Mathematical analysis of cubic system and Bragg’s equation Questions in Hindi

(C) $NaCl$ की संरचना फलक-केंद्रित घनीय $(fcc)$ होती है, जिसमें आयन एकक कोष्ठिका के किनारे पर एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं.
किनारे की लंबाई $(a)$ और आयनिक त्रिज्याओं ($r^+$ और $r^-$) के बीच का संबंध है: $a = 2(r^+ + r^-)$.
दिया गया है: $r^+ (Na^+) = 95 \, pm$ और $r^- (Cl^-) = 181 \, pm$.
मान रखने पर: $a = 2(95 \, pm + 181 \, pm) = 2(276 \, pm) = 552 \, pm$.
अतः, $NaCl$ के एकक कोष्ठिका के किनारे की लंबाई $552 \, pm$ है.

(A) फलक केंद्रित घनीय $(FCC)$ जालक के लिए,परमाणु फलक विकर्ण पर एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं।
कोर लंबाई $(a)$ और परमाणु त्रिज्या $(r)$ के बीच का संबंध $4r = \sqrt{2}a$ है।
$FCC$ जालक में दो नाभिकों के बीच की न्यूनतम दूरी कोने पर स्थित परमाणु के केंद्र और फलक के केंद्र पर स्थित परमाणु के केंद्र के बीच की दूरी है,जो फलक विकर्ण की आधी होती है।
न्यूनतम दूरी $(d)$ = $\frac{\sqrt{2}a}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$.
दिया गया है $a = 0.574 \ nm$.
$d = \frac{0.574}{1.414} \ nm = 0.4059 \ nm$.

(A) $FCC$ इकाई सेल के लिए,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $(n)$ $= 4$ है।
घनत्व का सूत्र: $\rho = \frac{n \times M}{a^3 \times N_A}$
किनारे की लंबाई $(a)$ के लिए सूत्र:
$a^3 = \frac{n \times M}{\rho \times N_A} = \frac{4 \times 60 \ g \ mol^{-1}}{6.23 \ g \ cm^{-3} \times 6.02 \times 10^{23} \ mol^{-1}}$
$a^3 = \frac{240}{37.5046 \times 10^{23}} \ cm^3$
$a^3 \approx 6.4 \times 10^{-23} \ cm^3 = 64 \times 10^{-24} \ cm^3$
घनमूल लेने पर:
$a = \sqrt[3]{64 \times 10^{-24}} \ cm = 4.0 \times 10^{-8} \ cm$.

(B) रॉक सॉल्ट संरचना ($NaCl$ प्रकार) के लिए, किनारे की लंबाई $(a)$ और आयनिक त्रिज्याओं के बीच संबंध है: $a = 2(r_{A^+} + r_{B^-})$
दिया गया है: $a = 400 \, pm$ और $r_{A^+} = 75 \, pm$।
मान रखने पर: $400 = 2(75 + r_{B^-})$
$200 = 75 + r_{B^-}$
$r_{B^-} = 200 - 75 = 125 \, pm$।

(B) फलक केंद्रित घनीय $(fcc)$ एकक कोष्ठिका के लिए, कोर की लंबाई $(a)$ और परमाणु त्रिज्या $(r)$ के बीच संबंध इस प्रकार है:
$r = \frac{a}{2\sqrt{2}}$
यहाँ $a = 0.144 \ nm = 144 \ pm$ दिया गया है।
मान रखने पर:
$r = \frac{144 \ pm}{2 \times 1.414} = \frac{144}{2.828} \ pm \approx 50.92 \ pm$.
निकटतम पूर्णांक में, $r = 51 \ pm$ प्राप्त होता है।

(A) $FCC$ (फलक केंद्रित घनीय) इकाई कोशिका के लिए, किनारे की लंबाई $(a)$ और परमाणु त्रिज्या $(r)$ के बीच का संबंध $a = 2\sqrt{2}r$ है।
अतः, $r = \frac{a}{2\sqrt{2}}$.
यहाँ $a = 620 \, pm$ और $\sqrt{2} \approx 1.414$ दिया गया है।
$r = \frac{620}{2 \times 1.414} = \frac{620}{2.828} \approx 219.25 \, pm$.

