Energy and Intensity of Waves Questions in Hindi

(A) एक बिंदु स्रोत के लिए,$r$ दूरी पर तीव्रता $I$ व्युत्क्रम वर्ग नियम द्वारा दी जाती है: $I \propto \frac{1}{r^2}$।
माना $r_0 = 1 \text{ m}$ पर तीव्रता $I_0 = 16 \times 10^{-8} \text{ W m}^{-2}$ है।
$r$ दूरी पर तीव्रता $I(r) = \frac{I_0 \cdot r_0^2}{r^2} = \frac{16 \times 10^{-8} \times (1)^2}{r^2} = \frac{16 \times 10^{-8}}{r^2} \text{ W m}^{-2}$ होगी।
$r_1 = 2 \text{ m}$ पर,तीव्रता $I_1 = \frac{16 \times 10^{-8}}{2^2} = \frac{16 \times 10^{-8}}{4} = 4 \times 10^{-8} \text{ W m}^{-2}$ है।
$r_2 = 4 \text{ m}$ पर,तीव्रता $I_2 = \frac{16 \times 10^{-8}}{4^2} = \frac{16 \times 10^{-8}}{16} = 1 \times 10^{-8} \text{ W m}^{-2}$ है।
तीव्रता में अंतर $|I_1 - I_2| = |4 \times 10^{-8} - 1 \times 10^{-8}| = 3 \times 10^{-8} \text{ W m}^{-2}$ है।
अतः,मान $3$ है।

(A) दोलनों की ऊर्जा का सूत्र $E = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$ है।
चूंकि $\omega = 2 \pi n$,इसलिए $E \propto n^2 A^2$ होता है।
यह दिया गया है कि $X$ और $Y$ द्वारा उत्पन्न तरंगों की ऊर्जा समान है,इसलिए:
$n_X^2 A_X^2 = n_Y^2 A_Y^2$.
दिए गए मान $n_X = n$,$A_X = A$,और $n_Y = \frac{n}{3}$ रखने पर:
$n^2 A^2 = (\frac{n}{3})^2 A_Y^2$.
$n^2 A^2 = \frac{n^2}{9} A_Y^2$.
$A^2 = \frac{A_Y^2}{9}$.
$A_Y^2 = 9 A^2$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $A_Y = 3 A$ प्राप्त होता है।

(B) ध्वनि तरंग की ऊर्जा $E$,उसके आयाम $A$ के वर्ग और आवृत्ति $n$ के वर्ग के समानुपाती होती है। गणितीय रूप से,$E \propto A^2 n^2$ है।
चूंकि $P$ और $Q$ द्वारा उत्पन्न तरंगों की ऊर्जा समान है,इसलिए $E_P = E_Q$ होगा।
इसका अर्थ है $A_P^2 n_P^2 = A_Q^2 n_Q^2$।
यहाँ $n_P = n$ और $n_Q = \frac{n}{4}$ दिया गया है,इसलिए:
$A_P^2 n^2 = A_Q^2 (\frac{n}{4})^2$।
$A_P^2 n^2 = A_Q^2 (\frac{n^2}{16})$।
दोनों पक्षों को $n^2$ से विभाजित करने पर,$A_P^2 = \frac{A_Q^2}{16}$ प्राप्त होता है।
$A_Q^2 = 16 A_P^2$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$A_Q = 4 A_P$ प्राप्त होता है।

(D) एक बिंदु स्रोत द्वारा उत्सर्जित गोलाकार तरंग के लिए,$r$ दूरी पर तीव्रता $I$ को $I = \frac{P}{4 \pi r^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $P$ स्रोत की शक्ति है।
चूँकि $I \propto A^2$,जहाँ $A$ आयाम है,हमारे पास $A^2 \propto \frac{1}{r^2}$ है,जिसका अर्थ है $A \propto \frac{1}{r}$।
मान लीजिए कि $r_P = 4 \ m$ और $r_Q = 9 \ m$ की दूरी पर आयाम क्रमशः $A_P$ और $A_Q$ हैं।
अतः,आयामों का अनुपात $\frac{A_P}{A_Q} = \frac{r_Q}{r_P}$ होगा।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{A_P}{A_Q} = \frac{9}{4}$ प्राप्त होता है।

(B) ध्वनि तरंग की तीव्रता $(I)$ उसके आयाम $(A)$ के वर्ग के सीधे आनुपातिक होती है।
$I \propto A^2$
इसलिए,तीव्रताओं का अनुपात आयामों के अनुपात से इस प्रकार संबंधित है:
$\frac{I_{\text{reflected}}}{I_{\text{incident}}} = \left( \frac{A_{\text{reflected}}}{A_{\text{incident}}} \right)^2$
यह दिया गया है कि तीव्रता में $20 \%$ की कमी होती है,इसलिए परावर्तित तीव्रता है:
$I_{\text{reflected}} = I_{\text{incident}} - 0.20 I_{\text{incident}} = 0.8 I_{\text{incident}} = \frac{4}{5} I_{\text{incident}}$
इसे अनुपात समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\frac{4}{5} I_{\text{incident}}}{I_{\text{incident}}} = \left( \frac{A_{\text{reflected}}}{A} \right)^2$
$\frac{4}{5} = \left( \frac{A_{\text{reflected}}}{A} \right)^2$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$A_{\text{reflected}} = \sqrt{\frac{4}{5}} A = \frac{2}{\sqrt{5}} A$

(D) गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi R^3$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है $V \propto R^3$.
यदि आयतन $V$ $8$ गुना बढ़ जाता है,तो $R^3$ $8$ गुना बढ़ जाता है,इसलिए त्रिज्या $R$ $2$ गुना बढ़ जाती है $(R \rightarrow 2R)$.
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 4 \pi R^2$ होता है,जिसका अर्थ है $A \propto R^2$.
चूंकि $R$ $2$ गुना बढ़ जाता है,क्षेत्रफल $A$ $2^2 = 4$ गुना बढ़ जाएगा $(A \rightarrow 4A)$.
तीव्रता $I$ को प्रति इकाई क्षेत्रफल शक्ति के रूप में परिभाषित किया जाता है,$I = \frac{P}{A}$.
चूंकि बिंदु स्रोत की शक्ति $P$ स्थिर रहती है,$I \propto \frac{1}{A}$.
इसलिए,यदि क्षेत्रफल $A$ $4$ गुना बढ़ जाता है,तो तीव्रता $I$ $4$ गुना घट जाएगी $(I \rightarrow \frac{I}{4})$.