Sphere Questions in Hindi

(D) मान लीजिए $P$ गोले पर स्थित कोई बिंदु है जिसका स्थिति सदिश $r$ है। मान लीजिए $A$ और $B$ व्यास के सिरे हैं जिनके स्थिति सदिश क्रमशः $a$ और $b$ हैं।
चूंकि $AB$ एक व्यास है,इसलिए व्यास द्वारा गोले के किसी भी बिंदु $P$ पर बनाया गया कोण समकोण $(90^{\circ})$ होता है।
अतः,सदिश $\vec{AP}$ सदिश $\vec{BP}$ पर लंब है।
सदिश $\vec{AP} = r - a$ और सदिश $\vec{BP} = r - b$ है।
चूंकि वे लंबवत हैं,इसलिए उनका अदिश गुणनफल (dot product) शून्य होना चाहिए:
$(r - a) \cdot (r - b) = 0$.

(C) गोले का सामान्य समीकरण $r^2 + 2\vec{u} \cdot \vec{r} + d = 0$ है,जहाँ केंद्र $-\vec{u}$ है और त्रिज्या $\sqrt{|\vec{u}|^2 - d}$ है।
दो गोलों $r^2 + 2\vec{u}_1 \cdot \vec{r} + d_1 = 0$ और $r^2 + 2\vec{u}_2 \cdot \vec{r} + d_2 = 0$ के लंबकोणीय प्रतिच्छेद करने की शर्त $2\vec{c}_1 \cdot \vec{c}_2 = r_1^2 + r_2^2$ है,जहाँ $\vec{c}_1, \vec{c}_2$ केंद्र हैं और $r_1, r_2$ त्रिज्याएँ हैं।
यहाँ,$\vec{c}_1 = -\vec{u}_1$,$\vec{c}_2 = -\vec{u}_2$,$r_1^2 = |\vec{u}_1|^2 - d_1$,और $r_2^2 = |\vec{u}_2|^2 - d_2$ है।
इन मानों को शर्त में रखने पर: $2(-\vec{u}_1) \cdot (-\vec{u}_2) = (\vec{u}_1^2 - d_1) + (\vec{u}_2^2 - d_2)$।
इसका सरलीकरण $2\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2 = |\vec{u}_1|^2 + |\vec{u}_2|^2 - (d_1 + d_2)$ होता है।
हालाँकि,मानक रूप $r^2 + 2\vec{u} \cdot \vec{r} + d = 0$ में,लंबकोणीयता की शर्त $2\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2 = d_1 + d_2$ है।

(C) सदिश रूप में गोले का सामान्य समीकरण $|r|^2 - 2(r \cdot a) + c = 0$ है,जहाँ त्रिज्या $\sqrt{|a|^2 - c}$ होती है।
दिए गए समीकरण $|r|^2 - r \cdot (2i + 4j - 2k) - 10 = 0$ की तुलना मानक रूप से करने पर:
यहाँ,$2a = (2i + 4j - 2k)$,जिसका अर्थ है $a = (i + 2j - k)$।
साथ ही,$c = -10$ है।
गोले की त्रिज्या $\sqrt{|a|^2 - c}$ है।
$|a|^2 = |i + 2j - k|^2 = 1^2 + 2^2 + (-1)^2 = 1 + 4 + 1 = 6$ की गणना करने पर।
मान रखने पर,त्रिज्या $\sqrt{6 - (-10)} = \sqrt{6 + 10} = \sqrt{16} = 4$ प्राप्त होती है।
अतः,यह समीकरण $4$ त्रिज्या वाला एक गोला दर्शाता है।

(A) गोले का दिया गया समीकरण $\alpha \,r^2 - 2u \cdot r = \beta$ है।
पूरे समीकरण को $\alpha$ से विभाजित करने पर (चूंकि $\alpha \ne 0$),हमें प्राप्त होता है:
$r^2 - \frac{2}{\alpha} u \cdot r = \frac{\beta}{\alpha}$।
इसकी तुलना गोले के मानक सदिश समीकरण $r^2 - 2a \cdot r = c$ से करने पर,जहाँ $a$ केंद्र का स्थिति सदिश है,हमें मिलता है:
$2a = \frac{2}{\alpha} u$।
अतः,$a = \frac{u}{\alpha}$।
इस प्रकार,गोले का केंद्र $u/\alpha$ है।

(D) गोले का समीकरण $|r| = 5$ है,जो मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ पर केंद्र और $R = 5$ त्रिज्या वाला एक गोला दर्शाता है।
दिया गया समतल $r \cdot (i + j + k) = 3\sqrt{3}$ है।
मान लीजिए $M$ मूल बिंदु $O(0, 0, 0)$ से समतल पर डाले गए लंब का पाद है। मूल बिंदु से समतल $r \cdot n = p$ पर लंब की लंबाई $d = \frac{|p|}{|n|}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$p = 3\sqrt{3}$ और $n = i + j + k$,इसलिए $|n| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ है।
अतः,$d = OM = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 3$ है।
मान लीजिए $r_{c}$ वृत्तीय खंड की त्रिज्या है। समकोण त्रिभुज $\Delta OPM$ में,जहाँ $P$ वृत्तीय खंड की परिधि पर एक बिंदु है,$OP$ गोले की त्रिज्या $(R = 5)$ है और $OM$ केंद्र से समतल की दूरी $(d = 3)$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$OP^2 = OM^2 + r_{c}^2$ है।
$5^2 = 3^2 + r_{c}^2$
$25 = 9 + r_{c}^2$
$r_{c}^2 = 16$
$r_{c} = 4$ है।
अतः,वृत्तीय खंड की त्रिज्या $4$ है।

(D) तीन चरों वाला सामान्य द्विघात समीकरण $ax^2 + by^2 + cz^2 + 2fyz + 2gxz + 2hxy + 2ux + 2vy + 2wz + d = 0$ द्वारा दिया जाता है।
इस समीकरण के गोले को दर्शाने के लिए,वर्ग वाले पदों के गुणांक समान होने चाहिए,अर्थात $a = b = c \neq 0$।
इसके अतिरिक्त,इसमें चरों के गुणनफल वाले पद (जैसे $xy$,$yz$,या $zx$) नहीं होने चाहिए,जिसका अर्थ है कि इन पदों के गुणांक शून्य होने चाहिए,अर्थात $f = g = h = 0$।
अतः,शर्तें $a = b = c$ और $f = g = h = 0$ हैं।

