मान लीजिए कि $N$ पर $^*$ एक द्विआधारी संक्रिया है जो $a \,^*\, b = a \text{ और } b \text{ का ल.स.प.}$ द्वारा दी गई है। क्या $^*$ साहचर्य है?

बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य है या असत्य और अपने उत्तर का औचित्य सिद्ध कीजिए: यदि $^*$ समुच्चय $N$ पर एक क्रमविनिमेय (commutative) द्विआधारी संक्रिया है,तो $a ^* (b ^* c) = (c ^* b) ^* a$.

एक अरिक्त समुच्चय $X$ दिया गया है,द्वि-आधारी संक्रिया $^*: P(X) \times P(X) \rightarrow P(X)$ पर विचार करें जो सभी $A, B \in P(X)$ के लिए $A \,^*\, B = A \cap B$ द्वारा परिभाषित है,जहाँ $P(X)$,$X$ का घात समुच्चय है। सिद्ध कीजिए कि $X$ इस संक्रिया के लिए तत्समक अवयव है और $X$ इस संक्रिया के सापेक्ष $P(X)$ में एकमात्र व्युत्क्रमणीय अवयव है।

एक समूह $(G, *)$ में $10$ अवयव हैं। $G$ के अवयवों की न्यूनतम संख्या,जो स्वयं के प्रतिलोम हैं,है

नीचे परिभाषित प्रत्येक द्विआधारी संक्रिया $^*$ के लिए,निर्धारित करें कि क्या $^*$ क्रमविनिमेय है या साहचर्य है। $Q$ पर,$a ^* b = ab + 1$ परिभाषित करें।

सिद्ध कीजिए कि $a * b = a + 2b$ द्वारा परिभाषित संक्रिया $*: R \times R \rightarrow R$ साहचर्य (associative) नहीं है।