Energy and Intensity of Waves Questions in Gujarati

(A) બિંદુવત ઉદગમ માટે,$r$ અંતરે તીવ્રતા $I$ એ વ્યસ્ત વર્ગના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $I \propto \frac{1}{r^2}$.
ધારો કે $r_0 = 1 \text{ m}$ અંતરે તીવ્રતા $I_0 = 16 \times 10^{-8} \text{ W m}^{-2}$ છે.
$r$ અંતરે તીવ્રતા $I(r) = \frac{I_0 \cdot r_0^2}{r^2} = \frac{16 \times 10^{-8} \times (1)^2}{r^2} = \frac{16 \times 10^{-8}}{r^2} \text{ W m}^{-2}$ થશે.
$r_1 = 2 \text{ m}$ અંતરે,તીવ્રતા $I_1 = \frac{16 \times 10^{-8}}{2^2} = \frac{16 \times 10^{-8}}{4} = 4 \times 10^{-8} \text{ W m}^{-2}$ મળે.
$r_2 = 4 \text{ m}$ અંતરે,તીવ્રતા $I_2 = \frac{16 \times 10^{-8}}{4^2} = \frac{16 \times 10^{-8}}{16} = 1 \times 10^{-8} \text{ W m}^{-2}$ મળે.
તીવ્રતામાં તફાવત $|I_1 - I_2| = |4 \times 10^{-8} - 1 \times 10^{-8}| = 3 \times 10^{-8} \text{ W m}^{-2}$ થાય.
આમ,જવાબ $3$ છે.

(A) દોલનોની ઊર્જાનું સૂત્ર $E = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$ છે.
અહીં $\omega = 2 \pi n$ હોવાથી,$E \propto n^2 A^2$ થાય.
આપેલ છે કે $X$ અને $Y$ દ્વારા ઉત્પન્ન થતી ઊર્જા સમાન છે,તેથી:
$n_X^2 A_X^2 = n_Y^2 A_Y^2$.
આપેલ કિંમતો $n_X = n$,$A_X = A$,અને $n_Y = \frac{n}{3}$ મૂકતા:
$n^2 A^2 = (\frac{n}{3})^2 A_Y^2$.
$n^2 A^2 = \frac{n^2}{9} A_Y^2$.
$A^2 = \frac{A_Y^2}{9}$.
$A_Y^2 = 9 A^2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $A_Y = 3 A$ મળે છે.

(B) ધ્વનિ તરંગની ઊર્જા $E$ એ તેના કંપવિસ્તાર $A$ ના વર્ગ અને આવૃત્તિ $n$ ના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે. ગાણિતિક રીતે,$E \propto A^2 n^2$.
$P$ અને $Q$ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા તરંગોની ઊર્જા સમાન હોવાથી,$E_P = E_Q$ થાય.
આથી,$A_P^2 n_P^2 = A_Q^2 n_Q^2$.
અહીં $n_P = n$ અને $n_Q = \frac{n}{4}$ આપેલ છે,તેથી:
$A_P^2 n^2 = A_Q^2 (\frac{n}{4})^2$.
$A_P^2 n^2 = A_Q^2 (\frac{n^2}{16})$.
બંને બાજુ $n^2$ વડે ભાગતા,$A_P^2 = \frac{A_Q^2}{16}$ મળે.
$A_Q^2 = 16 A_P^2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$A_Q = 4 A_P$ મળે.

(D) બિંદુ સ્ત્રોત દ્વારા ઉત્સર્જિત ગોળાકાર તરંગ માટે,$r$ અંતરે તીવ્રતા $I$ એ $I = \frac{P}{4 \pi r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $P$ એ સ્ત્રોતની પાવર છે.
કારણ કે $I \propto A^2$,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે,તેથી આપણને $A^2 \propto \frac{1}{r^2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $A \propto \frac{1}{r}$.
ધારો કે $r_P = 4 \ m$ અને $r_Q = 9 \ m$ અંતરે કંપવિસ્તાર અનુક્રમે $A_P$ અને $A_Q$ છે.
તેથી,કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર $\frac{A_P}{A_Q} = \frac{r_Q}{r_P}$ થશે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$\frac{A_P}{A_Q} = \frac{9}{4}$ મળે છે.

(B) ધ્વનિ તરંગની તીવ્રતા $(I)$ તેના કંપવિસ્તાર $(A)$ ના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
$I \propto A^2$
તેથી,તીવ્રતાનો ગુણોત્તર અને કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર નીચે મુજબ સંબંધિત છે:
$\frac{I_{\text{reflected}}}{I_{\text{incident}}} = \left( \frac{A_{\text{reflected}}}{A_{\text{incident}}} \right)^2$
આપેલ છે કે તીવ્રતામાં $20 \%$ નો ઘટાડો થાય છે,તેથી પરાવર્તિત તીવ્રતા:
$I_{\text{reflected}} = I_{\text{incident}} - 0.20 I_{\text{incident}} = 0.8 I_{\text{incident}} = \frac{4}{5} I_{\text{incident}}$
આ કિંમતને ગુણોત્તરના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{\frac{4}{5} I_{\text{incident}}}{I_{\text{incident}}} = \left( \frac{A_{\text{reflected}}}{A} \right)^2$
$\frac{4}{5} = \left( \frac{A_{\text{reflected}}}{A} \right)^2$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$A_{\text{reflected}} = \sqrt{\frac{4}{5}} A = \frac{2}{\sqrt{5}} A$

(D) ગોળાનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi R^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે સૂચવે છે કે $V \propto R^3$.
જો કદ $V$ $8$ ગણું વધે,તો $R^3$ $8$ ગણું વધે,તેથી ત્રિજ્યા $R$ $2$ ગણી વધે $(R \rightarrow 2R)$.
ગોળાનું પૃષ્ઠફળ $A = 4 \pi R^2$ છે,જે સૂચવે છે કે $A \propto R^2$.
જેમ કે $R$ $2$ ગણું વધે છે,ક્ષેત્રફળ $A$ $2^2 = 4$ ગણું વધશે $(A \rightarrow 4A)$.
તીવ્રતા $I$ ને એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ પાવર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,$I = \frac{P}{A}$.
બિંદુવત ઉદગમનો પાવર $P$ અચળ રહેતો હોવાથી,$I \propto \frac{1}{A}$.
તેથી,જો ક્ષેત્રફળ $A$ $4$ ગણું વધે,તો તીવ્રતા $I$ $4$ ગણી ઘટશે $(I \rightarrow \frac{I}{4})$.