Atomic Models and Scattering of Alpha particle Questions in Gujarati

(N/A) $J.J. Thomson$ દ્વારા પ્રસ્તાવિત પ્લમ પુડિંગ મોડેલની કેટલીક મહત્વપૂર્ણ મર્યાદાઓ નીચે મુજબ છે:
$1$. સ્થિત વિદ્યુતશાસ્ત્રના નિયમો અનુસાર,સ્થિર વિદ્યુતભારોનું સંતુલિત વિતરણ શક્ય નથી. પરમાણુમાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોન ધન વિદ્યુતભારને કારણે $Coulomb$ બળનો અનુભવ કરે છે. પરિણામે,તેઓ સ્થિર રહી શકતા નથી અને પ્રવેગ સાથે ગતિ કરે છે,જે પરમાણુને અસ્થિર બનાવે છે.
$2$. આ મોડેલ પરમાણ્વીય વર્ણપટના ઉદભવને સમજાવવામાં નિષ્ફળ જાય છે. કોઈપણ તાપમાને સંઘનિત પદાર્થો સતત તરંગલંબાઈ ધરાવતું વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણ ઉત્સર્જિત કરે છે. તેની સરખામણીમાં,જ્યોતમાં ગરમ કરેલા વાયુઓ માત્ર ચોક્કસ તરંગલંબાઈ ધરાવતો પ્રકાશ ઉત્સર્જિત કરે છે,જે તેજસ્વી રેખાઓની શ્રેણી તરીકે દેખાય છે.
$3$. આવા વાયુઓમાં,પરમાણુઓ વચ્ચેનું સરેરાશ અંતર ઘણું વધારે હોય છે,જે સૂચવે છે કે વિકિરણનું ઉત્સર્જન વ્યક્તિગત પરમાણુઓ દ્વારા થાય છે,નહીં કે તેમની વચ્ચેની આંતરક્રિયા દ્વારા. આ પરમાણુની આંતરિક રચના અને તેના વિકિરણ વર્ણપટ વચ્ચેના ગાઢ સંબંધને સૂચવે છે,જે પ્લમ પુડિંગ મોડેલ સમજાવી શક્યું ન હતું.

(B) રધરફોર્ડનું પરમાણુ મોડેલ $\alpha$-કણ પ્રકીર્ણન પ્રયોગ (જેને ગાઇગર-માર્સડેન પ્રયોગ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે) પરથી ઉતરી આવ્યું હતું.
આ પ્રયોગમાં,$\alpha$-કણોના કિરણપુંજને સોનાના પાતળા વરખ પર આપાત કરવામાં આવ્યા હતા. મોટાભાગના કણો સીધા પસાર થઈ ગયા,પરંતુ કેટલાક કણો મોટા ખૂણે વિચલિત થયા અને થોડા કણો પાછા ફેંકાયા.
આના પરથી રધરફોર્ડે તારણ કાઢ્યું કે પરમાણુનો સમગ્ર ધન વિદ્યુતભાર અને મોટાભાગનું દળ એક ખૂબ જ નાના કદમાં કેન્દ્રિત હોય છે જેને ન્યુક્લિયસ કહેવાય છે,અને ઇલેક્ટ્રોન તેની આસપાસ સૂર્યની આસપાસ ગ્રહો ફરે છે તેમ ફરે છે.

(B) પરમાણુ એક કેન્દ્રીય ન્યુક્લિયસનો બનેલો હોય છે જેમાં ધન વીજભારિત પ્રોટોન અને તટસ્થ ન્યુટ્રોન હોય છે,જેની આસપાસ ઋણ વીજભારિત ઇલેક્ટ્રોન કક્ષામાં પરિભ્રમણ કરે છે.
તટસ્થ પરમાણુમાં,ન્યુક્લિયસમાં રહેલા ધન વીજભારિત પ્રોટોનની સંખ્યા ન્યુક્લિયસની આસપાસ ફરતા ઋણ વીજભારિત ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા જેટલી જ હોય છે.
પ્રોટોનનો ધન વીજભાર અને ઇલેક્ટ્રોનનો ઋણ વીજભાર સમાન હોવાથી,કુલ ધન વીજભાર કુલ ઋણ વીજભારને નાબૂદ કરે છે,જેના પરિણામે પરમાણુનો ચોખ્ખો વીજભાર $0$ થાય છે.

(A) પ્લમ પુડિંગ મોડેલ $J.J. Thomson$ દ્વારા $1904$ માં પરમાણુના ન્યુક્લિયસની શોધ પહેલાં રજૂ કરવામાં આવ્યું હતું.
આ મોડેલ મુજબ,પરમાણુને સમાન ધન વીજભારના ગોળા તરીકે ગણવામાં આવે છે જેમાં ઇલેક્ટ્રોન પુડિંગમાં પ્લમની જેમ જડિત હોય છે.
કુલ ધન વીજભાર એ ઇલેક્ટ્રોનના કુલ ઋણ વીજભાર જેટલો હોય છે,જે પરમાણુને વિદ્યુતની દ્રષ્ટિએ તટસ્થ બનાવે છે.
આ મોડેલને 'તરબૂચ મોડેલ' તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે કારણ કે ધન વીજભાર તરબૂચના લાલ ખાવાલાયક ભાગની જેમ ફેલાયેલો હોય છે અને ઇલેક્ટ્રોન બીજની જેમ તેમાં જડિત હોય છે.

(A) પરમાણુનું પ્લમ પુડિંગ મોડેલ $J.J. Thomson$ દ્વારા $1904$ માં આપવામાં આવ્યું હતું. આ મોડેલ મુજબ,પરમાણુ એ ઇલેક્ટ્રોનનો બનેલો છે જે ધન વીજભારના સૂપથી ઘેરાયેલો છે,જેથી ઇલેક્ટ્રોનના ઋણ વીજભારને સંતુલિત કરી શકાય. આ મોડેલ ધન વીજભારિત 'પુડિંગ' માં જડેલા ઋણ વીજભારિત 'પ્લમ' જેવું દેખાય છે.

(A) રધરફોર્ડના પરમાણુના ન્યુક્લિયર મોડેલ મુજબ,પરમાણુનો સમગ્ર ધન વીજભાર અને લગભગ સમગ્ર દળ પરમાણુના કેન્દ્રમાં આવેલા ખૂબ જ નાના વિસ્તારમાં કેન્દ્રિત હોય છે,જેને ન્યુક્લિયસ કહેવામાં આવે છે. ઇલેક્ટ્રોન આ ન્યુક્લિયસની આસપાસ વર્તુળાકાર કક્ષામાં ફરે છે.

