Energy and Intensity of Waves Questions in Hindi

(A) एक गैर-अवशोषक माध्यम में बिंदु स्रोत से ध्वनि की तीव्रता $I$,स्रोत से दूरी $r$ के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होती है,जिसे $I \propto \frac{1}{r^2}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
दी गई दूरियाँ $r_P = 2 \ m$ और $r_Q = 3 \ m$ हैं।
$P$ और $Q$ पर तीव्रताओं का अनुपात $\frac{I_P}{I_Q} = \frac{r_Q^2}{r_P^2}$ है।
मान रखने पर,हमें $\frac{I_P}{I_Q} = \left( \frac{3}{2} \right)^2 = \frac{9}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $9:4$ है।

(C) एक बिंदु स्रोत से उत्पन्न होने वाली गोलीय तरंग के लिए,तीव्रता $I$ को $I = \frac{P}{4\pi r^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $P$ स्रोत की शक्ति है।
चूंकि तीव्रता $I$ आयाम $A$ के वर्ग के समानुपाती होती है $(I \propto A^2)$,इसलिए हमारे पास $A^2 \propto \frac{1}{r^2}$ है।
इसका अर्थ है कि आयाम $A$ दूरी $r$ के व्युत्क्रमानुपाती है,अर्थात $A \propto \frac{1}{r}$।
दिया गया है कि $r$ दूरी पर आयाम $A_1 = A$ है।
$r_2 = 2r$ दूरी पर,नया आयाम $A_2$ होगा:
$\frac{A_2}{A_1} = \frac{r_1}{r_2} = \frac{r}{2r} = \frac{1}{2}$।
अतः,$A_2 = \frac{A}{2}$।

(C) तरंग की तीव्रता $I$ उसके आयाम $a$ के वर्ग के समानुपाती होती है,अर्थात $I \propto a^2$।
दो कणों के लिए दिए गए समीकरण:
${y_1} = 0.06 \sin 2\pi (1.04t + {\phi _1})$
${y_2} = 0.03 \sin 2\pi (1.04t + {\phi _2})$
यहाँ आयाम ${a_1} = 0.06$ और ${a_2} = 0.03$ हैं।
तीव्रता का अनुपात इस प्रकार है:
$\frac{{{I_1}}}{{{I_2}}} = \frac{{a_1^2}}{{a_2^2}} = \left( \frac{{0.06}}{{0.03}} \right)^2 = (2)^2 = \frac{4}{1}$।
अतः,तीव्रताओं का अनुपात $4:1$ है।

(D) सही उत्तर $(d)$ है।
समतल तरंग के लिए,तरंगाग्र समानांतर समतल होते हैं और ऊर्जा समान रूप से वितरित होती है,इसलिए तरंग के संचरण के साथ तीव्रता स्थिर रहती है।
गोलाकार तरंग के लिए,स्रोत द्वारा उत्सर्जित ऊर्जा बढ़ते हुए पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 4\pi r^2$ पर फैलती है। इस प्रकार,तीव्रता $I = P / A = P / (4\pi r^2)$ स्रोत से दूरी $r$ के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
स्रोत पर केंद्रित किसी भी गोलाकार सतह से गुजरने वाली कुल शक्ति $P$ (जिसे इस संदर्भ में अक्सर कुल तीव्रता कहा जाता है) स्थिर रहती है,क्योंकि ऊर्जा संरक्षित रहती है।

(D) तरंग को एक विक्षोभ के रूप में परिभाषित किया जाता है जो एक माध्यम से यात्रा करता है,जो पदार्थ के शुद्ध परिवहन के बिना एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक ऊर्जा और संवेग का परिवहन करता है।
अनुदैर्ध्य तरंग में,माध्यम के कण तरंग प्रसार की दिशा में अपनी माध्य स्थितियों के इर्द-गिर्द आगे-पीछे दोलन करते हैं।
जबकि कण स्वयं तरंग के साथ यात्रा नहीं करते हैं (पदार्थ का कोई शुद्ध स्थानांतरण नहीं होता है),तरंग माध्यम के माध्यम से ऊर्जा और रैखिक संवेग ले जाती है।
इसलिए,संचरित होने वाली सही राशियाँ ऊर्जा और रैखिक संवेग हैं।

(D) घनत्व $\rho$ वाले माध्यम में एक प्रगतिशील समतल तरंग की तीव्रता $I$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$I = 2\pi^2 n^2 a^2 \rho v$
जहाँ $n$ आवृत्ति है,$a$ आयाम है,और $v$ तरंग का वेग है।
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि:
$1. I \propto a^2$ (आयाम के वर्ग के सीधे आनुपातिक)
$2. I \propto v$ (वेग के सीधे आनुपातिक)
$3. I \propto n^2$ (आवृत्ति के वर्ग के सीधे आनुपातिक)
इसलिए,दिए गए सभी कथन सही हैं।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) तरंग की तीव्रता $I$ उसके आयाम $a$ के वर्ग के समानुपाती होती है $(I \propto a^2)$।
दिए गए तरंग समीकरणों से:
$y_1 = 5\sin 2\pi (75t - 0.25x) \implies a_1 = 5$
$y_2 = 10\sin 2\pi (150t - 0.50x) \implies a_2 = 10$
तीव्रता का अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \frac{a_1^2}{a_2^2}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\frac{I_1}{I_2} = \frac{5^2}{10^2} = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$।
अतः,तीव्रता का अनुपात $1:4$ है।

(B) तरंग की तीव्रता $I$ उसके आयाम $a$ के वर्ग के समानुपाती होती है,अर्थात $I \propto a^2$।
दी गई तीव्रताओं का अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \frac{1}{16}$ है।
संबंध $\frac{I_1}{I_2} = \left( \frac{a_1}{a_2} \right)^2$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\left( \frac{a_1}{a_2} \right)^2 = \frac{1}{16}$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$\frac{a_1}{a_2} = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,उनके आयामों का अनुपात $1:4$ है।

