ધારો કે $A = N \times N$ અને $^*$ એ $A$ પરની દ્વિ-ક્રિયા છે જે $(a, b) \,^*\, (c, d) = (a + c, b + d)$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. નક્કી કરો કે શું આ ક્રિયા $^*$ ક્રમનો ગુણધર્મ ધરાવે છે,જૂથનો ગુણધર્મ ધરાવે છે અને શું તેમાં તટસ્થ ઘટક (identity element) અસ્તિત્વ ધરાવે છે.

(A) આપેલ છે કે $A = N \times N$ અને દ્વિ-ક્રિયા $^*$ જે $(a, b) \,^*\, (c, d) = (a + c, b + d)$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
$1$. ક્રમનો ગુણધર્મ (Commutativity):
કોઈપણ $(a, b), (c, d) \in A$ માટે,આપણી પાસે છે:
$(a, b) \,^*\, (c, d) = (a + c, b + d)$
$(c, d) \,^*\, (a, b) = (c + a, d + b) = (a + c, b + d)$
કારણ કે $N$ માં સરવાળો ક્રમનો ગુણધર્મ ધરાવે છે,તેથી $(a, b) \,^*\, (c, d) = (c, d) \,^*\, (a, b)$. આમ,$^*$ એ ક્રમનો ગુણધર્મ ધરાવે છે.
$2$. જૂથનો ગુણધર્મ (Associativity):
કોઈપણ $(a, b), (c, d), (e, f) \in A$ માટે,આપણી પાસે છે:
$[(a, b) \,^*\, (c, d)] \,^*\, (e, f) = (a + c, b + d) \,^*\, (e, f) = (a + c + e, b + d + f)$
$(a, b) \,^*\, [(c, d) \,^*\, (e, f)] = (a, b) \,^*\, (c + e, d + f) = (a + c + e, b + d + f)$
કારણ કે $N$ માં સરવાળો જૂથનો ગુણધર્મ ધરાવે છે,તેથી ક્રિયા $^*$ એ જૂથનો ગુણધર્મ ધરાવે છે.
$3$. તટસ્થ ઘટક (Identity Element):
ધારો કે $e = (e_1, e_2) \in A$ એ તટસ્થ ઘટક છે. તો $(a, b) \,^*\, (e_1, e_2) = (a, b)$,જેનો અર્થ છે કે $(a + e_1, b + e_2) = (a, b)$.
આ માટે $a + e_1 = a$ અને $b + e_2 = b$ હોવું જરૂરી છે,તેથી $e_1 = 0$ અને $e_2 = 0$.
કારણ કે $0 \notin N$,તેથી $A$ માં કોઈ તટસ્થ ઘટક અસ્તિત્વ ધરાવતો નથી.