(A) इकाई सेल का आयतन $(V) = 24 \times 10^{-24} \, cm^3$.
तत्व का घनत्व $(\rho) = 7.2 \, g \, cm^{-3}$.
तत्व का कुल द्रव्यमान $= 200 \, g$.
प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $(n) = (8 \text{ कोने} \times 1/8) + 2 \text{ विकर्ण परमाणु} = 1 + 2 = 3 \text{ परमाणु}$.
इकाई सेल की कुल संख्या $= \frac{\text{कुल द्रव्यमान}}{\text{इकाई सेल का द्रव्यमान}} = \frac{\text{कुल द्रव्यमान}}{\text{आयतन} \times \text{घनत्व}} = \frac{200}{24 \times 10^{-24} \times 7.2} = 1.1574 \times 10^{24} \text{ इकाई सेल}$.
परमाणुओं की कुल संख्या $= n \times \text{इकाई सेल की कुल संख्या} = 3 \times 1.1574 \times 10^{24} = 3.472 \times 10^{24} \text{ परमाणु}$.

(D) ब्रैग का समीकरण $2d \sin \theta = n\lambda$ है।
दिया गया है: विवर्तन की कोटि $n = 2$,तरंगदैर्ध्य $\lambda = 1 \ \mathring{A}$,और कोण $\theta = 60^\circ$ है।
समीकरण में मान रखने पर:
$2 \times d \times \sin \ 60^\circ = 2 \times 1 \ \mathring{A}$
चूंकि $\sin \ 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.8660$,इसलिए:
$2 \times d \times 0.8660 = 2$
$d = \frac{2}{2 \times 0.8660} = \frac{1}{0.8660} \approx 1.1547 \ \mathring{A}$।
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,$d = 1.15 \ \mathring{A}$।

(D) $bcc$ संरचना के लिए, प्रति एकक कोष्ठिका परमाणुओं की संख्या $z = 2$ है।
घनत्व $d = 530 \ kg \ m^{-3} = 0.530 \ g \ cm^{-3}$।
परमाणु द्रव्यमान $M = 6.94 \ g \ mol^{-1}$।
सूत्र $d = \frac{z M}{a^3 N_A}$ का उपयोग करने पर, $a^3 = \frac{z M}{d N_A}$।
$a^3 = \frac{2 \times 6.94 \ g \ mol^{-1}}{0.530 \ g \ cm^{-3} \times 6.02 \times 10^{23} \ mol^{-1}}$।
$a^3 = 4.352 \times 10^{-23} \ cm^3$।
$a = (43.52 \times 10^{-24})^{1/3} \ cm = 3.517 \times 10^{-8} \ cm$।
चूंकि $1 \ cm = 10^{10} \ pm$, इसलिए $a = 3.517 \times 10^{-8} \times 10^{10} \ pm = 351.7 \ pm \approx 352 \ pm$।

(D) दिया गया है कि प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या,$z = 4$,इसलिए क्रिस्टल संरचना फलक केंद्रित घनीय $(fcc)$ है।
$fcc$ इकाई सेल के लिए,कोर लंबाई $(a)$ और परमाणु त्रिज्या $(r)$ के बीच संबंध $a = 2\sqrt{2}r$ है।
अतः,$r = \frac{a}{2\sqrt{2}}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $r = \frac{361 \, pm}{2 \times 1.414} = \frac{361}{2.828} \approx 127.65 \, pm$.
निकटतम पूर्णांक में,त्रिज्या $127 \, pm$ है।

$(A)$ इकाई सेल के लिए घनत्व का सूत्र $d = \frac{z \times M}{a^3 \times N_A}$ है।
$fcc$ जालक के लिए,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $z = 4$ है।
कोर की लंबाई $a = 404 \, pm = 4.04 \times 10^{-8} \, cm$ है।
मोलर द्रव्यमान $M$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $M = \frac{d \times a^3 \times N_A}{z}$।
मान रखने पर: $M = \frac{2.72 \times (4.04 \times 10^{-8})^3 \times 6.02 \times 10^{23}}{4}$।
$M \approx 27 \, g \, mol^{-1}$।

(A) फलक-केंद्रित घनीय $(fcc)$ जालक के लिए, किनारे की लंबाई $(a)$ और परमाणु त्रिज्या $(r)$ के बीच का संबंध $4r = \sqrt{2}a$ है。
परमाणु का व्यास $(d)$ $2r$ होता है। इसलिए, $d = 2r = \frac{\sqrt{2}a}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$.
दी गई किनारे की लंबाई $a = 408 \, pm$ के लिए, हम व्यास की गणना इस प्रकार करते हैं:
$d = \frac{408 \, pm}{1.414} \approx 288.5 \, pm$.
चूंकि $288.5 \, pm$ सही गणना किया गया मान है, इसलिए विकल्प $A$ सबसे निकटतम उत्तर है।

(A) बॉडी-सेंटर्ड क्यूबिक $(bcc)$ जालक के लिए, दो विपरीत आवेशित आयनों के बीच की दूरी $(d)$ का सूत्र है:
$d = \frac{\sqrt{3}}{2} a$
दिया गया है $a = 387 \ pm$,
$d = \frac{1.732 \times 387}{2} \ pm$
$d = 0.866 \times 387 \ pm$
$d \approx 335.14 \ pm$
अतः, निकटतम मान $335 \ pm$ है।

