एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी आसन्न भुजाएँ $i - 2j + 3k$ और $2i + j - 4k$ हैं।

मान लीजिए $\overline{a}=2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$ और $\overline{b}=\hat{i}+\hat{j}$ है। यदि $\overline{c}$ एक ऐसा सदिश है कि $\overline{a} \cdot \overline{c}=|\overline{c}|$,$|\overline{c}-\overline{a}|=2 \sqrt{2}$ और $(\overline{a} \times \overline{b})$ तथा $\overline{c}$ के बीच का कोण $30^{\circ}$ है,तो $|(\overline{a} \times \overline{b}) \times \overline{c}|$ का मान क्या होगा?

सिद्ध कीजिए कि $(\vec{a}-\vec{b}) \times(\vec{a}+\vec{b})=2(\vec{a} \times \vec{b})$.

दो दिए गए सदिशों $\bar{a}$ और $\bar{b}$ के लिए,यदि सदिश $\overline{A}$ और $\overline{B}$ इस प्रकार हैं कि $\overline{A}+\overline{B}=\bar{a}$,$\overline{A} \times \overline{B}=\bar{b}$ और $\overline{A} \cdot \bar{a}=1$,तो $\overline{A}=$

मान लीजिए $\vec{a}=2 \hat{i}+\alpha \hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b}=-\hat{i}+\hat{k}$,और $\vec{c}=\beta \hat{j}-\hat{k}$,जहाँ $\alpha$ और $\beta$ पूर्णांक हैं और $\alpha \beta=-6$ है। मान लीजिए कि क्रमित युग्म $(\alpha, \beta)$ के वे मान जिनके लिए विकर्णों $\vec{a}+\vec{b}$ और $\vec{b}+\vec{c}$ वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $\frac{\sqrt{21}}{2}$ है,$(\alpha_1, \beta_1)$ और $(\alpha_2, \beta_2)$ हैं। तो $\alpha_1^2+\beta_1^2-\alpha_2 \beta_2$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $|\vec{a}|=3$ है,तो $|\vec{a} \times \hat{i}|^2+|\vec{a} \times \hat{j}|^2+|\vec{a} \times \hat{k}|^2$ का मान . . . . . . है।