Atomic Models and Scattering of Alpha particle Questions in Gujarati

(C) રધરફોર્ડના આલ્ફા-કણ પ્રકીર્ણન પ્રયોગથી ન્યુક્લિયસની શોધ થઈ. તેમના પરમાણુ મોડેલે સૂચવ્યું કે પરમાણુનો સમગ્ર ધન વીજભાર અને મોટાભાગનું દળ ખૂબ જ નાના કેન્દ્રીય ભાગમાં કેન્દ્રિત હોય છે જેને ન્યુક્લિયસ કહેવામાં આવે છે. તેથી,તે પરમાણુના ધન વીજભારિત કેન્દ્રીય ભાગને સમજાવવામાં સફળ રહ્યું હતું. તે પરમાણુની સ્થિરતા અને રેખીય વર્ણપટના ઉદ્ગમને સમજાવવામાં નિષ્ફળ ગયું હતું,જે પાછળથી બોહરના મોડેલ દ્વારા સમજાવવામાં આવ્યું હતું.

(B) નજીકના અભિગમનું અંતર $(d)$ એ અંતર છે જ્યાં $\alpha$-કણની ગતિઊર્જા સંપૂર્ણપણે સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
$d = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{(Z_1 e)(Z_2 e)}{K}$
અહીં,$Z_1 = 2$ ($\alpha$-કણ માટે),$Z_2 = 79$ (સોનાના ન્યુક્લિયસ માટે),અને $K = 5 \text{ MeV} = 5 \times 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ J} = 8 \times 10^{-13} \text{ J}$.
કિંમતો મૂકતા:
$d = (9 \times 10^9) \times \frac{(2 \times 1.6 \times 10^{-19}) \times (79 \times 1.6 \times 10^{-19})}{8 \times 10^{-13}}$
$d = \frac{9 \times 10^9 \times 2 \times 79 \times 2.56 \times 10^{-38}}{8 \times 10^{-13}}$
$d \approx 4.55 \times 10^{-14} \text{ m} = 4.55 \times 10^{-12} \text{ cm}$.
આમ,તે $10^{-12} \text{ cm}$ ના ક્રમનું છે.

(B) અર્નેસ્ટ રધરફોર્ડ એ વૈજ્ઞાનિક છે જેમને પરમાણુના ન્યુક્લિયસની શોધનો શ્રેય આપવામાં આવે છે.
$1911$ માં,તેમણે પ્રખ્યાત આલ્ફા-કણ સ્કેટરિંગ પ્રયોગ (ગોલ્ડ ફોઇલ એક્સપેરિમેન્ટ) કર્યો હતો.
તેમણે અવલોકન કર્યું કે આલ્ફા કણોનો એક નાનો અંશ મોટા ખૂણાઓ પર વિચલિત થાય છે,જેના પરથી તેમણે તારણ કાઢ્યું કે પરમાણુનો ધન વીજભાર અને મોટાભાગનું દળ ખૂબ જ નાના કેન્દ્રીય ભાગમાં કેન્દ્રિત હોય છે જેને ન્યુક્લિયસ કહેવામાં આવે છે.

(C) પર્યાપ્ત અંતરે,વિદ્યુત સ્થિતિ ઉર્જા શૂન્ય હોય છે. તેથી,$U_1 = 0$.
સ્થાન $(1)$ પર,ગતિ ઉર્જા $K_1 = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{P^2}{2m}$ છે.
નજીકના અભિગમના અંતર $(2)$ પર,ગતિ ઉર્જા $K_2 = 0$ છે.
$d_c$ અંતરે વિદ્યુત સ્થિતિ ઉર્જા $U_2 = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q_\alpha q_n}{d_c}$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$U_1 + K_1 = U_2 + K_2$
$0 + \frac{P^2}{2m} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q_\alpha q_n}{d_c} + 0$
આના પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે નજીકના અભિગમનું અંતર $d_c \propto \frac{1}{P^2}$ છે.
તેથી,$\frac{d_2}{d_1} = \frac{P_1^2}{P_2^2}$.
આપેલ છે કે $d_1 = d$,$P_1 = P$,અને $P_2 = 1.5 P = \frac{3}{2} P$:
$d_2 = d \times \frac{P^2}{(1.5 P)^2} = d \times \frac{P^2}{2.25 P^2} = d \times \frac{1}{2.25} = d \times \frac{4}{9} = \frac{4d}{9}$.

