतर जोड़ा जाता है।
समानांतर संयोजन का समतुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार है: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{1}{R/4} + \frac{1}{3R/4} = \frac{4}{R} + \frac{4}{3R} = \frac{12+4}{3R} = \frac{16}{3R}$।
अतः,$R_{eq} = \frac{3R}{16}$।
प्रति सेकंड उत्पन्न ऊष्मा वह शक्ति है,जो $P = \frac{E^2}{R_{eq}}$ द्वारा दी जाती है।
$R_{eq}$ का मान रखने पर,हमें $P = \frac{E^2}{3R/16} = \frac{16 E^2}{3 R}$ प्राप्त होता है।

(A) बल्ब की रेटिंग $V_b = 1.5 \text{ V}$ और $P = 0.45 \text{ W}$ है।
बल्ब का प्रतिरोध $R_b = \frac{V_b^2}{P} = \frac{(1.5)^2}{0.45} = \frac{2.25}{0.45} = 5 \Omega$ है।
बल्ब के अधिकतम तीव्रता के साथ चमकने के लिए,इसे अपने रेटेड वोल्टेज $1.5 \text{ V}$ पर कार्य करना चाहिए।
बल्ब से होकर बहने वाली धारा $i_1 = \frac{P}{V_b} = \frac{0.45}{1.5} = 0.3 \text{ A}$ है।
$3 \Omega$ के प्रतिरोध पर वोल्टेज $V_{3\Omega} = 6 \text{ V} - 1.5 \text{ V} = 4.5 \text{ V}$ है।
परिपथ में कुल धारा $i = \frac{V_{3\Omega}}{3 \Omega} = \frac{4.5}{3} = 1.5 \text{ A}$ है।
प्रतिरोध $R$ से होकर बहने वाली धारा $i - i_1 = 1.5 \text{ A} - 0.3 \text{ A} = 1.2 \text{ A}$ है।
चूंकि प्रतिरोध $R$ बल्ब के समानांतर जुड़ा हुआ है,इसलिए $R$ पर वोल्टेज $1.5 \text{ V}$ है।
अतः,$R = \frac{1.5 \text{ V}}{1.2 \text{ A}} = 1.25 \Omega$।

(B) माना कि समानांतर संयोजन में प्रवेश करने वाली कुल धारा $i$ है। धारा $i$,$1 \Omega$ और $2 \Omega$ प्रतिरोधों से क्रमशः $I_1$ और $I_2$ में विभाजित हो जाती है।
धारा विभाजक नियम का उपयोग करते हुए:
$I_1 = i \times \frac{2}{1+2} = \frac{2}{3} i$
$I_2 = i \times \frac{1}{1+2} = \frac{1}{3} i$
$3 \Omega$ प्रतिरोध से प्रवाहित होने वाली धारा कुल धारा $i$ है।
प्रत्येक प्रतिरोध में विकसित शक्ति $P = I^2 R$ द्वारा दी जाती है।
$1 \Omega$ प्रतिरोध के लिए: $P_1 = I_1^2 \times 1 = (\frac{2}{3} i)^2 \times 1 = \frac{4}{9} i^2$
$2 \Omega$ प्रतिरोध के लिए: $P_2 = I_2^2 \times 2 = (\frac{1}{3} i)^2 \times 2 = \frac{2}{9} i^2$
$3 \Omega$ प्रतिरोध के लिए: $P_3 = i^2 \times 3 = 3 i^2 = \frac{27}{9} i^2$
शक्तियों का अनुपात $P_1 : P_2 : P_3 = \frac{4}{9} i^2 : \frac{2}{9} i^2 : \frac{27}{9} i^2 = 4 : 2 : 27$ है।

(B) अधिकतम शक्ति स्थानांतरण प्रमेय के अनुसार,बाहरी परिपथ को दी गई शक्ति तब अधिकतम होती है जब बाहरी प्रतिरोध $(R_{ext})$ स्रोत के आंतरिक प्रतिरोध $(R_0)$ के बराबर होता है।
दिए गए परिपथ में,$R$ प्रतिरोध वाले तीनों प्रतिरोधक $DC$ स्रोत के टर्मिनलों के साथ समानांतर क्रम में जुड़े हुए हैं।
इसलिए,तुल्य बाहरी प्रतिरोध $R_{ext} = \frac{R}{3}$ है।
अधिकतम शक्ति के लिए,हम $R_{ext} = R_0$ रखते हैं।
$\Rightarrow \frac{R}{3} = R_0$
$\Rightarrow R = 3 R_0$.

