Perfectly Inelastic Collision Questions in Hindi

(C) एक पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में,दो पिंड टक्कर के बाद एक साथ जुड़ जाते हैं और एक समान अंतिम वेग से गति करते हैं।
मान लीजिए कि टक्कर के बाद दो पिंडों के वेग $v_1$ और $v_2$ हैं। चूंकि वे एक साथ गति करते हैं,इसलिए $v_1 = v_2 = v$ होगा।
टक्कर के बाद पिंडों का सापेक्ष वेग उनके वेगों के अंतर के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$v_{\text{rel}} = v_1 - v_2$
समीकरण में $v_1 = v_2 = v$ प्रतिस्थापित करने पर:
$v_{\text{rel}} = v - v = 0$
अतः,टक्कर के बाद पिंडों का सापेक्ष वेग शून्य होता है।

(A) $\text{दिया गया है: द्रव्यमान}$ $m_1 = 3 \,kg$, $\text{वेग}$ $v_1 = 8 \,ms^{-1}$।
$\text{द्रव्यमान}$ $m_2 = 1 \,kg$, $\text{वेग}$ $v_2 = -4 \,ms^{-1}$ ($\text{चूंकि यह विपरीत दिशा में गति कर रहा है}$)।
$\text{रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार, टक्कर से पहले का कुल संवेग टक्कर के बाद के कुल संवेग के बराबर होता है।}$
$m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2) v$
$\text{मान रखने पर:}$
$(3 \times 8) + (1 \times -4) = (3 + 1) \times v$
$24 - 4 = 4v$
$20 = 4v$
$v = 5 \,ms^{-1}$
$\text{अतः, सामान्य वेग}$ $5 \,ms^{-1}$ $\text{है।}$

(B) जब एक गोली लकड़ी के गुटके से टकराती है और उसमें धंस जाती है,तो टक्कर के बाद दोनों वस्तुएं एक समान वेग से एक साथ गति करती हैं।
इस प्रकार की टक्कर,जिसमें वस्तुएं टकराने के बाद एक साथ जुड़ जाती हैं,उसे पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर के रूप में परिभाषित किया जाता है।
इस प्रक्रिया में,गतिज ऊर्जा का ह्रास अधिकतम होता है।

(D) गोली का द्रव्यमान $= m$. गोली की गति $= v$.
प्रश्न के अनुसार,गोली बोरी में धंस जाती है,इसलिए वे एक सामान्य वेग $v_1$ के साथ आगे बढ़ेंगे।
यह पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर का मामला है।
गोली की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा,$K_i = \frac{1}{2} m v^2$.
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार: $m v = (M + m) v_1 \Rightarrow v_1 = \frac{m v}{M + m}$.
निकाय की अंतिम गतिज ऊर्जा,$K_f = \frac{1}{2} (M + m) v_1^2 = \frac{1}{2} (M + m) \left( \frac{m v}{M + m} \right)^2 = \frac{m^2 v^2}{2(M + m)}$.
गतिज ऊर्जा में हानि $= K_i - K_f = \frac{1}{2} m v^2 - \frac{m^2 v^2}{2(M + m)}$.
$= \frac{1}{2} m v^2 \left( 1 - \frac{m}{M + m} \right) = \frac{1}{2} m v^2 \left( \frac{M + m - m}{M + m} \right) = \frac{m M v^2}{2(M + m)}$.

(D) समान द्रव्यमान वाले दो पिंडों के बीच पूर्णतः प्रत्यास्थ टक्कर में, जहाँ एक पिंड प्रारंभ में विरामावस्था में हो, पिंड अपने वेगों का आदान-प्रदान कर लेते हैं।
माना गेंद का द्रव्यमान $m$ है और गोलक का द्रव्यमान $m$ है।
गेंद का प्रारंभिक वेग $u_1 = 2 \,ms^{-1}$ और गोलक का प्रारंभिक वेग $u_2 = 0 \,ms^{-1}$ है।
प्रत्यास्थ टक्कर के बाद, गेंद विरामावस्था में आ जाती है $(v_1 = 0)$ और गोलक गेंद का वेग प्राप्त कर लेता है $(v_2 = u_1 = 2 \,ms^{-1})$।
टक्कर के तुरंत बाद गोलक की गतिज ऊर्जा स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है क्योंकि यह $h$ ऊँचाई तक ऊपर उठता है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{2}mv_2^2 = mgh$।
मान रखने पर: $\frac{1}{2} \times (2)^2 = 10 \times h$।
$2 = 10h$।
$h = 0.2 \,m = 20 \,cm$।

(D) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,टक्कर से पहले का कुल संवेग टक्कर के बाद के कुल संवेग के बराबर होता है।
मान लीजिए कि $x$-दिशा धनात्मक है। निकाय का प्रारंभिक संवेग है:
$p_i = (4m)(v_1) + (2m)(-v_2) = 4mv_1 - 2mv_2$
टक्कर के बाद,दोनों ब्लॉक एक साथ $(4m + 2m = 6m)$ द्रव्यमान के रूप में $x$-दिशा में $5v_2$ के अंतिम वेग से गति करते हैं:
$p_f = (6m)(5v_2) = 30mv_2$
प्रारंभिक और अंतिम संवेग को बराबर करने पर:
$4mv_1 - 2mv_2 = 30mv_2$
$4mv_1 = 32mv_2$
$\frac{v_1}{v_2} = \frac{32}{4} = 8$

