ધારો કે $^*$ એ $N$ પરની દ્વિ-ક્રિયા છે જે $a ^* b = a$ અને $b$ નો લ.સા.અ. ($L$.$C$.$M$.) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. $N$ ના કયા ઘટકો $^*$ ક્રિયા માટે વ્યસ્ત સંપન્ન છે તે શોધો.

(A) જો કોઈ ઘટક $b \in N$ એવું અસ્તિત્વ ધરાવતું હોય કે જેથી $a ^* b = e = b ^* a$ થાય,તો $N$ માંનો ઘટક $a$ એ $^*$ ક્રિયાને સાપેક્ષ વ્યસ્ત સંપન્ન કહેવાય,જ્યાં $e$ એ તટસ્થ ઘટક છે.
પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના ગણ $N$ પર $L.C.M.$ ની ક્રિયા માટે,તટસ્થ ઘટક $e$ એવો હોવો જોઈએ કે જેથી દરેક $a \in N$ માટે $L.C.M.(a, e) = a$ થાય. આ શરત $e = 1$ માટે સાચી છે.
આમ,આપણે એવો $b \in N$ શોધવો પડે કે જેથી $L.C.M.(a, b) = 1$ થાય.
દરેક $a, b \in N$ માટે $L.C.M.(a, b) \geq a$ અને $L.C.M.(a, b) \geq b$ હોવાથી,$L.C.M.(a, b) = 1$ શરત ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે $a = 1$ અને $b = 1$ હોય.
તેથી,$1$ એ $^*$ ક્રિયાને સાપેક્ષ $N$ નો એકમાત્ર વ્યસ્ત સંપન્ન ઘટક છે.