(A) बॉडी-सेंटर्ड क्यूबिक $(bcc)$ क्रिस्टल के लिए, कोर की लंबाई $a$ और परमाणु त्रिज्या $r$ के बीच संबंध $a \sqrt{3} = 4r$ होता है।
दिया गया है, कोर की लंबाई $a = 351 \ pm$।
अतः, परमाणु त्रिज्या $r = \frac{a \sqrt{3}}{4}$।
मान रखने पर, $r = \frac{351 \times 1.732}{4} = 151.98 \ pm$।
निकटतम विकल्प के अनुसार, यह मान लगभग $151.8 \ pm$ है।

(C) सरल घनीय के लिए,त्रिज्या $r = \frac{a}{2}$ है।
अंतःकेंद्रित घनीय के लिए,त्रिज्या $r = \frac{a\sqrt{3}}{4}$ है।
फलक-केंद्रित घनीय के लिए,त्रिज्या $r = \frac{a}{2\sqrt{2}}$ है।
अतः,त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{a}{2} : \frac{a\sqrt{3}}{4} : \frac{a}{2\sqrt{2}}$ होगा।

(A) इकाई सेल के घनत्व का सूत्र: $\rho = \frac{Z \times M}{a^{3} \times N_{A}}$
$CsBr$ के लिए बॉडी-सेंटर्ड क्यूबिक (bcc) जालक में,प्रति इकाई सेल सूत्र इकाइयों की संख्या $Z = 1$ है।
मोलर द्रव्यमान $M = 133 + 80 = 213 \, g/mol$.
किनारे की लंबाई $a = 436.6 \, pm = 436.6 \times 10^{-10} \, cm$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\rho = \frac{1 \times 213}{(436.6 \times 10^{-10})^{3} \times 6.02 \times 10^{23}}$
$\rho = \frac{213}{83.25 \times 10^{-24} \times 6.02 \times 10^{23}}$
$\rho = \frac{213}{50.11} \approx 4.25 \, g/cm^{3}$.

(A) $fcc$ इकाई सेल के लिए, किनारे की लंबाई $a$ और त्रिज्या $r$ के बीच का संबंध $4r = \sqrt{2}a$ है।
दिया गया है $a = 361 \ pm$।
मान रखने पर: $r = \frac{\sqrt{2} \times 361}{4} = \frac{1.414 \times 361}{4} \approx 127.6 \ pm$।
निकटतम पूर्णांक में, त्रिज्या $127 \ pm$ है।

(D) फेस सेंटर्ड क्यूबिक $(Fcc)$ एकक कोष्ठिका के लिए,किनारे की लंबाई $(a)$ और आयनिक त्रिज्याओं $(r_{cation} + r_{anion})$ के बीच का संबंध इस प्रकार है:
$a = 2(r_{cation} + r_{anion})$
दिया गया है:
$a = 508 \, pm$
$r_{cation} = 110 \, pm$
मान रखने पर:
$508 = 2(110 + r_{anion})$
$254 = 110 + r_{anion}$
$r_{anion} = 254 - 110 = 144 \, pm$

(D) $BCC$ संरचना के लिए, किनारे की लंबाई $(a)$ और परमाणु त्रिज्या $(r)$ के बीच का संबंध: $\sqrt{3} a = 4r$ है।
दिए गए मानों को रखने पर: $r = \frac{\sqrt{3}}{4} \times a = \frac{1.732}{4} \times 351 \ pm$.
$r = 0.433 \times 351 \ pm = 152.013 \ pm$.
अतः, लिथियम की परमाणु त्रिज्या लगभग $152 \ pm$ है।

(A) फेस-सेंटर्ड क्यूबिक $(fcc)$ यूनिट सेल के लिए, कोर की लंबाई $(a)$ और परमाणु त्रिज्या $(r)$ के बीच का संबंध इस प्रकार है:
$a \sqrt{2} = 4r$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$r = \frac{a \sqrt{2}}{4} = \frac{361 \times 1.414}{4} \ pm$
$r = \frac{510.454}{4} \ pm \approx 127.6 \ pm$
अतः, परमाणु $A$ की त्रिज्या $127.6 \ pm$ है।

(B) घनत्व $\rho$ का सूत्र: $\rho = \frac{Z \times M}{a^3 \times N_A}$
$NaCl$ (fcc संरचना) के लिए,प्रति इकाई सेल सूत्र इकाइयों की संख्या $Z = 4$ है।
मोलर द्रव्यमान $M = 58.5 \ g/mol$.
कोर लंबाई $a = 0.564 \ nm = 5.64 \times 10^{-8} \ cm$.
एवोगैड्रो संख्या $N_A = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$.
मान रखने पर:
$\rho = \frac{4 \times 58.5}{(5.64 \times 10^{-8})^3 \times 6.022 \times 10^{23}}$
$\rho \approx 2.16 \ g/cm^3$.

