Perfectly Inelastic Collision Questions in Hindi

(D) चरण $1$: टक्कर के दौरान रैखिक संवेग संरक्षण का नियम लागू करें।
माना गोली का द्रव्यमान $m_1 = 10 \text{ g} = 0.01 \text{ kg}$ और ब्लॉक का द्रव्यमान $m_2 = 10 \text{ g} = 0.01 \text{ kg}$ है।
गोली का प्रारंभिक वेग $u_1 = 1 \text{ m/s}$ और ब्लॉक का प्रारंभिक वेग $u_2 = 0 \text{ m/s}$ है।
टक्कर के तुरंत बाद निकाय (गोली + ब्लॉक) का उभयनिष्ठ वेग $v$ है।
$m_1 u_1 + m_2 u_2 = (m_1 + m_2) v$
$0.01 \times 1 + 0.01 \times 0 = (0.01 + 0.01) v$
$0.01 = 0.02 v$
$v = 0.5 \text{ m/s}$.
चरण $2$: ऊँचाई $h$ ज्ञात करने के लिए यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण का नियम लागू करें।
संयुक्त निकाय की गतिज ऊर्जा अधिकतम ऊँचाई $h$ पर स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
$\frac{1}{2} (m_1 + m_2) v^2 = (m_1 + m_2) g h$
$h = \frac{v^2}{2g}$
$h = \frac{(0.5)^2}{2 \times 10} = \frac{0.25}{20} = 0.0125 \text{ m}$.
चरण $3$: ऊँचाई को सेंटीमीटर में बदलें।
$h = 0.0125 \text{ m} = 0.0125 \times 100 \text{ cm} = 1.25 \text{ cm}$.

(D) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,गोली का प्रारंभिक संवेग निकाय (थैला + गोली) के अंतिम संवेग के बराबर होता है।
प्रारंभिक संवेग $P_i = mv$.
अंतिम संवेग $P_f = (M + m)V$,जहाँ $V$ उभयनिष्ठ वेग है।
$mv = (M + m)V \implies V = \frac{mv}{M + m}$.
टक्कर के बाद निकाय की गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}(M + m)V^2$ द्वारा दी जाती है।
$V$ का मान रखने पर:
$K = \frac{1}{2}(M + m) \left( \frac{mv}{M + m} \right)^2$.
$K = \frac{1}{2}(M + m) \frac{m^2v^2}{(M + m)^2}$.
$K = \frac{m^2v^2}{2(M + m)}$.

(B) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,टक्कर से पहले का कुल संवेग टक्कर के बाद के कुल संवेग के बराबर होना चाहिए।
मान लीजिए कि संयुक्त द्रव्यमान का अंतिम वेग $\vec{v}'$ है।
$m$ द्रव्यमान का प्रारंभिक संवेग $\vec{p}_1 = m v \hat{i}$ है।
$3m$ द्रव्यमान का प्रारंभिक संवेग $\vec{p}_2 = (3m)(2v) \hat{j} = 6mv \hat{j}$ है।
कुल प्रारंभिक संवेग $\vec{p}_{initial} = m v \hat{i} + 6mv \hat{j}$ है।
टक्कर के बाद कुल द्रव्यमान $M = m + 3m = 4m$ है।
अंतिम संवेग $\vec{p}_{final} = (4m) \vec{v}'$ है।
दोनों को बराबर करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$4m \vec{v}' = m v \hat{i} + 6mv \hat{j}$
$\vec{v}' = \frac{mv \hat{i} + 6mv \hat{j}}{4m}$
$\vec{v}' = \frac{1}{4}v \hat{i} + \frac{6}{4}v \hat{j} = \frac{1}{4}v \hat{i} + \frac{3}{2}v \hat{j}$.

(C) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,टक्कर से पहले का कुल संवेग टक्कर के बाद के कुल संवेग के बराबर होता है।
निकाय का प्रारंभिक संवेग = $m_1 \times 40 + m_2 \times 0 = 40m_1$ है।
निकाय का अंतिम संवेग = $(m_1 + m_2) \times 30 = 30m_1 + 30m_2$ है।
प्रारंभिक और अंतिम संवेग को बराबर करने पर:
$40m_1 = 30m_1 + 30m_2$
$40m_1 - 30m_1 = 30m_2$
$10m_1 = 30m_2$
$\frac{m_1}{m_2} = \frac{30}{10} = 3$ है।
अतः,उनके द्रव्यमानों का अनुपात $3$ है।

(D) गोली की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2}mv^2$ है।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर के बाद,गोली रेत की थैली में धंस जाती है और निकाय एक सामान्य वेग $V$ के साथ गति करता है।
रैखिक संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार:
$mv + M(0) = (m + M)V$
$V = \frac{mv}{m + M}$
निकाय की अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = \frac{1}{2}(m + M)V^2$ है।
$V$ का मान रखने पर:
$K_f = \frac{1}{2}(m + M) \left( \frac{mv}{m + M} \right)^2 = \frac{1}{2} \frac{m^2v^2}{m + M}$.
गतिज ऊर्जा में हानि $\Delta K = K_i - K_f$ है।
$\Delta K = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2} \frac{m^2v^2}{m + M}$
$\Delta K = \frac{1}{2}mv^2 \left( 1 - \frac{m}{m + M} \right)$
$\Delta K = \frac{1}{2}mv^2 \left( \frac{m + M - m}{m + M} \right)$
$\Delta K = \frac{1}{2}mv^2 \left( \frac{M}{m + M} \right)$.

(B) माना $2m$ द्रव्यमान वाले कण का प्रारंभिक वेग $u$ है। $m$ द्रव्यमान वाला कण विराम अवस्था में है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार, संयुक्त द्रव्यमान $(2m + m = 3m)$ का अंतिम वेग $v$ होगा:
$(2m)u + (m)(0) = (3m)v$
$v = \frac{2mu}{3m} = \frac{2u}{3}$
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2}(2m)u^2 = mu^2$ है।
अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = \frac{1}{2}(3m)v^2 = \frac{1}{2}(3m)\left(\frac{2u}{3}\right)^2 = \frac{3m}{2} \cdot \frac{4u^2}{9} = \frac{2}{3}mu^2$ है।
गतिज ऊर्जा में हुई हानि $\Delta K = K_i - K_f = mu^2 - \frac{2}{3}mu^2 = \frac{1}{3}mu^2$ है।
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा का नष्ट हुआ भाग $\frac{\Delta K}{K_i} = \frac{\frac{1}{3}mu^2}{mu^2} = \frac{1}{3}$ है।

(D) दिया गया है: $m_1 = 0.50 \ kg$,$u_1 = 2.00 \ m/s$,$m_2 = 1.00 \ kg$,$u_2 = 0 \ m/s$.
चूंकि टक्कर के बाद पिंड एक साथ चलते हैं,इसलिए यह एक पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर है।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में ऊर्जा हानि का सूत्र है:
$\Delta K = \frac{m_1 m_2}{2(m_1 + m_2)} (u_1 - u_2)^2$
मान रखने पर:
$\Delta K = \frac{0.50 \times 1.00}{2(0.50 + 1.00)} (2.00 - 0)^2$
$\Delta K = \frac{0.50}{2(1.50)} (4)$
$\Delta K = \frac{0.50}{3.00} \times 4 = \frac{2}{3} \approx 0.67 \ J$.