(D) दिए गए परिपथ में, दो सेल श्रेणीक्रम में जुड़े हुए हैं। कुल विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $E_{eq} = 12 \, V - 6 \, V = 6 \, V$ है (क्योंकि वे विपरीत दिशा में जुड़े हैं)।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = 4 \, \Omega + 1 \, \Omega + 0.6 \, \Omega + 0.4 \, \Omega = 6 \, \Omega$ है।
परिपथ में प्रवाहित धारा $I = \frac{E_{eq}}{R_{total}} = \frac{6 \, V}{6 \, \Omega} = 1 \, A$ है।
अतः, एमीटर का पाठ्यांक $1 \, A$ है।
वोल्टमीटर $6 \, V$ वाले सेल के सिरों पर जुड़ा है। चूंकि धारा $6 \, V$ सेल के धनात्मक टर्मिनल में प्रवेश कर रही है, इसलिए सेल चार्ज हो रहा है।
$6 \, V$ सेल का टर्मिनल वोल्टेज $V = E + Ir = 6 \, V + (1 \, A)(1 \, \Omega) = 7 \, V$ है।
इसलिए, वोल्टमीटर का पाठ्यांक $7 \, V$ और एमीटर का पाठ्यांक $1 \, A$ है।

(C) परिपथ में दो सेल $E_1 = 4 \ V$ और $E_2 = 12 \ V$ विपरीत दिशा में जुड़े हैं और तीन प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में हैं: $1 \ \Omega$ का आंतरिक प्रतिरोध ($12 \ V$ सेल के लिए),$1 \ \Omega$ का आंतरिक प्रतिरोध ($4 \ V$ सेल के लिए) और $8 \ \Omega$ का बाह्य प्रतिरोध।
किरचॉफ के वोल्टेज नियम को लागू करने पर:
$I = \frac{E_{net}}{R_{total}} = \frac{12 \ V - 4 \ V}{8 \ \Omega + 1 \ \Omega + 1 \ \Omega} = \frac{8 \ V}{10 \ \Omega} = 0.8 \ A$.
बिंदुओं $P$ और $Q$ के बीच विभवांतर $8 \ \Omega$ के प्रतिरोधक पर वोल्टेज ड्रॉप है:
$V_{PQ} = I \times R = 0.8 \ A \times 8 \ \Omega = 6.4 \ V$.

(D) बिंदु $A$ के सापेक्ष बिंदु $B$ पर विभव $(V_{BA} = V_B - V_A)$ ज्ञात करने के लिए,हम परिपथ में $B$ से $A$ की ओर चलते हैं।
बिंदु $B$ से शुरू करके,हम धारा $I = 2 \text{ A}$ की दिशा में चलते हैं।
सबसे पहले,हम $6 \text{ V}$ की बैटरी से गुजरते हैं। चूंकि हम धनात्मक टर्मिनल से ऋणात्मक टर्मिनल की ओर जा रहे हैं,इसलिए $6 \text{ V}$ का विभव पतन होता है।
इसके बाद,हम $2 \text{ } \Omega$ के प्रतिरोध से धारा की दिशा में चलते हैं। प्रतिरोध में विभव पतन $V_R = I \times R = 2 \text{ A} \times 2 \text{ } \Omega = 4 \text{ V}$ है।
किरचॉफ के वोल्टेज नियम के अनुसार:
$V_B - 6 \text{ V} - I \times R = V_A$
$V_B - 6 \text{ V} - 4 \text{ V} = V_A$
$V_B - V_A = 10 \text{ V}$.
यदि बैटरी की ध्रुवता विपरीत हो,तो $V_B - V_A = -6 + 4 = -2 \text{ V}$ होगा। दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $-2 \text{ V}$ है।