(A) तरंग की तीव्रता $I$ उसके आयाम $a$ के वर्ग के समानुपाती होती है,अर्थात $I \propto a^2$।
माना आयाम $a_1$ और $a_2$ हैं। दिया गया है कि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{1}$।
अधिकतम तीव्रता $I_{\max}$ का मान $(a_1 + a_2)^2$ के समानुपाती होता है और न्यूनतम तीव्रता $I_{\min}$ का मान $(a_1 - a_2)^2$ के समानुपाती होता है।
अतः,अधिकतम और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात इस प्रकार है:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{a_1 + a_2}{a_1 - a_2} \right)^2 = \left( \frac{\frac{a_1}{a_2} + 1}{\frac{a_1}{a_2} - 1} \right)^2$।
दिए गए अनुपात $\frac{a_1}{a_2} = 2$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{2 + 1}{2 - 1} \right)^2 = \left( \frac{3}{1} \right)^2 = \frac{9}{1}$।
इस प्रकार,अनुपात $9:1$ है।

(C) तरंग की तीव्रता $I$ उसके आयाम $a$ के वर्ग के समानुपाती होती है,अर्थात $I \propto a^2$।
दो तरंगें जिनके आयाम $a_1$ और $a_2$ हैं,उनके लिए अधिकतम तीव्रता और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात निम्नलिखित सूत्र द्वारा प्राप्त किया जाता है:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{a_1 + a_2}{a_1 - a_2} \right)^2 = \left( \frac{\frac{a_1}{a_2} + 1}{\frac{a_1}{a_2} - 1} \right)^2$।
यहाँ आयामों का अनुपात $\frac{a_1}{a_2} = \frac{4}{3}$ दिया गया है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{\frac{4}{3} + 1}{\frac{4}{3} - 1} \right)^2 = \left( \frac{\frac{7}{3}}{\frac{1}{3}} \right)^2 = (7)^2 = \frac{49}{1}$।
अतः,अनुपात $49:1$ होगा।

(A) $P$ शक्ति के स्रोत से $r$ दूरी पर एक गोलाकार तरंग की तीव्रता $I$ को इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $I = \frac{P}{A} = \frac{P}{4\pi r^2}$.
दिया गया है: शक्ति $P = 4 W$,दूरी $r = 200 m$.
मान रखने पर: $I = \frac{4}{4\pi \times (200)^2}$.
$I = \frac{1}{\pi \times 40000} = \frac{1}{125663.7} W/m^2$.
$I \approx 7.957 \times 10^{-6} W/m^2$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $I \approx 8 \times 10^{-6} W/m^2$ है।

(A) ध्वनि तरंग की तीव्रता $I$,दबाव आयाम $P_0$ के वर्ग के समानुपाती होती है,जिसे संबंध $I \propto P_0^2$ द्वारा दर्शाया जाता है।
यदि दबाव आयाम को तीन गुना कर दिया जाए,तो नया दबाव आयाम $P_0' = 3P_0$ होगा।
नई तीव्रता $I'$ का मान $I' \propto (P_0')^2 = (3P_0)^2 = 9P_0^2$ होगा।
अतः,$I' = 9I$।
इस प्रकार,ध्वनि की तीव्रता $9$ के गुणक से बढ़ जाएगी।

(C) ध्वनि तरंग की तीव्रता का सूत्र $I = 2{\pi ^2}{a^2}{n^2}\rho v$ है,जहाँ $a$ आयाम है और $n$ आवृत्ति है।
इससे,हम देखते हैं कि $I \propto {a^2}{n^2}$ है।
मान लीजिए प्रारंभिक आयाम $a_1$ और आवृत्ति $n_1$ है। अंतिम आयाम $a_2 = 2a_1$ और आवृत्ति $n_2 = n_1/4$ है।
तीव्रता का अनुपात $\frac{I_2}{I_1} = \left( \frac{a_2}{a_1} \right)^2 \times \left( \frac{n_2}{n_1} \right)^2$ है।
मान रखने पर: $\frac{I_2}{I_1} = (2)^2 \times (1/4)^2 = 4 \times (1/16) = 1/4$।
अतः,$I_2 = I_1/4$,जिसका अर्थ है कि तीव्रता $4$ के गुणक से घट जाएगी।

(D) तरंग का ऊर्जा घनत्व $(u)$ उसके आयाम $(A)$ के वर्ग के समानुपाती होता है।
गणितीय रूप से,$u \propto A^2$ है।
दिया गया आयामों का अनुपात $A_1 : A_2 = 5 : 2$ है।
उनके ऊर्जा घनत्व का अनुपात $\frac{u_1}{u_2} = \left( \frac{A_1}{A_2} \right)^2$ द्वारा प्राप्त होता है।
मान रखने पर,$\frac{u_1}{u_2} = \left( \frac{5}{2} \right)^2 = \frac{25}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,उनके ऊर्जा घनत्व का अनुपात $25 : 4$ है।

(D) ध्वनि तरंग की ऊर्जा $E$ को संबंध $E \propto a^2 n^2$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $a$ आयाम है और $n$ आवृत्ति है।
चूँकि दोनों ध्वनियों की ऊर्जा समान है,इसलिए $E_A = E_B$ है।
अतः,$a_A^2 n_A^2 = a_B^2 n_B^2$ होगा।
दिया गया है कि $B$ की आवृत्ति $A$ की आवृत्ति की एक-आठवीं है,इसलिए $n_B = \frac{1}{8} n_A$,या $\frac{n_A}{n_B} = 8$ है।
ऊर्जा समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{a_B^2}{a_A^2} = \frac{n_A^2}{n_B^2}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\frac{a_B}{a_A} = \frac{n_A}{n_B} = 8$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$a_B = 8 a_A$ है।
अतः,$B$ के स्वर का आयाम $A$ के आयाम का आठ गुना है।