(B) दिया गया है,पहले पिंड का द्रव्यमान $m_1 = 3 \ kg$ और उसका वेग $v_1 = (2 \hat{i}+3 \hat{j}+3 \hat{k}) \ m/s$ है।
दूसरे पिंड का द्रव्यमान $m_2 = 4 \ kg$ और उसका वेग $v_2 = (3 \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}) \ m/s$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,टक्कर से पहले का कुल संवेग टक्कर के बाद के कुल संवेग के बराबर होता है।
$m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2) v$
मान रखने पर:
$3(2 \hat{i}+3 \hat{j}+3 \hat{k}) + 4(3 \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}) = (3 + 4) v$
$(6 \hat{i}+9 \hat{j}+9 \hat{k}) + (12 \hat{i}+8 \hat{j}-12 \hat{k}) = 7 v$
$(6+12) \hat{i} + (9+8) \hat{j} + (9-12) \hat{k} = 7 v$
$18 \hat{i} + 17 \hat{j} - 3 \hat{k} = 7 v$
$v = \frac{1}{7}(18 \hat{i}+17 \hat{j}-3 \hat{k}) \ m/s$.

(A) गोली की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2} m v_0^2$ है।
टक्कर के बाद,गोली ब्लॉक में फंस जाती है और वे एक सामान्य वेग $v$ के साथ एक साथ चलते हैं। रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$m v_0 = (m + M) v \implies v = \frac{m v_0}{m + M}$.
टक्कर के तुरंत बाद संयुक्त प्रणाली की गतिज ऊर्जा $K_f = \frac{1}{2} (m + M) v^2$ है।
$v$ का मान रखने पर:
$K_f = \frac{1}{2} (m + M) \left( \frac{m v_0}{m + M} \right)^2 = \frac{1}{2} (m + M) \frac{m^2 v_0^2}{(m + M)^2} = \frac{1}{2} \frac{m^2 v_0^2}{m + M}$.
टक्कर में नष्ट हुई ऊर्जा $\Delta K = K_i - K_f$ है:
$\Delta K = \frac{1}{2} m v_0^2 - \frac{1}{2} \frac{m^2 v_0^2}{m + M} = \frac{1}{2} m v_0^2 \left( 1 - \frac{m}{m + M} \right) = \frac{1}{2} m v_0^2 \left( \frac{m + M - m}{m + M} \right) = \frac{1}{2} m v_0^2 \left( \frac{M}{m + M} \right)$.

(A) टक्कर से पहले दो ब्लॉकों की कुल गतिज ऊर्जा $K.E. = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}mv^2 = mv^2$ है।
चूंकि टक्कर पूरी तरह से अप्रत्यास्थ है (ब्लॉक पिघल जाते हैं),गतिज ऊर्जा में अधिकतम नुकसान कुल प्रारंभिक गतिज ऊर्जा के बराबर है,जो $mv^2$ है।
इस ऊर्जा का उपयोग बर्फ के तापमान को $-8^{\circ}C$ से $0^{\circ}C$ तक बढ़ाने और फिर उसे पिघलाने के लिए किया जाता है।
एक ब्लॉक के लिए आवश्यक ऊर्जा $Q = ms\Delta\theta + mL$ है।
दो ब्लॉकों के लिए,आवश्यक कुल ऊर्जा $2(ms\Delta\theta + mL)$ है।
ऊर्जा के नुकसान को आवश्यक ऊष्मा के बराबर करने पर: $mv^2 = 2m(s\Delta\theta + L)$।
दोनों तरफ से $m$ को हटाने पर: $v^2 = 2(s\Delta\theta + L)$।
दिया गया है: $s = 2100 \ Jkg^{-1}K^{-1}$,$\Delta\theta = 8^{\circ}C$,$L = 3.36 \times 10^5 \ Jkg^{-1}$।
$v^2 = 2(2100 \times 8 + 3.36 \times 10^5) = 2(16800 + 336000) = 2(352800) = 705600$।
$v = \sqrt{705600} = 840 \ ms^{-1}$।

(D) गोली का द्रव्यमान $= m$,गोली की प्रारंभिक चाल $= v$।
ब्लॉक का द्रव्यमान $= M$,ब्लॉक की प्रारंभिक चाल $= 0$।
माना टक्कर के बाद निकाय का उभयनिष्ठ वेग $V$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$m v + M(0) = (m + M)V$
$V = \frac{m v}{m + M}$
उत्पन्न ऊष्मा गतिज ऊर्जा $(KE)$ में हुई हानि के बराबर होती है।
$\Delta KE = KE_{initial} - KE_{final}$
$\Delta KE = \frac{1}{2} m v^{2} - \frac{1}{2} (m + M) V^{2}$
$V$ का मान रखने पर:
$\Delta KE = \frac{1}{2} m v^{2} - \frac{1}{2} (m + M) \left( \frac{m v}{m + M} \right)^{2}$
$\Delta KE = \frac{1}{2} m v^{2} - \frac{1}{2} (m + M) \frac{m^{2} v^{2}}{(m + M)^{2}}$
$\Delta KE = \frac{1}{2} m v^{2} \left( 1 - \frac{m}{m + M} \right)$
$\Delta KE = \frac{1}{2} m v^{2} \left( \frac{m + M - m}{m + M} \right)$
$\Delta KE = \frac{1}{2} \frac{m M v^{2}}{m + M}$