(C) माना बिंदु $P(x, y, z)$ है। दी गई शर्त $PF_1 + PF_2 = 10$ है,जहाँ $F_1 = (4, 0, 0)$ और $F_2 = (-4, 0, 0)$ है।
$\sqrt{(x-4)^2 + y^2 + z^2} + \sqrt{(x+4)^2 + y^2 + z^2} = 10$
माना $S = x^2 + y^2 + z^2 + 16$ है। तब समीकरण $\sqrt{S - 8x} + \sqrt{S + 8x} = 10$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(S - 8x) + (S + 8x) + 2\sqrt{S^2 - 64x^2} = 100$
$2S + 2\sqrt{S^2 - 64x^2} = 100 \Rightarrow S + \sqrt{S^2 - 64x^2} = 50$
$\sqrt{S^2 - 64x^2} = 50 - S$
पुनः वर्ग करने पर: $S^2 - 64x^2 = 2500 - 100S + S^2$
$100S - 64x^2 = 2500$
$S = x^2 + y^2 + z^2 + 16$ का मान रखने पर:
$100(x^2 + y^2 + z^2 + 16) - 64x^2 = 2500$
$100x^2 + 100y^2 + 100z^2 + 1600 - 64x^2 = 2500$
$36x^2 + 100y^2 + 100z^2 = 900$
$4$ से विभाजित करने पर: $9x^2 + 25y^2 + 25z^2 = 225$.

(C) मान लीजिए कि $3D$ निर्देशांक प्रणाली में दो दिए गए बिंदु $A(a, 0, 0)$ और $B(-a, 0, 0)$ हैं। मान लीजिए कि गतिमान बिंदु $P(x, y, z)$ है।
प्रश्न के अनुसार,$PA^2 + PB^2 = k$,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
$(x-a)^2 + y^2 + z^2 + (x+a)^2 + y^2 + z^2 = k$
$(x^2 - 2ax + a^2 + y^2 + z^2) + (x^2 + 2ax + a^2 + y^2 + z^2) = k$
$2x^2 + 2y^2 + 2z^2 + 2a^2 = k$
$x^2 + y^2 + z^2 = \frac{k - 2a^2}{2}$
यह समीकरण मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ पर केंद्र वाले एक गोले का प्रतिनिधित्व करता है।

(A) दिया गया समीकरण ${x^2} + {y^2} + {z^2} = 0$ है।
चूंकि $x$,$y$ और $z$ के किसी भी वास्तविक मान के लिए $x^2$,$y^2$ और $z^2$ सभी गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं,इसलिए उनका योग केवल तभी शून्य हो सकता है जब प्रत्येक पद व्यक्तिगत रूप से शून्य हो।
अतः,$x^2 = 0$,$y^2 = 0$ और $z^2 = 0$।
इसका अर्थ है कि $x = 0$,$y = 0$ और $z = 0$।
इस प्रकार,यह समीकरण त्रिविमीय आकाश (three-dimensional space) में बिंदु $(0, 0, 0)$ को दर्शाता है।

(A) दिया गया समीकरण ${x^2} + {y^2} + {z^2} + 1 = 0$ है।
$x, y, z$ के किसी भी वास्तविक मान के लिए,वर्ग ${x^2}, {y^2}, {z^2}$ हमेशा गैर-ऋणात्मक होते हैं,अर्थात ${x^2} \ge 0, {y^2} \ge 0, {z^2} \ge 0$।
इसलिए,योग ${x^2} + {y^2} + {z^2} \ge 0$ होता है।
दोनों पक्षों में $1$ जोड़ने पर,हमें ${x^2} + {y^2} + {z^2} + 1 \ge 1$ प्राप्त होता है।
चूंकि यह व्यंजक हमेशा $1$ या उससे बड़ा होता है,इसलिए यह कभी भी $0$ के बराबर नहीं हो सकता।
अतः,कोई भी वास्तविक निर्देशांक $(x, y, z)$ इस समीकरण को संतुष्ट नहीं करते हैं।
इसलिए,यह बिंदु पथ एक रिक्त समुच्चय है।

(A) मान लीजिए कि गोले का सामान्य समीकरण $x^2 + y^2 + z^2 + 2ux + 2vy + 2wz + d = 0$ है।
चूंकि गोला मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $x=0, y=0, z=0$ रखने पर $d = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि यह $(0, 2, 0)$ से होकर गुजरता है,हमारे पास $0^2 + 2^2 + 0^2 + 2u(0) + 2v(2) + 2w(0) + 0 = 0$ है,जो $4 + 4v = 0$ में सरल होता है,अतः $v = -1$ है।
चूंकि यह $(1, 0, 0)$ से होकर गुजरता है,हमारे पास $1^2 + 0^2 + 0^2 + 2u(1) + 2v(0) + 2w(0) + 0 = 0$ है,जो $1 + 2u = 0$ में सरल होता है,अतः $u = -1/2$ है।
चूंकि यह $(0, 0, 4)$ से होकर गुजरता है,हमारे पास $0^2 + 0^2 + 4^2 + 2u(0) + 2v(0) + 2w(4) + 0 = 0$ है,जो $16 + 8w = 0$ में सरल होता है,अतः $w = -2$ है।
गोले का केंद्र $(-u, -v, -w)$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,केंद्र $\left( -(-1/2), -(-1), -(-2) \right) = \left( \frac{1}{2}, 1, 2 \right)$ प्राप्त होता है।

(B) तीनों निर्देशांक समतलों को स्पर्श करने वाले गोले का केंद्र $(a, a, a)$ और त्रिज्या $a$ होती है (मान लीजिए कि गोला प्रथम अष्टांश में है)।
केंद्र $(h, k, l)$ और त्रिज्या $r$ वाले गोले का मानक समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 + (z - l)^2 = r^2$ होता है।
केंद्र $(a, a, a)$ और त्रिज्या $r = a$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(x - a)^2 + (y - a)^2 + (z - a)^2 = a^2$
वर्गों का विस्तार करने पर:
$(x^2 - 2ax + a^2) + (y^2 - 2ay + a^2) + (z^2 - 2az + a^2) = a^2$
समीकरण को सरल करने पर:
$x^2 + y^2 + z^2 - 2ax - 2ay - 2az + 3a^2 = a^2$
$x^2 + y^2 + z^2 - 2a(x + y + z) + 2a^2 = 0$
अतः,गोले का अभीष्ट समीकरण $x^2 + y^2 + z^2 - 2a(x + y + z) + 2a^2 = 0$ है।