(D) ન્યૂનતમ અંતરે,આલ્ફા કણની સંપૂર્ણ ગતિઊર્જા સ્થિત વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
$K.E. = U$
$K \times 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ J} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{(2e)(Ze)}{r}$
$\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} = 9 \times 10^9 \text{ N m}^2/\text{C}^2$ અને $e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$ ની કિંમત મૂકતા:
$r = \frac{2 \times 9 \times 10^9 \times Z \times (1.6 \times 10^{-19})^2}{K \times 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19}}$
$r = \frac{18 \times 10^9 \times 1.6 \times 10^{-19} \times Z}{K \times 10^6}$
$r = \frac{28.8 \times 10^{-10}}{K \times 10^6} Z$
$r = 28.8 \times 10^{-16} \frac{Z}{K} \text{ m}$

(A) ઈમ્પેક્ટ પેરામીટર $b$ નું સૂત્ર: $b = \frac{Z e^2 \cot(\theta/2)}{4 \pi \varepsilon_0 (\frac{1}{2} m v^2)}$ છે.
$\theta = 180^{\circ}$ ના ખૂણે પ્રકીર્ણન માટે,$\cot(180^{\circ}/2) = \cot(90^{\circ}) = 0$ થાય છે.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $b = 0$ મળે છે.
શૂન્ય ઈમ્પેક્ટ પેરામીટરનો અર્થ એ છે કે $\alpha$-કણ સીધો ન્યુક્લિયસના કેન્દ્ર તરફ જાય છે,જે હેડ-ઓન અથડામણ અને $180^{\circ}$ પર બેકસ્કેટરિંગ તરફ દોરી જાય છે.
તેથી,$A$ અને $R$ બંને સાચા છે અને $R$ એ $A$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(C) ફ્રેન્ક-હર્ટ્ઝના પ્રયોગે મર્ક્યુરીના પરમાણુઓ પર ઇલેક્ટ્રોનનો મારો ચલાવીને પરમાણુઓમાં અલગ-અલગ ઉર્જા સ્તરોનું અસ્તિત્વ દર્શાવ્યું હતું. જ્યારે ઇલેક્ટ્રોનની ગતિ ઉર્જા એક ચોક્કસ મર્યાદા સુધી પહોંચે છે,ત્યારે તેઓ મર્ક્યુરીના પરમાણુઓને ઉર્જા આપે છે,જેના કારણે તેઓ ઉચ્ચ ઉર્જા અવસ્થાઓમાં સંક્રમણ કરે છે. આ ક્વોન્ટમ સિદ્ધાંતની આગાહીની પુષ્ટિ કરે છે કે પરમાણુની ઉર્જા અવસ્થાઓ ક્વોન્ટાઇઝ્ડ હોય છે.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં,$n$ મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની સ્થિતિઊર્જા $(PE)$ $PE = -\frac{kZe^2}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n$ ના ઉચ્ચ મૂલ્યો માટે,ત્રિજ્યા $r$ વધે છે કારણ કે $r \propto n^2$.
જેમ $r$ વધે છે,તેમ ઋણ સ્થિતિઊર્જાનું મૂલ્ય વધે છે (ઓછું ઋણ બને છે).
તેથી,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
થોમસનના મોડેલમાં,પરમાણુ એ ધન વિદ્યુતભારોનો ગોળાકાર વાદળ છે જેમાં ઇલેક્ટ્રોન જડિત હોય છે. તેથી,વિધાન $(B)$ સાચું છે.
બોહરના મોડેલ મુજબ,પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોન ન્યુક્લિયસથી ચોક્કસ અંતરે સ્થિત છે અને ચોક્કસ વેગ સાથે તેની આસપાસ ફરે છે. જોકે,હાઇઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ,ગતિશીલ ઇલેક્ટ્રોનનું ચોક્કસ સ્થાન અને વેગમાન એકસાથે નક્કી કરવું અશક્ય છે.
તેથી,બોહરનું પરમાણુ મોડેલ અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત સાથે વિરોધાભાસ ધરાવે છે,તેથી વિધાન $(C)$ ખોટું છે.
આમ,વિકલ્પ $(b)$ સાચો જવાબ છે.

