एक निर्माता बाइक के दो मॉडल बनाता है: मॉडल $X$ और मॉडल $Y$। मॉडल $X$ को बनाने में प्रति इकाई $6$ मानव-घंटे लगते हैं,जबकि मॉडल $Y$ को प्रति इकाई $10$ मानव-घंटे लगते हैं। प्रति सप्ताह कुल $450$ मानव-घंटे उपलब्ध हैं। मॉडल $X$ और $Y$ के लिए हैंडलिंग और मार्केटिंग लागत क्रमशः $Rs. 2000$ और $Rs. 1000$ प्रति इकाई है। इन उद्देश्यों के लिए उपलब्ध कुल धनराशि $Rs. 80,000$ प्रति सप्ताह है। मॉडल $X$ और $Y$ के लिए प्रति इकाई लाभ क्रमशः $Rs. 1000$ और $Rs. 500$ है। अधिकतम लाभ प्राप्त करने के लिए निर्माता को प्रत्येक मॉडल की कितनी बाइक बनानी चाहिए? अधिकतम लाभ ज्ञात कीजिए।
(A) मान लीजिए कि निर्माता $x$ संख्या में मॉडल $X$ और $y$ संख्या में मॉडल $Y$ बाइक बनाता है।
मॉडल $X$ को बनाने में $6$ मानव-घंटे और मॉडल $Y$ को $10$ मानव-घंटे प्रति इकाई लगते हैं। प्रति सप्ताह कुल $450$ मानव-घंटे उपलब्ध हैं।
$\therefore 6x + 10y \leq 450 \Rightarrow 3x + 5y \leq 225$
हैंडलिंग और मार्केटिंग लागत क्रमशः $Rs. 2000$ और $Rs. 1000$ प्रति इकाई है,और कुल धनराशि $Rs. 80,000$ प्रति सप्ताह है।
$\therefore 2000x + 1000y \leq 80000 \Rightarrow 2x + y \leq 80$
साथ ही,$x \geq 0, y \geq 0$।
हमें लाभ फलन $Z = 1000x + 500y$ को निम्नलिखित बाधाओं के अधीन अधिकतम करना है:
$3x + 5y \leq 225$
$2x + y \leq 80$
$x \geq 0, y \geq 0$
सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $(0,0), (40,0), (25,30),$ और $(0,45)$ हैं।
अधिकतम लाभ $Rs. 40,000$ है। यह मान $(40,0)$ और $(25,30)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड पर किसी भी बिंदु पर प्राप्त होता है। अतः,अधिकतम लाभ प्राप्त करने के लिए निर्माता $40$ इकाई मॉडल $X$ और $0$ इकाई मॉडल $Y$,या $25$ इकाई मॉडल $X$ और $30$ इकाई मॉडल $Y$ का उत्पादन कर सकता है।
मॉडल $X$ को बनाने में $6$ मानव-घंटे और मॉडल $Y$ को $10$ मानव-घंटे प्रति इकाई लगते हैं। प्रति सप्ताह कुल $450$ मानव-घंटे उपलब्ध हैं।
$\therefore 6x + 10y \leq 450 \Rightarrow 3x + 5y \leq 225$
हैंडलिंग और मार्केटिंग लागत क्रमशः $Rs. 2000$ और $Rs. 1000$ प्रति इकाई है,और कुल धनराशि $Rs. 80,000$ प्रति सप्ताह है।
$\therefore 2000x + 1000y \leq 80000 \Rightarrow 2x + y \leq 80$
साथ ही,$x \geq 0, y \geq 0$।
हमें लाभ फलन $Z = 1000x + 500y$ को निम्नलिखित बाधाओं के अधीन अधिकतम करना है:
$3x + 5y \leq 225$
$2x + y \leq 80$
$x \geq 0, y \geq 0$
सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $(0,0), (40,0), (25,30),$ और $(0,45)$ हैं।
| कोणीय बिंदु | $Z = 1000x + 500y$ का मान |
| $(0,0)$ | $0$ |
| $(40,0)$ | $1000(40) + 500(0) = 40000$ |
| $(25,30)$ | $1000(25) + 500(30) = 25000 + 15000 = 40000$ |
| $(0,45)$ | $1000(0) + 500(45) = 22500$ |
अधिकतम लाभ $Rs. 40,000$ है। यह मान $(40,0)$ और $(25,30)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड पर किसी भी बिंदु पर प्राप्त होता है। अतः,अधिकतम लाभ प्राप्त करने के लिए निर्माता $40$ इकाई मॉडल $X$ और $0$ इकाई मॉडल $Y$,या $25$ इकाई मॉडल $X$ और $30$ इकाई मॉडल $Y$ का उत्पादन कर सकता है।
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से/तक $A$ $B$ $C$ $P$ $160$ $100$ $150$ $Q$ $100$ $120$ $100$
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