(B) $x$-दिशा में निकाय का प्रारंभिक संवेग: $p_x = m(2v) = 2mv$.
$y$-दिशा में निकाय का प्रारंभिक संवेग: $p_y = (2m)v = 2mv$.
कुल प्रारंभिक गतिज ऊर्जा: $K_i = \frac{1}{2}m(2v)^2 + \frac{1}{2}(2m)v^2 = 2mv^2 + mv^2 = 3mv^2$.
चूंकि टक्कर पूर्णतः अप्रत्यास्थ है,कण आपस में जुड़ जाते हैं। मान लीजिए अंतिम वेग $V_f$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम से: $p_f = \sqrt{p_x^2 + p_y^2} = \sqrt{(2mv)^2 + (2mv)^2} = 2\sqrt{2}mv$.
साथ ही,$p_f = (m + 2m)V_f = 3mV_f$.
दोनों की तुलना करने पर: $3mV_f = 2\sqrt{2}mv \Rightarrow V_f = \frac{2\sqrt{2}}{3}v$.
अंतिम गतिज ऊर्जा: $K_f = \frac{1}{2}(3m)V_f^2 = \frac{3m}{2} \left( \frac{8v^2}{9} \right) = \frac{4}{3}mv^2$.
ऊर्जा में हानि: $\Delta K = K_i - K_f = 3mv^2 - \frac{4}{3}mv^2 = \frac{5}{3}mv^2$.
प्रतिशत हानि: $\frac{\Delta K}{K_i} \times 100 = \frac{(5/3)mv^2}{3mv^2} \times 100 = \frac{5}{9} \times 100 \approx 55.55\% \approx 56\%$.

(A) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,निकाय का प्रारंभिक संवेग अंतिम संवेग के बराबर होता है।
$mv + M(0) = (M + m)V_{\text{common}}$
$\therefore V_{\text{common}} = \frac{mv}{M + m}$
अब,संयुक्त निकाय की अंतिम गतिज ऊर्जा $(KE_{\text{final}})$ इस प्रकार है:
$KE_{\text{final}} = \frac{1}{2}(M + m)V_{\text{common}}^2$
$V_{\text{common}}$ का मान रखने पर:
$KE_{\text{final}} = \frac{1}{2}(M + m) \left( \frac{mv}{M + m} \right)^2$
$KE_{\text{final}} = \frac{1}{2}(M + m) \frac{m^2v^2}{(M + m)^2}$
$KE_{\text{final}} = \frac{1}{2}mv^2 \times \left( \frac{m}{M + m} \right)$

(A) चरण $1$: टक्कर के दौरान रैखिक संवेग संरक्षण का सिद्धांत लागू करें।
चूंकि गोली ब्लॉक में धँस जाती है,इसलिए यह टक्कर पूर्णतः अप्रत्यास्थ है।
माना टक्कर के ठीक बाद संयुक्त निकाय $(M+m)$ का वेग $V'$ है।
$m V_0 = (M + m) V'$
$V' = \frac{m V_0}{M + m}$
चरण $2$: टक्कर के बाद निकाय के लिए ऊर्जा संरक्षण का नियम लागू करें।
निकाय की गतिज ऊर्जा अधिकतम संपीड़न $X_{\max}$ पर स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
$\frac{1}{2} (M + m) (V')^2 = \frac{1}{2} k X_{\max}^2$
$(M + m) \left( \frac{m V_0}{M + m} \right)^2 = k X_{\max}^2$
$\frac{m^2 V_0^2}{M + m} = k X_{\max}^2$
$X_{\max}^2 = \frac{m^2 V_0^2}{(M + m)k}$
$X_{\max} = \sqrt{\frac{m^2 V_0^2}{(M + m)k}} = \left( \frac{m^2 V_0^2}{(M + m)k} \right)^{1/2}$

(C) पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर के लिए,प्रत्यावस्थान गुणांक $e = 0$ होता है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए:
$M\mu_1 + M\mu_2 = (M + M)V$
$M(\mu_1 + \mu_2) = 2MV$
$V = \frac{\mu_1 + \mu_2}{2}$
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $(K_i)$:
$K_i = \frac{1}{2}M\mu_1^2 + \frac{1}{2}M\mu_2^2 = \frac{M}{2}(\mu_1^2 + \mu_2^2)$
अंतिम गतिज ऊर्जा $(K_f)$:
$K_f = \frac{1}{2}(2M)V^2 = M \left( \frac{\mu_1 + \mu_2}{2} \right)^2 = \frac{M}{4}(\mu_1^2 + \mu_2^2 + 2\mu_1\mu_2)$
ऊर्जा में हानि $(\Delta K = K_i - K_f)$:
$\Delta K = \frac{M}{2}(\mu_1^2 + \mu_2^2) - \frac{M}{4}(\mu_1^2 + \mu_2^2 + 2\mu_1\mu_2)$
$\Delta K = \frac{M}{4} [2\mu_1^2 + 2\mu_2^2 - \mu_1^2 - \mu_2^2 - 2\mu_1\mu_2]$
$\Delta K = \frac{M}{4}(\mu_1^2 + \mu_2^2 - 2\mu_1\mu_2)$
$\Delta K = \frac{M}{4}(\mu_1 - \mu_2)^2$

(A) माना प्रत्येक कण का द्रव्यमान $M$ है और उनकी चाल $v$ है। टक्कर के बाद,वे $2M$ द्रव्यमान का एक एकल कण $C$ बनाते हैं जो $v'$ वेग से $X$-अक्ष के साथ $\theta$ कोण पर गति करता है।
$X$ और $Y$ अक्षों के अनुदिश रैखिक संवेग संरक्षण का नियम लागू करने पर:
$X$-अक्ष के अनुदिश:
$P_{ix} = P_{fx}$
$Mv \cos(60^{\circ}) - Mv \cos(45^{\circ}) = (2M)v' \cos \theta$
$v(\frac{1}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}}) = 2v' \cos \theta \quad ... (i)$
$Y$-अक्ष के अनुदिश:
$P_{iy} = P_{fy}$
$Mv \sin(60^{\circ}) + Mv \sin(45^{\circ}) = (2M)v' \sin \theta$
$v(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}}) = 2v' \sin \theta \quad ... (ii)$
समीकरण $(ii)$ को समीकरण $(i)$ से विभाजित करने पर:
$\tan \theta = \frac{v(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}})}{v(\frac{1}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}})} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}}$