(A) ન્યુક્લિયસની સૌથી નજીકના અંતર $(r)$ પર,$\alpha$-કણની સંપૂર્ણ ગતિઊર્જા સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
યાંત્રિક ઊર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંત મુજબ:
$K.E._i + P.E._i = K.E._f + P.E._f$
અહીં $K.E._i = 7.9 \text{ MeV} = 7.9 \times 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ J}$,$P.E._i = 0$,$K.E._f = 0$,અને $P.E._f = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{(2e)(Ze)}{r}$ છે.
$7.9 \times 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19} = \frac{9 \times 10^9 \times 2 \times 79 \times (1.6 \times 10^{-19})^2}{r}$
$r$ માટે ઉકેલતા:
$r = \frac{9 \times 10^9 \times 2 \times 79 \times 1.6 \times 10^{-19}}{7.9 \times 10^6} = 2.88 \times 10^{-14} \text{ m}$
ન્યુક્લિયસનો વ્યાસ $D = 2r = 2 \times 2.88 \times 10^{-14} = 5.76 \times 10^{-14} \text{ m}$ થાય.

(A) નજીકના અભિગમનું અંતર $r_0$ એ અંતર છે જ્યાં આલ્ફા કણની ગતિ ઉર્જા સંપૂર્ણપણે સ્થિર વિદ્યુત સ્થિતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા:
$K_i + U_i = K_f + U_f$
નજીકના અભિગમના અંતરે,અંતિમ ગતિ ઉર્જા $K_f = 0$ થાય છે.
$K_i = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{(Ze)(2e)}{r_0}$
આપેલ છે:
$K_i = 7.7 \text{ MeV} = 7.7 \times 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ J}$
$Z = 79$ (સોના માટે)
$e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$
$\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} = 9 \times 10^9 \text{ N m}^2/\text{C}^2$
કિંમતો મૂકતા:
$7.7 \times 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19} = \frac{9 \times 10^9 \times (79 \times 1.6 \times 10^{-19}) \times (2 \times 1.6 \times 10^{-19})}{r_0}$
$r_0 = \frac{9 \times 10^9 \times 79 \times 2 \times 1.6 \times 10^{-19}}{7.7 \times 10^6}$
$r_0 \approx 2.95 \times 10^{-14} \text{ m}$

(D) રધરફોર્ડના આલ્ફા-કણ પ્રકીર્ણનના પ્રયોગમાં,આલ્ફા-કણો ધન વીજભારિત હોય છે અને જ્યારે તેઓ સોનાના ન્યુક્લિયસની નજીક આવે છે ત્યારે તેઓ પ્રબળ સ્થિત-વિદ્યુત અપાકર્ષણ બળ અનુભવે છે.
પરમાણુનો મોટાભાગનો ભાગ ખાલી હોવાથી,મોટાભાગના આલ્ફા-કણો વિચલિત થયા વિના પસાર થઈ જાય છે.
માત્ર થોડા જ આલ્ફા-કણો પાછા ફેંકાય છે કારણ કે તેઓ ભારે અને ધન વીજભારિત ન્યુક્લિયસ સાથે લગભગ સીધી અથડામણ (head-on collision) અનુભવે છે.
પરમાણુના કુલ કદની સરખામણીમાં ન્યુક્લિયસનું કદ ખૂબ જ નાનું હોવાથી,આવી અથડામણની સંભાવના અત્યંત ઓછી હોય છે.
આમ,પાછા ફેંકાવવાની ઘટના મુખ્યત્વે ન્યુક્લિયસ સાથેની સીધી અથડામણને કારણે થાય છે.