(C) गोलाकार ध्वनि तरंग की तीव्रता स्रोत से दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $I \propto \frac{1}{r^2}$.
दिया गया है: $r_1 = 2 \ m$ पर $I_1 = 1 \times 10^{-2} \ \mu W/m^2$.
हमें $r_2 = 10 \ m$ पर $I_2$ ज्ञात करना है।
संबंध $\frac{I_2}{I_1} = \frac{r_1^2}{r_2^2}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{I_2}{1 \times 10^{-2}} = \frac{2^2}{10^2} = \frac{4}{100} = 0.04$.
अतः,$I_2 = 0.04 \times 10^{-2} \ \mu W/m^2 = 4 \times 10^{-4} \ \mu W/m^2$.

(B) ध्वनि तरंग की तीव्रता प्रत्येक $1 \ m$ दूरी तय करने पर $10\%$ कम हो जाती है।
इसका अर्थ है कि $1 \ m$ के बाद,तीव्रता प्रारंभिक तीव्रता का $90\%$ यानी $0.9 \ I_0$ हो जाती है।
$3 \ m$ की दूरी तय करने के बाद,तीव्रता $I_3$ इस प्रकार होगी:
$I_3 = I_0 \times (0.9) \times (0.9) \times (0.9)$
$I_3 = I_0 \times (0.9)^3$
$I_3 = I_0 \times 0.729$
चूंकि प्रारंभिक तीव्रता $I_0 = 100 \ dB$ दी गई है,अंतिम तीव्रता होगी:
$I_3 = 100 \times 0.729 = 72.9 \ dB$.

(D) $r$ दूरी पर स्थित बिंदु स्रोत की तीव्रता $I$ व्युत्क्रम वर्ग नियम द्वारा दी जाती है: $I \propto \frac{1}{r^2}$.
लघुगणकीय अवकलन लेने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{\Delta I}{I} = -2 \frac{\Delta r}{r}$.
दिया गया है कि दूरी $r$ में $2\%$ की वृद्धि होती है,इसलिए $\frac{\Delta r}{r} = 0.02$.
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{\Delta I}{I} = -2 \times 0.02 = -0.04$.
यह $4\%$ की कमी को दर्शाता है।
अतः,तीव्रता $4\%$ कम हो जाएगी।

(B) गोलाकार ध्वनि तरंग की तीव्रता $I$ व्युत्क्रम वर्ग नियम का पालन करती है: $I \propto \frac{1}{r^2}$.
यहाँ $r_1 = 200 \ cm$ और $r_2 = 400 \ cm$ दिया गया है,इसलिए तीव्रता का अनुपात $\frac{I_2}{I_1} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 = \left(\frac{200}{400}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$ है।
अतः,$I_1 = 4I_2$.
डेसिबल में तीव्रता स्तर $L = 10 \log_{10}\left(\frac{I}{I_0}\right)$ द्वारा दिया जाता है।
तीव्रता स्तरों का अंतर $L_1 - L_2 = 10 \log_{10}\left(\frac{I_1}{I_2}\right)$ है।
मान रखने पर: $L_1 - L_2 = 10 \log_{10}(4) = 10 \times 0.602 = 6.02 \ dB \approx 6 \ dB$.
इसलिए,$L_2 = L_1 - 6 \ dB = 80 \ dB - 6 \ dB = 74 \ dB$.

(B) दो तरंगों के व्यतिकरण के लिए,परिणामी तीव्रता $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ द्वारा दी जाती है।
यदि कलांतर $\phi$ समय के साथ यादृच्छिक रूप से बदलता है,तो कोसाइन पद का औसत मान $(\cos \phi)_{av} = 0$ होता है।
इसलिए,औसत परिणामी तीव्रता $I = I_1 + I_2$ हो जाती है।
$n$ समान स्रोतों के लिए,जिनमें से प्रत्येक की तीव्रता $I_0$ है,कुल औसत तीव्रता व्यक्तिगत तीव्रताओं का योग है: $I = I_0 + I_0 + \dots + I_0$ ($n$ बार)।
इस प्रकार,$I = n\,I_0$।
यहाँ $n = 10$ दिया गया है,इसलिए परिणामी तीव्रता $I = 10\,I_0$ होगी।

(C) डेसिबल में ध्वनि तीव्रता का स्तर $\beta = 10 \log_{10} \left( \frac{I}{I_0} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
$r_1 = 1 \ m$ की दूरी पर,$\beta_1 = 40 \ dB$ है। अतः,$40 = 10 \log_{10} \left( \frac{I_1}{I_0} \right) \implies \frac{I_1}{I_0} = 10^4$।
$r_2$ दूरी पर,$\beta_2 = 20 \ dB$ है। अतः,$20 = 10 \log_{10} \left( \frac{I_2}{I_0} \right) \implies \frac{I_2}{I_0} = 10^2$।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{I_1}{I_2} = \frac{10^4}{10^2} = 10^2 = 100$।
चूंकि तीव्रता $I \propto \frac{1}{r^2}$ होती है,इसलिए $\frac{I_1}{I_2} = \frac{r_2^2}{r_1^2}$ होगा।
मान रखने पर: $100 = \frac{r_2^2}{(1)^2} \implies r_2^2 = 100 \implies r_2 = 10 \ m$।