(N/A) ગાઇગર-માર્સડન પ્રયોગમાં,${ }_{83}^{214} \text{Bi}$ રેડિયોએક્ટિવ સ્ત્રોતમાંથી ઉત્સર્જિત $5.5 \text{ MeV}$ ઊર્જા ધરાવતા $\alpha$-કણોના કિરણપુંજને પાતળા સુવર્ણ વરખ પર આપાત કરવામાં આવે છે.
$\alpha$-કણોને સીસાના બ્લોક (lead bricks) માંથી પસાર કરીને એક સાંકડા કિરણપુંજમાં રૂપાંતરિત કરવામાં આવે છે.
આ કિરણપુંજને $2.1 \times 10^{-7} \text{ m}$ જાડાઈ ધરાવતા પાતળા સુવર્ણ વરખ પર આપાત કરવામાં આવે છે.
પ્રકીર્ણન પામેલા $\alpha$-કણો જ્યારે ફ્લોરોસન્ટ પડદા (સામાન્ય રીતે $\text{ZnS}$) સાથે અથડાય છે,ત્યારે તે પ્રકાશના ટૂંકા ઝબકારા ઉત્પન્ન કરે છે,જેને સિન્ટિલેશન કહેવામાં આવે છે.
આ ઝબકારાને ફરતા માઇક્રોસ્કોપ દ્વારા જોવામાં આવે છે,જેનાથી પ્રકીર્ણન કોણ $\theta$ ના વિધેય તરીકે પ્રકીર્ણન પામેલા કણોની સંખ્યાનો અભ્યાસ કરી શકાય છે.

(N/A) ગાઇગર-માર્સડન $\alpha$-કણ પ્રકીર્ણન પ્રયોગના પ્રાયોગિક પરિણામો નીચે મુજબ છે:
$1$. આપેલ સમયના અંતરાલમાં જુદા જુદા ખૂણે પ્રકીર્ણન પામતા $\alpha$-કણોની કુલ સંખ્યાનો આલેખ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. ટપકાં પ્રાયોગિક ડેટા પોઈન્ટ્સ દર્શાવે છે અને ઘાટી વક્ર રેખા એ ધારણા પર આધારિત સૈદ્ધાંતિક આગાહી છે કે પરમાણુમાં ધન વીજભારિત ન્યુક્લિયસ હોય છે.
$2$. મોટાભાગના $\alpha$-કણો સોનાના વરખમાંથી કોઈપણ નોંધપાત્ર વિચલન વગર પસાર થઈ જાય છે. આ સૂચવે છે કે તેઓ કોઈ અથડામણ અનુભવતા નથી,જેનો અર્થ છે કે પરમાણુની અંદરનો મોટાભાગનો અવકાશ ખાલી છે.
$3$. આપાત થયેલા $\alpha$-કણોમાંથી માત્ર $0.14 \%$ જેટલા જ કણો $1^{\circ}$ કરતા વધુ ખૂણે પ્રકીર્ણન પામે છે.
$4$. આશરે $8000$ માંથી $1$ $\alpha$-કણ $90^{\circ}$ કરતા વધુ ખૂણે વિચલિત થાય છે,જે પરમાણુના કેન્દ્રમાં નાના,ઘટ્ટ અને ધન વીજભારિત ન્યુક્લિયસની હાજરી સૂચવે છે.

(N/A) રધરફોર્ડે દલીલ કરી હતી કે મોટાભાગના $\alpha$-કણો ખૂબ જ નાના ખૂણે વિચલિત થાય છે,તેથી પરમાણુ મોટાભાગે પોલો હોવો જોઈએ.
જો પરમાણુના દળનો મોટો ભાગ તેના કેન્દ્રમાં સઘન રીતે કેન્દ્રિત હોય અને તે ધન વીજભાર ધરાવતો હોય,તો આ ધન વીજભાર અને $\alpha$-કણોના ધન વીજભાર વચ્ચે કુલંબ અપાકર્ષણ બળ લાગી શકે છે.
જો આમ હોય,તો આવતો $\alpha$-કણ તેને ભેદ્યા વિના ધન વીજભારની ખૂબ નજીક જઈ શકે છે અને તે વિચલિત થશે.
આ દલીલે ન્યુક્લિયર પરમાણુની પૂર્વધારણાને સમર્થન આપ્યું હતું. આથી જ રધરફોર્ડને ન્યુક્લિયસની શોધનો શ્રેય આપવામાં આવે છે.
તેમણે દલીલ કરી હતી કે ઇલેક્ટ્રોન ન્યુક્લિયસથી થોડા અંતરે હોય છે. જેમ ગ્રહો સૂર્યની આસપાસ ફરે છે,તેમ ઇલેક્ટ્રોન ન્યુક્લિયસની આસપાસ નિશ્ચિત કક્ષામાં ભ્રમણ કરશે.
રધરફોર્ડના પ્રયોગોએ સૂચવ્યું કે ન્યુક્લિયસનું કદ લગભગ $10^{-15} \ m$ થી $10^{-14} \ m$ જેટલું છે. ગતિવાદ (kinetic theory) પરથી,પરમાણુનું કદ $10^{-10} \ m$ હોવાનું જાણીતું હતું,જે ન્યુક્લિયસના કદ કરતા લગભગ $10,000$ થી $100,000$ ગણું મોટું છે.

(N/A) રધરફોર્ડે સૂચવ્યું કે મોટાભાગના $\alpha$-કણો ખૂબ જ નાના ખૂણે વિચલિત થાય છે,તેથી પરમાણુઓ મોટાભાગે પોલા હોવા જોઈએ.
સોનાનો વરખ ખૂબ જ પાતળો હોવાથી,એવું માની શકાય છે કે $\alpha$-કણો તેમાંથી પસાર થતી વખતે એક કરતા વધુ વખત પ્રકીર્ણન પામશે નહીં.
$\alpha$-કણો એ હિલિયમ પરમાણુના ન્યુક્લિયસ છે અને તે $+2e$ જેટલો વીજભાર ધરાવે છે અને તેનું દળ હિલિયમ પરમાણુ જેટલું હોય છે.
સોના માટે $Z=79$ છે,સોનાનું ન્યુક્લિયસ $\alpha$-કણ કરતા લગભગ $50$ ગણું ભારે હોવાથી,પ્રકીર્ણનની પ્રક્રિયા દરમિયાન તેને સ્થિર માનવામાં આવે છે.
આ ધારણાઓ હેઠળ,$\alpha$-કણનો ગતિપથ ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ અને $\alpha$-કણ તથા ધન વીજભારિત ન્યુક્લિયસ વચ્ચેના અપાકર્ષણ બળ માટે કુલંબના નિયમનો ઉપયોગ કરીને ગણી શકાય છે.
કુલંબના અપાકર્ષણ બળનું મૂલ્ય નીચે મુજબ છે:
$F = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \cdot \frac{(Ze)(2e)}{r^{2}}$
જ્યાં $r$ એ $\alpha$-કણ અને ન્યુક્લિયસ વચ્ચેનું અંતર છે અને $\epsilon_{0}$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે.
આ બળ $\alpha$-કણ અને ન્યુક્લિયસને જોડતી રેખાની દિશામાં હોય છે અને $\alpha$-કણના સ્થાનાંતર સાથે સતત બદલાય છે.