(D) $1$. प्लेटफॉर्म से टकराने से ठीक पहले $1\,kg$ के पिंड का वेग: $v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 10 \times 100} = \sqrt{2000} = 20\sqrt{5}\,m/s.$
$2$. पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर के दौरान रेखीय संवेग संरक्षण $(COLM)$ के नियम का उपयोग करते हुए: $m_1 v = (m_1 + m_2) v',$
जहाँ $v'$ टक्कर के तुरंत बाद संयुक्त द्रव्यमान $(1+3 = 4\,kg)$ का वेग है।
$1 \times 20\sqrt{5} = 4 \times v' \implies v' = 5\sqrt{5}\,m/s.$
$3$. टक्कर के बिंदु से अधिकतम संपीड़न $x$ तक निकाय के लिए यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए:
संयुक्त द्रव्यमान की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा और गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन में परिवर्तित हो जाती है।
स्प्रिंग की साम्यावस्था को संदर्भ स्तर मानते हुए। प्लेटफॉर्म पहले से ही $x_0 = \frac{m_2 g}{k} = \frac{3 \times 10}{1.25 \times 10^6} = 2.4 \times 10^{-5}\,m$ संकुचित है,जिसे नगण्य माना जा सकता है।
ऊर्जा संरक्षण लागू करने पर: $\frac{1}{2} M (v')^2 + M g x = \frac{1}{2} k x^2,$
जहाँ $M = 4\,kg.$
$\frac{1}{2} \times 4 \times (5\sqrt{5})^2 + 4 \times 10 \times x = \frac{1}{2} \times 1.25 \times 10^6 \times x^2.$
$2 \times 125 + 40x = 6.25 \times 10^5 x^2.$
$6.25 \times 10^5 x^2 - 40x - 250 = 0.$
चूँकि $x$ बहुत छोटा है,$40x$ को $250$ और $6.25 \times 10^5 x^2$ की तुलना में नगण्य माना जा सकता है।
$6.25 \times 10^5 x^2 \approx 250 \implies x^2 \approx \frac{250}{6.25 \times 10^5} = 40 \times 10^{-5} = 4 \times 10^{-4}.$
$x = 0.02\,m = 2\,cm.$

(C) प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2 = \frac{1}{2} (40)(4)^2 + \frac{1}{2} (60)(2)^2 = 320 + 120 = 440\,J$.
संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,$m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2) V_c$.
$40(4) + 60(2) = (40 + 60) V_c \implies 160 + 120 = 100 V_c \implies 280 = 100 V_c \implies V_c = 2.8\,m/s$.
अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) V_c^2 = \frac{1}{2} (100) (2.8)^2 = 50 \times 7.84 = 392\,J$.
गतिज ऊर्जा में हानि $\Delta K = K_i - K_f = 440 - 392 = 48\,J$.
वैकल्पिक रूप से,पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर के लिए: $(\Delta K)_{\text{loss}} = \frac{1}{2} \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} (v_1 - v_2)^2 = \frac{1}{2} \times \frac{40 \times 60}{100} \times (4 - 2)^2 = \frac{1}{2} \times 24 \times 4 = 48\,J$.

(C) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,टक्कर से पहले का कुल संवेग टक्कर के बाद के कुल संवेग के बराबर होता है।
मान लीजिए कि संयुक्त निकाय की अंतिम चाल $v_f$ है।
निकाय का प्रारंभिक संवेग $p_i = mv + M(0) = mv$ है।
निकाय का अंतिम संवेग $p_f = (M + m)v_f$ है।
चूंकि $p_i = p_f$,इसलिए हमारे पास है:
$mv = (M + m)v_f$
$v_f$ के लिए हल करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$v_f = \frac{m}{M + m}v$

(B) निकाय की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा: $K_i = \frac{1}{2} m u_1^2 + \frac{1}{2} m u_2^2 = \frac{1}{2} \times 2 \times (6)^2 + 0 = 36 \ J$.
रेखीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार: $m u_1 + m u_2 = (m + m) v$.
$2 \times 6 + 2 \times 0 = (2 + 2) v \implies 12 = 4v \implies v = 3 \ m/s$.
निकाय की अंतिम गतिज ऊर्जा: $K_f = \frac{1}{2} (m + m) v^2 = \frac{1}{2} \times 4 \times (3)^2 = 2 \times 9 = 18 \ J$.
उत्पन्न ऊष्मा गतिज ऊर्जा में हुई हानि के बराबर होती है: $\Delta K = K_i - K_f = 36 \ J - 18 \ J = 18 \ J$.

(A) माना पहले पिंड का द्रव्यमान $m_1 = 5\,kg$ है और उसका प्रारंभिक वेग $u$ है। माना दूसरे पिंड का द्रव्यमान $m_2 = 2.5\,kg$ है और उसका प्रारंभिक वेग $u_2 = 0$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार: $m_1 u + m_2 u_2 = (m_1 + m_2) v$,जहाँ $v$ अंतिम सामान्य वेग है।
$5u + 0 = (5 + 2.5)v \Rightarrow 5u = 7.5v \Rightarrow v = \frac{5}{7.5}u = \frac{2}{3}u$.
संयुक्त द्रव्यमान की अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = \frac{1}{2}(m_1 + m_2)v^2 = 5\,J$ है।
मान रखने पर: $\frac{1}{2} \times 7.5 \times (\frac{2}{3}u)^2 = 5$.
$3.75 \times \frac{4}{9}u^2 = 5 \Rightarrow \frac{15}{9}u^2 = 5 \Rightarrow \frac{5}{3}u^2 = 5 \Rightarrow u^2 = 3$.
पहले पिंड की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2}m_1 u^2 = \frac{1}{2} \times 5 \times 3 = 7.5\,J$ है।