(C) गोले का व्यास $d$ दिए गए दो अंतिम बिंदुओं $(3, 4, -1)$ और $(-1, 2, 3)$ के बीच की दूरी है।
दूरी सूत्र का उपयोग करते हुए,$d = \sqrt{(-1 - 3)^2 + (2 - 4)^2 + (3 - (-1))^2}$.
$d = \sqrt{(-4)^2 + (-2)^2 + (4)^2}$.
$d = \sqrt{16 + 4 + 16} = \sqrt{36} = 6$.
गोले की त्रिज्या $r$ व्यास की आधी होती है।
$r = \frac{d}{2} = \frac{6}{2} = 3$.
अतः,गोले की त्रिज्या $3$ है।

(C) अभीष्ट बिंदु दिए गए चार बिंदुओं से गुजरने वाले गोले का केंद्र है।
माना गोले का समीकरण $x^2 + y^2 + z^2 + 2ux + 2vy + 2wz + d = 0 \dots (i)$ है।
चूंकि गोला $(0, 0, 0)$ से गुजरता है,इसलिए $d = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि यह $(a, 0, 0)$ से गुजरता है,इसलिए $a^2 + 2ua = 0 \implies u = -a/2$ है।
चूंकि यह $(0, b, 0)$ से गुजरता है,इसलिए $b^2 + 2vb = 0 \implies v = -b/2$ है।
चूंकि यह $(0, 0, c)$ से गुजरता है,इसलिए $c^2 + 2wc = 0 \implies w = -c/2$ है।
गोले का केंद्र $(-u, -v, -w) = (a/2, b/2, c/2)$ है।
यह बिंदु दिए गए चारों बिंदुओं से समान दूरी पर है।

(D) $r$ त्रिज्या वाला एक गोला जो तीनों निर्देशांक अक्षों को स्पर्श करता है,उसका केंद्र $(\pm r, \pm r, \pm r)$ बिंदु पर होना चाहिए।
त्रि-आयामी कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में $8$ अष्टांश (octants) होते हैं,इसलिए प्रत्येक अष्टांश में ऐसा एक गोला संभव है।
अतः,$r$ त्रिज्या वाले कुल $8$ अलग-अलग गोले खींचे जा सकते हैं जो तीनों निर्देशांक अक्षों को स्पर्श करते हों।

(A) माना $A, B$ और $C$ के निर्देशांक क्रमशः $(a, 0, 0), (0, b, 0)$ और $(0, 0, c)$ हैं।
समतल का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ है।
चूंकि यह समतल निश्चित बिंदु $(p, q, r)$ से गुजरता है,इसलिए $\frac{p}{a} + \frac{q}{b} + \frac{r}{c} = 1$ होगा।
मूल बिंदु $O(0, 0, 0)$ और बिंदुओं $A, B, C$ से गुजरने वाले गोले का समीकरण $x^2 + y^2 + z^2 - ax - by - cz = 0$ है।
इस गोले का केंद्र $(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}, \frac{c}{2})$ है।
माना केंद्र $(x, y, z)$ है। तब $x = \frac{a}{2}, y = \frac{b}{2}, z = \frac{c}{2}$,जिसका अर्थ है $a = 2x, b = 2y, c = 2z$।
इन मानों को समतल के समीकरण $\frac{p}{a} + \frac{q}{b} + \frac{r}{c} = 1$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{p}{2x} + \frac{q}{2y} + \frac{r}{2z} = 1$ प्राप्त होता है।
$2$ से गुणा करने पर,केंद्र का बिंदुपथ $\frac{p}{x} + \frac{q}{y} + \frac{r}{z} = 2$ है।

(A) मान लीजिए कि गोला रेखाखंड $AB$ को $\lambda : 1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,रेखाखंड $AB$ पर बिंदु $P$ के निर्देशांक हैं:
$P = \left( \frac{27\lambda + 12}{\lambda + 1}, \frac{-9\lambda - 4}{\lambda + 1}, \frac{18\lambda + 8}{\lambda + 1} \right)$.
चूंकि बिंदु $P$ गोले ${x^2} + {y^2} + {z^2} = 504$ पर स्थित है,हम इन निर्देशांकों को गोले के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$\left( \frac{27\lambda + 12}{\lambda + 1} \right)^2 + \left( \frac{-9\lambda - 4}{\lambda + 1} \right)^2 + \left( \frac{18\lambda + 8}{\lambda + 1} \right)^2 = 504$.
उभयनिष्ठ पदों को बाहर निकालने पर:
$\frac{1}{(\lambda + 1)^2} [ (3(9\lambda + 4))^2 + (-(9\lambda + 4))^2 + (2(9\lambda + 4))^2 ] = 504$.
$\frac{(9\lambda + 4)^2}{(\lambda + 1)^2} [ 9 + 1 + 4 ] = 504$.
$\frac{(9\lambda + 4)^2}{(\lambda + 1)^2} \times 14 = 504$.
$\frac{(9\lambda + 4)^2}{(\lambda + 1)^2} = 36$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{9\lambda + 4}{\lambda + 1} = \pm 6$.
स्थिति $1$: $9\lambda + 4 = 6\lambda + 6 \implies 3\lambda = 2 \implies \lambda = 2/3$ (आंतरिक विभाजन)।
स्थिति $2$: $9\lambda + 4 = -6\lambda - 6 \implies 15\lambda = -10 \implies \lambda = -2/3$ (बाह्य विभाजन)।
अतः,सही उत्तर $A$ है।