(N/A) ઈમ્પેક્ટ પેરામીટર $b$ એ ન્યુક્લિયસના કેન્દ્રથી $\alpha$-કણના પ્રારંભિક વેગ સદિશનું લંબ અંતર છે. $\alpha$-કણનો ગતિપથ આ ઈમ્પેક્ટ પેરામીટર $b$ પર આધાર રાખે છે.
$\alpha$-કણોના આપેલ કિરણાવલી (beam) માં ઈમ્પેક્ટ પેરામીટર $b$ નું વિતરણ હોય છે,જેના કારણે કિરણાવલી વિવિધ દિશાઓમાં અલગ-અલગ સંભાવનાઓ સાથે પ્રકીર્ણન પામે છે. કિરણાવલીમાં તમામ કણો લગભગ સમાન ગતિઊર્જા ધરાવે છે.
$\alpha$-કણનો ઈમ્પેક્ટ પેરામીટર $b$ જેટલો નાનો,તેટલો તે ન્યુક્લિયસની વધુ નજીકથી પસાર થાય છે,પરિણામે પ્રકીર્ણન કોણ $\theta$ મોટો મળે છે.
હેડ-ઓન અથડામણના કિસ્સામાં,ઈમ્પેક્ટ પેરામીટર ન્યૂનતમ $(b=0)$ હોય છે અને $\alpha$-કણ પાછો ફેંકાય છે $(\theta \cong \pi)$.
જેમ ઈમ્પેક્ટ પેરામીટર $b$ વધે છે,તેમ પ્રકીર્ણન કોણ $\theta$ ઘટે છે. ખૂબ મોટા ઈમ્પેક્ટ પેરામીટર માટે,$\alpha$-કણ નોંધપાત્ર પ્રકીર્ણન વગર તેના મૂળ ગતિપથ પર આગળ વધે છે $(\theta \cong 0^{\circ})$.
માત્ર થોડાક જ આપાત કણો પાછા ફેંકાતા હોવાથી,તે સૂચવે છે કે હેડ-ઓન અથડામણ અનુભવતા $\alpha$-કણોની સંખ્યા ખૂબ ઓછી છે. આનો અર્થ એ છે કે પરમાણુનું દળ અને ધન વીજભાર ખૂબ જ નાના કદમાં કેન્દ્રિત છે. તેથી,રધરફોર્ડ પ્રકીર્ણન એ ન્યુક્લિયસના કદની ઉપરની મર્યાદા નક્કી કરવા માટેની એક શક્તિશાળી પદ્ધતિ છે.
આ પ્રયોગ પરથી,રધરફોર્ડે ન્યુક્લિયસનું પરિમાણ $10^{-15} \ m$ થી $10^{-14} \ m$ ની વચ્ચે હોવાનું સૂચવ્યું હતું.

(B) અર્નેસ્ટ રધરફોર્ડના માર્ગદર્શન હેઠળ ગાઇગર અને માર્સડન દ્વારા કરવામાં આવેલા પ્રખ્યાત આલ્ફા-કણ પ્રકીર્ણન પ્રયોગમાં,તેઓએ આલ્ફા કણોનું ઉત્સર્જન કરતા રેડિયોએક્ટિવ સ્ત્રોતનો ઉપયોગ કર્યો હતો. ઉપયોગમાં લેવાયેલ ચોક્કસ રેડિયોએક્ટિવ સ્ત્રોત $Polonium$ $(^{214}Po)$ હતો. આ સ્ત્રોતે પાતળી સોનાની વરખ પર આલ્ફા કણોનો ઉચ્ચ-ઊર્જા ધરાવતો કિરણપુંજ ફેંક્યો હતો જેથી પ્રકીર્ણનની ભાતનું અવલોકન કરી શકાય.

(B) ગાઇગર-માર્સડેન પ્રયોગમાં,જેને રધરફોર્ડ આલ્ફા-કણ સ્કેટરિંગ પ્રયોગ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે,તેમાં આલ્ફા કણોના સ્કેટરિંગનો અભ્યાસ કરવા માટે સોનાના પાતળા વરખનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો.
આ સોનાના વરખની જાડાઈ આશરે $2.1 \times 10^{-7} \ m$ (અથવા $2.1 \times 10^{-5} \ cm$) હતી.
આ અત્યંત પાતળા વરખને પસંદ કરવામાં આવી હતી જેથી એ સુનિશ્ચિત કરી શકાય કે આલ્ફા કણો જ્યારે સોનાના પરમાણુઓમાંથી પસાર થાય ત્યારે માત્ર એક જ વાર સ્કેટરિંગ અનુભવે,જે પરમાણુ બંધારણના સચોટ વિશ્લેષણ માટે જરૂરી હતું.

(A) રધરફોર્ડના $\alpha$-કણ પ્રકીર્ણન પ્રયોગમાં,મોટાભાગના $\alpha$-કણો સોનાના વરખમાંથી કોઈ પણ વિચલન વગર પસાર થઈ ગયા હતા. આ અવલોકન એ નિષ્કર્ષ પર દોરી જાય છે કે પરમાણુની અંદરની મોટાભાગની જગ્યા ખાલી છે. કારણ કે $\alpha$-કણો ધન વીજભારિત અને પ્રમાણમાં ભારે હોય છે,તેમનું વિચલન વગર પસાર થવું એ સૂચવે છે કે તેમને કોઈ નોંધપાત્ર સ્થિર વિદ્યુત બળ કે ભૌતિક અવરોધનો સામનો કરવો પડ્યો નથી,જે પરમાણુ બંધારણમાં મોટી ખાલી જગ્યા હોવાની પુષ્ટિ કરે છે.

(A) ગાઇગર-માર્સડેન પ્રયોગમાં,$\theta$ ખૂણે વિચલિત થતા $\alpha$-કણોની સંખ્યા $N(\theta) \propto \frac{1}{\sin^4(\theta/2)}$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રાયોગિક અવલોકનો દર્શાવે છે કે પાતળા સોનાના વરખ માટે,$1^o$ કરતા વધુ ખૂણે વિચલિત થતા $\alpha$-કણોનો અંશ આશરે $0.125\%$ અથવા $8000$ કણોમાંથી $1$ કણ જેટલો હોય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) ગાઇગર-માર્સડેન પ્રયોગમાં સોનાના ન્યુક્લિયસ દ્વારા $\alpha$-કણોનું પ્રકીર્ણન થાય છે.
$\alpha$-કણ અને સોનાનું ન્યુક્લિયસ બંને વીજભારિત કણો હોવાથી,તેમની વચ્ચે સ્થિત-વિદ્યુત અપાકર્ષણ બળ લાગે છે.
$\alpha$-કણનો ગતિપથ ધન વીજભારિત $\alpha$-કણ અને ધન વીજભારિત ન્યુક્લિયસ વચ્ચે લાગતા કુલંબ બળ દ્વારા નક્કી થાય છે.
તેથી,ગતિપથની ગણતરી કુલંબના નિયમનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે,જે બિંદુવત વીજભારો વચ્ચેની સ્થિત-વિદ્યુત આંતરક્રિયાનું વર્ણન કરે છે.

(A) ઈમ્પેક્ટ પેરામીટર $(b)$ એટલે આલ્ફા કણ જ્યારે ન્યુક્લિયસથી ઘણું દૂર હોય ત્યારે તેના પ્રારંભિક વેગ સદિશનું ન્યુક્લિયસના કેન્દ્રથી લંબ અંતર.
તે આલ્ફા કણ ન્યુક્લિયસની કેટલા નજીકથી પસાર થશે તેનું માપ છે.
ગાણિતિક રીતે,તે આ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $b = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{Ze^2 \cot(\theta/2)}{K}$,જ્યાં $Z$ એ પરમાણુ ક્રમાંક છે,$e$ એ મૂળભૂત વિદ્યુતભાર છે,$\theta$ એ પ્રકીર્ણન કોણ છે અને $K$ એ આલ્ફા કણની ગતિ ઉર્જા છે.