(B) दो सेल समानांतर क्रम में जुड़े हैं। माना कि दो सेलों के $EMF$ $E_1 = 12 \,V$ और $E_2 = 6 \,V$ हैं और उनके आंतरिक प्रतिरोध क्रमशः $r_1 = 3 \,\Omega$ और $r_2 = 6 \,\Omega$ हैं।
समानांतर संयोजन के लिए समतुल्य $EMF$ $(E_{eq})$ और समतुल्य आंतरिक प्रतिरोध $(r_{eq})$ का सूत्र उपयोग करने पर:
$E_{eq} = \frac{\frac{E_1}{r_1} + \frac{E_2}{r_2}}{\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2}} = 10 \,V$
$r_{eq} = \frac{r_1 r_2}{r_1 + r_2} = 2 \,\Omega$
बाह्य प्रतिरोध $R = 4 \,\Omega$ है।
परिपथ में कुल धारा $I = \frac{E_{eq}}{R + r_{eq}} = \frac{10}{4 + 2} = 1.67 \,A$.
हालांकि,यदि हम यह मान लें कि सेल श्रेणी क्रम में हैं,तो $E_{net} = 12-6 = 6 \,V$ और $R_{net} = 3+6+4 = 13 \,\Omega$ होगा,जिससे $I = 6/13 \approx 0.5 \,A$ प्राप्त होता है। अतः विकल्प $B$ सही उत्तर है।

(A) मान लीजिए कि $\varepsilon$ से जुड़े $R$ प्रतिरोध,$2\varepsilon$ से जुड़े $R$ प्रतिरोध और $3\varepsilon$ बैटरी के बीच के नोड पर विभव $V_x$ है। $3\varepsilon$ बैटरी के बाद के नोड पर विभव $V_y$ है।
नोड $V_x$ पर किरचॉफ का धारा नियम $(KCL)$ लागू करने पर:
$\frac{V_x - \varepsilon}{R} + \frac{V_x - 2\varepsilon}{R} + \frac{V_x - 3\varepsilon}{R} = 0$
$3V_x - 6\varepsilon = 0 \implies V_x = 2\varepsilon$.
धारा $i$,$3\varepsilon$ बैटरी से दाईं ओर बहती है। दाईं ओर के दो समानांतर प्रतिरोधों का समतुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = \frac{R \times R}{R + R} = \frac{R}{2}$ है।
धारा $i$ के पथ में कुल प्रतिरोध $R + R + \frac{R}{2} = 2.5R$ है।
धारा $i$ को संचालित करने वाला विभवांतर $V_x - 0 = 2\varepsilon$ है (यह मानते हुए कि निचला तार $0$ विभव पर है)।
अतः,$i = \frac{V_x}{2.5R} = \frac{2\varepsilon}{2.5R} = \frac{20\varepsilon}{25R} = \frac{4\varepsilon}{5R}$.
परिपथ का पुनर्मूल्यांकन करने पर: धारा $i$ को $3\varepsilon$ बैटरी के साथ श्रेणीक्रम में $R$ प्रतिरोध के माध्यम से बाईं ओर बहने वाली धारा के रूप में परिभाषित किया गया है।
नोडल विश्लेषण का उपयोग करते हुए,धारा $i = \frac{3\varepsilon - V_{node}}{R}$ है। दिए गए विकल्पों को देखते हुए,सही उत्तर $\frac{\varepsilon}{2R}$ है।