(A) निकाय का प्रारंभिक संवेग,$p_i = mv$ है।
माना टक्कर के बाद संयुक्त निकाय का वेग $V$ है।
निकाय का अंतिम संवेग,$p_f = (m+M)V$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,$p_i = p_f$,अतः $mv = (m+M)V$ है।
इसलिए,संयुक्त ब्लॉक का वेग $V = \frac{mv}{m+M}$ प्राप्त होता है।
संयुक्त ब्लॉक की गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}(m+M)V^2$ है।
$V$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,$K = \frac{1}{2}(m+M) \left( \frac{mv}{m+M} \right)^2$ प्राप्त होता है।
इस व्यंजक को सरल करने पर,$K = \frac{1}{2}(m+M) \frac{m^2v^2}{(m+M)^2} = \frac{1}{2}mv^2 \times \frac{m}{m+M}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है: $m_1 = m_2 = 0.25\, kg$,$u_1 = 3\, ms^{-1}$,$u_2 = -1\, ms^{-1}$.
चूंकि द्रव्यमान एक-दूसरे की ओर गति कर रहे हैं,इसलिए एक वेग को धनात्मक और दूसरे को ऋणात्मक लिया जाता है।
यह एक पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर है जिसमें टक्कर के बाद वस्तुएं एक साथ जुड़ जाती हैं।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$m_1 u_1 + m_2 u_2 = (m_1 + m_2) v$
मान रखने पर:
$(0.25)(3) + (0.25)(-1) = (0.25 + 0.25) v$
$0.75 - 0.25 = 0.5 v$
$0.5 = 0.5 v$
$v = 1\, ms^{-1}$.

(B) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,टक्कर से पहले का कुल संवेग टक्कर के बाद के कुल संवेग के बराबर होता है।
$m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2 = (m_1 + m_2)\vec{v}_{final}$
यहाँ $m_1 = 2 \, kg$,$\vec{v}_1 = (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) \, m/s$ और $m_2 = 5 \, kg$,$\vec{v}_2 = (\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}) \, m/s$ दिया गया है।
मान रखने पर:
$2(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) + 5(\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}) = (2 + 5)\vec{v}_{final}$
$(2\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}) + (5\hat{i} - 10\hat{j} + 15\hat{k}) = 7\vec{v}_{final}$
$(7\hat{i} - 8\hat{j} + 17\hat{k}) = 7\vec{v}_{final}$
$\vec{v}_{final} = \frac{7}{7}\hat{i} - \frac{8}{7}\hat{j} + \frac{17}{7}\hat{k} = (\hat{i} - \frac{8}{7}\hat{j} + \frac{17}{7}\hat{k}) \, m/s$.

(B) संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,टक्कर से पहले का कुल संवेग = टक्कर के बाद का कुल संवेग।
$mv + (2m)(0) = (m + 2m)v'$
$mv = 3mv'$
$v' = \frac{v}{3}$
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $KE_i = \frac{1}{2}mv^2$ है।
अंतिम गतिज ऊर्जा $KE_f = \frac{1}{2}(m + 2m)(v')^2 = \frac{1}{2}(3m)(\frac{v}{3})^2 = \frac{1}{2}(3m)(\frac{v^2}{9}) = \frac{1}{6}mv^2$ है।
गतिज ऊर्जा में हानि $\Delta KE = KE_i - KE_f = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{6}mv^2 = \frac{3-1}{6}mv^2 = \frac{2}{6}mv^2 = \frac{1}{3}mv^2$ है।
गतिज ऊर्जा में प्रतिशत हानि $\frac{\Delta KE}{KE_i} \times 100 = \frac{\frac{1}{3}mv^2}{\frac{1}{2}mv^2} \times 100 = \frac{2}{3} \times 100 = \frac{200}{3}\,\%$ होगी।

(C) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,टक्कर से पहले का कुल संवेग टक्कर के बाद के कुल संवेग के बराबर होता है।
माना पहले पिंड का द्रव्यमान $m_1 = 2\, kg$ है और उसका वेग $u_1 = 3\, m/s$ है।
माना दूसरे पिंड का द्रव्यमान $m_2 = 1\, kg$ है और उसका वेग $u_2 = -4\, m/s$ है (क्योंकि यह विपरीत दिशा में गति कर रहा है)।
माना टक्कर के बाद सामान्य वेग $v$ है।
संवेग संरक्षण का उपयोग करते हुए: $m_1 u_1 + m_2 u_2 = (m_1 + m_2) v$.
मान रखने पर: $(2 \times 3) + (1 \times -4) = (2 + 1) v$.
$6 - 4 = 3v$.
$2 = 3v$.
$v = 2/3\, m/s$.

(B) निकाय का प्रारंभिक संवेग: $\vec{P}_i = m(u\hat{i}) + m\left(\frac{u}{2}\hat{i} + \frac{u}{2}\hat{j}\right) = \frac{3}{2}mu\hat{i} + \frac{1}{2}mu\hat{j}$.
चूंकि टक्कर पूर्णतः अप्रत्यास्थ है,कण आपस में जुड़ जाते हैं और एक सामान्य वेग $\vec{v}_f$ के साथ गति करते हैं। रैखिक संवेग संरक्षण के नियम से: $\vec{P}_i = (m+m)\vec{v}_f = 2m\vec{v}_f$.
$\vec{v}_f = \frac{1}{2m} \left(\frac{3}{2}mu\hat{i} + \frac{1}{2}mu\hat{j}\right) = \frac{3}{4}u\hat{i} + \frac{1}{4}u\hat{j}$.
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा: $K_i = \frac{1}{2}mu^2 + \frac{1}{2}m\left|\frac{u}{2}\hat{i} + \frac{u}{2}\hat{j}\right|^2 = \frac{1}{2}mu^2 + \frac{1}{2}m\left(\frac{u^2}{4} + \frac{u^2}{4}\right) = \frac{1}{2}mu^2 + \frac{1}{4}mu^2 = \frac{3}{4}mu^2$.
अंतिम गतिज ऊर्जा: $K_f = \frac{1}{2}(2m)|\vec{v}_f|^2 = m\left(\left(\frac{3}{4}u\right)^2 + \left(\frac{1}{4}u\right)^2\right) = m\left(\frac{9}{16}u^2 + \frac{1}{16}u^2\right) = \frac{10}{16}mu^2 = \frac{5}{8}mu^2$.
नष्ट हुई ऊर्जा: $\Delta K = K_i - K_f = \frac{3}{4}mu^2 - \frac{5}{8}mu^2 = \frac{6-5}{8}mu^2 = \frac{1}{8}mu^2$.