(N/A) જ્યારે આલ્ફા કણ પરમાણુના ન્યુક્લિયસના કેન્દ્ર તરફ સીધો ગતિ કરે ત્યારે તેને હેડ-ઓન અથડામણ કહેવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં,આલ્ફા કણ ન્યુક્લિયસની નજીક આવે છે,નજીકના અંતરે ક્ષણિક સ્થિર થાય છે અને ત્યારબાદ તે જ માર્ગ પર પાછો ફરે છે.
ઈમ્પેક્ટ પેરામીટર $(b)$ ને ન્યુક્લિયસના કેન્દ્રથી આલ્ફા કણના પ્રારંભિક વેગ સદિશના લંબ અંતર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
હેડ-ઓન અથડામણ માટે,આલ્ફા કણ સીધો ન્યુક્લિયસના કેન્દ્ર તરફ લક્ષિત હોય છે,જેનો અર્થ છે કે આલ્ફા કણના માર્ગ અને ન્યુક્લિયસના કેન્દ્ર વચ્ચેનું લંબ અંતર શૂન્ય છે. તેથી,હેડ-ઓન અથડામણ માટે ઈમ્પેક્ટ પેરામીટર $(b)$ નું મૂલ્ય $0$ છે.

(N/A) ઈમ્પેક્ટ પેરામીટર $b$ ને આલ્ફા કણના પ્રારંભિક વેગ સદિશનું ન્યુક્લિયસના કેન્દ્રથી લંબ અંતર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. ઈમ્પેક્ટ પેરામીટર $b$ અને સ્કેટરિંગ એંગલ $\theta$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$b = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{Ze^2 \cot(\theta/2)}{K}$
જ્યાં:
$Z$ એ લક્ષ્ય ન્યુક્લિયસનો પરમાણુ ક્રમાંક છે,
$e$ એ મૂળભૂત વિદ્યુતભાર છે,
$K$ એ આપાત આલ્ફા કણની ગતિઊર્જા છે,
$\theta$ એ સ્કેટરિંગ એંગલ છે,
$\epsilon_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે.

(N/A) પરમાણુને $^A_Z X$ સંકેત દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $X$ એ તત્વની રાસાયણિક સંજ્ઞા છે,$Z$ એ પરમાણુ ક્રમાંક (પ્રોટોનની સંખ્યા) છે અને $A$ એ દળ ક્રમાંક (પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોનની કુલ સંખ્યા) છે.
ન્યુક્લિયસમાં રહેલો ધન વીજભાર પ્રોટોનને કારણે હોય છે. પ્રોટોન એક એકમ મૂળભૂત વીજભાર ધરાવે છે અને તે સ્થાયી છે.
પરમાણુના તમામ ઇલેક્ટ્રોન ન્યુક્લિયસની બહાર હોય છે અને કુલંબ બળને કારણે તેની આસપાસ વર્તુળાકાર કક્ષામાં પરિભ્રમણ કરે છે.
તટસ્થ પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા પરમાણુ ક્રમાંક $Z$ જેટલી હોય છે. તેથી,ઇલેક્ટ્રોનનો કુલ વીજભાર $(-Ze)$ થાય છે.
પરમાણુ વિદ્યુતની દ્રષ્ટિએ તટસ્થ હોવાથી,ન્યુક્લિયસનો કુલ ધન વીજભાર $(+Ze)$ હોવો જોઈએ. તેથી,ન્યુક્લિયસમાં પ્રોટોનની સંખ્યા પરમાણુ ક્રમાંક $Z$ જેટલી હોય છે.

(N/A) ઐતિહાસિક રીતે,'પરમાણુ' (atom) શબ્દ ગ્રીક શબ્દ 'એટોમોસ' (atomos) પરથી આવ્યો છે,જેનો અર્થ 'અવિભાજ્ય' થાય છે. ડાલ્ટનના પરમાણુ સિદ્ધાંત મુજબ,પરમાણુઓને દ્રવ્યના સૌથી નાના,અવિભાજ્ય કણો માનવામાં આવતા હતા.
જોકે,આધુનિક ભૌતિકવિજ્ઞાનમાં એવું સ્થાપિત થયું છે કે પરમાણુઓ વિભાજ્ય છે. પરમાણુઓ ઇલેક્ટ્રોનથી ઘેરાયેલા કેન્દ્રીય ન્યુક્લિયસના બનેલા હોય છે.
ન્યુક્લિયસ પોતે પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોનનું બનેલું હોય છે.
વધુમાં,પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોન 'ક્વાર્ક' (quarks) તરીકે ઓળખાતા વધુ નાના મૂળભૂત કણોના બનેલા હોય છે. તેથી,પરમાણુઓ ઉપ-પરમાણુ કણોમાં વિભાજ્ય છે.

(N/A) દ્રવ્ય એ પરમાણુઓ નામના નાના, અવિભાજ્ય કણોનું બનેલું છે તેવો ખ્યાલ સૌપ્રથમ પ્રાચીન ભારતીય તત્વચિંતક $\text{મહર્ષિ}$ $\text{કણાદ}$ (આશરે $600$ $BCE$) દ્વારા અને સ્વતંત્ર રીતે પ્રાચીન ગ્રીક તત્વચિંતક $\text{ડેમોક્રિટસ}$ (આશરે $460-370$ $BCE$) દ્વારા આપવામાં આવ્યો હતો. આધુનિક વિજ્ઞાનના સંદર્ભમાં, $1803$ માં પ્રથમ વૈજ્ઞાનિક પરમાણુ સિદ્ધાંત પ્રસ્તાવિત કરવાનો શ્રેય $\text{જોન}$ $\text{ડાલ્ટન}$ ને જાય છે.

(N/A) પરમાણુ ઉત્કલ્પના મુજબ,તમામ દ્રવ્ય અતિ સૂક્ષ્મ,અવિભાજ્ય કણોનું બનેલું છે જેને પરમાણુઓ કહેવામાં આવે છે.
પરમાણુ ઉત્કલ્પનાના મુખ્ય મુદ્દાઓ નીચે મુજબ છે:
$1$. દ્રવ્ય સાતત્યપૂર્ણ નથી,પરંતુ તે પરમાણુઓ નામના અલગ-અલગ કણોનું બનેલું છે.
$2$. એક જ તત્વના પરમાણુઓ દળ અને ગુણધર્મોમાં સમાન હોય છે,જ્યારે અલગ-અલગ તત્વોના પરમાણુઓ અલગ હોય છે.
$3$. પરમાણુઓ એ રાસાયણિક પ્રક્રિયાઓમાં ભાગ લેતા સૌથી નાના એકમો છે.
$4$. પરમાણુઓ સતત ગતિમાં હોય છે અને તેમની ગોઠવણી દ્રવ્યની અવસ્થા (ઘન,પ્રવાહી કે વાયુ) નક્કી કરે છે.