(B) घनत्व का सूत्र $d = \frac{Z \times M}{a^3 \times N_A}$ है।
दिया गया है: $d = 6.25 \ g/cm^3$, $M = 120 \ g/mol$, $a = 400 \ pm = 4 \times 10^{-8} \ cm$, $N_A = 6 \times 10^{23} \ mol^{-1}$।
मान रखने पर: $6.25 = \frac{Z \times 120}{(4 \times 10^{-8})^3 \times 6 \times 10^{23}}$।
गणना करने पर $Z = 2$ प्राप्त होता है।
अतः, क्रिस्टल जालक $B.C.C$ है।

(C) $(i)$ $SC$ के लिए,बॉडी डायगोनल की लंबाई $\sqrt{3}a$ है। परमाणु किनारे पर एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं,इसलिए $2r = a$। परमाणुओं द्वारा घेरा गया बॉडी डायगोनल का अंश $\frac{2r}{\sqrt{3}a} = \frac{a}{\sqrt{3}a} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है। यह सही है।
$(ii)$ $bcc$ के लिए,बॉडी डायगोनल $\sqrt{3}a = 4r$ है,इसलिए $r = \frac{\sqrt{3}a}{4}$। किनारे की लंबाई $a$ है। घेरा गया किनारे का अंश $\frac{2r}{a} = \frac{2(\sqrt{3}a/4)}{a} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ है। यह सही है।
$(iii)$ $fcc$ के लिए,फेस डायगोनल $\sqrt{2}a = 4r$ है,इसलिए $r = \frac{\sqrt{2}a}{4}$। फेस डायगोनल की लंबाई $\sqrt{2}a$ है। घेरा गया फेस डायगोनल का अंश $\frac{4r}{\sqrt{2}a} = \frac{4(\sqrt{2}a/4)}{\sqrt{2}a} = 1$ है। दिया गया विकल्प $\frac{1}{\sqrt{2}}$ बताता है,जो गलत है।
$(iv)$ $3-D$ पैकिंग दक्षता का क्रम $fcc$ $(74\%)$ > $bcc$ $(68\%)$ > $pc$ $(52\%)$ है। यह सही है।

(D) त्रिज्या अनुपात $\frac{r^{+}}{r^{-}} = \frac{2.5}{2.6} \approx 0.96$ है।
चूँकि $0.732 \leq \frac{r^{+}}{r^{-}} < 1$,क्रिस्टल संरचना बॉडी-सेंटर्ड क्यूबिक $(BCC)$ प्रकार की है।
$BCC$ इकाई सेल के लिए,कोर लंबाई $a$ और आयनिक त्रिज्याओं के बीच संबंध $\frac{a \sqrt{3}}{2} = (r^{+} + r^{-})$ है।
मान रखने पर: $\frac{a \times 1.7}{2} = (2.5 + 2.6) = 5.1$.
$a$ के लिए हल करने पर: $a = \frac{5.1 \times 2}{1.7} = 6 \ \mathring{A}$.

(D) $fcc$ जालक के लिए: समन्वय संख्या $12$ है,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $(Z)$ $4$ है,और किनारे की लंबाई $a_1 = \frac{4r}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}r$ है।
घनत्व $d_1 = \frac{Z_1 \cdot M}{N_A \cdot a_1^3} = \frac{4 \cdot M}{N_A \cdot (2\sqrt{2}r)^3}$.
$bcc$ जालक के लिए: समन्वय संख्या $8$ है,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $(Z)$ $2$ है,और किनारे की लंबाई $a_2 = \frac{4r}{\sqrt{3}}$ है।
घनत्व $d_2 = \frac{Z_2 \cdot M}{N_A \cdot a_2^3} = \frac{2 \cdot M}{N_A \cdot (\frac{4r}{\sqrt{3}})^3}$.
अनुपात $\frac{d_1}{d_2} = \frac{4}{ (2\sqrt{2}r)^3} \cdot \frac{(\frac{4r}{\sqrt{3}})^3}{2} = \frac{2(\sqrt{2})^3}{(\sqrt{3})^3}$.