(C) ध्वनि तरंग का ऊर्जा घनत्व $(E)$ इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $E = 2{\pi ^2}\rho {n^2}{A^2}$.
यहाँ,$\rho$ माध्यम का घनत्व है,$n$ आवृत्ति है,और $A$ आयाम है।
माध्यम के कणों की अधिकतम गति इस प्रकार है: ${v_{\max }} = \omega A = 2\pi nA$.
${v_{\max }}$ के व्यंजक का वर्ग करने पर,हमें मिलता है: ${({v_{\max }})^2} = 4{\pi ^2}{n^2}{A^2}$.
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हम देख सकते हैं कि $E = \frac{1}{2}\rho {({v_{\max }})^2}$.
इसका अर्थ है कि $E \propto {({v_{\max }})^2}$.
चूंकि $E$,${v_{\max }}$ के वर्ग के समानुपाती है,इसलिए $E$ और ${v_{\max }}$ के बीच का ग्राफ ऊपर की ओर खुलने वाला एक परवलय होगा,जिसे ग्राफ $C$ द्वारा दर्शाया गया है।

(D) ध्वनि तरंग की तीव्रता $I$ उसके आयाम $a$ के वर्ग और कोणीय आवृत्ति $\omega$ के वर्ग के समानुपाती होती है,अर्थात $I \propto a^2 \omega^2$।
दिए गए ग्राफ से:
तरंग $A$ के लिए,आयाम $a_A = 2$ इकाई और आवर्तकाल $T_A = 2$ इकाई है (क्योंकि यह $2$ इकाई समय में एक चक्र पूरा करती है)।
तरंग $B$ के लिए,आयाम $a_B = 1$ इकाई और आवर्तकाल $T_B = 1$ इकाई है (क्योंकि यह $1$ इकाई समय में एक चक्र पूरा करती है)।
चूंकि कोणीय आवृत्ति $\omega = 2\pi/T$ होती है,इसलिए $\omega_A / \omega_B = T_B / T_A = 1/2$ होगा।
अब,तीव्रताओं का अनुपात:
$\frac{I_A}{I_B} = \left( \frac{a_A}{a_B} \right)^2 \times \left( \frac{\omega_A}{\omega_B} \right)^2$
$\frac{I_A}{I_B} = \left( \frac{2}{1} \right)^2 \times \left( \frac{1}{2} \right)^2 = 4 \times \frac{1}{4} = 1$
अतः,अनुपात $I_A/I_B$ का मान $1:1$ है।

(A) तरंग को एक विक्षोभ के रूप में परिभाषित किया गया है जो किसी माध्यम या निर्वात में यात्रा करती है,और पदार्थ के वास्तविक स्थानांतरण के बिना एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक ऊर्जा का संचार करती है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) तरंग की तीव्रता $I$ उसके आयाम $a$ के वर्ग के समानुपाती होती है,अर्थात $I \propto a^2$।
दिया गया है कि तीव्रताओं का अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \frac{1}{25}$ है।
चूंकि $\frac{I_1}{I_2} = \frac{a_1^2}{a_2^2}$,इसलिए $\frac{a_1^2}{a_2^2} = \frac{1}{25}$ होगा।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $\frac{a_1}{a_2} = \sqrt{\frac{1}{25}} = \frac{1}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः,उनके आयामों का अनुपात $1:5$ है।

(A) तरंग की तीव्रता $I$ उसके आयाम $a$ के वर्ग के समानुपाती होती है,अर्थात $I \propto a^2$।
यहाँ तीव्रताओं का अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \frac{4}{1}$ दिया गया है।
चूंकि $\frac{I_1}{I_2} = \left( \frac{a_1}{a_2} \right)^2$,इसलिए $\left( \frac{a_1}{a_2} \right)^2 = \frac{4}{1}$ होगा।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $\frac{a_1}{a_2} = \sqrt{\frac{4}{1}} = \frac{2}{1}$ प्राप्त होता है।
अतः,आयामों का अनुपात $2:1$ है।

(C) तरंग की तीव्रता $I$ उसके आयाम $a$ के वर्ग के समानुपाती होती है,अर्थात $I \propto a^2$।
$a_1$ और $a_2$ आयाम वाली दो तरंगों के लिए,अधिकतम तीव्रता और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात निम्नलिखित सूत्र द्वारा प्राप्त किया जाता है:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{a_1 + a_2}{a_1 - a_2} \right)^2 = \left( \frac{\frac{a_1}{a_2} + 1}{\frac{a_1}{a_2} - 1} \right)^2$
आयामों का अनुपात $\frac{a_1}{a_2} = \frac{4}{3}$ दिया गया है,इसलिए मान को सूत्र में रखने पर:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{\frac{4}{3} + 1}{\frac{4}{3} - 1} \right)^2 = \left( \frac{\frac{7}{3}}{\frac{1}{3}} \right)^2 = (7)^2 = \frac{49}{1}$
अतः,अधिकतम और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात $49:1$ है।

(D) बिंदु स्रोत की तीव्रता $I$,स्रोत से दूरी $r$ के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $I \propto \frac{1}{r^2}$.
दिया गया है कि दूरी $r$ में $2\%$ की वृद्धि होती है,इसलिए नई दूरी $r_2 = r_1 + 0.02r_1 = 1.02r_1$ होगी।
तीव्रता का अनुपात $\frac{I_2}{I_1} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2 = \left( \frac{r_1}{1.02r_1} \right)^2 = (1.02)^{-2}$ है।
द्विपद सन्निकटन $(1+x)^n \approx 1+nx$ का उपयोग करने पर,जहाँ $x = 0.02$ और $n = -2$ है:
$I_2 = I_1(1 + 0.02)^{-2} \approx I_1(1 - 2 \times 0.02) = I_1(1 - 0.04)$.
$I_2 = I_1 - 0.04I_1$.
अतः,तीव्रता में $4\%$ की कमी होगी।