(N/A) ડાલ્ટનનો પરમાણુ સિદ્ધાંત,જે $1803$ માં રજૂ કરવામાં આવ્યો હતો,તે નીચેની અભિધારણાઓ ધરાવે છે:
$1$. તમામ દ્રવ્ય પરમાણુઓથી બનેલું છે,જે અવિભાજ્ય અને અવિનાશી કણો છે.
$2$. આપેલ તત્વના તમામ પરમાણુઓ દળ અને ગુણધર્મોમાં સમાન હોય છે.
$3$. સંયોજનો બે કે તેથી વધુ વિવિધ પ્રકારના પરમાણુઓના સંયોજનથી બને છે.
$4$. રાસાયણિક પ્રતિક્રિયા એ પરમાણુઓની પુનઃગોઠવણી છે.
$5$. રાસાયણિક પ્રતિક્રિયામાં પરમાણુઓનું સર્જન કે વિનાશ થઈ શકતો નથી.

(N/A) ડાલ્ટનનો પરમાણુ સિદ્ધાંત,જે $1808$ માં રજૂ કરવામાં આવ્યો હતો,તે નીચે મુજબના સૂચનો કરે છે:
$1$. તમામ દ્રવ્ય અવિભાજ્ય કણોનું બનેલું છે જેને પરમાણુ કહેવામાં આવે છે.
$2$. આપેલા તત્વના પરમાણુઓ દળ અને ગુણધર્મોમાં સમાન હોય છે.
$3$. અલગ-અલગ તત્વોના પરમાણુઓ અલગ-અલગ દળ અને ગુણધર્મો ધરાવે છે.
$4$. સંયોજનો બનાવવા માટે પરમાણુઓ નાની પૂર્ણ સંખ્યાઓના નિશ્ચિત ગુણોત્તરમાં જોડાય છે.
$5$. રાસાયણિક પ્રક્રિયામાં પરમાણુઓનું સર્જન કે વિનાશ થઈ શકતો નથી.

(A) પરમાણુનું કદ સામાન્ય રીતે $1 \, \mathring{A}$ $(1 \, \mathring{A})$ ના ક્રમનું હોય છે.
કારણ કે $1 \, \mathring{A} = 10^{-10} \, \text{m}$, તેથી પરમાણુનું પરિમાણ આશરે $10^{-10} \, \text{m}$ જેટલું હોય છે.
તેથી, સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) મોલની સંખ્યા $n$ એ સૂત્ર $n = \frac{\text{દળ}}{\text{મોલર દળ}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ દળ $= 39.4 \ g$ અને મોલર દળ $= 197 \ g \ mol^{-1}$ છે.
$n = \frac{39.4}{197} = 0.2 \ mol$.
પરમાણુઓની સંખ્યા $N$ એ $N = n \times N_A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N_A$ એ એવોગેડ્રો આંક $(6.023 \times 10^{23} \ mol^{-1})$ છે.
$N = 0.2 \times 6.023 \times 10^{23} = 1.2046 \times 10^{23}$.
સાર્થક અંકોને ધ્યાનમાં લેતા,પરમાણુઓની સંખ્યા $1.2 \times 10^{23}$ છે.

(N/A) રધરફોર્ડના પરમાણુ મોડેલ મુજબ,પરમાણુના કેન્દ્રમાં એક નાનું,ધન વીજભારિત ન્યુક્લિયસ હોય છે અને ઇલેક્ટ્રોન તેની આસપાસ વર્તુળાકાર કક્ષામાં ફરે છે,જે રીતે ગ્રહો સૂર્યની આસપાસ ફરે છે.
આ બંને પ્રણાલીઓ વચ્ચેનો મૂળભૂત તફાવત એ છે કે ગ્રહો ગુરુત્વાકર્ષણ બળને કારણે કક્ષામાં જળવાઈ રહે છે,જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન કુલંબના નિયમ મુજબ સ્થિર વિદ્યુતીય આકર્ષણ બળને કારણે ન્યુક્લિયસ સાથે જોડાયેલા રહે છે.
રધરફોર્ડના પરમાણુ મોડેલની મર્યાદાઓ:
$1$. શાસ્ત્રીય ભૌતિકવિજ્ઞાન મુજબ,ઇલેક્ટ્રોનની કક્ષાની ત્રિજ્યા પર કોઈ નિયંત્રણ નથી.
$2$. વર્તુળાકાર કક્ષામાં ગતિ કરતો ઇલેક્ટ્રોન કેન્દ્રગામી પ્રવેગ અનુભવે છે.
$3$. શાસ્ત્રીય વિદ્યુતચુંબકીય સિદ્ધાંત મુજબ,પ્રવેગિત વીજભારિત કણ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોના સ્વરૂપમાં ઉર્જાનું ઉત્સર્જન કરે છે. પરિણામે,ઇલેક્ટ્રોને સતત ઉર્જા ગુમાવવી જોઈએ.
$4$. જેમ ઇલેક્ટ્રોન ઉર્જા ગુમાવે છે,તેમ તેની કક્ષા નાની થતી જાય છે અને તે સર્પાકાર માર્ગે ગતિ કરીને અંતે ન્યુક્લિયસમાં પડી જાય છે. આ સૂચવે છે કે પરમાણુ અસ્થિર હોવો જોઈએ,જે દ્રવ્યની અવલોકિત સ્થિરતા સાથે વિરોધાભાસ ધરાવે છે.
$5$. વધુમાં,જેમ ઇલેક્ટ્રોન અંદરની તરફ સર્પાકાર ગતિ કરે છે,તેમ તેનો કોણીય વેગ અને આવૃત્તિ સતત બદલાતી રહે છે. આના પરિણામે પ્રકાશનો સતત વર્ણપટ ઉત્સર્જિત થાય છે,જે પરમાણુઓના અવલોકિત રેખીય વર્ણપટ સાથે વિરોધાભાસ ધરાવે છે.

(A) મોલની સંખ્યા $n$ એ સૂત્ર $n = \frac{\text{દળ}}{\text{મોલર દળ}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ દળ $= 39.4$ $g$ અને મોલર દળ $= 197$ $g$ $mol^{-1}$ છે.
$n = \frac{39.4}{197} = 0.2$ $mol$.
પરમાણુઓની સંખ્યા $N$ એ મોલની સંખ્યાને એવોગેડ્રો આંક $N_A = 6.023 \times 10^{23}$ $mol^{-1}$ વડે ગુણીને મેળવવામાં આવે છે.
$N = n \times N_A = 0.2 \times 6.023 \times 10^{23} = 1.2046 \times 10^{23}$ પરમાણુઓ.

(C) રધરફોર્ડના મોડેલ મુજબ,ઇલેક્ટ્રોન ન્યુક્લિયસની આસપાસ વર્તુળાકાર કક્ષામાં ફરે છે.
ઇલેક્ટ્રોન વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરતું હોવાથી,તે કેન્દ્રગામી પ્રવેગ અનુભવે છે.
શાસ્ત્રીય વિદ્યુતચુંબકીય સિદ્ધાંત મુજબ,પ્રવેગિત વીજભારિત કણ વિદ્યુતચુંબકીય $(EM)$ વિકિરણનું ઉત્સર્જન કરે છે.
જેમ જેમ ઇલેક્ટ્રોન વિકિરણ દ્વારા ઉર્જા ગુમાવે છે,તેમ તેની કક્ષાની ત્રિજ્યા ઘટતી જાય છે અને અંતે તે ન્યુક્લિયસમાં પડી જવું જોઈએ.
તેથી,રધરફોર્ડના મોડેલ પર આધારિત શાસ્ત્રીય પરમાણુ અસ્થાયી છે અને તેનું પતન નિશ્ચિત છે.