(D) मान लीजिए कि दो गोलों के केंद्र $O$ और $O'$ हैं और उनकी त्रिज्याएँ क्रमशः $r_1$ और $r_2$ हैं।
चूंकि गोले लंबकोणीय रूप से काटते हैं,इसलिए प्रतिच्छेदन बिंदु $P$ पर त्रिज्याओं के बीच का कोण $90^\circ$ है।
मान लीजिए $C$ उभयनिष्ठ वृत्त का केंद्र है और $r$ इसकी त्रिज्या है।
$\Delta OPC$ में,कोण $\angle OPC = \theta$ है। अतः,$\cos \theta = \frac{r}{r_1}$।
$\Delta O'PC$ में,कोण $\angle O'PC = 90^\circ - \theta$ है। अतः,$\sin \theta = \cos(90^\circ - \theta) = \frac{r}{r_2}$।
सर्वसमिका $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर:
$\left(\frac{r}{r_1}\right)^2 + \left(\frac{r}{r_2}\right)^2 = 1$
$r^2 \left(\frac{1}{r_1^2} + \frac{1}{r_2^2}\right) = 1$
$r^2 \left(\frac{r_1^2 + r_2^2}{r_1^2 r_2^2}\right) = 1$
$r^2 = \frac{r_1^2 r_2^2}{r_1^2 + r_2^2}$
$r = \frac{r_1 r_2}{\sqrt{r_1^2 + r_2^2}}$

(A) प्रथम गोले का समीकरण ${S_1} \equiv {x^2} + {y^2} + {z^2} + 6x - 8y - 2z - 13 = 0$ है। इसका केंद्र ${C_1} = (-3, 4, 1)$ है।
दूसरे गोले का समीकरण ${S_2} \equiv {x^2} + {y^2} + {z^2} - 10x + 4y - 2z - 8 = 0$ है। इसका केंद्र ${C_2} = (5, -2, 1)$ है।
${C_1}$ और ${C_2}$ को जोड़ने वाली रेखा के मध्यबिंदु $P$ के निर्देशांक:
$P = \left( \frac{-3 + 5}{2}, \frac{4 - 2}{2}, \frac{1 + 1}{2} \right) = (1, 1, 1)$.
चूंकि समतल $2ax - 3ay + 4az + 6 = 0$ बिंदु $P(1, 1, 1)$ से होकर गुजरता है,इसलिए:
$2a(1) - 3a(1) + 4a(1) + 6 = 0$
$2a - 3a + 4a + 6 = 0$
$3a + 6 = 0$
$3a = -6$
$a = -2$.

(D) गोले का दिया गया समीकरण $x^2 + y^2 + z^2 - x + z - 2 = 0$ है।
इसे व्यापक समीकरण $x^2 + y^2 + z^2 + 2ux + 2vy + 2wz + d = 0$ से तुलना करने पर,हमें $u = -1/2$,$v = 0$,$w = 1/2$,और $d = -2$ प्राप्त होता है।
गोले का केंद्र $(-u, -v, -w) = (1/2, 0, -1/2)$ है।
गोले की त्रिज्या $R = \sqrt{u^2 + v^2 + w^2 - d} = \sqrt{(-1/2)^2 + 0^2 + (1/2)^2 - (-2)} = \sqrt{1/4 + 0 + 1/4 + 2} = \sqrt{1/2 + 2} = \sqrt{5/2}$ है।
केंद्र $(1/2, 0, -1/2)$ से समतल $x + 2y - z - 4 = 0$ की लंबवत दूरी $P$:
$P = \frac{|(1/2) + 2(0) - (-1/2) - 4|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-1)^2}} = \frac{|1/2 + 1/2 - 4|}{\sqrt{6}} = \frac{|-3|}{\sqrt{6}} = \frac{3}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{9}{6}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$ है।
प्रतिच्छेदन से बने वृत्त की त्रिज्या $r = \sqrt{R^2 - P^2}$ है।
$r = \sqrt{\frac{5}{2} - \frac{3}{2}} = \sqrt{\frac{2}{2}} = \sqrt{1} = 1$.

(B) गोले का समीकरण ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2y - 4z = 11$ है।
इसे ${x^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 2)^2} = 11 + 1 + 4 = 16$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,गोले का केंद्र $C = (0, 1, 2)$ और त्रिज्या $R = 4$ है।
गोले के केंद्र से समतल $x + 2y + 2z - 15 = 0$ की दूरी $d = \frac{|0 + 2(1) + 2(2) - 15|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}} = \frac{|2 + 4 - 15|}{3} = \frac{|-9|}{3} = 3$ है।
वृत्त की त्रिज्या $r = \sqrt{R^2 - d^2}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होती है।
मान रखने पर,$r = \sqrt{4^2 - 3^2} = \sqrt{16 - 9} = \sqrt{7}$।

(D) दिए गए गोले का समीकरण: $2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 6x + 2y - 4z = 1$.
$2$ से विभाजित करने पर: $x^2 + y^2 + z^2 - 3x + y - 2z = \frac{1}{2}$.
गोले का केंद्र $C = (\frac{3}{2}, -\frac{1}{2}, 1)$ है।
त्रिज्या $r = \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + (-\frac{1}{2})^2 + (1)^2 - (-\frac{1}{2})} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{1}{4} + 1 + \frac{1}{2}} = 2$ है।
अभीष्ट गोला संकेंद्रित है,इसलिए इसका केंद्र भी $(\frac{3}{2}, -\frac{1}{2}, 1)$ होगा।
अभीष्ट गोले की त्रिज्या $R = 2 \times 2 = 4$ है।
अतः,गोले का समीकरण $(x - \frac{3}{2})^2 + (y + \frac{1}{2})^2 + (z - 1)^2 = 4^2$ होगा।
विस्तार करने पर: $x^2 - 3x + \frac{9}{4} + y^2 + y + \frac{1}{4} + z^2 - 2z + 1 = 16$.
$x^2 + y^2 + z^2 - 3x + y - 2z + 3.5 - 16 = 0$.
$x^2 + y^2 + z^2 - 3x + y - 2z - 12.5 = 0$.
$2$ से गुणा करने पर: $2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 6x + 2y - 4z - 25 = 0$.