(A) तरंग की तीव्रता $I$ को प्रति इकाई क्षेत्रफल $A$ शक्ति $P$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
पानी की सतह पर दो आयामों में फैलने वाली वृत्ताकार तरंग के लिए,क्षेत्रफल $A$ परिधि के समानुपाती होता है,जो $2\pi r$ है।
अतः,तीव्रता $I = \frac{P}{2\pi r}$ होती है,जिसका अर्थ है कि $I \propto \frac{1}{r}$।
चूंकि तीव्रता $I$ आयाम $A_{amp}$ के वर्ग के समानुपाती होती है $(I \propto A_{amp}^2)$,इसलिए $A_{amp}^2 \propto \frac{1}{r}$ प्राप्त होता है।
अतः,आयाम $A_{amp}$ का मान $r^{-1/2}$ के समानुपाती होता है।

(C) एक प्रगामी तरंग में,जैसे-जैसे तरंग आगे बढ़ती है,माध्यम के माध्यम से एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक ऊर्जा का संचरण होता है।
एक अप्रगामी (स्थिर) तरंग में,ऊर्जा निस्पंदों (nodes) के बीच माध्यम में ही सीमित रहती है और माध्यम में आगे नहीं बढ़ती या स्थानांतरित नहीं होती है।
इसलिए,वह गुण जो उन्हें अलग करता है,वह ऊर्जा का संचरण है।

(C) एक बिंदु स्रोत से निकलने वाली गोलीय तरंग के लिए,तीव्रता $I$ दूरी $r$ के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होती है,अर्थात $I \propto 1/r^2$।
चूंकि तीव्रता $I$ आयाम $A$ के वर्ग के समानुपाती होती है $(I \propto A^2)$,हम लिख सकते हैं कि $A^2 \propto 1/r^2$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $A \propto 1/r$ प्राप्त होता है।
इसलिए,दो अलग-अलग दूरियों पर आयामों का अनुपात $A_1/A_2 = r_2/r_1$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $r_1 = r$,$A_1 = A$,और $r_2 = 2r$ दिया गया है,इन मानों को रखने पर:
$A/A_2 = (2r)/r = 2$।
$A_2$ के लिए हल करने पर,हमें $A_2 = A/2$ प्राप्त होता है।

(B) सतह द्वारा प्रति इकाई समय में अवरोधित ऊर्जा शक्ति $P$ है,जो तीव्रता $I$ और क्षेत्रफल $S$ के समानुपाती होती है।
चूंकि तीव्रता $I \propto A^2$,जहाँ $A$ आयाम है,अवरोधित शक्ति $P \propto A^2 S$ होती है।
मान लीजिए प्रारंभिक शक्ति $P_1 = E = k A^2 S$ है,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
नई स्थितियों के लिए,नया क्षेत्रफल $S' = \frac{1}{2} S$ और नया आयाम $A' = 2A$ है।
नई शक्ति $P_2 = k (A')^2 S' = k (2A)^2 (\frac{1}{2} S)$ द्वारा दी जाती है।
$P_2 = k (4A^2) (\frac{1}{2} S) = 2 k A^2 S$.
चूंकि $E = k A^2 S$,इसलिए हमें $P_2 = 2E$ प्राप्त होता है।

(A) जब कोई तरंग माध्यम में यात्रा करती है,तो प्रत्येक कण का विस्थापन और वेग समय के साथ बदलता रहता है।
डोरी के किसी भी मौलिक लंबाई के भाग के लिए,इसकी गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ और स्थितिज ऊर्जा $(P.E.)$ दोनों समय के साथ समय-समय पर बदलती रहती हैं।
हालाँकि,तरंग के प्रसार के दौरान एक मौलिक लंबाई की कुल ऊर्जा ($K.E.$ और $P.E.$ का योग) स्थिर रहती है।
इसलिए,दोलन ऊर्जा,जो तत्व की कुल ऊर्जा है,स्थिर रहती है।

(C) तरंग की तीव्रता $I$ का सूत्र $I = 2\pi^2 f^2 A^2 \rho v$ है,जहाँ $f$ आवृत्ति है,$A$ आयाम है,$\rho$ घनत्व है और $v$ तरंग की गति है।
तरंग $1$ के लिए: $A_1 = 2a$ और $\omega_1 = \omega$ (अतः $f_1 = \omega / 2\pi$)।
तीव्रता $I_1 \propto f_1^2 A_1^2 = (\omega/2\pi)^2 (2a)^2 = 4 \cdot (\omega/2\pi)^2 a^2$।
तरंग $2$ के लिए: $A_2 = a$ और $\omega_2 = 2\omega$ (अतः $f_2 = 2\omega / 2\pi$)।
तीव्रता $I_2 \propto f_2^2 A_2^2 = (2\omega/2\pi)^2 (a)^2 = 4 \cdot (\omega/2\pi)^2 a^2$।
चूँकि $I_1 = I_2$,इसलिए कथन-$1$ सत्य है।
कथन-$2$ असत्य है क्योंकि तीव्रता आयाम और आवृत्ति दोनों के वर्ग के समानुपाती होती है $(I \propto A^2 f^2)$। अतः,कथन-$1$ सत्य है और कथन-$2$ असत्य है।

(B) एक लंबे रैखिक ध्वनि स्रोत के लिए,$r$ दूरी पर तीव्रता $I = \frac{P}{2 \pi r L}$ द्वारा दी जाती है।
डेसिबल में ध्वनि स्तर $\beta = 10 \log_{10} \left( \frac{I}{I_0} \right) = 10 \log_{10} \left( \frac{P}{2 \pi L I_0 r} \right)$ है।
मान लीजिए $\beta_A$ दूरी $r$ पर ध्वनि स्तर है और $\beta_B$ दूरी $10r$ पर ध्वनि स्तर है।
$\beta_A - \beta_B = 10 \log_{10} \left( \frac{P}{2 \pi L I_0 r} \right) - 10 \log_{10} \left( \frac{P}{2 \pi L I_0 (10r)} \right)$.
$\beta_A - \beta_B = 10 \log_{10} \left( \frac{P / (2 \pi L I_0 r)}{P / (2 \pi L I_0 10r)} \right) = 10 \log_{10} (10) = 10 \ dB$.
दिया गया है कि $\beta_A = 80 \ dB$,इसलिए $80 \ dB - \beta_B = 10 \ dB$.
अतः,$\beta_B = 80 \ dB - 10 \ dB = 70 \ dB$.