(A) ઈમ્પેક્ટ પેરામીટર $b$ એ પ્રકીર્ણન કોણ $\theta$ સાથે નીચે મુજબ સંબંધિત છે: $b = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Ze^2 \cot(\theta/2)}{K}$,જ્યાં $K$ એ ગતિ ઊર્જા છે.
આનો અર્થ એ છે કે $b \propto \cot(\theta/2)$.
અહીં $\sqrt{d_1}$ અને $\sqrt{d_2}$ એ અનુક્રમે $\theta_1 = 60^{\circ}$ અને $\theta_2 = 90^{\circ}$ ખૂણા માટેના ઈમ્પેક્ટ પેરામીટર છે,તેથી:
$\sqrt{d_1} \propto \cot(60^{\circ}/2) = \cot(30^{\circ}) = \sqrt{3}$.
$\sqrt{d_2} \propto \cot(90^{\circ}/2) = \cot(45^{\circ}) = 1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $d_1 \propto 3$ અને $d_2 \propto 1$ મળે છે.
આમ,$d_1 = 3 d_2$.
$d_1 = x d_2$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 3$ મળે છે.

(B) થોમસન મોડેલમાં,ધન વીજભાર $R$ ત્રિજ્યાના ગોળામાં સમાનરૂપે વિતરિત થયેલ છે. $r > R$ અંતરે રહેલા ઇલેક્ટ્રોન માટે,વિદ્યુતક્ષેત્ર કેન્દ્ર પર રહેલા બિંદુવત વીજભાર $e$ જેવું જ હોય છે. સ્થિતિ ઉર્જા $U(r) = -e^2 / (4 \pi \epsilon_0 r)$ છે.
$n=1$ માટે બોહરની ક્વોન્ટાઇઝેશન શરત $mvr = n\hbar$ લાગુ પાડતા,આપણને $mvr = \hbar$ મળે છે. કેન્દ્રગામી બળ સ્થિત-વિદ્યુત બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે: $mv^2 / r = e^2 / (4 \pi \epsilon_0 r^2)$,જે $mv^2 = e^2 / (4 \pi \epsilon_0 r)$ આપે છે.
બળના સમીકરણમાં $v = \hbar / (mr)$ મૂકતા: $m(\hbar / mr)^2 = e^2 / (4 \pi \epsilon_0 r) \implies \hbar^2 / (mr^2) = e^2 / (4 \pi \epsilon_0 r) \implies r = 4 \pi \epsilon_0 \hbar^2 / (me^2) = a_0$,જ્યાં $a_0$ એ બોહર ત્રિજ્યા $(0.53 \,\mathring A)$ છે.
ગણતરી કરેલ ત્રિજ્યા $r = a_0 = 0.53 \,\mathring A$ એ ગોળાની ત્રિજ્યા $R = 0.25 \,\mathring A$ કરતા મોટી હોવાથી,ઇલેક્ટ્રોન ગોળાની બહાર ભ્રમણ કરે છે. આ વિસ્તારમાં,સ્થિતિમાન બિંદુવત વીજભારના સ્થિતિમાનને સમતુલ્ય છે. તેથી,ઉર્જા સ્તરો પ્રમાણભૂત બોહર મોડેલ જેવા જ હોય છે,અને ધરા અવસ્થાની ઉર્જા $-13.6 \, eV$ છે.

(A) રધરફોર્ડના પ્રકીર્ણન પ્રયોગ (જેને ગાઇગર-માર્સડેન પ્રયોગ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે) માં વપરાતા કણો $\alpha$-કણો છે.
$\alpha$-કણ એ હિલિયમનું ન્યુક્લિયસ છે,જેને ${ }_2^4 He$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
તેમાં $2$ પ્રોટોન અને $2$ ન્યુટ્રોન હોય છે,જેનો અર્થ છે કે તેનો પરમાણુ ક્રમાંક $2$ અને દળ ક્રમાંક $4$ છે.
તે ન્યુક્લિયસ હોવાથી,તે સંપૂર્ણપણે આયનીકૃત છે (તેમાં કોઈ ઇલેક્ટ્રોન હોતા નથી),જેના પરિણામે તેના પર $+2e$ જેટલો ચોખ્ખો ધન વીજભાર હોય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) સાચો જવાબ $B$ છે.
ગાઇગર-માર્સડેન પ્રયોગમાં,ઉદ્દેશ્ય $\alpha$-કણોને પરમાણુ તરફ લક્ષ્ય બનાવવાનો છે જેથી તેમના પ્રકીર્ણનનું અવલોકન કરી શકાય.
આ પ્રયોગ માટે અત્યંત પાતળા લક્ષ્યની જરૂર હોય છે,જે આદર્શ રીતે માત્ર થોડા પરમાણુઓ જેટલું જાડું હોય,જેથી $\alpha$-કણો ઓછામાં ઓછા પ્રકીર્ણન અનુભવે.
સોનું તેની અત્યંત ટીપાવપણા (malleability) માટે જાણીતું છે,જે તેને અત્યંત પાતળી વરખ (થોડા માઇક્રોમીટર જાડી) બનાવવાની મંજૂરી આપે છે. આ ભૌતિક ગુણધર્મને કારણે તે રધરફોર્ડના પ્રયોગ માટે આદર્શ સામગ્રી બની હતી.

(C) સાચો જવાબ $(c)$ છે.
પરમાણુના રધરફોર્ડ મોડેલ મુજબ:
$1$. પરમાણુનો સમગ્ર ધન વીજભાર અને લગભગ તમામ દળ કેન્દ્રમાં ખૂબ જ નાના વિસ્તારમાં કેન્દ્રિત હોય છે જેને ન્યુક્લિયસ કહેવાય છે.
$2$. ન્યુક્લિયસનું કદ $(10^{-15} \ m)$ એ પરમાણુના કદ $(10^{-10} \ m)$ ની સરખામણીમાં અત્યંત નાનું હોય છે.
$3$. ઇલેક્ટ્રોન ન્યુક્લિયસની આસપાસ વર્તુળાકાર કક્ષામાં ફરે છે.
ન્યુક્લિયસનું કદ પરમાણુના કદ કરતા ઘણું નાનું હોવાથી,ન્યુક્લિયસનું કદ પરમાણુના કદની તુલનાત્મક છે તેવું વિધાન ખોટું છે.