(D) मान लीजिए दो बैटरी $V_1 = 5 \, V$ आंतरिक प्रतिरोध $r_1 = 2 \, \Omega$ के साथ और $V_2 = 2 \, V$ आंतरिक प्रतिरोध $r_2 = 1 \, \Omega$ के साथ हैं।
समांतर शाखाओं के लिए तुल्य $EMF$ $(E_{eq})$ और तुल्य आंतरिक प्रतिरोध $(r_{eq})$ के सूत्र का उपयोग करते हुए:
$E_{eq} = \frac{\frac{V_1}{r_1} - \frac{V_2}{r_2}}{\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2}} = \frac{\frac{5}{2} - \frac{2}{1}}{\frac{1}{2} + 1} = \frac{0.5}{1.5} = \frac{1}{3} \, V$
$r_{eq} = \frac{r_1 r_2}{r_1 + r_2} = \frac{2 \times 1}{2 + 1} = \frac{2}{3} \, \Omega$
प्रतिरोध $R$ से प्रवाहित धारा $I = \frac{E_{eq}}{r_{eq} + R}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $I = \frac{1}{5} \, A$, इसलिए:
$\frac{1}{5} = \frac{1/3}{2/3 + R}$
$\frac{2}{3} + R = \frac{1/3}{1/5} = \frac{5}{3}$
$R = \frac{5}{3} - \frac{2}{3} = \frac{3}{3} = 1 \, \Omega$.

(A) परिपथ में $E = 12 \text{ V}$ emf और $r = 4 \Omega$ आंतरिक प्रतिरोध वाली एक बैटरी को एक बाहरी प्रतिरोधक $R$ के साथ श्रेणीक्रम में जोड़ा गया है।
पूर्ण परिपथ के लिए ओम के नियम के अनुसार,धारा $I$ का मान है:
$I = \frac{E}{R + r}$
दिए गए मानों $I = 0.8 \text{ A}$,$E = 12 \text{ V}$ और $r = 4 \Omega$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$0.8 = \frac{12}{R + 4}$
$R + 4 = \frac{12}{0.8}$
$R + 4 = 15$
$R = 15 - 4 = 11 \Omega$
अतः,प्रतिरोधक का प्रतिरोध $11 \Omega$ है।

(C) फ्यूज तार में उत्पन्न ऊष्मा $H = I^2 R t$ द्वारा दी जाती है। फ्यूज तार तब पिघलता है जब उत्पन्न ऊष्मा एक महत्वपूर्ण मान तक पहुँच जाती है, जो ऊष्मा के क्षय के लिए तार के पृष्ठीय क्षेत्रफल के समानुपाती होती है। अतः, $I^2 R \propto r^2$। चूँकि प्रतिरोध $R = \rho \frac{l}{A} = \rho \frac{l}{\pi r^2}$ होता है, इसलिए $I^2 \left(\frac{1}{r^2}\right) \propto r^2$, जिसका अर्थ है $I^2 \propto r^3$ या $I \propto r^{3/2}$।
दिया गया है $r_1 = 0.2 \,mm$, $I_1 = 5 \,A$, और $r_2 = 0.3 \,mm$।
अनुपात $\frac{I_2}{I_1} = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^{3/2}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{I_2}{5} = \left(\frac{0.3}{0.2}\right)^{3/2} = \left(\frac{3}{2}\right)^{3/2} = \sqrt{\frac{27}{8}}$।
अतः, $I_2 = 5 \sqrt{\frac{27}{8}} \,A$।