(D) $CsCl$ संरचना में, धनायन काय-केंद्र (body center) पर होता है और ऋणायन घन के कोनों पर होते हैं। काय-विकर्ण (body diagonal) की लंबाई $a \sqrt{3}$ होती है, जहाँ $a$ इकाई सेल की कोर की लंबाई है।
त्रिज्याओं और कोर की लंबाई के बीच का संबंध है: $r_{c}^{+} + r_{a}^{-} = \frac{a \sqrt{3}}{2}$.
दिया गया है $r_{c}^{+} = 80 \ pm$ और $r_{a}^{-} = 100 \ pm$, इसलिए $80 + 100 = \frac{a \sqrt{3}}{2} \Rightarrow 180 = \frac{a \sqrt{3}}{2}$.
$a$ के लिए हल करने पर: $a = \frac{360}{\sqrt{3}} = 120 \sqrt{3} \ pm$.
$CsCl$ संरचना में, दो धनायनों के बीच की निकटतम दूरी घन की कोर की लंबाई $a$ के बराबर होती है।
अतः, दो धनायनों के बीच की निकटतम दूरी $120 \sqrt{3} \ pm$ है।

(B) $ccp$ (या $fcc$) जालक के लिए, किनारे की लंबाई $(a)$ और परमाणु त्रिज्या $(r)$ के बीच का संबंध $a = 2\sqrt{2}r$ है।
दिया गया है $r = 215 \, pm$।
मान रखने पर: $a = 2 \times 1.414 \times 215 = 608.22 \, pm$।
अतः, किनारे की लंबाई लगभग $608.2 \, pm$ है।

(B) सोना फेस-सेंटर्ड क्यूबिक $(fcc)$ जालक में क्रिस्टलीकृत होता है,जो क्यूबिक क्लोज-पैक्ड संरचना का एक प्रकार है।
$fcc$ इकाई सेल के लिए,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या,$Z = 4$ है।
घनत्व का सूत्र $\rho = \frac{Z \times M}{a^3 \times N_A}$ है।
यहाँ,$\rho = 19.3 \ g/cm^3$,$M = 197 \ g/mol$,और $N_A = 6.023 \times 10^{23} \ mol^{-1}$ है।
मान रखने पर: $19.3 = \frac{4 \times 197}{a^3 \times 6.023 \times 10^{23}}$.
$a^3 = \frac{788}{19.3 \times 6.023 \times 10^{23}} \approx 6.78 \times 10^{-23} \ cm^3$.
घनमूल लेने पर,$a \approx 4.07 \times 10^{-8} \ cm$ प्राप्त होता है।

(D) $CsCl$ जैसी $bcc$ क्रिस्टल संरचना में, आयन काय विकर्ण (body diagonal) पर एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं।
काय विकर्ण की लंबाई $a \sqrt{3}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $a$ कोर की लंबाई है।
काय विकर्ण $2(r_{+} + r_{-})$ के बराबर भी होता है, जहाँ $(r_{+} + r_{-})$ अंतर-आयनिक दूरी है।
इसलिए, $2(r_{+} + r_{-}) = a \sqrt{3}$।
$(r_{+} + r_{-}) = \frac{a \sqrt{3}}{2}$।
यहाँ $a = 400 \, pm$ दिया गया है, इसलिए अंतर-आयनिक दूरी $\frac{400 \sqrt{3}}{2} \, pm$ होगी।

(B) घनत्व का सूत्र $d = \frac{Z \times M_W}{N_A \times a^3}$ है।
दिया गया है: $d = 1.74 \, g \, cm^{-3}$,$M_W = 24 \, g \, mol^{-1}$,$a = 4.53 \times 10^{-8} \, cm$,और $N_A = 6 \times 10^{23} \, mol^{-1}$.
$Z$ के लिए सूत्र: $Z = \frac{d \times N_A \times a^3}{M_W}$.
गणना करने पर $Z \approx 4$ प्राप्त होता है।

(D) $fcc$ जालक में,$4$ परमाणु $1$ इकाई कोष्ठिका बनाते हैं। अतः,$4 \ mol$ परमाणु $= 1 \ mol$ इकाई कोष्ठिका।
तत्व $X$ के मोल $= \frac{8 \ g}{80 \ g/mol} = 0.1 \ mol$ परमाणु।
इकाई कोष्ठिकाओं की संख्या $= \frac{0.1 \ mol}{4} = 0.025 \ mol$ इकाई कोष्ठिका।
इकाई कोष्ठिकाओं की संख्या $= 0.025 \times N_A$.