(C) આલ્ફા કણનું દળ $(m_{\alpha} \approx 6.64 \times 10^{-27} \ kg)$ એ ઇલેક્ટ્રોનના દળ $(m_e \approx 9.11 \times 10^{-31} \ kg)$ કરતા આશરે $7300$ ગણું વધારે હોય છે.
વેગમાન અને ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમો અનુસાર,જ્યારે કોઈ ખૂબ ભારે કણ ખૂબ હલકા કણ સાથે અથડાય છે,ત્યારે હલકા કણને સ્થાનાંતરિત થતી ઉર્જા નહિવત હોય છે.
તેથી,ઇલેક્ટ્રોન સાથેની અથડામણ દરમિયાન આલ્ફા કણ તેની ગતિ ઉર્જાનો માત્ર ખૂબ જ નાનો ભાગ ગુમાવે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) શાસ્ત્રીય વિદ્યુતચુંબકીય સિદ્ધાંત મુજબ,પ્રવેગિત વિદ્યુતભારિત કણ (જેમ કે ન્યુક્લિયસની આસપાસ ફરતો ઇલેક્ટ્રોન) સતત વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણોનું ઉત્સર્જન કરે છે.
આ ઉર્જાના વ્યયને કારણે ઇલેક્ટ્રોન સર્પાકાર માર્ગે ન્યુક્લિયસમાં પડી જવો જોઈએ,જે રધરફોર્ડના મોડેલને ઇલેક્ટ્રોડાયનેમિકલી અસ્થાયી બનાવે છે.
જોકે,રધરફોર્ડનું પ્રારંભિક મોડેલ બળના સંતુલનના સંદર્ભમાં પરમાણુની રચનાની સ્થિરતા સમજાવવા માટે સ્થિર વિદ્યુત બળો (કુલંબનો નિયમ) પર આધારિત હતું,પરંતુ તે ગતિશીલ સ્થિરતા સમજાવવામાં નિષ્ફળ ગયું હતું.
શાસ્ત્રીય સૈદ્ધાંતિક માળખાના સંદર્ભમાં,રધરફોર્ડનું પરમાણુ ઇલેક્ટ્રોડાયનેમિકલી અસ્થાયી ગણાય છે.

(B) કોઈ ખૂણે $\theta$ પ્રકીર્ણન પામતા આલ્ફા કણોની સંખ્યા $N(\theta)$ નીચેના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$N(\theta) \propto \frac{1}{\sin^4(\theta/2)}$
આપેલ છે:
$N(90^{\circ}) = x$
આપણે $N(60^{\circ})$ શોધવાનું છે:
$\frac{N(60^{\circ})}{N(90^{\circ})} = \frac{\sin^4(90^{\circ}/2)}{\sin^4(60^{\circ}/2)}$
$\frac{N(60^{\circ})}{x} = \frac{\sin^4(45^{\circ})}{\sin^4(30^{\circ})}$
કારણ કે $\sin(45^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $\sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2}$ હોવાથી:
$\frac{N(60^{\circ})}{x} = \frac{(1/\sqrt{2})^4}{(1/2)^4} = \frac{1/4}{1/16} = \frac{16}{4} = 4$
તેથી,$N(60^{\circ}) = 4x$.

(C) રધરફોર્ડના પરમાણુ મોડેલ મુજબ,પરમાણુનું મોટાભાગનું દળ અને તેનો તમામ ધન વીજભાર એક નાના ન્યુક્લિયસમાં કેન્દ્રિત હોય છે અને ઇલેક્ટ્રોન તેની આસપાસ ફરે છે. આ પુષ્ટિ કરે છે કે વિધાન $I$ સાચું છે.
થોમસનના પરમાણુ મોડેલ (જેને ઘણીવાર પ્લમ પુડિંગ મોડેલ કહેવામાં આવે છે) મુજબ,પરમાણુ એ ધન વીજભારનો ગોળાકાર વાદળ છે જેમાં ઇલેક્ટ્રોન જડિત હોય છે. આ રધરફોર્ડના મોડેલનો કોઈ ખાસ કિસ્સો નથી; તેના બદલે,તે એક સંપૂર્ણપણે અલગ મોડેલ છે જે રધરફોર્ડના મોડેલ દ્વારા બદલવામાં આવ્યું હતું. તેથી,વિધાન $II$ ખોટું છે.
આમ,વિધાન $I$ સાચું છે પરંતુ વિધાન $II$ ખોટું છે.

(B) નજીકના અભિગમના અંતર $(r_{\min})$ પર,$\alpha$-કણની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા સંપૂર્ણપણે સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{(Ze)(2e)}{r_{\min}}$
$v^2 = \frac{4 \times (9 \times 10^9) \times 80 \times 2 \times (1.6 \times 10^{-19})^2}{6.72 \times 10^{-27} \times 4.5 \times 10^{-14}}$
ગણતરી કરતા,$v \approx 156 \times 10^5 \ m/s$ મળે છે.

(A) ન્યુક્લિયસની સૌથી નજીકના અંતરે,પ્રોટોનની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K$ સંપૂર્ણપણે સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જા $U$ માં રૂપાંતરિત થાય છે.
$K = U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q \cdot e}{r_0}$
અહીં $Q = 120 \ e$ અને $r_0 = 10 \ fm = 10 \times 10^{-15} \ m$ આપેલ છે.
$K = \frac{(9 \times 10^9) \times (120 \ e) \times e}{10 \times 10^{-15}} = \frac{p^2}{2m_0}$
$p^2 = 2 m_0 \times \frac{9 \times 10^9 \times 120 \ e^2}{10 \times 10^{-15}} = 2 \times \left(\frac{5}{3} \times 10^{-27}\right) \times 9 \times 10^9 \times 120 \times 10^{15} \times e^2$
$p^2 = 2 \times \frac{5}{3} \times 9 \times 120 \times 10^{-27+9+15} \times e^2 = 3600 \times 10^{-3} \times e^2 = 3.6 \times e^2$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\lambda = \frac{h}{p}$,તેથી $p = \frac{h}{\lambda}$,અને $p^2 = \frac{h^2}{\lambda^2}$.
$\frac{h^2}{\lambda^2} = 3.6 \times e^2 \implies \lambda^2 = \frac{h^2}{3.6 \times e^2} = \frac{(h/e)^2}{3.6}$
$h/e = 4.2 \times 10^{-15} \ J \cdot s/C$ આપેલ છે.
$\lambda^2 = \frac{(4.2 \times 10^{-15})^2}{3.6} = \frac{17.64 \times 10^{-30}}{3.6} = 4.9 \times 10^{-30} \ m^2$
$\lambda = \sqrt{49 \times 10^{-31}} \approx 7 \times 10^{-15} \ m = 7 \ fm$.

(C) ક્લાસિક ગાઇગર-માર્સડેન પ્રયોગમાં (જેને રધરફોર્ડના ગોલ્ડ ફોઇલ પ્રયોગ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે),હંસ ગાઇગર અને અર્નેસ્ટ માર્સડેને આલ્ફા કણોના સ્કેટરિંગનું અવલોકન કરવા માટે ખૂબ જ પાતળા સોનાના વરખનો ઉપયોગ કર્યો હતો.
આ પ્રયોગમાં વપરાયેલ સોનાના વરખની જાડાઈ આશરે $2.1 \times 10^{-7} \ m$ (અથવા $2.1 \times 10^{-5} \ cm$) હતી.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) નજીકના અભિગમનું અંતર $r_0$ એ બિંદુ છે જ્યાં $\alpha$-કણની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા સંપૂર્ણપણે સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
$r_0 = \frac{k q_1 q_2}{K}$
અહીં,$q_1 = 2e$ ($\alpha$-કણનો વીજભાર),$q_2 = Ze$ (ન્યુક્લિયસનો વીજભાર),અને $K = 5 \text{ MeV} = 5 \times 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ J}$.
$r_0 = \frac{9 \times 10^9 \times (2e) \times (Ze)}{K} = \frac{9 \times 10^9 \times 2 \times 50 \times e^2}{5 \times 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19}}$
$r_0 = \frac{9 \times 10^9 \times 100 \times (1.6 \times 10^{-19})^2}{5 \times 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19}}$
$r_0 = \frac{9 \times 10^9 \times 100 \times 1.6 \times 10^{-19}}{5 \times 10^6} = \frac{1440 \times 10^{-10}}{5 \times 10^6} = 288 \times 10^{-16} \text{ m} = 2.88 \times 10^{-14} \text{ m}$.
આમ,અંતર $2.88 \times 10^{-14} \text{ m}$ છે.