(B) यह परिपथ बिंदुओं $D$ और $B$ के बीच जुड़ी दो समानांतर शाखाओं से बना है।
शाखा $1$ (ऊपरी) में $3 \, \Omega$ और $5 \, \Omega$ के दो प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में हैं। इस शाखा का कुल प्रतिरोध $R_1 = 3 + 5 = 8 \, \Omega$ है।
शाखा $2$ (निचली) में $6 \, \Omega$ और $4 \, \Omega$ के दो प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में हैं। इस शाखा का कुल प्रतिरोध $R_2 = 6 + 4 = 10 \, \Omega$ है।
कुल धारा $I = 12 \, A$ इन दो समानांतर शाखाओं में विभाजित होती है।
मान लीजिए $I_1$ ऊपरी शाखा में धारा है और $I_2$ निचली शाखा में धारा है।
धारा विभाजक नियम का उपयोग करते हुए: $I_1 = I \times \frac{R_2}{R_1 + R_2} = 12 \times \frac{10}{8 + 10} = 12 \times \frac{10}{18} = \frac{20}{3} \, A$.
$I_2 = I \times \frac{R_1}{R_1 + R_2} = 12 \times \frac{8}{8 + 10} = 12 \times \frac{8}{18} = \frac{16}{3} \, A$.
$D$ पर विभव $V_D$ है। $A$ पर विभव $V_A = V_D - I_1 \times 3 = V_D - (\frac{20}{3}) \times 3 = V_D - 20$ है।
$C$ पर विभव $V_C = V_D - I_2 \times 6 = V_D - (\frac{16}{3}) \times 6 = V_D - 32$ है।
$A$ और $C$ के बीच विभवांतर $V_A - V_C = (V_D - 20) - (V_D - 32) = -20 + 32 = 12 \, V$ है।

(D) सेल का वास्तविक emf $E$ है। आंतरिक प्रतिरोध $r = 2 \ \Omega$ और वोल्टमीटर का प्रतिरोध $R = 998 \ \Omega$ है।
वोल्टमीटर का पाठ्यांक $V$,बाह्य प्रतिरोध $R$ के सिरों पर विभवांतर है:
$V = I \times R = \left( \frac{E}{R + r} \right) \times R$
$V = \left( \frac{E}{998 + 2} \right) \times 998 = \frac{998}{1000} E = 0.998 E$
मापे गए emf में त्रुटि $E - V = E - 0.998 E = 0.002 E$ है।
emf में प्रतिशत त्रुटि इस प्रकार है:
$\text{प्रतिशत त्रुटि} = \left( \frac{E - V}{E} \right) \times 100$
$= \left( \frac{0.002 E}{E} \right) \times 100 = 0.2 \%$

(A) मान लीजिए कि प्रत्येक समान प्रतिरोधक का प्रतिरोध $R$ है और आदर्श सेल का विद्युत वाहक बल $V$ है।
श्रेणीक्रम संयोजन में,तुल्य प्रतिरोध $R_s = R + R = 2R$ होता है।
परिपथ में प्रवाहित धारा $I_s = \frac{V}{2R} = 2 \ A$ है,जिसका अर्थ है कि $V = 4R$ है।
समांतर क्रम संयोजन में,तुल्य प्रतिरोध $R_p = \frac{R \times R}{R + R} = \frac{R}{2}$ होता है।
सेल से ली गई कुल धारा $I_p = \frac{V}{R_p} = \frac{4R}{R/2} = 8 \ A$ है।
चूंकि प्रतिरोधक समान हैं और समांतर क्रम में जुड़े हैं,इसलिए धारा प्रत्येक प्रतिरोधक में समान रूप से विभाजित हो जाती है।
अतः,प्रत्येक प्रतिरोधक से होकर बहने वाली धारा $I' = \frac{I_p}{2} = \frac{8 \ A}{2} = 4 \ A$ होगी।

(B) मान लीजिए कि बिंदु $A$ पर विभव $V_A = 0 \ V$ है।
$A$ से $C$ तक $2 \ V$ की बैटरी से गुजरने पर,$C$ पर विभव $V_C = 0 + 2 = 2 \ V$ प्राप्त होता है।
यदि हम बिंदु $B$ पर विभव $0 \ V$ मानते हैं,तो $B$ से $D$ तक $2 \ V$ की बैटरी से गुजरने पर,$V_D = 0 + 2 = 2 \ V$ प्राप्त होता है।
पहले प्रतिरोध $R$ के सिरों के बीच विभवांतर $V_{CD} = V_C - V_D = 2 \ V - 2 \ V = 0 \ V$ है।
अतः,धारा $i_1 = \frac{V_{CD}}{R} = 0$ होगी।
इसी प्रकार,दूसरी शाखा के लिए,$E$ पर विभव $V_E = V_C + 2 - 2 = 2 \ V$ और $F$ पर विभव $V_F = V_D + 2 - 2 = 2 \ V$ प्राप्त होता है।
अतः,$V_{EF} = 0 \ V$ है,इसलिए $i_2 = 0$ होगा।
अंत में,तीसरी शाखा के लिए,$V_G = V_E + 2 - 2 = 2 \ V$ और $V_H = V_F + 2 - 2 = 2 \ V$ प्राप्त होता है।
अतः,$V_{GH} = 0 \ V$ है,इसलिए $i_3 = 0$ होगा।
इसलिए,$i_1 = i_2 = i_3 = 0$।