(A) $bcc$ संरचना में,परमाणु काय विकर्ण (body diagonal) पर एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं।
काय विकर्ण की लंबाई $\sqrt{3}a$ होती है,जहाँ $a$ कोर की लंबाई है।
काय विकर्ण में धनायन की दो त्रिज्याएँ $(r^+)$ और ऋणायन की दो त्रिज्याएँ $(r^-)$ होती हैं,अर्थात $2r^+ + 2r^- = \sqrt{3}a$।
धनायन और ऋणायन के बीच की न्यूनतम अंतर-आयनिक दूरी उनकी त्रिज्याओं का योग है,$d = r^+ + r^-$।
अतः,$d = \frac{\sqrt{3}a}{2}$।
दिया गया है $a = 4.3 \ \mathring{A}$,इसलिए दूरी $d = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 4.3 \ \mathring{A}$ होगी।

(A) इकाई सेल के लिए घनत्व का सूत्र $d = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$ है।
यहाँ,$d = 4.0 \, g \, cm^{-3}$,$M = 72 \, g \, mol^{-1}$,$a = 5.0 \times 10^{-8} \, cm$,और $N_A = 6.022 \times 10^{23} \, mol^{-1}$ है।
$Z$ के लिए गणना करने पर:
$Z = \frac{4.0 \times (5.0 \times 10^{-8})^3 \times 6.022 \times 10^{23}}{72} \approx 4$.
$FeO$ के सूत्र के अनुसार,$Fe^{2+}$ और $O^{2-}$ का अनुपात $1:1$ है। अतः,प्रत्येक इकाई सेल में $4$ $Fe^{2+}$ और $4$ $O^{2-}$ आयन होंगे।

(A) इकाई सेल के लिए घनत्व का सूत्र $d = \frac{Z \times M_w}{N_A \times a^3}$ है।
दिया गया है: $d = 4.0 \ g \ cm^{-3}$,$a = 5.0 \ \mathring{A} = 5.0 \times 10^{-8} \ cm$,$M_w = 72 \ g/mol$,और $N_A \approx 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$.
मान रखने पर: $4.0 = \frac{Z \times 72}{(6.022 \times 10^{23}) \times (5.0 \times 10^{-8})^3}$.
गणना करने पर $Z \approx 4$ प्राप्त होता है।
$FeO$ में $1:1$ अनुपात होने के कारण,प्रत्येक इकाई सेल में $4$ $Fe^{2+}$ और $4$ $O^{2-}$ आयन उपस्थित होंगे।

(A) दिया गया है:
घनत्व $(\rho)$ = $0.539 \ g/cm^3$
कोर की लंबाई $(a)$ = $3.5 \ \mathring{A} = 3.5 \times 10^{-8} \ cm$
परमाणु द्रव्यमान $(M_A)$ = $6.94 \ g/mol$
एवोगैड्रो स्थिरांक $(N_A)$ = $6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$
इकाई सेल के घनत्व का सूत्र:
$\rho = \frac{Z \times M_A}{N_A \times a^3}$
$Z$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$Z = \frac{\rho \times N_A \times a^3}{M_A}$
$Z = \frac{0.539 \times 6.022 \times 10^{23} \times (3.5 \times 10^{-8})^3}{6.94}$
$Z = \frac{0.539 \times 6.022 \times 10^{23} \times 42.875 \times 10^{-24}}{6.94}$
$Z = \frac{139.22}{6.94} \approx 2$
अतः,एक इकाई सेल में $2$ लिथियम परमाणु उपस्थित हैं।

(C) $fcc$ इकाई सेल के लिए, किनारे की लंबाई $a$ और परमाणु त्रिज्या $r$ के बीच का संबंध $a = 2\sqrt{2}r$ है。
दिया गया है $a = 361 \ pm$.
$r = \frac{a}{2\sqrt{2}} = \frac{361}{2 \times 1.414} = \frac{361}{2.828} \approx 127.65 \ pm$.
निकटतम पूर्णांक में, त्रिज्या $127 \ pm$ है。

(B) $fcc$ जालक के लिए, किनारे की लंबाई $(a)$ और परमाणु त्रिज्या $(r)$ के बीच का संबंध $4r = a \sqrt{2}$ है。
चूंकि व्यास $(d)$ $2r$ के बराबर है, हम $2d = a \sqrt{2}$ लिख सकते हैं, जो $d = \frac{a \sqrt{2}}{2}$ के रूप में सरल हो जाता है。
दिए गए $a = 407 \, pm$ के लिए, हम $d = \frac{407 \times 1.414}{2} \approx 287.8 \, pm$ की गणना करते हैं।

(B) जिंक ब्लेंड संरचना में,धनायन चतुष्फलकीय रिक्ति में स्थित होता है और ऋणायन $fcc$ जालक बनाता है।
चतुष्फलकीय रिक्ति के लिए,कोर लंबाई $a$ और आयनिक त्रिज्याओं $r_+$ तथा $r_-$ के बीच संबंध है:
$\frac{\sqrt{3}}{4} a = r_+ + r_-$
दिया गया है $r_+ = 0.7 \ \mathring{A}$ और $r_- = 1.8 \ \mathring{A}$।
मान रखने पर:
$\frac{\sqrt{3}}{4} a = 0.7 + 1.8 = 2.5 \ \mathring{A}$
$a = \frac{2.5 \times 4}{\sqrt{3}}$
$a = \frac{10}{1.732} \approx 5.77 \ \mathring{A}$.