(B) गोले का समीकरण ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x - 12y - 2z + 20 = 0$ है।
इसे व्यापक रूप ${x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ux + 2vy + 2wz + d = 0$ से तुलना करने पर,गोले का केंद्र $(-u, -v, -w) = (3, 6, 1)$ प्राप्त होता है।
माना व्यास का दूसरा सिरा $(x, y, z)$ है।
चूंकि गोले का केंद्र व्यास का मध्य-बिंदु होता है,इसलिए:
$\frac{2 + x}{2} = 3 \implies 2 + x = 6 \implies x = 4$
$\frac{3 + y}{2} = 6 \implies 3 + y = 12 \implies y = 9$
$\frac{5 + z}{2} = 1 \implies 5 + z = 2 \implies z = -3$
अतः,दूसरे सिरे के निर्देशांक $(4, 9, -3)$ हैं।

(C) गोले का समीकरण $x^2 + y^2 + z^2 + 4x - 2y - 6z - 155 = 0$ है।
इसे व्यापक समीकरण $x^2 + y^2 + z^2 + 2gx + 2fy + 2hz + c = 0$ से तुलना करने पर,केंद्र $C = (-2, 1, 3)$ प्राप्त होता है।
त्रिज्या $r = \sqrt{g^2 + f^2 + h^2 - c} = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + (-3)^2 - (-155)} = \sqrt{4 + 1 + 9 + 155} = \sqrt{169} = 13$ है।
केंद्र $C(-2, 1, 3)$ से समतल $12x + 4y + 3z - 327 = 0$ की लंबवत दूरी $d$ इस प्रकार है:
$d = \frac{|12(-2) + 4(1) + 3(3) - 327|}{\sqrt{12^2 + 4^2 + 3^2}} = \frac{|-24 + 4 + 9 - 327|}{\sqrt{144 + 16 + 9}} = \frac{|-338|}{13} = 26$.
समतल से गोले की न्यूनतम दूरी $d - r = 26 - 13 = 13$ है।

(C) गोले का समीकरण $x^2 + y^2 + z^2 + 2x - 2y - 4z - 19 = 0$ है।
इसे व्यापक समीकरण $x^2 + y^2 + z^2 + 2ux + 2vy + 2wz + d = 0$ से तुलना करने पर,हमें केंद्र $C = (-u, -v, -w) = (-1, 1, 2)$ और त्रिज्या $R = \sqrt{u^2 + v^2 + w^2 - d} = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 2^2 - (-19)} = \sqrt{1 + 1 + 4 + 19} = \sqrt{25} = 5$ प्राप्त होती है।
केंद्र $C(-1, 1, 2)$ से समतल $x + 2y + 2z + 7 = 0$ की लंबवत दूरी $p = \frac{|(-1) + 2(1) + 2(2) + 7|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}} = \frac{|-1 + 2 + 4 + 7|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac{12}{\sqrt{9}} = \frac{12}{3} = 4$ है।
प्रतिच्छेदन से बने वृत्त की त्रिज्या $r = \sqrt{R^2 - p^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3$ होगी।

(B) दिए गए गोले का समीकरण $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2y - 4z = 11$ है।
इसे मानक रूप में लिखने पर: $x^{2} + (y-1)^{2} - 1 + (z-2)^{2} - 4 = 11$,जो $x^{2} + (y-1)^{2} + (z-2)^{2} = 16$ में सरल हो जाता है।
गोले का केंद्र $C(0, 1, 2)$ है और इसकी त्रिज्या $R = \sqrt{16} = 4$ है।
केंद्र $C(0, 1, 2)$ से समतल $x + 2y + 2z - 15 = 0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|0 + 2(1) + 2(2) - 15|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + 2^{2}}} = \frac{|2 + 4 - 15|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac{|-9|}{3} = 3$ है।
प्रतिच्छेदन से बनने वाले वृत्त की त्रिज्या $r = \sqrt{R^{2} - d^{2}}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,$r = \sqrt{4^{2} - 3^{2}} = \sqrt{16 - 9} = \sqrt{7}$।

(A) मान लीजिए गोले का समीकरण $x^2 + y^2 + z^2 + 2ux + 2vy + 2wz + d = 0$ है।
चूंकि यह मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से गुजरता है,इसलिए $d = 0$ है।
चूंकि यह $(0, 2, 0)$ से गुजरता है,इसलिए $0^2 + 2^2 + 0^2 + 2u(0) + 2v(2) + 2w(0) + 0 = 0$,जिससे $4 + 4v = 0$ प्राप्त होता है,अर्थात $v = -1$ है।
चूंकि यह $(1, 0, 0)$ से गुजरता है,इसलिए $1^2 + 0^2 + 0^2 + 2u(1) + 2v(0) + 2w(0) + 0 = 0$,जिससे $1 + 2u = 0$ प्राप्त होता है,अर्थात $u = -1/2$ है।
चूंकि यह $(0, 0, 4)$ से गुजरता है,इसलिए $0^2 + 0^2 + 4^2 + 2u(0) + 2v(0) + 2w(4) + 0 = 0$,जिससे $16 + 8w = 0$ प्राप्त होता है,अर्थात $w = -2$ है।
गोले का केंद्र $(-u, -v, -w) = \left( -(-1/2), -(-1), -(-2) \right) = \left( \frac{1}{2}, 1, 2 \right)$ है।

(A) पहले गोले का समीकरण $x^2 + y^2 + z^2 + 6x - 8y - 2z - 13 = 0$ है। इसका केंद्र $C_1 = (-3, 4, 1)$ है।
दूसरे गोले का समीकरण $x^2 + y^2 + z^2 - 10x + 4y - 2z - 8 = 0$ है। इसका केंद्र $C_2 = (5, -2, 1)$ है।
$C_1$ और $C_2$ को जोड़ने वाली रेखा के मध्यबिंदु $P$ के निर्देशांक $P = \left( \frac{-3 + 5}{2}, \frac{4 - 2}{2}, \frac{1 + 1}{2} \right) = (1, 1, 1)$ हैं।
चूंकि समतल $2ax - 3ay + 4az + 6 = 0$,$P(1, 1, 1)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $P$ के निर्देशांकों को समतल के समीकरण में रखने पर:
$2a(1) - 3a(1) + 4a(1) + 6 = 0$
$2a - 3a + 4a + 6 = 0$
$3a + 6 = 0$
$3a = -6$
$a = -2$.