(N/A) मान लीजिए $m_{1}$ द्रव्यमान का एक कण $v_{1i}$ वेग से गति कर रहा है और $m_{2}$ द्रव्यमान के स्थिर कण से टकराता है। टक्कर के बाद,दोनों कण $v_{1i}$ की दिशा में एक समान अंतिम वेग $v_{f}$ के साथ एक साथ गति करते हैं।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,टक्कर से पहले का कुल संवेग और टक्कर के बाद का कुल संवेग समान होता है:
$m_{1} v_{1i} + m_{2} v_{2i} = (m_{1} + m_{2}) v_{f}$
चूंकि दूसरा कण प्रारंभ में स्थिर है,$v_{2i} = 0$:
$m_{1} v_{1i} = (m_{1} + m_{2}) v_{f}$
$v_{f} = \frac{m_{1}}{m_{1} + m_{2}} v_{1i}$
अप्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा संरक्षित नहीं रहती है। गतिज ऊर्जा में हुई हानि $\Delta K$ इस प्रकार है:
$\Delta K = K_{i} - K_{f}$
$\Delta K = \frac{1}{2} m_{1} v_{1i}^{2} - \frac{1}{2} (m_{1} + m_{2}) v_{f}^{2}$
$v_{f}$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\Delta K = \frac{1}{2} m_{1} v_{1i}^{2} - \frac{1}{2} (m_{1} + m_{2}) \left( \frac{m_{1}}{m_{1} + m_{2}} \right)^{2} v_{1i}^{2}$
$\Delta K = \frac{1}{2} m_{1} v_{1i}^{2} \left( 1 - \frac{m_{1}}{m_{1} + m_{2}} \right)$
$\Delta K = \frac{1}{2} \frac{m_{1} m_{2}}{m_{1} + m_{2}} v_{1i}^{2}$
चूंकि $\Delta K > 0$,टक्कर के दौरान गतिज ऊर्जा का ह्रास होता है।

(B) दो पिंडों के निकाय की कुल गतिज ऊर्जा टक्कर के बाद तभी शून्य हो सकती है जब टक्कर पूर्णतः अप्रत्यास्थ हो और निकाय का कुल रैखिक संवेग शून्य हो।
यदि $m_1$ और $m_2$ द्रव्यमान के दो पिंड $v_1$ और $v_2$ वेग से विपरीत दिशाओं में गति कर रहे हों ताकि उनका कुल संवेग $p = m_1v_1 + m_2v_2 = 0$ हो,और वे टक्कर के बाद एक साथ जुड़ जाएं,तो संयुक्त द्रव्यमान का अंतिम वेग $V = \frac{m_1v_1 + m_2v_2}{m_1 + m_2} = 0$ होगा।
चूंकि अंतिम वेग शून्य है,इसलिए अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = \frac{1}{2}(m_1 + m_2)V^2 = 0$ होगी।

(B) निकाय की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = 1/2 mv^2 + 1/2 (2m)(0)^2 = 1/2 mv^2$ है।
चूंकि टक्कर पूर्णतः अप्रत्यास्थ है,इसलिए दोनों पिंड टक्कर के बाद एक साथ जुड़ जाते हैं और एक सामान्य वेग $V$ से गति करते हैं।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार: $mv + (2m)(0) = (m + 2m)V$।
$mv = 3mV$,जिससे $V = v/3$ प्राप्त होता है।
निकाय की अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = 1/2 (m + 2m)V^2 = 1/2 (3m)(v/3)^2 = 1/2 (3m)(v^2/9) = 1/6 mv^2$ है।
गतिज ऊर्जा में हुई हानि $\Delta K = K_i - K_f = 1/2 mv^2 - 1/6 mv^2 = (3/6 - 1/6) mv^2 = 2/6 mv^2 = 1/3 mv^2$ है।

(B) मान लीजिए कि दोनों पिंडों का द्रव्यमान $m$ और प्रारंभिक चाल $v_0$ है। मान लीजिए कि उनके प्रारंभिक वेग सदिशों के बीच का कोण $2\theta$ है।
सममिति के अनुसार,संयुक्त द्रव्यमान $2m$ प्रारंभिक वेग सदिशों के कोण समद्विभाजक की दिशा में $v_f = v_0/2$ की अंतिम चाल के साथ गति करेगा।
अंतिम वेग की दिशा में रैखिक संवेग संरक्षण का नियम लागू करने पर:
$m v_0 \cos \theta + m v_0 \cos \theta = (2m) v_f$
$2 m v_0 \cos \theta = 2 m (v_0/2)$
$2 m v_0 \cos \theta = m v_0$
$\cos \theta = 1/2$
$\theta = 60^\circ$
प्रारंभिक वेगों के बीच का कोण $2\theta = 2 \times 60^\circ = 120^\circ$ है।

(A) दिया गया है: $m_1 = 5 \times 10^{3} \, kg$,$u_1 = 2 \, m/s$,$m_2 = 15 \times 10^{3} \, kg$,$u_2 = 0 \, m/s$.
चूंकि टक्कर पूर्णतः अप्रत्यास्थ $(e = 0)$ है,इसलिए पिंड आपस में चिपक जाते हैं।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर के लिए गतिज ऊर्जा में हानि $(\Delta K.E.)$ का सूत्र है:
$\Delta K.E. = \frac{1}{2} \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} (u_1 - u_2)^2$
मान रखने पर:
$\Delta K.E. = \frac{1}{2} \times \frac{(5 \times 10^{3}) \times (15 \times 10^{3})}{5 \times 10^{3} + 15 \times 10^{3}} \times (2 - 0)^2$
$\Delta K.E. = \frac{1}{2} \times \frac{75 \times 10^{6}}{20 \times 10^{3}} \times 4$
$\Delta K.E. = \frac{1}{2} \times 3.75 \times 10^{3} \times 4$
$\Delta K.E. = 7.5 \times 10^{3} \, J = 7.5 \, kJ$.

(B) निकाय का प्रारंभिक संवेग: $P_i = m_b v_b + m_s v_s = 0.2 \, kg \times 10 \, ms^{-1} + 9.8 \, kg \times 0 = 2 \, kg \cdot ms^{-1}$.
निकाय का अंतिम संवेग: $P_f = (m_b + m_s) v = (0.2 + 9.8) \, kg \times v = 10 \, kg \times v$.
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम से: $P_i = P_f \implies 2 = 10v \implies v = 0.2 \, ms^{-1}$.
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा: $K_i = \frac{1}{2} m_b v_b^2 = \frac{1}{2} \times 0.2 \times (10)^2 = 0.1 \times 100 = 10 \, J$.
अंतिम गतिज ऊर्जा: $K_f = \frac{1}{2} (m_b + m_s) v^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times (0.2)^2 = 5 \times 0.04 = 0.2 \, J$.
गतिज ऊर्जा में हानि: $\Delta K = K_i - K_f = 10 - 0.2 = 9.8 \, J$.