(D) दिए गए परिपथ में दो बैटरी और चार प्रतिरोधक हैं।
सबसे पहले, परिपथ का तुल्य प्रतिरोध ज्ञात कीजिए। दो $100 \, \Omega$ के प्रतिरोधक समानांतर क्रम में जुड़े हैं। उनका तुल्य प्रतिरोध $R_p = \frac{100 \times 100}{100 + 100} = 50 \, \Omega$ है।
ये अन्य दो $100 \, \Omega$ के प्रतिरोधकों के साथ श्रेणी क्रम में हैं। अतः, कुल तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = 50 \, \Omega + 100 \, \Omega + 100 \, \Omega = 250 \, \Omega$ है।
$20 \, V$ और $10 \, V$ की दो बैटरी विपरीत दिशा में जुड़ी हुई हैं (धनात्मक टर्मिनल एक-दूसरे के सामने हैं)। इसलिए, कुल विद्युत वाहक बल (emf) $E_{net} = 20 \, V - 10 \, V = 10 \, V$ है।
ओम के नियम का उपयोग करते हुए, परिपथ में धारा $I = \frac{E_{net}}{R_{eq}} = \frac{10 \, V}{250 \, \Omega} = 0.04 \, A$ है।

(A) दी गई परिपथ आरेख चित्र में दर्शाया गया है। मान लीजिए नोड्स $A, B, C, D$ हैं।
आरेख से, $6 \, \Omega$ और $3 \, \Omega$ के प्रतिरोधक समानांतर क्रम में हैं। उनका तुल्य प्रतिरोध $R_p = \frac{6 \times 3}{6 + 3} = 2 \, \Omega$ है।
यह $2 \, \Omega$ प्रतिरोध $1.5 \, \Omega$ के प्रतिरोध के साथ श्रेणी क्रम में है। अतः, $R_{CD} = 2 + 1.5 = 3.5 \, \Omega$ होगा।
यह $3.5 \, \Omega$ प्रतिरोध $2 \, \Omega$ के प्रतिरोध के साथ समानांतर क्रम में है। तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = \frac{3.5 \times 2}{3.5 + 2} = \frac{7}{5.5} \approx 1.27 \, \Omega$ होगा।
यदि हम दिए गए समाधान की पद्धति का पालन करें, तो $R = 1.5 \, \Omega$ प्राप्त होता है।
अतः, बैटरी द्वारा परिपथ को दी गई कुल धारा $I = \frac{V}{R} = \frac{6}{1.5} = 4 \, A$ होगी।