(D) तीनों निर्देशांक समतलों ($xy$,$yz$,और $zx$) को स्पर्श करने वाले गोले का केंद्र $(\pm r, \pm r, \pm r)$ बिंदु पर होना चाहिए।
चूंकि $3$ निर्देशांक समतल हैं और गोले को उन सभी को स्पर्श करना है,इसलिए केंद्र से प्रत्येक समतल की दूरी त्रिज्या $r$ के बराबर होनी चाहिए।
केंद्र $(\pm r, \pm r, \pm r)$ के निर्देशांकों के लिए चिह्नों के $2^3 = 8$ संभावित संयोजन हैं।
अतः,$r$ त्रिज्या वाले $8$ भिन्न गोले खींचे जा सकते हैं जो तीनों निर्देशांक समतलों को स्पर्श करते हैं,जो $3D$ निर्देशांक प्रणाली के प्रत्येक अष्टांश (octant) में एक होता है।

(A) माना कि गतिमान बिंदु $P(x, y, z)$ है।
दिया गया है कि बिंदु $P$ की स्थिर बिंदु $C(1, -2, 2)$ से दूरी $1$ है।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\sqrt{(x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 2)^2} = 1$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें मिलता है $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 2)^2 = 1^2$.
वर्गों का विस्तार करने पर: $(x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 4y + 4) + (z^2 - 4z + 4) = 1$.
समीकरण को सरल करने पर: $x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y - 4z + 9 = 1$.
दोनों पक्षों से $1$ घटाने पर: $x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y - 4z + 8 = 0$.

(D) दिए गए गोले का समीकरण $x^2 + y^2 + z^2 - 6x - 12y - 2z + 20 = 0$ है।
इसे व्यापक समीकरण $x^2 + y^2 + z^2 + 2ux + 2vy + 2wz + d = 0$ से तुलना करने पर,हमें $2u = -6, 2v = -12, 2w = -2$ प्राप्त होता है।
अतः,$u = -3, v = -6, w = -1$ है।
गोले का केंद्र $(-u, -v, -w) = (3, 6, 1)$ है।
माना व्यास का एक सिरा $A = (2, 3, 5)$ है और दूसरा सिरा $B = (\alpha, \beta, \gamma)$ है।
चूंकि गोले का केंद्र व्यास का मध्य-बिंदु होता है,इसलिए:
$\frac{\alpha + 2}{2} = 3 \Rightarrow \alpha + 2 = 6 \Rightarrow \alpha = 4$
$\frac{\beta + 3}{2} = 6 \Rightarrow \beta + 3 = 12 \Rightarrow \beta = 9$
$\frac{\gamma + 5}{2} = 1 \Rightarrow \gamma + 5 = 2 \Rightarrow \gamma = -3$
अतः,दूसरे सिरे के निर्देशांक $(4, 9, -3)$ हैं।

(A) दो गोलों ${S_1} = 0$ और ${S_2} = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतल का समीकरण ${S_1} - {S_2} = 0$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए गोले:
${S_1}: {x^2} + {y^2} + {z^2} + 7x - 2y - z - 13 = 0$
${S_2}: {x^2} + {y^2} + {z^2} - 3x + 3y + 4z - 8 = 0$
दोनों समीकरणों को घटाने पर:
$({x^2} + {y^2} + {z^2} + 7x - 2y - z - 13) - ({x^2} + {y^2} + {z^2} - 3x + 3y + 4z - 8) = 0$
$(7x - (-3x)) + (-2y - 3y) + (-z - 4z) + (-13 - (-8)) = 0$
$10x - 5y - 5z - 5 = 0$
पूरे समीकरण को $5$ से विभाजित करने पर:
$2x - y - z = 1$
अतः,दोनों गोलों का प्रतिच्छेदन समतल $2x - y - z = 1$ पर स्थित है।

(D) दिए गए गोले का समीकरण $x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y - 6z + 10 = 0$ है।
वर्गों को पूर्ण करने पर,$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 3)^2 = -10 + 1 + 4 + 9 = 4$ प्राप्त होता है।
अतः,गोले का केंद्र $C(1, -2, 3)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{4} = 2$ है।
अब,केंद्र $C(1, -2, 3)$ से समतल $2x + y - 2z - 6 = 0$ की लंबवत दूरी $d$ ज्ञात करने के लिए सूत्र $d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ का उपयोग करें।
$d = \frac{|2(1) + 1(-2) - 2(3) - 6|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2}} = \frac{|2 - 2 - 6 - 6|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{|-12|}{\sqrt{9}} = \frac{12}{3} = 4$.
गोले और समतल के बीच की न्यूनतम दूरी $d - r = 4 - 2 = 2$ इकाई है।

माना बिंदु $P$ के निर्देशांक $(x, y, z)$ हैं।
दिया है $A = (3, 4, 5)$ और $B = (-1, 3, -7)$।
दूरी सूत्र का उपयोग करते हुए,$PA^{2} = (x-3)^{2} + (y-4)^{2} + (z-5)^{2} = x^{2} - 6x + 9 + y^{2} - 8y + 16 + z^{2} - 10z + 25 = x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6x - 8y - 10z + 50$।
इसी प्रकार,$PB^{2} = (x+1)^{2} + (y-3)^{2} + (z+7)^{2} = x^{2} + 2x + 1 + y^{2} - 6y + 9 + z^{2} + 14z + 49 = x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2x - 6y + 14z + 59$।
शर्त $PA^{2} + PB^{2} = k^{2}$ के अनुसार:
$(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6x - 8y - 10z + 50) + (x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2x - 6y + 14z + 59) = k^{2}$।
समान पदों को जोड़ने पर:
$2x^{2} + 2y^{2} + 2z^{2} - 4x - 14y + 4z + 109 = k^{2}$।
$2$ से भाग देने पर:
$x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 7y + 2z = \frac{k^{2} - 109}{2}$।

(A) माना गोले की त्रिज्या $r$ है। चूंकि गोला दो लंबवत दीवारों और फर्श को छूता है,हम एक निर्देशांक प्रणाली निर्धारित कर सकते हैं जहाँ दीवारें और फर्श निर्देशांक समतल $x=0, y=0, z=0$ हैं। गोले का केंद्र $(r, r, r)$ है।
गोले का समीकरण $(x-r)^2 + (y-r)^2 + (z-r)^2 = r^2$ है।
गोले पर एक बिंदु दीवारों और फर्श से $9, 16, 25$ की दूरी पर दिया गया है,इसलिए इस बिंदु के निर्देशांक $(9, 16, 25)$ हैं।
इस बिंदु को गोले के समीकरण में रखने पर:
$(9-r)^2 + (16-r)^2 + (25-r)^2 = r^2$
पदों का विस्तार करने पर:
$(81 - 18r + r^2) + (256 - 32r + r^2) + (625 - 50r + r^2) = r^2$
$3r^2 - 100r + 962 = r^2$
$2r^2 - 100r + 962 = 0$
$2$ से विभाजित करने पर:
$r^2 - 50r + 481 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(r-13)(r-37) = 0$
अतः,$r = 13$ या $r = 37$ है।
इसलिए संभावित त्रिज्या $13$ है।