(C) सभी दिशाओं में ध्वनि उत्सर्जित करने वाले एक बिंदु स्रोत के लिए,$r$ दूरी पर तीव्रता $I$ का मान $I = \frac{P}{4\pi r^2}$ होता है,जहाँ $P$ स्रोत की शक्ति है। अतः,$I \propto \frac{1}{r^2}$।
चूंकि तीव्रता $I$ आयाम $A$ के वर्ग के समानुपाती होती है $(I \propto A^2)$,इसलिए $A^2 \propto \frac{1}{r^2}$,जिसका अर्थ है $A \propto \frac{1}{r}$।
अतः,बिंदु $P$ और $Q$ पर आयामों का अनुपात $\frac{A_P}{A_Q} = \frac{r_Q}{r_P}$ होगा।
यहाँ $r_P = 9 \ m$ और $r_Q = 25 \ m$ दिए गए हैं,इसलिए अनुपात $\frac{A_P}{A_Q} = \frac{25}{9}$ है।

(B) डोरी में अनुप्रस्थ तरंग द्वारा प्रेषित शक्ति $P = F v_p$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $F$ तनाव बल का अनुप्रस्थ घटक है और $v_p$ बिंदु $P$ पर कण का अनुप्रस्थ वेग है।
$x$-दिशा में यात्रा करने वाली तरंग के लिए,अनुप्रस्थ बल $F = -T \frac{\partial y}{\partial x}$ है।
चूँकि $\frac{\partial y}{\partial x} = -\frac{v_p}{v}$,जहाँ $v$ तरंग की गति है,हमारे पास $F = T \frac{v_p}{v}$ है।
अतः,शक्ति $P = (T \frac{v_p}{v}) v_p = \frac{T}{v} v_p^2$ है।
दिया गया है $P = 40 \ mW = 40 \times 10^{-3} \ W$,$T = 20 \ N$,और $v = 20 \ m/s$।
मान रखने पर: $40 \times 10^{-3} = \frac{20}{20} v_p^2$।
$40 \times 10^{-3} = v_p^2$।
$v_p = \sqrt{0.04} \ m/s = 0.2 \ m/s$।
$cm/s$ में बदलने पर: $v_p = 0.2 \times 100 \ cm/s = 20 \ cm/s$।

(B) डोरी का द्रव्यमान $m = 100 \, g = 0.1 \, kg$ है।
तरंग का आयाम $A = 2 \, mm = 2 \times 10^{-3} \, m$ है।
कोणीय आवृत्ति $\omega = 5000 \, rad/s$ है।
डोरी में तरंग की कुल ऊर्जा $E$ का सूत्र $E = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$ है।
मान रखने पर:
$E = \frac{1}{2} \times (0.1) \times (5000)^2 \times (2 \times 10^{-3})^2$
$E = 0.05 \times (25 \times 10^6) \times (4 \times 10^{-6})$
$E = 0.05 \times 100 = 5 \, J$.

(A) ध्वनि तरंग की तीव्रता $I$ को संबंध $I = \frac{1}{2} \rho v \omega^2 A^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ माध्यम का घनत्व है,$v$ तरंग का वेग है,$\omega$ कोणीय आवृत्ति है,और $A$ विस्थापन आयाम है।
चूंकि एक ही माध्यम में यात्रा करने वाली सभी तरंगों के लिए $\rho$ और $v$ स्थिर हैं,इसलिए तीव्रता कोणीय आवृत्ति और आयाम के गुणनफल के वर्ग के समानुपाती होती है: $I \propto (\omega A)^2$.
प्रत्येक विकल्प के लिए $(\omega A)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$A) \omega A = 500 \times 10 \times 10^{-4} = 0.5$
$B) \omega A = 2000 \times 2 \times 10^{-4} = 0.4$
$C) \omega A = 115 \times 2 \times 10^{-4} = 0.023$
$D) \omega A = 200 \times 20 \times 10^{-4} = 0.4$
मानों की तुलना करने पर,विकल्प $A$ में $(\omega A)$ का मान सबसे अधिक है,इसलिए इसकी तीव्रता सबसे अधिक है।

(A) एक प्रगामी तरंग की तीव्रता $I$ का सूत्र $I = \frac{1}{2} \rho \omega^2 A^2 v$ है,जहाँ $\rho$ माध्यम का घनत्व है,$\omega$ कोणीय आवृत्ति है,$A$ आयाम है और $v$ तरंग की गति है।
आपतित और परावर्तित तरंगें एक ही माध्यम में यात्रा करती हैं,इसलिए दोनों के लिए $\rho$,$\omega$ और $v$ समान रहते हैं। अतः,तीव्रताओं का अनुपात आयामों के अनुपात के वर्ग के समानुपाती होता है: $\frac{I_i}{I_r} = \frac{\frac{1}{2} \rho \omega^2 a_i^2 v}{\frac{1}{2} \rho \omega^2 a_r^2 v} = \left( \frac{a_i}{a_r} \right)^2$.
चूंकि संचरित तरंग एक अलग माध्यम में यात्रा करती है,इसलिए घनत्व $\rho$ और तरंग की गति $v$ बदल जाती है,जिसका अर्थ है कि $I_t$ और $a_t$ के बीच का संबंध आपतित तरंग की तुलना में अलग स्थिरांकों को शामिल करता है। इसलिए,केवल आपतित और परावर्तित तरंगों के लिए ही $\frac{I_i}{I_r} = \left( \frac{a_i}{a_r} \right)^2$ संबंध सही है।