(B) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,टक्कर से पहले का कुल संवेग टक्कर के बाद के कुल संवेग के बराबर होता है।
माना $(m + m) = 2m$ द्रव्यमान वाले संयुक्त निकाय का अंतिम वेग $V$ है।
$m v + m(0) = (2m)V$
$m v = 2m V$
$V = v / 2$
अब,टक्कर के बाद निकाय की गतिज ऊर्जा इस प्रकार है:
$K_f = \frac{1}{2} (2m) V^2$
$V$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$K_f = \frac{1}{2} (2m) \left(\frac{v}{2}\right)^2$
$K_f = m \times \frac{v^2}{4} = \frac{m v^2}{4}$

(C) पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर के लिए,गतिज ऊर्जा में हानि $\Delta K$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\Delta K = \frac{m_1 m_2}{2(m_1 + m_2)} (u_1 - u_2)^2$
दिया गया है:
$m_1 = 80 \,kg$,$u_1 = 2 \,ms^{-1}$
$m_2 = 20 \,kg$,$u_2 = 4 \,ms^{-1}$
मान रखने पर:
$\Delta K = \frac{80 \times 20}{2(80 + 20)} (2 - 4)^2$
$\Delta K = \frac{1600}{2(100)} (-2)^2$
$\Delta K = \frac{1600}{200} \times 4$
$\Delta K = 8 \times 4 = 32 \,J$
अतः,ऊर्जा की हानि $32 \,J$ है।

(B) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,टक्कर से पहले का कुल संवेग टक्कर के बाद के कुल संवेग के बराबर होता है।
मान लीजिए कि पश्चिम की दिशा ऋणात्मक $x$-अक्ष $(-\hat{i})$ के अनुदिश है और दक्षिण की दिशा ऋणात्मक $y$-अक्ष $(-\hat{j})$ के अनुदिश है।
पहले कण का प्रारंभिक संवेग $\vec{p}_1 = m v(-\hat{i}) = -m v \hat{i}$ है।
दूसरे कण का प्रारंभिक संवेग $\vec{p}_2 = m v(-\hat{j}) = -m v \hat{j}$ है।
कुल प्रारंभिक संवेग $\vec{P}_i = \vec{p}_1 + \vec{p}_2 = -m v \hat{i} - m v \hat{j}$ है।
टक्कर के बाद,कण एक-दूसरे से चिपक जाते हैं और $2m$ द्रव्यमान का एक नया कण बनाते हैं जो $\vec{V}$ वेग से गति करता है।
अंतिम संवेग $\vec{P}_f = (2m) \vec{V}$ है।
संवेग संरक्षण के अनुसार,$\vec{P}_i = \vec{P}_f$,इसलिए $(2m) \vec{V} = -m v \hat{i} - m v \hat{j}$ है।
$2m$ से विभाजित करने पर,हमें $\vec{V} = -\frac{v}{2} \hat{i} - \frac{v}{2} \hat{j}$ प्राप्त होता है।
चाल वेग सदिश का परिमाण है: $|\vec{V}| = \sqrt{(-\frac{v}{2})^2 + (-\frac{v}{2})^2} = \sqrt{\frac{v^2}{4} + \frac{v^2}{4}} = \sqrt{\frac{v^2}{2}} = \frac{v}{\sqrt{2}}$।

(B) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,टक्कर से पहले का कुल संवेग टक्कर के बाद के कुल संवेग के बराबर होता है।
मान लीजिए $m_1 = 10 \, kg$,$u_1 = 3 \, m/s$,$m_2 = 5 \, kg$,और $u_2 = 0 \, m/s$ है।
मान लीजिए संयुक्त द्रव्यमान $(m_1 + m_2) = 15 \, kg$ का अंतिम वेग $V$ है।
$m_1 u_1 + m_2 u_2 = (m_1 + m_2) V$
$10 \times 3 + 5 \times 0 = (10 + 5) V$
$30 = 15 V$
$V = 2 \, m/s$
अब,संयुक्त द्रव्यमान की गतिज ऊर्जा $(KE)$ इस प्रकार है:
$KE = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) V^2$
$KE = \frac{1}{2} \times 15 \times (2)^2$
$KE = \frac{1}{2} \times 15 \times 4$
$KE = 30 \, J$.

(A) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,टक्कर से पहले का कुल संवेग टक्कर के बाद के कुल संवेग के बराबर होता है।
मान लीजिए कि गोली का द्रव्यमान $m_1 = 10 \,g = 0.01 \,kg$ है और इसका प्रारंभिक वेग $v_1 = 300 \,m/s$ है।
बर्फ के ब्लॉक का द्रव्यमान $m_2 = 5 \,kg$ है और इसका प्रारंभिक वेग $v_2 = 0 \,m/s$ है।
टक्कर के बाद,गोली ब्लॉक में धंस जाती है,इसलिए कुल द्रव्यमान $M = m_1 + m_2 = 0.01 \,kg + 5 \,kg = 5.01 \,kg$ हो जाता है।
मान लीजिए कि निकाय का अंतिम वेग $V$ है।
$m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2) V$
$(0.01 \,kg)(300 \,m/s) + (5 \,kg)(0 \,m/s) = (5.01 \,kg) V$
$3 = 5.01 V$
$V = \frac{3}{5.01} \approx 0.5988 \,m/s \approx 0.6 \,m/s$.
इसे $cm/s$ में बदलने के लिए,हम $100$ से गुणा करते हैं:
$V = 0.6 \times 100 = 60 \,cm/s$.

(C) माना पहले कण का वेग $\vec{v}_1 = v \hat{i}$ है और दूसरे कण का वेग $\vec{v}_2 = v \hat{j}$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,कुल प्रारंभिक संवेग कुल अंतिम संवेग के बराबर होना चाहिए:
$\vec{P}_i = \vec{P}_f$
$m \vec{v}_1 + m \vec{v}_2 = (2m) \vec{V}$
$m(v \hat{i}) + m(v \hat{j}) = 2m \vec{V}$
$m v (\hat{i} + \hat{j}) = 2m \vec{V}$
$\vec{V} = \frac{v}{2} (\hat{i} + \hat{j})$
अंतिम वेग का परिमाण $V = \sqrt{(\frac{v}{2})^2 + (\frac{v}{2})^2} = \sqrt{\frac{v^2}{4} + \frac{v^2}{4}} = \sqrt{\frac{v^2}{2}} = \frac{v}{\sqrt{2}}$ है।
इसकी दिशा $(\hat{i} + \hat{j})$ सदिश के अनुदिश है,जो कि उत्तर-पूर्व दिशा है।
अतः,नया कण $\frac{v}{\sqrt{2}}$ वेग से उत्तर-पूर्व दिशा में गति करेगा।

(C) मान लीजिए कि दोनों गेंदों का द्रव्यमान $m$ है और उनके वेग $\vec{v}_1 = 6 \hat{i} \, m/s$ और $\vec{v}_2 = 8 \hat{j} \, m/s$ हैं।
चूंकि टक्कर पूर्णतः अप्रत्यास्थ है,इसलिए दोनों गेंदें आपस में जुड़ जाती हैं और एक सामान्य वेग $\vec{V}$ से गति करती हैं।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$\vec{P}_{initial} = \vec{P}_{final}$
$m \vec{v}_1 + m \vec{v}_2 = (m + m) \vec{V}$
$m(6 \hat{i} + 8 \hat{j}) = 2m \vec{V}$
$\vec{V} = \frac{6 \hat{i} + 8 \hat{j}}{2} = 3 \hat{i} + 4 \hat{j} \, m/s$
संयुक्त वेग का परिमाण:
$V = |\vec{V}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \, m/s$.