(B) दिए गए गोले का समीकरण $(x-2)^2+(y-3)^2+(z-6)^2=1$ है।
यह एक ऐसा गोला है जिसका केंद्र $C = (2, 3, 6)$ और त्रिज्या $r = 1$ है।
मूल बिंदु $O(0, 0, 0)$ से केंद्र $C(2, 3, 6)$ तक की दूरी $d$ इस प्रकार है:
$d = \sqrt{(2-0)^2 + (3-0)^2 + (6-0)^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$.
गोले पर स्थित किसी बिंदु की मूल बिंदु से न्यूनतम दूरी,मूल बिंदु से केंद्र की दूरी में से गोले की त्रिज्या को घटाने पर प्राप्त होती है।
न्यूनतम दूरी $= d - r = 7 - 1 = 6$.

(B) माना गोले की प्रारंभिक त्रिज्या $r$ है और प्रारंभिक आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ है।
वृद्धि के बाद,नया आयतन $V' = V + 0.728V = 1.728V$ है।
चूंकि $V' = \frac{4}{3} \pi (r')^3$,इसलिए $\frac{4}{3} \pi (r')^3 = 1.728 \times \frac{4}{3} \pi r^3$ है।
अतः,$(r')^3 = 1.728 r^3$,जिसका अर्थ है $r' = \sqrt[3]{1.728} r = 1.2r$ है।
प्रारंभिक पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 4 \pi r^2$ है और नया पृष्ठीय क्षेत्रफल $S' = 4 \pi (r')^2$ है।
$S' = 4 \pi (1.2r)^2 = 4 \pi (1.44 r^2) = 1.44 S$ है।
पृष्ठीय क्षेत्रफल में प्रतिशत वृद्धि $\frac{S' - S}{S} \times 100 = (1.44 - 1) \times 100 = 44 \%$ है।

(B) वृत्त के व्यास द्वारा वृत्त पर किसी भी बिंदु पर बनाया गया कोण समकोण होता है। इसलिए,$\angle APB = 90^{\circ}$,जिसका अर्थ है कि $AP \perp PB$ है।
$AP$ के दिक अनुपात $(5-3, 6-(-2), -1-2) = (2, 8, -3)$ हैं।
$PB$ के दिक अनुपात $(2-5, \lambda+1-6, 5-(-1)) = (-3, \lambda-5, 6)$ हैं।
चूंकि $AP \perp PB$ है,इसलिए उनके दिक अनुपातों का अदिश गुणनफल शून्य होना चाहिए:
$(2)(-3) + (8)(\lambda-5) + (-3)(6) = 0$
$-6 + 8\lambda - 40 - 18 = 0$
$8\lambda - 64 = 0$
$8\lambda = 64$
$\lambda = 8$.

(C) माना बिंदु $P(x, y, z)$ है। बिंदु $A(-3, 1, 2)$ और $B(1, -2, 4)$ हैं।
चूंकि रेखाखंड $AB$,$P$ पर समकोण बनाता है,इसलिए सदिश $\vec{PA}$ और $\vec{PB}$ लंबवत हैं।
$\vec{PA} = (-3-x, 1-y, 2-z)$
$\vec{PB} = (1-x, -2-y, 4-z)$
चूंकि $\vec{PA} \cdot \vec{PB} = 0$,हमारे पास है:
$(-3-x)(1-x) + (1-y)(-2-y) + (2-z)(4-z) = 0$
$(x+3)(x-1) + (y-1)(y+2) + (z-2)(z-4) = 0$
$(x^2 + 2x - 3) + (y^2 + y - 2) + (z^2 - 6z + 8) = 0$
$x^2 + y^2 + z^2 + 2x + y - 6z + (-3 - 2 + 8) = 0$
$x^2 + y^2 + z^2 + 2x + y - 6z + 3 = 0$
अतः,बिंदुपथ $x^2 + y^2 + z^2 + 2x + y - 6z + 3 = 0$ है।

(A) माना बिंदु $A(1,0,0), B(0,1,0)$ और $C(1,1,1)$ हैं।
बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना करें:
$AB = \sqrt{(0-1)^2 + (1-0)^2 + 0^2} = \sqrt{2}$
$BC = \sqrt{(1-0)^2 + (1-1)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{2}$
$CA = \sqrt{(1-1)^2 + (1-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{2}$
चूंकि $AB = BC = CA = \sqrt{2}$,ये बिंदु एक समबाहु त्रिभुज बनाते हैं।
इन बिंदुओं से गुजरने वाले सबसे छोटी त्रिज्या वाले गोले का केंद्र त्रिभुज $ABC$ के केंद्रक पर स्थित होता है।
केंद्र $C' = \left(\frac{1+0+1}{3}, \frac{0+1+1}{3}, \frac{0+0+1}{3}\right) = \left(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{3}\right)$.
त्रिज्या $R$ केंद्र $C'$ से किसी भी बिंदु,जैसे $A(1,0,0)$ तक की दूरी है:
$R^2 = \left(\frac{2}{3}-1\right)^2 + \left(\frac{2}{3}-0\right)^2 + \left(\frac{1}{3}-0\right)^2 = \frac{1}{9} + \frac{4}{9} + \frac{1}{9} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$.
गोले का समीकरण $(x-\frac{2}{3})^2 + (y-\frac{2}{3})^2 + (z-\frac{1}{3})^2 = \frac{2}{3}$ है।
इसका विस्तार करने पर: $x^2 - \frac{4x}{3} + \frac{4}{9} + y^2 - \frac{4y}{3} + \frac{4}{9} + z^2 - \frac{2z}{3} + \frac{1}{9} = \frac{6}{9}$.
$x^2 + y^2 + z^2 - \frac{4x}{3} - \frac{4y}{3} - \frac{2z}{3} + \frac{9}{9} = \frac{6}{9}$.
$x^2 + y^2 + z^2 - \frac{4x}{3} - \frac{4y}{3} - \frac{2z}{3} + 1 = \frac{2}{3}$.
$3$ से गुणा करने पर: $3(x^2+y^2+z^2) - 4x - 4y - 2z + 3 = 2$.
$3(x^2+y^2+z^2) - 4x - 4y - 2z + 1 = 0$.