(D) $fcc$ इकाई सेल के लिए,किनारे की लंबाई $a$ और परमाणु त्रिज्या $r$ के बीच का संबंध इस प्रकार है:
$r = \frac{\sqrt{2}a}{4}$
$a$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$a = \frac{4r}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \times r$
दिया गया है $r = 0.14 \ nm$:
$a = 2 \times 1.414 \times 0.14 \ nm$
$a = 2.828 \times 0.14 \ nm$
$a \approx 0.3959 \ nm$
निकटतम मान तक पूर्णांकित करने पर,$a \approx 0.4 \ nm$ प्राप्त होता है।

(B) $fcc$ (फेस-सेंटर्ड क्यूबिक) इकाई सेल के लिए, कोर लंबाई $a$ और परमाणु त्रिज्या $r$ के बीच संबंध इस प्रकार है:
$r = \frac{\sqrt{2} a}{4} = \frac{a}{2\sqrt{2}}$
दी गई कोर लंबाई $a = 361 \ pm$:
$r = \frac{361}{2 \times 1.414}$
$r = \frac{361}{2.828}$
$r \approx 127.65 \ pm$
निकटतम पूर्णांक में, $r = 128 \ pm$ प्राप्त होता है।

(C) $bcc$ संरचना के लिए, निकटतम दूरी $(d)$ और कोर की लंबाई $(a)$ के बीच का संबंध: $d = \frac{\sqrt{3}a}{2}$ है。
दिया गया है $d = 1.73 \, \mathring{A}$ और $\sqrt{3} \approx 1.732$.
मान रखने पर: $1.73 = \frac{1.732 \times a}{2}$.
$a = \frac{1.73 \times 2}{1.732} \approx 2 \, \mathring{A}$.
चूंकि $1 \, \mathring{A} = 100 \, pm$, इसलिए कोर की लंबाई $a = 200 \, pm$ है।

(B) $bcc$ संरचना के लिए,अंतर-आयनिक दूरी $r^+ + r^- = \frac{\sqrt{3}}{2}a$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $a$ इकाई सेल की किनारे की लंबाई है।
दिया गया है:
$a = 390 \ pm$
$r_{Cl^-} = 180 \ pm$
मान रखने पर:
$r_{NH_4^+} + 180 \ pm = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 390 \ pm$
$r_{NH_4^+} + 180 \ pm = 0.866 \times 390 \ pm$
$r_{NH_4^+} + 180 \ pm = 337.74 \ pm \approx 338 \ pm$
$r_{NH_4^+} = 338 \ pm - 180 \ pm = 158 \ pm$.

(D) एकक कोष्ठिका का घनत्व $(d)$ ज्ञात करने का सूत्र: $d = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$
$FCC$ एकक कोष्ठिका के लिए,प्रति एकक कोष्ठिका परमाणुओं की संख्या $(Z) = 4$.
$Cu$ का परमाणु द्रव्यमान $(M) = 63.55\, g\, mol^{-1}$.
एवोगाद्रो संख्या $(N_A) = 6.023 \times 10^{23}\, mol^{-1}$.
कोर की लंबाई $(a) = x\, \mathring{A} = x \times 10^{-8}\, cm$.
मानों को सूत्र में रखने पर:
$d = \frac{4 \times 63.55}{(6.023 \times 10^{23}) \times (x \times 10^{-8})^3}$
$d = \frac{254.2}{6.023 \times 10^{23} \times x^3 \times 10^{-24}}$
$d = \frac{254.2}{0.6023 \times x^3} \approx \frac{422}{x^3}\, g\, cm^{-3}$

(C) घनत्व का सूत्र $d = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$ है।
दिया गया है: $d = 9 \times 10^3 \ kg \ m^{-3}$,$Z = 4$ ($\text{FCC}$ के लिए),$N_A = 6 \times 10^{23} \ mol^{-1}$,और $a = 200 \sqrt{2} \ pm = 200 \sqrt{2} \times 10^{-12} \ m$.
मान रखने पर:
$9 \times 10^3 = \frac{4 \times M}{6 \times 10^{23} \times (200 \sqrt{2} \times 10^{-12})^3}$.
$a^3 = (200 \sqrt{2} \times 10^{-12})^3 = (2 \sqrt{2} \times 10^{-10})^3 = 16 \sqrt{2} \times 10^{-30} \ m^3$.
$M = \frac{9 \times 10^3 \times 6 \times 10^{23} \times 16 \sqrt{2} \times 10^{-30}}{4} \approx 0.0305 \ kg \ mol^{-1}$.