(B) $K$ ગતિઊર્જા ધરાવતા આલ્ફા કણ માટે ન્યૂનતમ અંતર $r_{0}$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$r_{0} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{2Ze^{2}}{K}$
આ સમીકરણ પરથી જોઈ શકાય છે કે ન્યૂનતમ અંતર એ ગતિઊર્જાના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે:
$r_{0} \propto \frac{1}{K}$
ધારો કે જ્યારે ગતિઊર્જા $K_{1} = K$ હોય ત્યારે અંતર $r_{01} = r_{0}$ છે.
જ્યારે ગતિઊર્જા વધારીને $K_{2} = 2K$ કરવામાં આવે,ત્યારે નવું અંતર $r_{02}$ ધારો.
પ્રમાણસરતા $r_{01} K_{1} = r_{02} K_{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$r_{0} \cdot K = r_{02} \cdot (2K)$
$r_{02} = \frac{r_{0} \cdot K}{2K} = \frac{r_{0}}{2}$
તેથી,ન્યૂનતમ અંતર $\frac{r_{0}}{2}$ થશે.

(C) થોમસનના મોડેલ અને રધરફોર્ડના મોડેલ બંનેમાં, પરમાણુને આશરે $10^{-10} \, m$ (અથવા $1 \, \text{Å}$) ત્રિજ્યા ધરાવતો ગોળો માનવામાં આવે છે. તેથી, બંને મોડેલોમાં પરમાણુનું કદ સમાન છે. મોડેલો વચ્ચેનો તફાવત ધન અને ઋણ વીજભારના વિતરણમાં છે, પરમાણુના કુલ કદમાં નથી. આમ, સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) એક જ તત્વના પરમાણુઓ સમાન પરમાણુ ક્રમાંક $(Z)$ ધરાવે છે પરંતુ તેમના દળ ક્રમાંક $(A)$ અલગ-અલગ હોય છે. આવા પરમાણુઓને આઈસોટોપ્સ (સમસ્થાનિકો) કહેવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે,હાઇડ્રોજનના ત્રણ કુદરતી આઈસોટોપ્સ છે: પ્રોટીયમ $(^1H_1)$,ડ્યુટેરિયમ $(^2H_1)$ અને ટ્રિટિયમ $(^3H_1)$.

(D) નજીકના અભિગમનું અંતર $r_0$ એ આલ્ફા કણની પ્રારંભિક ગતિ ઊર્જાને નજીકના અભિગમના બિંદુએ સ્થિત વિદ્યુત સ્થિતિ ઊર્જા સાથે સરખાવીને નક્કી કરવામાં આવે છે:
$\frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{(Ze)(2e)}{r_0}$
આ સમીકરણ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $v^2 \propto \frac{1}{r_0}$,જેનો અર્થ છે કે $r_0 \propto \frac{1}{v^2}$.
આપેલ છે કે વેગ $v$ માટે નજીકના અભિગમનું પ્રારંભિક અંતર $d$ છે,ધારો કે વેગ $2v$ માટે નવું અંતર $d'$ છે.
$\frac{d'}{d} = \frac{v^2}{(2v)^2} = \frac{v^2}{4v^2} = \frac{1}{4}$
તેથી,$d' = \frac{d}{4}$.

(C) રધરફોર્ડના $\alpha$-સ્કેટરિંગ પ્રયોગમાં,ઈમ્પેક્ટ પેરામીટર $(b)$ અને સ્કેટરિંગ ખૂણો $(\theta)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$b = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Z e^2 \cot(\theta/2)}{K}$,જ્યાં $K$ એ $\alpha$-કણની ગતિઊર્જા છે.
આ સંબંધ પરથી આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $b \propto \cot(\theta/2)$.
જેમ ઈમ્પેક્ટ પેરામીટર $(b)$ વધે છે,તેમ $\cot(\theta/2)$ ની કિંમત વધવી જોઈએ.
કોટેન્જન્ટ વિધેય $0$ અને $\pi$ ની વચ્ચેના ખૂણાઓ માટે ઘટતું વિધેય હોવાથી,$\cot(\theta/2)$ માં વધારો થવાનો અર્થ એ છે કે ખૂણો $(\theta/2)$ ઘટવો જોઈએ.
તેથી,જેમ ઈમ્પેક્ટ પેરામીટર $(b)$ વધે છે,તેમ સ્કેટરિંગ ખૂણો $(\theta)$ ઘટે છે.

(B) રધરફોર્ડના $\alpha$-કણ પ્રકીર્ણન પ્રયોગ મુજબ,નીચે મુજબના અવલોકનો કરવામાં આવ્યા હતા:
$(i)$ મોટાભાગના $\alpha$-કણો સોનાના વરખમાંથી વિચલિત થયા વિના પસાર થઈ ગયા,જે માર્ગ $A-A^{\prime}$ ને અનુરૂપ છે.
(ii) $\alpha$-કણોનો એક નાનો અંશ નાના ખૂણે પ્રકીર્ણન પામ્યો,જે માર્ગ $C-C^{\prime}$ ને અનુરૂપ છે.
(iii) $\alpha$-કણોનો ખૂબ જ નાનો અંશ મોટા ખૂણે પ્રકીર્ણન પામ્યો (અથવા પાછા ફેંકાયા),જે માર્ગ $B-B^{\prime}$ ને અનુરૂપ છે.
જેમ પ્રકીર્ણન કોણ વધે છે તેમ પ્રકીર્ણન પામતા કણોની સંખ્યા ઘટે છે,તેથી કણોની સંખ્યા $n$ નો ક્રમ $n_{A^{\prime}} > n_{C^{\prime}} > n_{B^{\prime}}$ થાય છે.
આમ,$A^{\prime}$ માં $\alpha$-કણોની સંખ્યા મહત્તમ અને $B^{\prime}$ માં ન્યૂનતમ હશે.

(B) ઈમ્પેક્ટ પેરામીટર $b$ એ $\alpha$-કણના પ્રારંભિક વેગ સદિશનું ન્યુક્લિયસના કેન્દ્રથી લંબ અંતર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
હેડ-ઓન અથડામણ માટે,$\alpha$-કણ સીધું ન્યુક્લિયસના કેન્દ્ર તરફ ગતિ કરે છે અને અથડામણ પછી તે જ માર્ગે પાછું ફરે છે.
આ કિસ્સામાં,$\alpha$-કણના માર્ગ અને ન્યુક્લિયસના કેન્દ્ર વચ્ચેનું લંબ અંતર શૂન્ય હોય છે.
તેથી,હેડ-ઓન અથડામણ માટે ઈમ્પેક્ટ પેરામીટર $0$ છે.