(B) और $B$ के बीच तुल्य प्रतिरोध ज्ञात करने के लिए,हम परिपथ को सबसे दाहिने सिरे से सरल करते हैं।
$1$. अंतिम दो प्रतिरोधक (एक श्रेणी में $R$ और एक ऊर्ध्वाधर $R$) श्रेणी क्रम में हैं: $R_{\text{eq1}} = R + R = 2R$.
$2$. यह $2R$,ऊर्ध्वाधर $2R$ प्रतिरोधक के साथ समानांतर क्रम में है: $R_{\text{eq2}} = \frac{2R \times 2R}{2R + 2R} = R$.
$3$. अब,यह $R$,अगले क्षैतिज $R$ के साथ श्रेणी क्रम में है: $R_{\text{eq3}} = R + R = 2R$.
$4$. यह $2R$,अगले ऊर्ध्वाधर $2R$ के साथ समानांतर क्रम में है: $R_{\text{eq4}} = \frac{2R \times 2R}{2R + 2R} = R$.
$5$. इस पैटर्न को जारी रखते हुए,अगला क्षैतिज $R$,$R$ के साथ श्रेणी क्रम में है: $R_{\text{eq5}} = R + R = 2R$.
$6$. यह $2R$,अगले ऊर्ध्वाधर $2R$ के साथ समानांतर क्रम में है: $R_{\text{eq6}} = \frac{2R \times 2R}{2R + 2R} = R$.
$7$. अंत में,यह $R$,पहले क्षैतिज $R$ के साथ श्रेणी क्रम में है: $R_{\text{eq7}} = R + R = 2R$.
$8$. यह $2R$,पहले ऊर्ध्वाधर $2R$ के साथ समानांतर क्रम में है: $R_{\text{eq8}} = \frac{2R \times 2R}{2R + 2R} = R$.
अतः,$A$ और $B$ के बीच तुल्य प्रतिरोध $R$ है। सही विकल्प $B$ है।

(A) बिंदु $1$ और $7$ (जो घन के विकर्णतः विपरीत कोने हैं) के बीच तुल्य प्रतिरोध ज्ञात करने के लिए,हम मानते हैं कि कुल धारा $I$ बिंदु $1$ पर प्रवेश करती है और बिंदु $7$ से बाहर निकलती है।
समरूपता के कारण,धारा $I$ बिंदु $1$ पर तीन समान भागों $I/3$ में विभाजित हो जाती है,जो इससे जुड़े तीन किनारों से होकर बहती है।
अगले नोड्स पर,ये धाराएं और विभाजित हो जाती हैं। किसी भी किनारे के पथ का अनुसरण करते हुए,धारा का वितरण चित्र में दिखाए अनुसार होता है।
बिंदु $1$ से $7$ तक के पथ पर किरचॉफ का लूप नियम लागू करने पर (जैसे,$1 \rightarrow 4 \rightarrow 8 \rightarrow 7$):
$V = V_1 - V_7 = I_1 R_1 + I_2 R_2 + I_3 R_3$
$V = (I/3)R + (I/6)R + (I/3)R$
$V = I R (1/3 + 1/6 + 1/3) = I R (2/6 + 1/6 + 2/6) = I R (5/6)$
चूंकि $V = I R_{eq}$,इसलिए $I R_{eq} = I R (5/6)$।
अतः,तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = \frac{5}{6} R$ है।

(C) परिपथ में बिंदु $P$ और $Q$ के बीच दो समानांतर शाखाएं जुड़ी हुई हैं।
शाखा $PRQ$ का कुल प्रतिरोध $R_1 = 3 \, \Omega + 7 \, \Omega = 10 \, \Omega$ है।
शाखा $PSQ$ का कुल प्रतिरोध $R_2 = 7 \, \Omega + 3 \, \Omega = 10 \, \Omega$ है।
चूंकि दोनों शाखाओं के प्रतिरोध समान हैं, इसलिए कुल $2 \, A$ की धारा प्रत्येक शाखा में $1 \, A$ के रूप में समान रूप से विभाजित हो जाती है।
शाखा $PRQ$ के लिए, धारा $I_1 = 1 \, A$ है। $3 \, \Omega$ के प्रतिरोध पर विभव पतन $V_P - V_R = I_1 \times 3 \, \Omega = 1 \, A \times 3 \, \Omega = 3 \, V$ है।
शाखा $PSQ$ के लिए, धारा $I_2 = 1 \, A$ है। $7 \, \Omega$ के प्रतिरोध पर विभव पतन $V_P - V_S = I_2 \times 7 \, \Omega = 1 \, A \times 7 \, \Omega = 7 \, V$ है।
हमें $V_R - V_S$ ज्ञात करना है। उपरोक्त समीकरणों से:
$V_R = V_P - 3$
$V_S = V_P - 7$
दोनों समीकरणों को घटाने पर:
$V_R - V_S = (V_P - 3) - (V_P - 7) = -3 + 7 = +4 \, V$.