(D) दिया गया है:
गेंद $A$ का द्रव्यमान,$m_A = 2 \, kg$
गेंद $A$ का वेग,$u_A = 5 \, m/s$
गेंद $B$ का द्रव्यमान,$m_B = 5 \, kg$
गेंद $B$ का वेग,$u_B = -2 \, m/s$ (क्योंकि यह विपरीत दिशा में गति कर रही है)
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में,दोनों पिंड टक्कर के बाद एक साथ जुड़ जाते हैं और एक सामान्य वेग $v$ से गति करते हैं।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$m_A u_A + m_B u_B = (m_A + m_B) v$
मान रखने पर:
$(2 \, kg)(5 \, m/s) + (5 \, kg)(-2 \, m/s) = (2 \, kg + 5 \, kg) v$
$10 - 10 = 7v$
$0 = 7v$
$v = 0 \, m/s$
अतः,टक्कर के बाद गेंदों का वेग $0 \, m/s$ है।

(A) निकाय की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा:
$K_i = \frac{1}{2} m (2v)^2 + \frac{1}{2} (2m) v^2 = 2mv^2 + mv^2 = 3mv^2$
निकाय का प्रारंभिक संवेग:
$\vec{p}_i = m(2v)\hat{i} + (2m)v\hat{j} = 2mv\hat{i} + 2mv\hat{j}$
चूँकि टक्कर पूर्णतः अप्रत्यास्थ है,कण आपस में जुड़ जाते हैं और एक उभयनिष्ठ वेग $\vec{V}$ से गति करते हैं।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$\vec{p}_f = \vec{p}_i$
$(m + 2m)\vec{V} = 2mv\hat{i} + 2mv\hat{j}$
$3m\vec{V} = 2mv(\hat{i} + \hat{j})$
$\vec{V} = \frac{2v}{3}(\hat{i} + \hat{j})$
निकाय की अंतिम गतिज ऊर्जा:
$K_f = \frac{1}{2} (m + 2m) |\vec{V}|^2 = \frac{1}{2} (3m) \left( \sqrt{(\frac{2v}{3})^2 + (\frac{2v}{3})^2} \right)^2$
$K_f = \frac{3m}{2} \left( \frac{4v^2}{9} + \frac{4v^2}{9} \right) = \frac{3m}{2} \left( \frac{8v^2}{9} \right) = \frac{4}{3} mv^2$
ऊर्जा में हानि:
$\Delta K = K_i - K_f = 3mv^2 - \frac{4}{3} mv^2 = \frac{5}{3} mv^2$
ऊर्जा में प्रतिशत हानि:
$\text{Percentage Loss} = \frac{\Delta K}{K_i} \times 100 = \frac{\frac{5}{3} mv^2}{3mv^2} \times 100 = \frac{5}{9} \times 100 \approx 55.55\% \approx 56\%$

(C) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,निकाय का कुल प्रारंभिक संवेग उसके कुल अंतिम संवेग के बराबर होना चाहिए।
निकाय का प्रारंभिक संवेग: $P_i = m \cdot v + 2m \cdot 0 = mv$
टक्कर के बाद,दोनों कण एक साथ चिपक जाते हैं,जिससे कुल द्रव्यमान $(m + 2m) = 3m$ हो जाता है।
मान लीजिए कि संयुक्त द्रव्यमान का अंतिम वेग $v'$ है।
निकाय का अंतिम संवेग: $P_f = (3m) \cdot v'$
प्रारंभिक और अंतिम संवेग की तुलना करने पर: $mv = 3m \cdot v'$
$v'$ के लिए हल करने पर: $v' = \frac{mv}{3m} = \frac{v}{3}$

(A) माना कि दोनों पिंडों $A$ और $B$ का द्रव्यमान $m$ है।
टक्कर से पहले,पिंड $A$ का वेग $v_1$ है और पिंड $B$ विराम अवस्था में है $(v_B = 0)$।
टक्कर के बाद,चूंकि यह एक पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर है,दोनों पिंड आपस में जुड़ जाते हैं और एक समान वेग $v_2$ से गति करते हैं।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
प्रारंभिक संवेग = अंतिम संवेग
$m v_1 + m(0) = (m + m) v_2$
$m v_1 = 2m v_2$
दोनों पक्षों को $m v_2$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{v_1}{v_2} = \frac{2}{1}$
अतः,अनुपात $v_1: v_2$ का मान $2: 1$ है।

(C) रेखीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,टक्कर से पहले का कुल संवेग और टक्कर के बाद का कुल संवेग बराबर होता है।
माना $m_1 = 2 \ kg$,$v_1 = 3 \ m/s$,$m_2 = 1 \ kg$,और $v_2 = -4 \ m/s$ (क्योंकि यह विपरीत दिशा में गति कर रहा है)।
$m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2) v$
मान रखने पर:
$2(3) + 1(-4) = (2 + 1) v$
$6 - 4 = 3v$
$2 = 3v$
$v = \frac{2}{3} \ m/s$
अतः,सामान्य वेग $\frac{2}{3} \ m/s$ है।

(D) निकाय की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2} m u^2$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,संयुक्त द्रव्यमान $(m + 4m = 5m)$ का अंतिम वेग $v$ इस प्रकार है:
$m u + (4m)(0) = (5m) v$
$m u = 5m v$
$v = \frac{u}{5}$
निकाय की अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = \frac{1}{2} (5m) v^2 = \frac{1}{2} (5m) \left(\frac{u}{5}\right)^2 = \frac{1}{2} (5m) \frac{u^2}{25} = \frac{1}{10} m u^2$ है।
गतिज ऊर्जा में हानि $\Delta K = K_i - K_f = \frac{1}{2} m u^2 - \frac{1}{10} m u^2 = \frac{5-1}{10} m u^2 = \frac{4}{10} m u^2 = \frac{2}{5} m u^2$ है।
गतिज ऊर्जा में प्रतिशत हानि $\frac{\Delta K}{K_i} \times 100 = \frac{\frac{2}{5} m u^2}{\frac{1}{2} m u^2} \times 100 = \frac{4}{5} \times 100 = 80 \%$ है।

