मान लीजिए कि $^*$ $N$ पर एक द्वि-आधारी संक्रिया है जो $a \,^*\, b = a \text{ और } b \text{ का म.स.प.}$ द्वारा परिभाषित है। क्या $^*$ क्रमविनिमेय है? क्या $^*$ साहचर्य है? क्या $N$ पर इस द्वि-आधारी संक्रिया के लिए कोई तत्समक अवयव मौजूद है?

(N/A) $N$ पर द्वि-आधारी संक्रिया $^*$ इस प्रकार परिभाषित है: $a \,^*\, b = a \text{ और } b \text{ का म.स.प.}$
$1$. क्रमविनिमेयता:
हम जानते हैं कि सभी $a, b \in N$ के लिए $a$ और $b$ का $\text{म.स.प.}$ वही होता है जो $b$ और $a$ का $\text{म.स.प.}$ होता है।
इसलिए,$a \,^*\, b = b \,^*\, a$.
अतः,संक्रिया $^*$ क्रमविनिमेय है।
$2$. साहचर्यता:
$a, b, c \in N$ के लिए,हमारे पास है:
$(a \,^*\, b) \,^*\, c = (a \text{ और } b \text{ का म.स.प.}) \,^*\, c = a, b, c \text{ का म.स.प.}$
$a \,^*\, (b \,^*\, c) = a \,^*\, (b \text{ और } c \text{ का म.स.प.}) = a, b, c \text{ का म.स.प.}$
चूंकि $(a \,^*\, b) \,^*\, c = a \,^*\, (b \,^*\, c)$,इसलिए संक्रिया $^*$ साहचर्य है।
$3$. तत्समक अवयव:
एक अवयव $e \in N$,$^*$ के लिए तत्समक होगा यदि सभी $a \in N$ के लिए $a \,^*\, e = a = e \,^*\, a$ हो।
इसका अर्थ है $\text{म.स.प.}(a, e) = a$,जिसका अर्थ है कि प्रत्येक $a \in N$ के लिए $a$ को $e$ का विभाजक होना चाहिए। चूंकि $N$ में ऐसा कोई निश्चित अवयव $e$ नहीं है जो प्रत्येक प्राकृतिक संख्या का गुणज हो,इसलिए इस संक्रिया के लिए कोई तत्समक अवयव मौजूद नहीं है।