(B) गोले का समीकरण $x^2+y^2+z^2+2x-2y-4z-19=0$ है।
इसे व्यापक समीकरण $x^2+y^2+z^2+2ux+2vy+2wz+d=0$ से तुलना करने पर,केंद्र $C = (-u, -v, -w) = (-1, 1, 2)$ प्राप्त होता है।
गोले की त्रिज्या $R = \sqrt{u^2+v^2+w^2-d} = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 2^2 - (-19)} = \sqrt{1+1+4+19} = \sqrt{25} = 5$ है।
केंद्र $C(-1, 1, 2)$ से समतल $x+2y+2z+7=0$ की लंबवत दूरी $p$ इस प्रकार है:
$p = \frac{|(-1) + 2(1) + 2(2) + 7|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}} = \frac{|-1 + 2 + 4 + 7|}{\sqrt{1+4+4}} = \frac{12}{\sqrt{9}} = \frac{12}{3} = 4$.
माना वृत्त की त्रिज्या $r$ है। समकोण त्रिभुज के गुणधर्म के अनुसार,$R^2 = p^2 + r^2$.
$r^2 = R^2 - p^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9$.
अतः,$r = \sqrt{9} = 3$.

(B) गोले का समीकरण $x^2+y^2+z^2-6x-12y-2z+20=0$ है।
इसे गोले के सामान्य समीकरण $x^2+y^2+z^2+2ux+2vy+2wz+d=0$ से तुलना करने पर,हमें $2u=-6, 2v=-12, 2w=-2$ प्राप्त होता है।
अतः,$u=-3, v=-6, w=-1$ है।
गोले का केंद्र $(-u,-v,-w) = (3,6,1)$ है।
माना व्यास का दिया गया सिरा $A = (2,3,-3)$ है और दूसरा सिरा $B = (\alpha, \beta, \gamma)$ है।
चूँकि केंद्र $O(3,6,1)$ व्यास $AB$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए:
$O = \left( \frac{\alpha+2}{2}, \frac{\beta+3}{2}, \frac{\gamma-3}{2} \right) = (3,6,1)$।
निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$\frac{\alpha+2}{2} = 3 \Rightarrow \alpha+2 = 6 \Rightarrow \alpha = 4$।
$\frac{\beta+3}{2} = 6 \Rightarrow \beta+3 = 12 \Rightarrow \beta = 9$।
$\frac{\gamma-3}{2} = 1 \Rightarrow \gamma-3 = 2 \Rightarrow \gamma = 5$।
अतः,व्यास का दूसरा सिरा $(4,9,5)$ है।

(A) गोले का दिया गया समीकरण $x^2+y^2+z^2-12x-4y-3z=0$ है।
इसे गोले के व्यापक समीकरण $x^2+y^2+z^2+2ux+2vy+2wz+d=0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $2u=-12$,$2v=-4$,और $2w=-3$ प्राप्त होता है।
अतः,$u=-6$,$v=-2$,और $w=-\frac{3}{2}$ है।
गोले का केंद्र $(-u, -v, -w) = (6, 2, \frac{3}{2})$ है।
गोले की त्रिज्या $r$ का सूत्र $r = \sqrt{u^2+v^2+w^2-d}$ है।
मान रखने पर,हमें $r = \sqrt{(-6)^2+(-2)^2+(-\frac{3}{2})^2-0}$ प्राप्त होता है।
$r = \sqrt{36+4+\frac{9}{4}} = \sqrt{40+\frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{160+9}{4}} = \sqrt{\frac{169}{4}}$.
इसलिए,$r = \frac{13}{2}$.

(B) मान लीजिए कि चर समतल का समीकरण $a(x - 1) + b(y - 2) + c(z - 3) = 0$ है,जहाँ $a, b, c$ समतल के अभिलंब के दिक अनुपात हैं।
मान लीजिए $Q(x_1, y_1, z_1)$ मूल बिंदु $O(0, 0, 0)$ से समतल पर लंब का पाद है।
चूँकि $OQ$ समतल पर लंब है,$OQ$ के दिक अनुपात $(x_1, y_1, z_1)$ हैं,जो $(a, b, c)$ के समानुपाती होने चाहिए।
अतः,किसी स्थिरांक $k$ के लिए $a = kx_1, b = ky_1, c = kz_1$ है।
इन मानों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $x_1(x_1 - 1) + y_1(y_1 - 2) + z_1(z_1 - 3) = 0$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $x_1^2 + y_1^2 + z_1^2 - x_1 - 2y_1 - 3z_1 = 0$ मिलता है।
यह $OP$ व्यास वाले एक गोले का समीकरण है,जहाँ $O$ मूल बिंदु है और $P$ निश्चित बिंदु $(1, 2, 3)$ है।

(B) गोले का समीकरण $x^2+y^2+z^2+2x-2y-4z-19=0$ है। इसे व्यापक समीकरण $x^2+y^2+z^2+2ux+2vy+2wz+d=0$ से तुलना करने पर,हमें $u=1, v=-1, w=-2, d=-19$ प्राप्त होता है।
गोले का केंद्र $(-u, -v, -w) = (-1, 1, 2)$ है।
गोले की त्रिज्या $R = \sqrt{u^2+v^2+w^2-d} = \sqrt{1^2+(-1)^2+(-2)^2-(-19)} = \sqrt{1+1+4+19} = \sqrt{25} = 5$ है।
अब,केंद्र $(-1, 1, 2)$ से समतल $x+2y+2z+7=0$ की लंबवत दूरी $p$ है:
$p = \frac{|(-1) + 2(1) + 2(2) + 7|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}} = \frac{|-1+2+4+7|}{\sqrt{1+4+4}} = \frac{12}{\sqrt{9}} = \frac{12}{3} = 4$.
माना वृत्त की त्रिज्या $r$ है। गोले के केंद्र,वृत्त के केंद्र और वृत्त की परिधि पर स्थित एक बिंदु द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज में,$R^2 = p^2 + r^2$ होता है।
$r^2 = R^2 - p^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9$.
अतः,$r = \sqrt{9} = 3$.