(D) यह पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर (perfectly inelastic collision) का एक उदाहरण है।
किसी भी टक्कर में जहाँ बाहरी बल अनुपस्थित हों,निकाय का कुल रैखिक संवेग संरक्षित रहता है।
हालाँकि,एक अप्रत्यास्थ टक्कर में,टक्कर के दौरान कार्य करने वाले आंतरिक बलों के कारण कुछ गतिज ऊर्जा अन्य रूपों (जैसे ऊष्मा या विरूपण ऊर्जा) में परिवर्तित हो जाती है।
इसलिए,केवल रैखिक संवेग संरक्षित रहता है,जबकि गतिज ऊर्जा संरक्षित नहीं रहती है।

(A)
संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार, टक्कर से पहले का कुल संवेग और टक्कर के बाद का कुल संवेग बराबर होता है।
$m_1 u_1 + m_2 u_2 = (m_1 + m_2)v$
यहाँ $m_1 = 2 \,kg$, $u_1 = 10 \,ms^{-1}$, $m_2 = 3 \,kg$, और $u_2 = 0 \,ms^{-1}$ दिया गया है।
$2 \times 10 + 3 \times 0 = (2 + 3)v$
$20 = 5v \implies v = 4 \,ms^{-1}$
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $(K_i) = \frac{1}{2} m_1 u_1^2 = \frac{1}{2} \times 2 \times (10)^2 = 100 \,J$
अंतिम गतिज ऊर्जा $(K_f) = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) v^2 = \frac{1}{2} \times (2 + 3) \times (4)^2 = \frac{1}{2} \times 5 \times 16 = 40 \,J$
गतिज ऊर्जा में हानि $= K_i - K_f = 100 \,J - 40 \,J = 60 \,J$

(A) रैखिक संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,टक्कर से पहले का कुल संवेग टक्कर के बाद के कुल संवेग के बराबर होता है।
मान लीजिए कि प्रत्येक ब्लॉक का द्रव्यमान $m$ है।
पहले ब्लॉक का प्रारंभिक वेग $3 \vec{V}$ है और दूसरे ब्लॉक का वेग $0$ है।
टक्कर के बाद,दोनों ब्लॉक आपस में चिपक जाते हैं और एक उभयनिष्ठ वेग $V_{c}$ से गति करते हैं।
संवेग संरक्षण का नियम लागू करने पर:
$m(3 \vec{V}) + m(0) = (m + m) V_{c}$
$3 m \vec{V} = 2 m V_{c}$
$V_{c} = \frac{3 m \vec{V}}{2 m} = \frac{3}{2} \vec{V}$

(D) प्रारंभिक द्रव्यमान $m_1 = m$,प्रारंभिक वेग $u_1 = 3 \ m/s$ है।
प्रारंभिक द्रव्यमान $m_2 = 2m$,प्रारंभिक वेग $u_2 = 0 \ m/s$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,कुल प्रारंभिक संवेग = कुल अंतिम संवेग।
$P_i = m_1 u_1 + m_2 u_2 = m(3) + 2m(0) = 3m$ है।
टक्कर के बाद,पिंड जुड़ जाते हैं,इसलिए अंतिम द्रव्यमान $M = m_1 + m_2 = m + 2m = 3m$ है।
माना अंतिम वेग $V$ है।
$P_f = (m_1 + m_2)V = 3mV$ है।
$P_i = P_f$ रखने पर:
$3m = 3mV$ है।
$V = 1 \ m/s$ प्राप्त होता है।

(A) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,टक्कर से पहले का कुल संवेग टक्कर के बाद के कुल संवेग के बराबर होता है।
$M$ द्रव्यमान का प्रारंभिक संवेग: $\vec{p}_1 = M V \hat{i}$.
$2M$ द्रव्यमान का प्रारंभिक संवेग: $\vec{p}_2 = 2M (3V \hat{j}) = 6MV \hat{j}$.
कुल प्रारंभिक संवेग: $\vec{p}_{initial} = M V \hat{i} + 6MV \hat{j}$.
टक्कर के बाद,दोनों पिंड जुड़कर $3M$ द्रव्यमान का एक पिंड बनाते हैं जो $\vec{v}_{final}$ वेग से गति करता है।
कुल अंतिम संवेग: $\vec{p}_{final} = (M + 2M) \vec{v}_{final} = 3M \vec{v}_{final}$.
दोनों को बराबर करने पर: $3M \vec{v}_{final} = M V \hat{i} + 6MV \hat{j}$.
$3M$ से भाग देने पर: $\vec{v}_{final} = \frac{V}{3} \hat{i} + 2V \hat{j}$.

(B) मान लीजिए $m$ द्रव्यमान वाले पिंड का प्रारंभिक वेग $v$ है। प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2}mv^2$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार: $mv + (2m)(0) = (m + 2m)v'$,जहाँ $v'$ अंतिम सामान्य वेग है।
$mv = 3mv' \implies v' = v/3$।
अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = \frac{1}{2}(m + 2m)(v')^2 = \frac{1}{2}(3m)(v/3)^2 = \frac{1}{2}(3m)(v^2/9) = \frac{1}{6}mv^2$ है।
गतिज ऊर्जा में हुई हानि $\Delta K = K_i - K_f = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{6}mv^2 = \frac{3-1}{6}mv^2 = \frac{2}{6}mv^2 = \frac{1}{3}mv^2$ है।
खोई गई गतिज ऊर्जा का अंश $\frac{\Delta K}{K_i} = \frac{\frac{1}{3}mv^2}{\frac{1}{2}mv^2} = \frac{1}{3} \times 2 = 2/3$ है।

(A) गेंद $A$ के लिए: $m_A = 1 \,kg$, $u_A = 4 \,ms^{-1}$. गेंद $B$ के लिए: $m_B = 3 \,kg$, $u_B = 0 \,ms^{-1}$.
टक्कर से पहले कुल संवेग $p_i = m_A u_A + m_B u_B = (1 \times 4) + (3 \times 0) = 4 \,kg \cdot ms^{-1}$.
टक्कर के बाद, दोनों पिंड एक साथ चिपक जाते हैं और सामान्य वेग $v$ से चलते हैं।
टक्कर के बाद कुल संवेग $p_f = (m_A + m_B)v = (1 + 3)v = 4v$.
संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार, $p_i = p_f$, इसलिए $4 = 4v$, जिससे $v = 1 \,ms^{-1}$ प्राप्त होता है।
गेंद $B$ पर लगाया गया बल, गेंद $B$ के संवेग परिवर्तन की दर है:
$F_B = \frac{\Delta p_B}{\Delta t} = \frac{m_B(v - u_B)}{\Delta t} = \frac{3(1 - 0)}{0.1} = \frac{3}{0.1} = 30 \,N$.