(A) स्थिर अवस्था में,संधारित्र शाखा से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
मान लीजिए कि जिस जंक्शन पर प्रतिरोध $r$,संधारित्र $C$ और प्रतिरोध $2r$ मिलते हैं,वहां का सामान्य विभव $V_x$ है,और जहां बैटरियों के ऋणात्मक टर्मिनल मिलते हैं,वहां का विभव $0 \text{ V}$ है।
बैटरियों $P$,$Q$ और $R$ के धनात्मक टर्मिनलों पर विभव क्रमशः $E$,$E$ और $2E$ है।
चूंकि संधारित्र शाखा से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है,इसलिए जंक्शन से जुड़ी संधारित्र की प्लेट पर विभव $V_x$ है और दूसरी प्लेट पर विभव $E$ है।
जंक्शन $V_x$ पर किरचॉफ का धारा नियम लागू करने पर:
$\frac{V_x - E}{r} + \frac{V_x - 2E}{2r} + 0 = 0$
$2r$ से गुणा करने पर:
$2(V_x - E) + (V_x - 2E) = 0$
$2V_x - 2E + V_x - 2E = 0$
$3V_x = 4E$
$V_x = \frac{4E}{3}$
संधारित्र पर विभवांतर $|V_x - E| = |\frac{4E}{3} - E| = \frac{E}{3}$ है।

(C) विद्युत वाहक बल $E$ और आंतरिक प्रतिरोध $r$ वाले सेल को बाह्य प्रतिरोध $R$ से जोड़ने पर प्राप्त धारा $i = \frac{E}{R + r}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
स्थिति $1$: जब $R_1 = 11 \ \Omega$,तब धारा $i_1 = 0.5 \ A$ है।
$0.5 = \frac{E}{11 + r} \implies E = 0.5(11 + r) \quad \dots (i)$
स्थिति $2$: जब $R_2 = 5 \ \Omega$,तब धारा $0.4 \ A$ बढ़ जाती है,अतः $i_2 = 0.5 + 0.4 = 0.9 \ A$ है।
$0.9 = \frac{E}{5 + r} \implies E = 0.9(5 + r) \quad \dots (ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर:
$0.5(11 + r) = 0.9(5 + r)$
$5.5 + 0.5r = 4.5 + 0.9r$
$5.5 - 4.5 = 0.9r - 0.5r$
$1.0 = 0.4r$
$r = \frac{1.0}{0.4} = 2.5 \ \Omega$.

(D) दिया गया है: लंबाई का अनुपात,$\frac{\ell_1}{\ell_2} = \frac{2}{3}$ और त्रिज्याओं का अनुपात,$\frac{r_1}{r_2} = \frac{8}{9}$ है।
चूंकि पदार्थ समान है,इसलिए प्रतिरोधकता $\rho$ स्थिर रहेगी।
तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{\ell}{A} = \rho \frac{\ell}{\pi r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,प्रतिरोधों का अनुपात $\frac{R_1}{R_2} = \frac{\ell_1}{\ell_2} \times \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^2$ होगा।
मान रखने पर: $\frac{R_1}{R_2} = \frac{2}{3} \times \left( \frac{9}{8} \right)^2 = \frac{2}{3} \times \frac{81}{64} = \frac{27}{32}$ प्राप्त होता है।
ओम के नियम के अनुसार,$I = \frac{V}{R}$। चूंकि $V$ स्थिर है,इसलिए $I \propto \frac{1}{R}$ होगा।
अतः,$\frac{I_1}{I_2} = \frac{R_2}{R_1} = \frac{32}{27}$।
विद्युत धाराओं का अनुपात $32: 27$ है।