(D) मान लीजिए ध्वनि की प्रारंभिक तीव्रता $I_0$ है।
एक स्लैब से गुजरने के बाद,तीव्रता $30\%$ कम हो जाती है,इसलिए शेष तीव्रता $I_1 = I_0 - 0.30 I_0 = 0.70 I_0$ है।
जब दूसरे समान स्लैब से गुजरती है,तो तीव्रता फिर से उस स्लैब पर आपतित तीव्रता का $30\%$ कम हो जाती है।
अतः,अंतिम तीव्रता $I_2 = 0.70 I_1 = 0.70 \times (0.70 I_0) = 0.49 I_0$ होगी।
तीव्रता में कुल कमी $I_0 - I_2 = I_0 - 0.49 I_0 = 0.51 I_0$ है।
इसलिए,तीव्रता में $51\%$ की कमी आती है।

(A) ग्राफ से,पहली तरंग (ठोस रेखा) के लिए,आयाम $A_1 = 1$ और आवर्तकाल $T_1 = 2$ इकाई है।
दूसरी तरंग (बिंदुदार रेखा) के लिए,आयाम $A_2 = 2$ और आवर्तकाल $T_2 = 4$ इकाई है।
तरंग की तीव्रता $I$ को $I = 2 \pi^2 \rho v f^2 A^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $f = 1/T$ है।
अतः,$I \propto (A/T)^2$ है।
इसलिए,तीव्रताओं का अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \left( \frac{A_1}{A_2} \cdot \frac{T_2}{T_1} \right)^2$ होगा।
मान रखने पर: $\frac{I_1}{I_2} = \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{2} \right)^2 = (1)^2 = 1 : 1$।

(A, C) समतल तरंग में कोई त्रिज्यीय निर्भरता नहीं होती है,इसलिए यह स्थिर तीव्रता के साथ यात्रा करती है।
गोलीय तरंग के लिए,स्रोत द्वारा उत्सर्जित शक्ति $P$ को $r$ त्रिज्या वाले गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल पर वितरित किया जाता है,जो $4 \pi r^2$ है।
इस प्रकार,तीव्रता $I$ को $I = \frac{P}{4 \pi r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
यह दर्शाता है कि गोलीय तरंग की तीव्रता स्रोत से दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती घटती है $(I \propto \frac{1}{r^2})$।
इसके अतिरिक्त,स्रोत पर केंद्रित किसी भी गोलीय सतह से गुजरने वाली कुल शक्ति स्थिर रहती है,लेकिन तीव्रता (प्रति इकाई क्षेत्रफल शक्ति) दूरी के साथ घटती है।
इसलिए,विकल्प $A$ और $C$ सही हैं।

(A) जब स्थिर पानी में पत्थर फेंका जाता है, तो यह गोलाकार तरंगें बनाता है। जैसे-जैसे तरंग बाहर की ओर फैलती है, उसकी ऊर्जा $E$ संरक्षित रहती है।
$dr$ चौड़ाई और $h$ आयाम वाली एक गोलाकार तरंग की ऊर्जा उसके द्रव्यमान और उसके आयाम के वर्ग के समानुपाती होती है। तरंग का द्रव्यमान उसकी परिधि $(2 \pi r)$ और उसकी चौड़ाई $(dr)$ के समानुपाती होता है।
अतः, ऊर्जा $E$ इस प्रकार दी जाती है:
$E \propto (2 \pi r) \cdot dr \cdot h^2$
चूंकि तरंग के बाहर की ओर फैलने पर कुल ऊर्जा $E$ स्थिर रहती है, इसलिए हमारे पास है:
$r \cdot h^2 \approx \text{स्थिरांक}$
इसलिए, $h^2 \propto \frac{1}{r}$, जिसका अर्थ है कि $h \propto r^{-1/2}$।
अतः, तरंग का आयाम $r^{-1/2}$ के अनुसार बदलता है।

(C) तरंग एक विक्षोभ है जो माध्यम या अंतरिक्ष में यात्रा करती है,जो पदार्थ (द्रव्यमान) के शुद्ध परिवहन के बिना एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक ऊर्जा का स्थानांतरण करती है।
जबकि माध्यम के कण अपनी संतुलन स्थितियों के चारों ओर दोलन करते हैं,वे तरंग के साथ आगे नहीं बढ़ते हैं।
वेग तरंग के प्रसार का एक गुण है,न कि कोई ऐसी चीज जिसे तरंग द्वारा 'ले जाया' जाता है।
इसलिए,तरंगों द्वारा ले जाई जाने वाली मूलभूत राशि ऊर्जा है।

(A) हाँ,तरंगें ऊर्जा और संवेग दोनों का वहन करती हैं।
जब कोई तरंग किसी माध्यम से होकर गुजरती है,तो माध्यम के कण अपनी माध्य स्थितियों के परितः दोलन करते हैं।
माध्यम की प्रत्यास्थता और जड़त्व के कारण,ये कण अपनी ऊर्जा और संवेग को अपने पड़ोसी कणों में स्थानांतरित करते हैं।
यह प्रक्रिया जारी रहती है,जिससे तरंग पदार्थ के शुद्ध स्थानांतरण के बिना एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक ऊर्जा और संवेग दोनों को ले जाने में सक्षम होती है।