(A) फेस-सेंटर्ड क्यूबिक $(FCC)$ इकाई सेल के लिए,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $(z)$ $4$ है।
परमाणु द्रव्यमान $(M)$ $60 \, g/mol$ है।
कोर की लंबाई $(a)$ $4 \times 10^{-8} \, cm$ है।
एवोगैड्रो संख्या $(N_A)$ $6 \times 10^{23} \, mol^{-1}$ है।
घनत्व $(d)$ का सूत्र $d = \frac{z \times M}{a^3 \times N_A}$ है।
मान रखने पर: $d = \frac{4 \times 60}{(4 \times 10^{-8})^3 \times (6 \times 10^{23})}$.
$d = \frac{240}{64 \times 10^{-24} \times 6 \times 10^{23}} = \frac{240}{38.4} = 6.25 \, g/cm^3$.

(B) बॉडी-सेंटर्ड क्यूबिक $(BCC)$ संरचना के लिए, कोर की लंबाई $(a)$ और धनायन $(r^+)$ तथा ऋणायन $(r^-)$ की त्रिज्या के बीच का संबंध इस प्रकार है:
$r^+ + r^- = \frac{\sqrt{3}}{2} a$
दिया गया है:
$a = 390 \ pm$
$r^+ = 150 \ pm$
मान रखने पर:
$150 + r^- = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 390$
$150 + r^- = 0.866 \times 390$
$150 + r^- = 337.74$
$r^- = 337.74 - 150 = 187.74 \ pm$
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर, ऋणायन की त्रिज्या $187.7 \ pm$ है।

(B) घनत्व का सूत्र: $\rho = \frac{z \times M}{N_A \times a^3}$.
दिया गया है: $\rho = 1.74 \ g \ cm^{-3}$, $M = 24 \ g \ mol^{-1}$, $a = 4.53 \ \mathring{A} = 4.53 \times 10^{-8} \ cm$, $N_A = 6 \times 10^{23} \ mol^{-1}$.
मान रखने पर: $1.74 = \frac{z \times 24}{6 \times 10^{23} \times (4.53 \times 10^{-8})^3}$.
$z$ के लिए हल करने पर: $z \approx 4$.
चूंकि $z = 4$, संरचना फलक केंद्रित घनीय $(FCC)$ है。
$FCC$ के लिए, त्रिज्या $(r)$ और कोर लंबाई $(a)$ के बीच संबंध: $r = \frac{a}{2\sqrt{2}}$.
$r = \frac{4.53 \ \mathring{A}}{2 \times 1.414} \approx 1.60 \ \mathring{A}$.
$pm$ में परिवर्तन: $1.60 \ \mathring{A} = 160 \ pm$.
अतः, सही विकल्प $B$ है.

(A) $CsCl$ क्रिस्टल संरचना में,$Cs^{+}$ आयन बॉडी सेंटर पर और $Cl^{-}$ आयन घन के कोनों पर स्थित होते हैं।
इस बॉडी-सेंटर्ड क्यूबिक व्यवस्था के लिए,बॉडी डायगोनल $\sqrt{3} \ a = 2(r_{Cs^{+}} + r_{Cl^{-}})$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\sqrt{3} \ a = 2(1.69 \ \mathring{A} + 1.81 \ \mathring{A})$.
$\sqrt{3} \ a = 2(3.50 \ \mathring{A}) = 7.00 \ \mathring{A}$.
$a = \frac{7.00}{1.732} \ \mathring{A} \approx 4.04 \ \mathring{A}$.

(B) क्रिस्टल के घनत्व का सूत्र है: $\rho = \frac{n \times M}{N_A \times a^3} \, g \, cm^{-3}$।
$bcc$ संरचना के लिए,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $n = 2$ है।
दिया गया है: परमाणु द्रव्यमान $M = 100 \, g \, mol^{-1}$,कोर की लंबाई $a = 400 \, pm = 400 \times 10^{-10} \, cm$,और आवोगाद्रो संख्या $N_A = 6.022 \times 10^{23} \, mol^{-1}$।
मान रखने पर:
$\rho = \frac{2 \times 100}{6.022 \times 10^{23} \times (400 \times 10^{-10})^3} \, g \, cm^{-3}$
$\rho = \frac{200}{6.022 \times 10^{23} \times 64 \times 10^{-24}} \, g \, cm^{-3}$
$\rho = \frac{200}{38.54} \approx 5.19 \, g \, cm^{-3}$।