(B) दिया गया है: दूरी $r_{1} = 8 \,km = 8000 \,m$, तीव्रता स्तर $L_{1} = 30 \,dB$.
आधार पर दूरी $r_{2} = 80 \,m$, तीव्रता स्तर $L_{2} = ?$.
तीव्रता स्तर $L$ को $L = 10 \log_{10} \left( \frac{I}{I_{0}} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि ध्वनि स्रोत एक बिंदु स्रोत के रूप में कार्य करता है, तीव्रता $I = \frac{P}{4 \pi r^{2}}$, जिसका अर्थ है $I \propto \frac{1}{r^{2}}$.
तीव्रता स्तरों में अंतर इस प्रकार है:
$L_{2} - L_{1} = 10 \log_{10} \left( \frac{I_{2}}{I_{1}} \right) = 10 \log_{10} \left( \frac{r_{1}}{r_{2}} \right)^{2} = 20 \log_{10} \left( \frac{r_{1}}{r_{2}} \right)$.
मान रखने पर:
$L_{2} - 30 = 20 \log_{10} \left( \frac{8000}{80} \right)$
$L_{2} - 30 = 20 \log_{10} (100)$
$L_{2} - 30 = 20 \times 2 = 40$
$L_{2} = 40 + 30 = 70 \,dB$.
अतः, टॉवर के आधार पर तीव्रता $70 \,dB$ है।

(B) बिंदु स्रोत से $r$ दूरी पर ध्वनि की तीव्रता $I = \frac{P}{4\pi r^2}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $P$ स्रोत की शक्ति है। अतः,$I \propto \frac{1}{r^2}$।
डेसिबल $(dB)$ में ध्वनि तीव्रता स्तर $\beta$ को $\beta = 10 \log_{10} \left( \frac{I}{I_0} \right)$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $I_0$ संदर्भ तीव्रता है।
मान लीजिए $r_1 = 4 \,m$ पर $\beta_1 = 10 \,dB$ है और $r_2 = 2 \,m$ पर स्तर $\beta_2$ है।
$\beta_2 - \beta_1 = 10 \log_{10} \left( \frac{I_2}{I_1} \right) = 10 \log_{10} \left( \frac{r_1^2}{r_2^2} \right) = 20 \log_{10} \left( \frac{r_1}{r_2} \right)$।
मान रखने पर: $\beta_2 - 10 = 20 \log_{10} \left( \frac{4}{2} \right) = 20 \log_{10}(2)$।
$\log_{10}(2) \approx 0.301$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\beta_2 - 10 = 20 \times 0.301 = 6.02$।
अतः,$\beta_2 = 10 + 6.02 = 16.02 \,dB \approx 16 \,dB$।

(A) डोरी पर यात्रा कर रही तरंग में,एक प्राथमिक भाग की स्थितिज ऊर्जा उस बिंदु पर डोरी के ढलान (slope) के वर्ग के समानुपाती होती है,अर्थात $dU_p \propto (\frac{\partial y}{\partial x})^2$।
$1$. बिंदु $a$ और $c$ पर,तरंग का ढलान अधिकतम होता है (धनात्मक या ऋणात्मक अधिकतम)।
$2$. बिंदु $b$ और $d$ पर,डोरी अपनी चरम स्थितियों (गर्त और शृंग) पर होती है,जहाँ ढलान शून्य होता है।
$3$. चूंकि स्थितिज ऊर्जा वहां अधिकतम होती है जहां ढलान अधिकतम होता है,इसलिए भाग $a$ और $c$ में अधिकतम स्थितिज ऊर्जा होती है।
$4$. हालांकि,दिए गए विकल्पों को देखते हुए,ढलान संतुलन स्थिति (जहां तरंग $x$-अक्ष को काटती है) पर अधिकतम होता है। इस प्रकार,$a$ और $c$ अधिकतम स्थितिज ऊर्जा वाले बिंदु हैं। दिए गए विकल्पों के अनुसार,यदि केवल एक को चुनना हो,तो $a$ अधिकतम ढलान वाले क्षेत्र का सबसे उपयुक्त प्रतिनिधित्व है।

(D) तरंग की तीव्रता $I = 2 \pi^2 \rho v f^2 A^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\rho$ घनत्व है,$v$ तरंग की गति है,$f$ आवृत्ति है और $A$ आयाम है।
दी गई तरंगों के लिए:
तरंग $1$: $y_1 = 5 \sin(150 \pi t - 0.5 \pi x)$. आयाम $A_1 = 5$,कोणीय आवृत्ति $\omega_1 = 150 \pi$,तरंग संख्या $k_1 = 0.5 \pi$. तरंग की गति $v_1 = \frac{\omega_1}{k_1} = \frac{150 \pi}{0.5 \pi} = 300 \ m/s$.
तरंग $2$: $y_2 = 10 \sin(300 \pi t - 1.0 \pi x)$. आयाम $A_2 = 10$,कोणीय आवृत्ति $\omega_2 = 300 \pi$,तरंग संख्या $k_2 = 1.0 \pi$. तरंग की गति $v_2 = \frac{\omega_2}{k_2} = \frac{300 \pi}{1.0 \pi} = 300 \ m/s$.
चूंकि $v_1 = v_2$ और माध्यम समान है $(\rho_1 = \rho_2)$,तीव्रता का अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \left(\frac{A_1}{A_2}\right)^2 \times \left(\frac{f_1}{f_2}\right)^2 = \left(\frac{A_1}{A_2}\right)^2 \times \left(\frac{\omega_1}{\omega_2}\right)^2$ होगा।
मान रखने पर: $\frac{I_1}{I_2} = \left(\frac{5}{10}\right)^2 \times \left(\frac{150 \pi}{300 \pi}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 \times \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{16}$.